ガロア理論⑫　最小分解体の一意性

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はじめに

前々回（ガロア理論⑩ ），任意の体は最小分解体をもつことを示しました。今回はその一意性を示します。これを示すと嬉しい点は，最小分解体が一意に存在することを認めれば，適当な $1$ つの最小分解体のなかで議論すれば十分ということにあります。

最小分解体の一意性

$K, K^{'}$ を体とし，同型 $σ_{0} : K \to K^{'}$ が存在するとする。 $f \in K [x]$ に対し， $f, σ_{0} (f)$ の最小分解体を $L, L^{'}$ とすると， $σ_{0}$ の延長 $σ : L \to L^{'}$ が存在する。

$\deg f = n \geq 1$ とし， $n$ に関する帰納法で示す。

$n = 1$ のとき
$L = K, L^{'} = K^{'}$ であるから $σ = σ_{0}$ が存在する。
次に $n \geq 2$ とし， $n - 1$ での成立を仮定する。
$f$ の根 $α \in L$ を任意にとり，その最小多項式を $p$ とする。また， $β \in L^{'}$ を $σ_{0} (p)$ の任意の根とする。このとき，前回の命題（ガロア理論⑪ ）から $σ_{0}$ の延長 $σ^{'} : K (α) \to K^{'} (β)$ が存在する。
また， $g \in K (α) [x]$ を用いて $f (x) = (x - α) g (x)$ とすると， $g, σ^{'} (g)$ の最小分解体もまた $L, L^{'}$ であり $\deg g = n - 1$ であるから，帰納法の仮定より $σ^{'}$ の延長 $σ : L \to L^{'}$ が存在する。明らかに，この $σ$ は $σ_{0}$ の延長である。▢

$L \sim^{\exists} σ ↺ L^{'} K (α) \sim^{\exists} σ^{'} ↺ K^{'} (β) K \sim σ_{0} K^{'}$

この事実から，直ちに次の系を得る。

$K$ を任意の体とする。 $K$ の最小分解体は同型を除いて一意である。

前命題において $K^{'} = K$ とすると，自明な自己同型 ${id}_{K}$ が存在する。よって， $L_{1}, L_{2}$ を $K$ の任意の分解体とすると，前命題から ${id}_{K}$ の延長 $σ : L_{1} \to L_{2}$ が存在する。▢

最小分解体

$ℂ$ は $x^{2} + 1 \in ℝ [x]$ の同型を除いて唯一の最小分解体である。

代数閉体・代数閉包

最後に，次の記事の準備として代数閉体と代数閉包を定義しておきます。定義は難しくありません。

代数閉体

$K$ を体とする。 $1$ 次以上の任意の $K$ 係数多項式が $K$ 上にすべての根をもつとき， $K$ は代数閉体であるという。

代数閉体

$ℂ$ は代数閉体である（代数学の基本定理）。
$ℝ$ は代数閉体でない。たとえば， $x^{2} + 1 \in ℝ [x]$ の根は実数ではない。

代数学の基本定理は，「 $ℂ$ が代数閉体であること」を保証する定理です。今後，この定理を認めて話を進めます。が，証明は与えません（解析的な手続きが必要になるため）。

代数閉包

$L / K$ を代数拡大とする。 $L$ が代数閉体であるとき， $L$ を $K$ の代数閉包という。

代数閉包

$ℂ$ は $ℝ$ の代数閉包である。

例にあげたように， $ℝ$ は $ℂ$ という代数閉包をもちます。実はこれは $ℝ$ に限った話ではなく，任意の体は代数閉包をもち，しかもそれは同型を除いて一意であることがいえます。次回はまず，代数閉包が存在することを示します。

投稿日：2023年4月1日

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数学徒　じゅけんせいのすがた扱う分野：位相空間論　群論　環論　体論　位相幾何

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代数閉体・代数閉包

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