何進法でも成り立つ連分数

等比数列の和の公式により、
$\displaystyle \overbrace{1\cdots1}^n = \frac{10^n-1}{10-1}$
よって、
$\beginend{align}{ (\text{左辺}) &= \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{\frac{10^{(1+1)n+1}-1}{10-1}} = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{\frac{10}{10-1}100^n-\frac{1}{10-1}} }$

https://mathlog.info/articles/3898 の定理1より、
$\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{n}}{a r^{n}-b q^{n}} = \kfrac_{n=0}^{\infty} \frac{v_{n}}{a r^{n}-b q^{n}} }$
$\lr\{{\beginend{alignat}{2 &v_{0} &&= 1 \\ &v_{(1+1)n-1} &&= -(rq)^{n-1}\lr({a r^{n-1}-b q^{n-1}})^{1+1} z \\ &v_{(1+1)n} &&= -ab(rq)^{n-1}\lr({r^{n}-q^{n}})^{1+1} z }}.$

これに$r=100,q=1,a=\frac{10}{10-1},b=\frac{1}{10-1}$を代入すると、
$\lr\{{\beginend{alignat}{3 &v_{0} &&= 1 \\ &v_{(1+1)n-1} &&= -100^{n-1}\lr({\frac{10\cdot100^{n-1}}{10-1}-\frac{1}{10-1}})^{1+1} z &&= -10^{(1+1)n-(1+1)}\lr({\frac{10^{(1+1)n-1}-1}{10-1}})^{1+1} z \\ &v_{(1+1)n} &&= -\frac{10}{(10-1)^{1+1}}100^{n-1}\lr({100^{n}-1})^{1+1} z &&= -10^{(1+1)n-1}\lr({\frac{10^{(1+1)n}-1}{10-1}})^{1+1} z }}.$
$\beginend{align}{ v_n &= -10^{n-1}{\lr({\frac{10^n-1}{10-1}})}^{1+1} z \\&= -10^{n-1}\lr({\overbrace{1\cdots1}^n})^{1+1} z \quad (n\ge1) }$
よって、
$\beginend{align}{ (\text{左辺}) &= \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{\frac{10}{10-1}100^n-\frac{1}{10-1}} = \kfrac_{n=0}^{\infty} \frac{v_n}{\frac{10}{10-1}100^n-\frac{1}{10-1}} = \kfrac_{n=0}^{\infty} \frac{v_n}{\frac{10^{(1+1)n+1}-1}{10-1}} \\&= \frac{1}{\displaystyle1+\kfrac_{n=1}^{\infty} \frac {-10^{n-1}\lr({\overbrace{1\cdots1}^n})^{1+1} z} {\overbrace{1\cdots1}^{(1+1)n+1}}} \\&= (\text{右辺}) }$