文献あり

第二可算空間は可分かつLindelöf

位相空間$X$が可算開基を持つとき，$X$を第二可算空間という．

第二可算空間の各点は可算局所開基を持つ．
第二可算空間の部分空間は第二可算である．

第二可算空間の任意の開基は可算開基を含む．

$(X,\tau)$を第二可算空間とし，$\beta\subset\tau$をその可算開基とする．開基$\gamma\subset\tau$に対して，
$$ \beta_{\gamma} \coloneqq \{(B,B')\in\beta\times\beta \mid \exists\,V\in\gamma,\ B \subset V \subset B'\}$$
とおく．各$(B,B')\in\beta_{\gamma}$に対して$V_{(B,B')}\in\gamma$であって$B\subset V_{(B,B')} \subset B'$なるものを取り
$$ \gamma' \coloneqq \{V_{(B,B')}\in\gamma \mid (B,B')\in\beta_{\gamma}\}$$
とおくと，これは$\gamma$の可算部分集合であるから，あとは$\gamma'$が開基であることを示せばよい．そこで$x\in U\in\tau$とする．このとき，$\beta,\gamma$が開基であることより
\begin{align} \phantom{\leadsto\quad} &\exists\,B'\in\beta,\ x\in B' \subset U\\ \leadsto\quad &\exists\,V \in \gamma,\ x\in V \subset B' \subset U \\ \leadsto\quad &\exists\,B\in\beta,\ x\in B\subset V \subset B' \subset U\\ \leadsto\quad &\exists\,(B,B')\in\beta_{\gamma},\ x\in B \subset B'\subset U \end{align}
が成り立つので，
$$ x \in V_{(B,B')} \subset U$$
を得る．

位相空間$X$が可算稠密部分集合を持つとき，$X$を可分空間という．
位相空間$X$の任意の開被覆が可算部分被覆を持つとき，$X$をLindelöf空間という．

第二可算空間は可分かつLindelöfである．

$(X,\tau)$を第二可算空間とし，$\beta \subset \tau$をその可算開基とする．

可分性

各$B \in\beta\smallsetminus\{\varnothing\}$に対して，$x_{B}\in B$を取り
$$ D \coloneqq \{x_{B} \in X \mid B\in\beta\smallsetminus\{\varnothing\}\}$$
とおく．

明らかに$D$は可算集合である．
$U\in\tau\smallsetminus\{\varnothing\}$とし，$x\in U$を取る．このとき，$B\in\beta$であって$x\in B\subset U$なるものが存在するので，
$$ x_{B} \in B \cap D \subset U \cap D \neq \varnothing$$
が成り立つ．

Lindelöf性

$\gamma \subset \tau$を$X$の開被覆とする．このとき，
$$ \beta_{\gamma} \coloneqq \{B \in \beta \mid \exists\,U\in\gamma,\ B \subset U\}$$
とおくと，$\bigcup \beta_{\gamma} = X$が成り立つ：実際，$x \in X$とすると，$U \in \gamma$であって$x\in U$なるものが存在するので，$\beta$が開基であることより
$$ \exists\,B\in\beta,\ x \in B \subset U \quad\leadsto\quad x \in B \in \beta_{\gamma}$$
が成り立つ．さて，各$B\in\beta_{\gamma}$に対して，$U_{B}\in\gamma$であって$B \subset U_{B}$なるものを取ると，
$$ \{U_{B}\in\gamma \mid B\in\beta_{\gamma}\}$$
は$\gamma$の可算部分被覆である．

逆は必ずしも成り立たない：

Sorgenfrey直線

集合$\mathbb{R}$に
$$ \beta_{l}\coloneqq\{[a,b[\, \subset\mathbb{R} \mid a,b \in \mathbb{R},\ a< b\}$$
を基底とする位相を入れたものをSorgenfrey直線といい$\mathbb{R}_{l}$で表わす．Sorgenfrey直線$\mathbb{R}_{l}$は第二可算でない可分Lindelöf空間である．

$\mathbb{R}$にEuclid位相を入れたものを$\mathbb{R}_{e}$で表わすと，$\mathbb{R}_{e}$は可算開基
$$ \{\,]q,r[\, \mid q,r \in \mathbb{Q},\ q< r\}$$
を持つので，第二可算空間である．とくにその任意の部分空間は第二可算，したがってLindelöfである．
任意の$a,b\in\mathbb{R},\,a< b,\,$に対して
$$ ]a,b[\,= \bigcup_{n=1}^{\infty} \left[a+\frac{1}{n},b\right[$$
が成り立つ．よって，写像$\id_{\mathbb{R}} \colon \mathbb{R}_{l}\to\mathbb{R}_{e}$は連続全単射なので，$\mathbb{R}_{l}$はコンパクトでないHausdorff空間である．
各$x\in\mathbb{R}_{l}$に対して，
$$ \{[x,x+n^{-1}[\;\mid n \in \mathbb{Z}_{\geq 1}\}$$
は$x$の可算局所開基である．よって$\mathbb{R}_{l}$は第一可算空間である．

第二可算でないこと

$\beta\subset\tau(\mathbb{R}_{l})$を開基とする．このとき，各$x\in\mathbb{R}$に対して，$B_{x}\in\beta$であって
$$ x\in B_{x} \subset [x,x+1[ \quad\leadsto\quad \min B_{x}=x$$
なるものが存在する．よって，写像
$$ \mathbb{R}\to\beta;\ x \mapsto B_{x}$$
は単射である．

可分であること

$\mathbb{Q}\subset \mathbb{R}_{l}$は可算稠密部分集合である．

Lindelöfであること

$\gamma\subset\tau(\mathbb{R}_{l})$を開被覆とする．各$x\in\mathbb{R}_{l}$に対して，位相の定め方より，$b_{x}\in\mathbb{R},U\in\gamma$であって
$$ I_{x} \coloneqq [x,b_{x}[\,\subset U$$
なるものが存在する．したがって開被覆$\{I_{x}\in\beta_{l} \mid x\in\mathbb{R}_{l}\}$は$\gamma$の細分であるから，前者が可算部分被覆を持てば$\gamma$も可算部分被覆を持つ．よって，初めから$\gamma\subset\beta_{l}$としてよい．さて，各$I=[a,b[\,\in\gamma$に対して$I' \coloneqq \,]a,b[\,\in\tau(\mathbb{R}_{e})$とおくと，
$$ X \coloneqq \mathbb{R}_{l}\smallsetminus\bigcup\{I' \mid I\in\gamma\}$$
は可算集合である：実際，任意の$x\in X$に対して$I_{x}\in\gamma$が成り立つことから
$$ x,y\in X,\ x \neq y \implies I_{x}'\cap I_{y}' \subset I_{x} \cap I_{y} = \varnothing$$
が成り立ち，したがって$\mathbb{R}_{e}$の開集合$I_{x}',\,x\in X,\,$は互いに交わらないので，$\mathbb{R}_{e}$の第二可算性より結論を得る．また，$\mathbb{R}_{e}$の部分空間$\bigcup\{I'\mid I\in\gamma\}$のLindelöf性より，可算集合$\xi\subset\gamma$であって
$$ \bigcup\{I'\mid I\in\gamma\} = \bigcup\{I' \mid I\in\xi\}$$
なるものが存在する．以上より，
$$ \xi \cup \{I_{x}\mid x\in X\} \subset \gamma$$
が可算部分被覆を与える．

Lindelöfでない可分空間

Lindelöf空間の閉部分空間はLindelöfである．
Lindelöf空間の直積はLindelöfとは限らない：実際，$\mathbb{R}_{l}\times\mathbb{R}_{l}$の閉部分空間
$$ \{(x,-x) \in \mathbb{R}_{l}\times\mathbb{R}_{l} \mid x \in \mathbb{R}\smallsetminus\mathbb{Q}\}$$
は非可算離散空間ゆえLindelöfではないので，[1]より，$\mathbb{R}_{l}\times\mathbb{R}_{l}$はLindelöfではない．
一方，$\mathbb{R}_{l}\times\mathbb{R}_{l}$は可分ではあるので，可分性はLindelöf性を含意しないことがわかる．

可分でないLindelöf空間（cf. Dan Ma's Topology Blog ）

$X$を非可算集合とし，$X^{+}\coloneqq X\cup\{\infty\},\,\infty\notin X,\,$とおく．このとき，フィルター基族$\mathcal{L}\colon X^{+}\to\mathsf{Filter}_{0}(X^{+})$を
$$ \mathcal{L}(x) \coloneqq \begin{dcases} \{\{x\}\} & x\in X \\[3pt] \{X^{+}\smallsetminus C \mid C\subset X:\text{countable}\} & x = \infty \end{dcases}$$
で定めることができるが，これは局所基底族になっている（cf. top定義16）：実際，

任意の$x\in X^{+}$に対して，$\mathcal{L}(x) \subset \gen{x}_{\in}$が成り立つ．
1. 任意の$x\in X$に対して，
  $$ \{x\} \in \gen{\mathcal{L}(x)}_{\subset} \quad\leadsto\quad \{x\} \subset \Int_{\gen{\mathcal{L}}}(\{x\})$$
  が成り立つ．
2. 任意の$U\coloneqq X^{+}\smallsetminus C\in\mathcal{L}(\infty)$に対して，
  $$ \forall x\in U,\ U \in \gen{\mathcal{L}(x)}_{\subset} \quad\leadsto\quad U \subset \Int_{\gen{\mathcal{L}}}(U)$$
  が成り立つ．

よって，$\mathcal{L}$を局所開基族とするような$X^{+}$上の位相$\tau$が定まる．

位相の定め方より$X^{+}$の任意の可算部分集合は閉集合であるから，$X^{+}$は可分ではない：
$$ \#X^{+}>\aleph_{0} \quad\leadsto\quad \forall\,C\subset X^{+}:\text{countable},\ \cl(C)=C \neq X^{+}.$$
$\gamma\subset\tau$を開被覆とする．このとき，$U_{\infty}\in\gamma$と可算部分集合$C \subset X$とであって$X^{+}\smallsetminus C\subset U_{\infty}$なるものが存在する．そこで，各$c\in C$に対して$U_{c}\in\gamma$であって$c \in U_{c}$なるものを取れば，
$$ \{U_{c} \mid c \in C\} \cup \{U_{\infty}\}$$
が$\gamma$の可算部分被覆を与える．よって$X^{+}$はLindelöfである．

距離（化可能）空間について，第二可算性，可分性，Lindelöf性は互いに同値である．

$(X,d)$を距離空間とする．

可分$\implies$第二可算

可算稠密集合$D \subset X$を取り
$$ \beta\coloneqq \{\mathbb{B}(a;q) \mid a\in D,\ q \in \mathbb{Q}_{>0}\}$$
とおくと，これは可算集合なので，あとは$\beta$が開基であることを示せば十分である．そこで，$x\in U \in \tau(d)$とする．このとき，$q\in\mathbb{Q}$であって$\mathbb{B}(x;2q) \subset U$なるものが存在する．また，$D\subset X$の稠密性より，$a \in D$であって$a\in\mathbb{B}(x;q)$なるものが取れる．したがって，
$$ y\in\mathbb{B}(a;q) \implies d(y,x) \leq d(y,a)+d(a,x) < q+q=2q$$
より，
$$ x \in \mathbb{B}(a;q) \subset \mathbb{B}(x;2q) \subset U$$
が成り立つ．

Lindelöf$\implies$第二可算

各$n\in\mathbb{Z}_{\geq 1}$に対して，開被覆$\{\mathbb{B}(x;n^{-1}) \mid x \in X\}$は可算部分被覆$\beta_{n}$を持つ．そこで，$\beta \coloneqq \bigcup_{n} \beta_{n}$とおけば，これが$X$の可算開基を与える：実際，任意の$\mathbb{B}(x;r)\in\tau(d)$に対して，$n\in\mathbb{Z}_{\geq 1}$であって$2/n< r$なるものを取れば，
$$ x \in \prescript{\exists}{}{\mathbb{B}(x_{n};n^{-1})}\in \beta_{n} \quad\leadsto\quad y\in\mathbb{B}(x_{n};n^{-1}) \implies d(y,x) \leq d(y,x_{n})+d(x_{n},x) < \frac{1}{n}+\frac{1}{n}< r$$
より，
$$ x\in \mathbb{B}(x_{n};n^{-1}) \subset \mathbb{B}(x;r)$$
が成り立つ．