加速級数で表せる多重ゼータ値

この記事では, 僕が新しく見つけた連結和によって, 任意の多重ゼータ値が
$$\begin{array}{r}R(\mathit{k}):=\sum _{0<n_1<\cdots <n_a}\frac{1}{{\mathit{n}}^{\mathit{k}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n_a}{n_a})}\end{array}$$という形の加速級数(以下Multiple R-value, 多重R値と呼ぶ)の線形結合で表せることを証明します. ここで, ${\mathit{n}}^{\mathit{k}}:=\prod _{i=1}^a{n}_i^{k_i}$です. 正確に定理の形で述べておきましょう.

さて, 具体例を考えて見ましょう, ${\arcsin }^{2}x$のMaclaurin級数により,
$$\begin{array}{r}\sum _{0<n}\frac{1}{n^2(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})}=\frac{{\pi }^2}{18}=\frac{1}{3}\zeta (2)\end{array}$$なので,
$$\begin{array}{r}\zeta (2)=3R(2)\end{array}$$です. さて, weight 3の許容インデックスは, $(3),(1,2)$ですが,
$$\begin{array}{r}R(3)=\sum _{0<n}\frac{1}{n^3(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})}\end{array}$$を求めるにはどうすればよいでしょうか, まず思いつくのは${\arcsin }^{2}x$のMaclaurin級数を積分することです.
$$\begin{array}{rcl}R(3)& =& \sum _{0<n}\frac{1}{n^3(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})}\\ & =& 2{\int }_0^{1/2}\sum _{0<n}\frac{2^{2n}{x}^{2n-1}}{n^2(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})}dx\\ & =& 4{\int }_0^{1/2}\frac{{\arcsin }^{2}x}{x}dx\\ & =& 4{\int }_0^{\pi /6}{x}^2\cot xdx\\ & =& -\frac{{\pi }^2}{9}\ln 2-8{\int }_0^{\pi /6}x\ln \sin xdx\end{array}$$となりますが, 最後の積分の計算がなかなか難しそうです. そこで連結和法の出番です. 以下の級数を考えてみましょう. これは双対性の連結和の記事( https://mathlog.info/articles/405 ) で考えた$Z(1;1)$です. $C(n,m):=\frac{n!m!}{(n+m)!}$とします.
$$\begin{array}{rcl}\zeta (2)& =& \sum _{0<n,m}\frac{1}{nm}C(n,m)\end{array}$$これを調和積的な方法で分解してみましょう,
$$\begin{array}{rcl}\sum _{0<n,m}\frac{1}{nm}C(n,m)& =& \sum _{0<n<m}\frac{1}{nm}C(n,m)+\sum _{0<m<n}\frac{1}{nm}C(n,m)+\sum _{0<n=m}\frac{1}{nm}C(n,m)\\ & =& \sum _{0<n}\frac{1}{n^2}C(n,n)+\sum _{0<n}\frac{1}{n^2}C(n,n)+\sum _{0<n}\frac{1}{n^2}C(n,n)\\ & =& 3\sum _{0<n}\frac{1}{n^2(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})}\end{array}$$となって, $\zeta (2)=3R(2)$が得られました.

連結和の構成

つまり, 双対性の連結和において, 調和積的なことを行うと, 多重R値が現れると考えることができます. 以上の考察をもとに連結和の形を考えてみましょう. 調和積の連結和は
$$\begin{array}{r}\sum _{\begin{array}{c}0<n_1<\cdots <n_a=r_1\\ 0<m_1<\cdots <m_b=r_1\\ r_1<\cdots <r_c\end{array}}\frac{1}{{\mathit{n}}^{{\mathit{k}}_{\downarrow }}{\mathit{m}}^{{\mathit{l}}_{\downarrow }}{\mathit{r}}^{\mathit{h}}},\sum _{\begin{array}{c}0=r_0<r_1<\cdots <r_c\\ r_c=n_1<\cdots <n_a\\ r_c=m_1<\cdots <m_b\end{array}}\frac{1}{{\mathit{n}}^{{}_{\downarrow }\mathit{k}}{\mathit{m}}^{{}_{\downarrow }\mathit{l}}{\mathit{r}}^{\mathit{h}}}\end{array}$$の2種類がありますが, (調和積の連結和の記事( https://mathlog.info/articles/393 ) を参照)この場合, 後者の連結和をもちいます. その輸送関係式は, Connectorsにもある通り,
$$\begin{array}{rcl}{Z}^{\ast }({}_{\uparrow }\mathit{k};\mathit{l};\mathit{h})& =& Z^{\ast }(\mathit{k};{}_{\uparrow }\mathit{l};\mathit{h})=Z^{\ast }(\mathit{k};\mathit{l};{\mathit{h}}_{\uparrow })\\ Z^{\ast }({}_{\leftarrow }\mathit{k};{}_{\leftarrow }\mathit{l};\mathit{h})& =& Z^{\ast }(\mathit{k};{}_{\leftarrow }\mathit{l};{\mathit{h}}_{\to })+Z^{\ast }({}_{\leftarrow }\mathit{k};\mathit{l};{\mathit{h}}_{\to })+Z^{\ast }(\mathit{k};\mathit{l};{\mathit{h}}_{\to \uparrow })\end{array}$$のようになっています. さて, 今回これをどのようにするかというと, 双対性の連結和と調和積の連結和を合体させる. つまり, 調和積の連結和に$C(n,m)$をつけるのです. すると以下のようになります.
$$\begin{array}{r}Z(\mathit{k};\mathit{l};\mathit{h}):=\sum _{\begin{array}{c}0=r_0<r_1<\cdots <r_c\\ r_c=n_1<\cdots <n_a\\ r_c=m_1<\cdots <m_b\end{array}}\frac{C(n_a,m_b)}{{\mathit{n}}^{{}_{\downarrow }\mathit{k}}{\mathit{m}}^{{}_{\downarrow }\mathit{l}}{\mathit{r}}^{\mathit{h}}}\end{array}$$さて, 合体された2つの連結和は連結している部分が違います. つまり, この連結和の輸送関係式は双対性の連結和の輸送関係式と, 調和積の輸送関係式そのままです. 具体的に書くと, この$Z(\mathit{k};\mathit{l};\mathit{h})$は
$$\begin{array}{rcl}Z({\mathit{k}}_{\to };\mathit{l};\mathit{h})& =& Z(\mathit{k};{\mathit{l}}_{\uparrow };\mathit{h})\\ Z({\mathit{k}}_{\uparrow };\mathit{l};\mathit{h})& =& Z(\mathit{k};{\mathit{l}}_{\to };\mathit{h})\\ Z({}_{\uparrow }\mathit{k};\mathit{l};\mathit{h})& =& Z(\mathit{k};{}_{\uparrow }\mathit{l};\mathit{h})=Z(\mathit{k};\mathit{l};{\mathit{h}}_{\uparrow })\\ Z({}_{\leftarrow }\mathit{k};{}_{\leftarrow }\mathit{l};\mathit{h})& =& Z(\mathit{k};{}_{\leftarrow }\mathit{l};{\mathit{h}}_{\to })+Z({}_{\leftarrow }\mathit{k};\mathit{l};{\mathit{h}}_{\to })+Z(\mathit{k};\mathit{l};{\mathit{h}}_{\to \uparrow })\end{array}$$を満たします. さて, 境界条件を見ていきましょう. 定義から,
$$\begin{array}{rcl}\zeta (\mathit{k})& =& Z({}_{\leftarrow }\mathit{k};1;\varnothing )\\ R(\mathit{h})& =& Z(1;1;\mathit{h})\end{array}$$であることが分かります. さて上の4つの輸送関係式をつかうことで$Z({}_{\leftarrow }\mathit{k};1;\varnothing )$から$Z(1;1;\mathit{h})$の形に帰着できればよいです. それは以下のようなアルゴリズムによって達成されます. $\mathit{k},\mathit{l}$の対称性から, $\mathit{l}$のdepthの方が大きくなったら$\mathit{k}$の方が常にdepthが大きいと考えて良いです.

• 輸送開始時の$\mathit{k}$は許容インデックスとする.
• $\mathit{k},\mathit{l}$のどちらかの最初の値$k_1,l_1$が2以上ならば, 3つ目の輸送関係式ををつかう.
• $\mathit{k},\mathit{l}$の最初の値$k_1,l_1$がともに1でかつ, どちらもdepth 2以上ならば, 4つ目の輸送関係式をつかう.
• $\mathit{l}$のdepthが1以下ならば, 1つ目か2つ目のつかえる方をつかう.
• $\mathit{k}=\mathit{l}=(1)$になったら終了.

という感じです. このアルゴリズムが定理1の証明を与えています.

具体例

具体例でやってみましょう. $\mathit{k}=(3)$から始めてみます. $=$の上にどの輸送関係式をつかったかを書いておきます.
$$\begin{array}{rcl}Z(1,3;1;\varnothing )& \stackrel{2}{=}& Z(1,2;1,1;\varnothing )\\ & \stackrel{4}{=}& Z(2;1,1;1)+Z(1,2;1;1)+Z(2;1;2)\\ & \stackrel{2,3}{=}& Z(1,1;2;1)+Z(1,1;1,1;1)+Z(1;1;3)\\ & \stackrel{2,4}{=}& Z(1,1;1;2)+2Z(1,1;1;1,1)+2Z(1;1;3)\\ & \stackrel{2}{=}& Z(1;2;2)+2Z(1;2;1,1)+R(3)\\ & \stackrel{3}{=}& Z(1;1;3)+2Z(1;1;1,2)+2R(3)\\ & =& 3R(3)+2R(1,2)\end{array}$$よって,
$$\begin{array}{r}\zeta (3)=3R(3)+2R(1,2)\end{array}$$が分かります. weight輸送なのでなかなか大変でしたね, これも実際に計算するときにはdepth輸送の連結和をもちいた方が速く計算できます. さて, 上の$\zeta (3)$の式のさらなる一般化としては,$$\begin{array}{r}\zeta (r)=2\sum _{i=0}^{r-3}R(\{1{\}}^i,r-i)+3R(\{1{\}}^{r-2},2)\end{array}$$というリーマンゼータ値の公式を得ることができます.(公式の名前忘れた...)

参考文献

S. Seki, Connectors, arXiv:2006.09076