約数関数の漸化式
次の様な関数列$r_n(x)$を考えます。
$\beginend{eqnarray}{
(q;q)_\infty^{-x} &=& \sum_{n=0}^\infty r_n(x)q^n
}$
ただし、$(z;q)_m$は
qポッホハマー記号
。
$q=0$の時、$(q;q)_\infty=1$であるため、
定理
により漸化式とこれらが多項式であることが明らかになります。
また、定義式を両辺微分すれば、
約数関数
との関係も見えてきます。
$\beginend{eqnarray}{ r_0(x) &=& 1 \\ r_n(x) &=& \frac{x}{an}\sum_{k=1}^n kr_k(a)r_{n-k}(x-a) \quad &\small(n\ge1)& \\ r'_n(0) &=& \frac{\sigma(n)}{n} &\small(n\ge1)& \\ r_n(x) &=& \frac{x}{n}\sum_{k=1}^n \sigma(k)r_{n-k}(x) &\small(n\ge1)& }$
1,2,4行目:
冪級数の冪乗の公式
3行目
$\beginend{align}{
&\sum_{n=0}^\infty r'_n(x)q^n =
\frac{\partial}{\partial x}(q;q)_\infty^{-x} =
-\ln(q;q)_\infty \cdot (q;q)_\infty^{-x} \\&
x=0\text{の時、} \\&
\sum_{n=0}^\infty r'_n(0)q^n =
-\ln(q;q)_\infty =
\sum_{k=1}^\infty (-\ln(1-q^k)) =
\sum_{k=1}^\infty \sum_{l=1}^\infty \frac{q^{kl}}{l} =
\sum_{n=1}^\infty \sigma_{-1}(n)q^n =
\sum_{n=1}^\infty \frac{\sigma(n)}{n}q^n
}$
$\beginend{eqnarray}{ r_n(1) &=& p(n) \\ r_n(-1) &=& \lr\{{ \beginend{array}{l (-1)^k &{\rm if} \ n = \frac{k(3k-1)}{2}, k\in\Z& \\ 0 &{\rm otherwise}& } }. \\ r_n(-3) &=& \lr\{{ \beginend{array}{l (-1)^k(2k+1) &{\rm if} \ n = \binom{k+1}{2}, k\in\N_0& \\ 0 &{\rm otherwise}& } }. \\ r_n(-24) &=& \tau(n+1) \\ }$
1行目:
分割数
2行目:
オイラーの五角数定理
3行目:
infseries.comの『超幾何級数IIIの定理集』の系3.2.
$\ \displaystyle (q;q)_\infty^3 = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k(2k+1)q^{\binom{k+1}{2}}$
4行目:
ラマヌジャンのタウ函数
$\beginend{eqnarray}{
\sigma(n) &=& \sum_{k\in\Z\setminus\{0\}}
(-1)^{k-1}\lr({\sigma\lr({n-\frac{k(3k-1)}{2}}) + \delta_{n,k(3k-1)/2}n}) \\ &=&
\sum_{k\ge1}
(-1)^{k-1}(2k+1)\lr({\sigma\lr({n-\binom{k+1}{2}}) + \delta_{n,\binom{k+1}{2}}\frac{n}{3}})
}$
ただし、$\sigma(n) = 0 \ \small(n\le0)$、$\delta_{a,b}$は
クロネッカーのデルタ
。
$\beginend{eqnarray}{
r_n(x) &=& \frac{x}{n}\sum_{k=1}^n \sigma(k)r_{n-k}(x) =
\frac{x}{n}\lr[{\lr({\sum_{k=1}^{n-1} \sigma(k)r_{n-k}(x)}) + \sigma(n)}] \\
\sigma(n) &=& \frac{n}{x}r_n(x) - \sum_{k=1}^{n-1} \sigma(k)r_{n-k}(x) =
\sum_{k=0}^{n-1} \lr({\delta_{0,k}\frac{n}{x}-\sigma(k)})r_{n-k}(x) =
\sum_{k=1}^{n} \lr({\delta_{n,k}\frac{n}{x}-\sigma(n-k)})r_{k}(x)
}$
1行目
$x=-1$の時、
$\beginend{eqnarray}{
\sigma(n) &=& \sum_{k=1}^{n} \lr({-\delta_{n,k}n-\sigma(n-k)})r_{k}(-1) \\&=&
\sum_{k\in\Z\setminus\{0\}}
(-1)^{k-1}\lr({\sigma\lr({n-\frac{k(3k-1)}{2}}) + \delta_{n,k(3k-1)/2}n})
}$
2行目
$x=-3$の時、
$\beginend{eqnarray}{
\sigma(n) &=& \sum_{k=1}^{n} \lr({-\delta_{n,k}\frac{n}{3}-\sigma(n-k)})r_{k}(-3) \\&=&
\sum_{k\ge1}
(-1)^{k-1}(2k+1)\lr({\sigma\lr({n-\binom{k+1}{2}}) + \delta_{n,\binom{k+1}{2}}\frac{n}{3}})
}$
1行目はオイラーにより証明されているそうです。 https://ja.wikipedia.org/wiki/約数関数#その他の公式
$\beginend{eqnarray}{ r_0(x) &=& 1 \\ r_1(x) &=& x \\ r_2(x) &=& \frac{1}{2}x(x+3) \\ r_3(x) &=& \frac{1}{6}x(x+1)(x+8) \\ r_4(x) &=& \frac{1}{24}x(x+1)(x+3)(x+14) }$