ガロア理論⑫ 最小分解体の一意性
はじめに
前々回（ ガロア理論⑩ ），任意の体は最小分解体をもつことを示しました。今回はその一意性を示します。これを示すと嬉しい点は，最小分解体が一意に存在することを認めれば，適当な$1$つの最小分解体のなかで議論すれば十分ということにあります。
目次
1.最小分解体の一意性
2.代数閉体・代数閉包
最小分解体の一意性
$K,K'$を体とし，同型$σ_0:K\to K'$が存在するとする。$f∈K[x]$に対し，$f,σ_0(f)$の最小分解体を$L,L'$とすると，$σ_0$の延長$σ:L\to L'$が存在する。
$\deg f=n≥1$とし，$n$に関する帰納法で示す。
- $n=1$のとき
$L=K,L'=K'$であるから$σ=σ_0$が存在する。 - 次に$n≥2$とし，$n-1$での成立を仮定する。
$f$の根$α∈L$を任意にとり，その最小多項式を$p$とする。また，$β∈L'$を$σ_0(p)$の任意の根とする。このとき，前回の命題（ ガロア理論⑪ ）から$σ_0$の延長$σ':K(α)→K'(β)$が存在する。
また，$g∈K(α)[x]$を用いて$f(x)=(x-α)g(x)$とすると，$g,σ'(g)$の最小分解体もまた$L,L'$であり$\deg g=n-1$であるから，帰納法の仮定より$σ'$の延長$σ:L→L'$が存在する。明らかに，この$σ$は$σ_0$の延長である。▢
$ \xymatrix@R=48pt@C=48pt{ L \ar@{-}[d] \ar[r]^{\sim}_{^\existsσ} \ar@{}[rd]|\circlearrowleft & L' \ar@{-}[d] \\ K(α) \ar[r]^{\sim}_{^\existsσ'} \ar@{}[rd]|\circlearrowleft& K'(β) \\ K \ar@{-}[u] \ar[r]^{\sim}_{σ_0} & K' \ar@{-}[u] } $
この事実から，直ちに次の系を得る。
$K$を任意の体とする。$K$の最小分解体は同型を除いて一意である。
前命題において$K'=K$とすると，自明な自己同型$\mathrm{id}_K$が存在する。よって，$L_1,L_2$を$K$の任意の分解体とすると，前命題から$\mathrm{id}_K$の延長$σ:L_1\to L_2$が存在する。▢
- $ℂ$は$x^2+1∈ℝ[x]$の同型を除いて唯一の最小分解体である。
代数閉体・代数閉包
最後に，次の記事の準備として代数閉体と代数閉包を定義しておきます。定義は難しくありません。
$K$を体とする。$1$次以上の任意の$K$係数多項式が$K$上にすべての根をもつとき，$K$は代数閉体であるという。
- $ℂ$は代数閉体である（代数学の基本定理）。
- $ℝ$は代数閉体でない。たとえば，$x^2+1∈ℝ[x]$の根は実数ではない。
代数学の基本定理は，「$ℂ$が代数閉体であること」を保証する定理です。今後，この定理を認めて話を進めます。が，証明は与えません（解析的な手続きが必要になるため）。
$L/K$を代数拡大とする。$L$が代数閉体であるとき，$L$を$K$の代数閉包という。
- $ℂ$は$ℝ$の代数閉包である。
例にあげたように，$ℝ$は$ℂ$という代数閉包をもちます。実はこれは$ℝ$に限った話ではなく，任意の体は代数閉包をもち，しかもそれは同型を除いて一意であることがいえます。次回はまず，代数閉包が存在することを示します。
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