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約数関数の漸化式

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次の様な関数列 $r_{n} (x)$ を考えます。

$\begin{array}{rcl} (q; q)_{\infty}^{- x} & = & \sum_{n = 0}^{\infty} r_{n} (x) q^{n} \end{array}$
ただし、 $(z; q)_{m}$ は qポッホハマー記号。

$q = 0$ の時、 $(q; q)_{\infty} = 1$ であるため、定理により漸化式とこれらが多項式であることが明らかになります。
また、定義式を両辺微分すれば、約数関数との関係も見えてきます。

漸化式

$\begin{array}{rclrc} r_{0} (x) & = & 1 \\ r_{n} (x) & = & \frac{x}{a n} \sum_{k = 1}^{n} k r_{k} (a) r_{n - k} (x - a) & (n \geq 1) \\ r_{n}^{'} (0) & = & \frac{σ (n)}{n} & (n \geq 1) \\ r_{n} (x) & = & \frac{x}{n} \sum_{k = 1}^{n} σ (k) r_{n - k} (x) & (n \geq 1) \end{array}$

1,2,4行目: 冪級数の冪乗の公式
3行目
$\begin{aligned} \sum_{n = 0}^{\infty} r_{n}^{'} (x) q^{n} = \frac{\partial}{\partial x} (q; q)_{\infty}^{- x} = - \ln {(q; q)}_{\infty} \cdot (q; q)_{\infty}^{- x} \\ x = 0 の時、 \\ \sum_{n = 0}^{\infty} r_{n}^{'} (0) q^{n} = - \ln {(q; q)}_{\infty} = \sum_{k = 1}^{\infty} (- \ln (1 - q^{k})) = \sum_{k = 1}^{\infty} \sum_{l = 1}^{\infty} \frac{q^{k l}}{l} = \sum_{n = 1}^{\infty} σ_{- 1} (n) q^{n} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{σ (n)}{n} q^{n} \end{aligned}$

xについての特殊値

$\begin{array}{rcl} r_{n} (1) & = & p (n) \\ r_{n} (- 1) & = & {\begin{matrix} (- 1)^{k} & i f n = \frac{k (3 k - 1)}{2}, k \in Z \\ 0 & o t h e r w i s e \end{matrix} \\ r_{n} (- 3) & = & {\begin{matrix} (- 1)^{k} (2 k + 1) & i f n = (\binom{k + 1}{2}), k \in N_{0} \\ 0 & o t h e r w i s e \end{matrix} \\ r_{n} (- 24) & = & τ (n + 1) \end{array}$

1行目: 分割数
2行目: オイラーの五角数定理
3行目: infseries.comの『超幾何級数IIIの定理集』の系3.2.
$(q; q)_{\infty}^{3} = \sum_{k = 0}^{\infty} (- 1)^{k} (2 k + 1) q^{(\binom{k + 1}{2})}$
4行目: ラマヌジャンのタウ函数

約数関数の漸化式

$\begin{array}{rcl} σ (n) & = & \sum_{k \in Z ∖ {0}} (- 1)^{k - 1} (σ (n - \frac{k (3 k - 1)}{2}) + δ_{n, k (3 k - 1) / 2} n) \\ = & \sum_{k \geq 1} (- 1)^{k - 1} (2 k + 1) (σ (n - (\binom{k + 1}{2})) + δ_{n, (\binom{k + 1}{2})} \frac{n}{3}) \end{array}$
ただし、 $σ (n) = 0 (n \leq 0)$ 、 $δ_{a, b}$ はクロネッカーのデルタ。

$\begin{array}{rcl} r_{n} (x) & = & \frac{x}{n} \sum_{k = 1}^{n} σ (k) r_{n - k} (x) = \frac{x}{n} [(\sum_{k = 1}^{n - 1} σ (k) r_{n - k} (x)) + σ (n)] \\ σ (n) & = & \frac{n}{x} r_{n} (x) - \sum_{k = 1}^{n - 1} σ (k) r_{n - k} (x) = \sum_{k = 0}^{n - 1} (δ_{0, k} \frac{n}{x} - σ (k)) r_{n - k} (x) = \sum_{k = 1}^{n} (δ_{n, k} \frac{n}{x} - σ (n - k)) r_{k} (x) \end{array}$
1行目
$x = - 1$ の時、
$\begin{array}{rcl} σ (n) & = & \sum_{k = 1}^{n} (- δ_{n, k} n - σ (n - k)) r_{k} (- 1) \\ = & \sum_{k \in Z ∖ {0}} (- 1)^{k - 1} (σ (n - \frac{k (3 k - 1)}{2}) + δ_{n, k (3 k - 1) / 2} n) \end{array}$
2行目
$x = - 3$ の時、
$\begin{array}{rcl} σ (n) & = & \sum_{k = 1}^{n} (- δ_{n, k} \frac{n}{3} - σ (n - k)) r_{k} (- 3) \\ = & \sum_{k \geq 1} (- 1)^{k - 1} (2 k + 1) (σ (n - (\binom{k + 1}{2})) + δ_{n, (\binom{k + 1}{2})} \frac{n}{3}) \end{array}$

1行目はオイラーにより証明されているそうです。 https://ja.wikipedia.org/wiki/約数関数#その他の公式

nについての特殊値

$\begin{array}{rcl} r_{0} (x) & = & 1 \\ r_{1} (x) & = & x \\ r_{2} (x) & = & \frac{1}{2} x (x + 3) \\ r_{3} (x) & = & \frac{1}{6} x (x + 1) (x + 8) \\ r_{4} (x) & = & \frac{1}{24} x (x + 1) (x + 3) (x + 14) \end{array}$