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大学数学基礎解説
文献あり

位相の定め方

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Xを集合とする.開集合系を基準として,閉集合系,位相的開核作用素,位相的閉包作用素,近傍系族,位相的収束関係,などがそれぞれ1対1に対応することを示す:
Nbd(X)Closed(X)Open(X)monotoneTopConv(X)TopInt(X)antitoneBdry(X)TopCl(X)Der(X)

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開集合系

OP(P(X))について

  1. ,XO;
  2. U,VOUVO;
  3. UOUO;

が成り立つとき,OX開集合系,位相などという.Xの開集合系全体のなす集合をOpen(X)で表わす.

開集合系OOpen(X)との組(X,O)位相空間という.

BP(P(X))について

  1. B=X;
  2. B,BB, xBB, BB, xBBB;

が成り立つとき,BX上の基底という.X上の基底全体のなす集合をBase(X)で表わす.

Xの開集合系はX上の基底である.

BP(P(X))が条件(2)を満たすとき,B{X}X上の基底である.

SP(X)に対して
S:={iISi| I:finite, SiS}
とおくと,これはSを含むX上の基底である.

位相的開核作用素

写像I:P(X)P(X)について

  1. I(X)=X;
  2. I(A)A;
  3. II=I;
  4. I(AB)=I(A)I(B);

が成り立つとき,I位相的開核作用素という.位相的開核作用素全体のなす集合をTopInt(X)で表わす.また,開核作用素P(X)P(X)全体のなす集合をInt(X)で表わす.

Int(X)上の順序を
II:AP(X), I(A)I(A)
により定める.

TopInt(X)Int(X)が成り立つ.

ITopInt(X)とする.Iの単調性を示せばよい.そこでABとすると,
I(A)=I(AB)=I(A)I(B)I(B)
が成り立つ.

基底BBase(X)に対して,写像IntB:P(X)P(X)
IntB(A):={BBBA}
で定めると,これは位相的開核作用素である.

  1. IntB(X)=B=Xが成り立つ.
  2. IntB(A)Aは明らか.
  3. xIntB(A)とすると,BBであってxBAを満たすものが存在する.このときBIntB(A)であるから,xBIntB(IntB(A))を得る.
  4. A,AP(X)とすると,{BBBAA}{BBBA}であるから,IntB(AA)IntB(A)が成り立つ.同様にIntB(AA)I(A)も成り立つ.よって
    IntB(AA)IntB(A)IntB(A)
    が成り立つ.逆にxIntB(A)IntB(A)とすると,B,BBであって
    xBA, xBA
    を満たすものが存在する.したがってBBであって
    xBBBAA
    を満たすものが存在するので,xIntB(AA)が成り立つ.

位相的開核作用素ITopInt(X)に対して,
OI:={UXI(U)=U}
とおくと,これはXの開集合系である.

  1. I()よりOIを得る.XOIは明らか.
  2. U,VOIとすると,
    I(UV)=I(U)I(V)=UV
    より,UVOIが成り立つ.
  3. UOIとし,xUとする.このときUUであってxUなるものが存在するので,
    xU=I(U)I(U)
    が成り立つ.よって
    UI(U)U
    となるので,UOIを得る.

写像λ:Base(X)TopInt(X):ρ
λ(B):=IntB; ρ(I):=OI
で定めると,(λ,ρ)はGalois随伴である.

  1. λ(B)Iとする.このとき任意のBBに対して,
    BIntB(B)I(B)B
    よりI(B)=Bが成り立つので,Bρ(I)を得る.よってBρ(I)が成り立つ.
  2. Bρ(I)とする.このとき,任意のAP(X)に対して
    IntB(A)={BBBA}={BBB=I(B)I(A)}I(A)
    が成り立つので,λ(B)Iを得る.

先に見たように,

ρ(λ(Base(X)))Open(X)が成り立つ.

Open(X)Base(X)ρλが成り立つ.

OOpen(X)とする.

  1. Oρ(λ(O))は明らか.
  2. Uρ(λ(O))とすると,
    U=λ(O)(U)={VOVU}O
    が成り立つ.

TopInt(X)TopInt(X)λρが成り立つ.

ITopInt(X)とする.

  1. λ(ρ(I))Iは明らか.
  2. AP(X)とする.このときI(I(A))=I(A)よりI(A)ρ(I)であるから,I(A)Aと合わせて
    I(A){Uρ(I)UA}=λ(ρ(I))(A)
    を得る.よってIλ(ρ(I))が成り立つ.

以上より,単調Galois対応
λρ:Open(X)TopInt(X):ρλ
を得る:
IntO(A)=λρ(O)(A)={UOUA},ρλ(I)={UP(X)I(U)=U}.

近傍系族

FP(X)について,

  1. F;
  2. XF;
  3. F,FFFFF;
  4. FF, FFXFF;

が成り立つとき,FX上のフィルターという.X上のフィルター全体のなす集合をFilter(X)で表わす.

写像集合Filter(X)X上の順序を
uv:xX, u(x)v(x)
により定める.

xXに対して
x:={AP(X)xA}Filter(X)
とおく.

uFilter(X)Xとする.各AXに対して
Intu(A):={xXAu(x)}
とおく.

uFilter(X)Xとする.このとき,任意のA,BP(X)に対して
xIntu(AB)ABu(x)A,Bu(x)xIntu(A)Intu(B)
が成り立つ.したがってとくにIntuは単調である.

フィルター族NFilter(X)Xについて

  1. xX, N(x)x;
  2. xX, NN(x), IntN(N)N(x);

が成り立つとき,NX上の近傍系族,近傍フィルター族などという.X上の近傍系族全体のなす集合をNbd(X)で表わす.

galois-cnctの例24において,Galois随伴ν:Base(X)Filter(X)X:τが存在し,これから単調Galois対応ντ:Open(X)Nbd(X):τνが定まることを見た:
NO(x):=ντ(O)(x)={NP(X)UO, xUN},τν(N)={UP(X)xU, UN(x)}.

このGalois対応によってONとが対応しているとき,任意のAP(X)に対して
xIntN(A)AN(x)=NO(x)UO, xUAx{UOUA}=IntO(A)
が成り立つ.よってIntN=IntOを得る.

開基と準開基

OOpen(X)とする.

  • Open(X)=τ(ν(Base(X)))より,基底BBase(X)であってO=τ(ν(B))なるものが存在する.とくにBOが成り立つ.
  • BOなる基底BBase(X)に対して
    O=τ(ν(B))Oτ(ν(B))UO, Uτ(ν(B))UO, xU, Uν(B)(x)UO, xU, BB, xBU
    が成り立つ.

(X,O)を位相空間とする.BOについて
UO, xU, BB, xBU
が成り立つとき,Bを位相空間(X,O)開基という.

位相空間(X,O)の開基BOX上の基底である.したがってO=τ(ν(B))が成り立つ.

  1. XOであるから,任意のxXに対してBBであってxBXを満たすものが存在する.よってB=Xが成り立つ.
  2. B,BBO,xBBとすると,BBOより,BBであってxBBBを満たすものが存在する.

(X,O)を位相空間とする.開基BOであって#B0を満たすものが存在するとき,(X,O)第2可算空間という.

(X,O)を位相空間とする.SOであってSOが開基となるものを,位相空間(X,O)準開基という.

SP(P(X))に対して,O:=τ(ν(S))Sによって生成される位相という:
UOxU, S1,,SnS, xi=1nSiU.

基本近傍系と局所開基

F0P(X)について,

  1. F0;
  2. F0;
  3. F0,F0F0, F0F0, F0F0F0;

が成り立つとき,F0X上のフィルター基という.X上のフィルター基全体のなす集合をFilter0(X)で表わす.

フィルター基F0Filter0(X)に対して
F0:={FP(X)F0F0, F0F}
とおくと,これはX上のフィルターである.F0F0によって生成されるフィルターという.

  1. F0は明らか.
  2. F0F0に対してF0Xが成り立つので,XF0を得る.
  3. F,FF0とする.このときF0,F0,F0F0であって
    F0F0F0FF
    なるものが存在するので,FFF0が成り立つ.
  4. FF0,FGXGF0は明らか.

基本近傍系

フィルター基族N0Filter0(X)Xについて
N0:=[xN0(x)]Nbd(X)
が成り立つとき,N0X上の近傍基族という.X上の近傍基族全体のなす集合をNbd0(X)で表わす.

N0Filter0(X)Xとする.このとき次は同値である:

  1. N0X上の近傍基族である;
  2. 以下の2条件が成り立つ:
    1. xX, N0(x)x;
    2. xX, N0N0(x), N0N0(x), N0IntN0(N0).

N:=N0とおく:
N(x)=N0(x)={NP(X)N0N0(x), N0N}.

(i)(ii)

xXとする.

  1. N0(x)N(x)xが成り立つ.
  2. N0N0(x)とする.このときIntN(N0)N(x)=N0(x)に対して,N0N0(x)であってN0IntN(N0)なるものが存在する.

(ii)(i)

xXとする.

  1. 任意のNN(x)に対して,xN0N0(x)Nが成り立つ.
  2. NN(x)とし,N0NなるN0N0(x)を取る.このときN0N0(x)であってN0IntN(N0)を満たすものが存在する.よって
    N0IntN(N0)IntN(N)
    より,IntN(N)N0(x)=N(x)が成り立つ.

X上の近傍基族N0Nbd0(X)に対して,Xの開集合系
τν(N0)={UP(X)xU, N0N0(x), N0U}
が定まる.

(X,O)を位相空間とする.近傍基族N0Nbd0(X)であってN0=ντ(O)となるものを,位相空間(X,O)基本近傍系族という.

(X,O)を位相空間とする.フィルター基族N0Filter0(X)X(X,O)の基本近傍系族であるためには

  1. xX, N0(x)ντ(O)(x);
  2. xX, Nντ(O)(x), N0N0(x), N0N;

が成り立つことが必要かつ十分である.

条件(1)はN0ντ(O)と同値であり,条件(2)はντ(O)N0を書き下したものであることに注意すればよい.

局所開基

フィルター基族LFilter0(X)Xについて

  1. xX, L(x)x;
  2. xX, UL(x), UIntL(U);

が成り立つとき,LX上の局所基底族という.X上の局所基底族全体のなす集合をLBase(X)で表わす.

上の補題より,局所基底族Lは近傍基族である.

局所基底族LLBase(X)に対して
BL:=xXL(x)
とおくと,これはX上の基底である.

  1. 任意のxXに対して,BL(x)を取ればxBBLが成り立つので,BLXの被覆である.
  2. B,BBLとしxBBとする.このとき
    xBBIntL(B)IntL(B)=IntL(BB)
    よりBBL(x)=L(x)となるので,BL(x)BLであって
    xBBB
    を満たすものが存在する.

局所基底族LLBase(X)に対して
ν(BL)=LNbd(X)
が成り立つ.

xXとする.

  1. Nν(BL)(x)とする.このときBBLであってxBNなるものが存在する.さらにxBIntL(B)よりBL(x)となるので,BL(x)であってBBNを満たすものが存在する.よってNL(x)=L(x)が成り立つ.
  2. NL(x)とすると,BL(x)BLであってxBNなるものが存在するので,Nν(BL)(x)が成り立つ.

局所基底族LLBase(X)に対して,基底BLは位相空間(X,τν(L))の開基である:
τν(ν(BL))=τν(L)={UP(X)xU, BL(x), BU}.

(X,O)を位相空間とする.局所基底族LLBase(X)であってτν(L)=Oとなるもの,すなわちBL(X,O)の開基となるものを,位相空間(X,O)局所開基族という.

L(X,O)の局所開基族であるとき,Lは近傍基族であってL=ντ(τν(L))=ντ(O)が成り立つので,L(X,O)の基本近傍系族である.

(X,O)を位相空間とする.フィルター基族LFilter0(X)X(X,O)の局所開基族であるためには

  1. xX, L(x)x;
  2. xX, L(x)O;
  3. UO, xU, BL(x), BU;

が成り立つことが必要かつ十分である.

(1),(2),(3)が成り立つとするとLは局所基底族である.あとは条件(2)がBLOと,したがってτν(L)Oと同値であり,条件(3)はOτν(L)を書き下したものであることに注意すればよい.

位相空間(X,O)の開基Bに対して,
LB:=[xBx:={UBxU}]
(X,O)の局所開基族である.

位相空間(X,O)の基本近傍系族N0に対して,
LN0:=[x{IntO(N0)N0N0(x)}]
(X,O)の局所開基族である.

(X,O)を位相空間とする.基本近傍系族MLBase(X)Nbd0(X)=Nbd0(X)であって
xX, #M(x)0
を満たすものが存在するとき,(X,O)第1可算空間という.

第2可算空間は第1可算空間である.

位相的収束関係

2項関係ξX×Filter(X)に対して,写像limξ:Filter(X)P(X)
limξ(F):={xX(x,F)ξ}
で定める.limξが単調であって,任意のxXに対してxlimξ(x)が成り立つとき,ξX上の収束関係という.X上の収束関係全体のなす集合をConv(X)で表わす.

開集合系OOpen(X)に対して
ξO:={(x,F)X×Filter(X)NO(x)F}
とおくと,これはX上の収束関係である.

  1. F,FFilter(X),FFとする.このとき任意のxXに対して
    xlimξO(F)(x,F)ξONO(x)FNO(x)F(x,F)ξOxlimξO(F)
    が成り立つので,limξOは単調である.
  2. 任意のxXに対して,NO(x)xより,(x,x)ξOすなわちxlimξO(x)が成り立つ.

収束関係ξOOOpen(X)から定まる位相的収束関係という.位相的収束関係全体のなす集合をTopConv(X)で表わす:
TopConv(X):={ξConv(X)OOpen(X), ξ=ξO}.

2項関係
{(A,(x,F))P(X)×(X×Filter(X))xAAF}
から定まるGalois接続γ:P(P(X))P(X×Filter(X)):δを考える(primer Ex.21):
γ(A)={(x,F)X×Filter(X)AA, xAAF},δ(ζ)={AP(X)(x,F)ζ, xAAF}.

δ(γ(P(P(X))))Open(X)が成り立つ.

AP(P(X))とし,ζ:=γ(A)とおく.

  1. ,Xδ(ζ)は明らか.
  2. U,Vδ(ζ)とし,(x,F)ζとする.このときxUVならば,U,VFしたがってUVFとなる.よってUVδ(ζ)が成り立つ.
  3. Uδ(ζ)とし,(x,F)ζとする.このとき,xUとすると,UUであってxUなるものが存在し,したがって
    UF, UU
    よりUFを得る.よってUδ(ζ)が成り立つ.

Open(X)P(P(X))δγが成り立つ.

OOpen(X)とする.

  1. Oδ(γ(O))は明らか.
  2. Uδ(γ(O))とする.このとき,各xUに対して,(x,NO(x))γ(O)およびxUより,UNO(x)が成り立つので,V(x)OであってxV(x)Uなるものが存在する.よって
    U={V(x)OxU}O
    が成り立つ.

γ(δ(P(X×Filter(X))))TopConv(X)が成り立つ.

ζP(X×Filter(X))とし,O:=δ(ζ)δ(P(X×Filter(X)))=Open(X)とおく.

  1. (x,F)γ(O)とし,NNO(x)とする.このときUOであってxUNなるものが存在する.よって
    UF, UN
    よりNFが成り立つ.
  2. NO(x)Fとすると,任意のUOに対して
    xUUNO(x)F
    が成り立つので,(x,F)γ(O)を得る.

以上より
γ(δ(ζ))={(x,F)X×Filter(X)NO(x)F}TopConv(X)
が成り立つ.

TopConv(X)P(X×Filter(X))γδが成り立つ.

ξ=ξOTopConv(X)とする.

  1. ξγ(δ(ξ))は明らか.
  2. (x,F)γ(δ(ξ))とする.このときNO(x)Fが成り立つことを示せばよい.そこでNNO(x)とすると,UOであってxUNなるものが存在する.いま,任意の(y,G)ξ=ξOに対して
    yUUNO(y)G
    が成り立つので,Uδ(ξ)を得る.よってxUと合わせてUFとなるので,
    UFFilter(X), UN
    よりNFが成り立つ.

以上より,反単調Galois対応γδ:Open(X)TopConv(X):δγを得る:
γδ(O)={(x,F)X×Filter(X)UO, xUUF}={(x,F)X×Filter(X)NO(x)F}=ξO,δγ(ξO)=O.

閉集合系

CP(P(X))について

  1. ,XC;
  2. C,CCCCC;
  3. CCCC;

が成り立つとき,CX閉集合系という.Xの閉集合系全体のなす集合をClosed(X)で表わす.

開集合系OOpen(X)に対して
λ(O):=CO:={XUP(X)UO}
Xの閉集合系であり,閉集合系CClosed(X)に対して
ρ(C):=OC:={XCP(X)CC}
Xの開集合系である.また,
λ(O)CUO, CC, XU=CUO, CC, U=XCOρ(C)
より,λ:Open(X)Closed(X):ρはGalois随伴であり,明らかに
ρ(λ(O))=O, λ(ρ(C))=C
が成り立つ.

位相的閉包作用素

写像Cl:P(X)P(X)について

  1. Cl()=;
  2. ACl(A);
  3. ClCl=Cl;
  4. Cl(AB)=Cl(A)Cl(B);

が成り立つとき,Cl位相的閉包作用素という.位相的閉包作用素全体のなす集合をTopCl(X)で表わす.また,閉包作用素P(X)P(X)全体のなす集合をCl(X)で表わす.

Cl(X)上の順序を
ClCl:AP(X), Cl(A)Cl(A)
により定める.

TopCl(X)Cl(X)が成り立つ.

ClTopCl(X)とする.Clの単調性を示せばよい.そこでABとすると,
Cl(A)Cl(A)Cl(B)=Cl(AB)=Cl(B)
が成り立つ.

位相的開核作用素IntTopInt(X)に対して,写像ClInt:P(X)P(X)
ClInt(A):=XInt(XA)
で定めると,これは位相的閉包作用素である.

  1. ClInt()=XInt(X)=が成り立つ.
  2. Int(XA)XAよりAClInt(A)が成り立つ.
  3. 任意のAP(X)に対して
    ClInt(ClInt(A))=XInt(XClInt(A))=XInt(X(XInt(XA)))=XInt(Int(XA))=XInt(XA)=ClInt(A)
    が成り立つ.
  4. 任意のA,AP(X)に対して
    ClInt(AA)=XInt(X(AA))=XInt((XA)(XA))=X(Int(XA)Int(XA))=(XInt(XA))(XInt(XA))=ClInt(A)ClInt(A)
    が成り立つ.

同様に次が成り立つ:

位相的閉包作用素ClTopCl(X)に対して,写像IntCl:P(X)P(X)
IntCl(A):=XCl(XA)
で定めると,これは位相的開核作用素である.

写像γ:TopInt(X)TopCl(X):δ
γ(Int):=ClInt; δ(Cl):=IntCl
で定めると,(γ,δ)はGalois接続である.

  1. Clγ(Int)とする.このとき任意のAP(X)に対して,
    Cl(XA)ClInt(XA)=XInt(A)
    より,
    Int(A)XCl(XA)=IntCl(A)
    が成り立つ.よってIntδ(Cl)を得る.
  2. 同様にしてIntδ(Cl)Clγ(Int)も成り立つ.

明らかにδγ=id,γδ=idが成り立つので,(γ,δ)は反単調Galois対応である.

OOpen(X)に対してClO:=ClIntOTopCl(X)とおくと,
ClO(A)=XIntO(XA)=X{UOUXA}={XUP(X)UO, UXA}={XUP(X)UO, AXU}={CCOAC}
が成り立つ.また,
xClO(A)xIntO(XA)UO, xUUXAUOx, UANNO(x), NA
が成り立つ.さらに,
CO={XUP(X)UO}={XUP(X)IntO(U)=U}={XUP(X)XU=ClO(XU)}={CP(X)C=ClO(C)}
が成り立つ.

境界作用素

写像β:P(X)P(X)について

  1. β()=;
  2. β(A)=β(XA);
  3. β(β(A))β(A);
  4. ABβ(AB)=AB(β(A)β(B));

が成り立つとき,β境界作用素という.境界作用素全体のなす集合をBdry(X)で表わす.

βBdry(X)とする.このとき写像Clβ:P(X)P(X)
Clβ(A):=Aβ(A)
で定めると,これは位相的閉包作用素である.

  1. Clβ()=は明らか.
  2. AClβ(A)も明らか.
  3. まづ
    β(Aβ(A))(Aβ(A))=(X(Aβ(A)))β(X(Aβ(A)))=(XA)(Xβ(A))β((XA)(Xβ(A)))=(XA)(Xβ(A))(β(XA)β(Xβ(A)))=(X(Aβ(A)))(β(A)β(β(A)))(Xβ(A))β(A)=
    より
    β(Aβ(A))Aβ(A)
    が成り立つ.したがって
    Clβ(Clβ(A))=Clβ(Aβ(A))=(Aβ(A))β(Aβ(A))=Aβ(A)=Clβ(A)
    が成り立つ.
  4. (XA)(XB)β((XA)(XB))=(XA)(XB)(β(XA)β(XB))
    より
    β(AB)(AB)=(β(A)β(B))(AB)
    が成り立つので,
    Clβ(AB)=(AB)β(AB)=(AB)(β(AB)(AB))=(AB)((β(A)β(B))(AB))=(AB)(β(A)β(B))=(Aβ(A))(Bβ(B))=Clβ(A)Clβ(B)
    を得る.

Cl=ClOTopCl(X)とする.このとき写像βO:P(X)P(X)
βO(A):=ClO(A)ClO(XA)
で定めると,これは境界作用素である.

  1. βO()=ClO()ClO(X)=.
  2. βO(A)=ClO(XA)ClO(X(XA))=βO(XA).
  3. βO(βO(A))ClO(βO(A))=ClO(ClO(A)ClO(XA))ClO(ClO(A))ClO(ClO(XA))=ClO(A)ClO(XA)=βO(A).
  4. ABβO(AB)=ABClO(AB)ClO(X(AB))=ABClO((XA)(XB))=AB(ClO(XA)ClO(XB))=(ABClO(XA))(ABClO(XB))=(ABClO(A)ClO(XA))(ABClO(B)ClO(XB))=(ABβO(A))(ABβO(B))=AB(βO(A)βO(B)).

βClβClOβOとは互いの逆写像である.

βClββ

ClβTopCl(X)よりOOpen(X)であってClβ=ClOなるものが存在する.このときAP(X)に対して,
βO(A)=ClO(A)ClO(XA)=Clβ(A)Clβ(XA)=(Aβ(A))((XA)β(XA))=(Aβ(A))((XA)β(A))=(A(XA))β(A)=β(A)=β(A)
が成り立つ.

ClOβOClO

任意のAP(X)に対して,
ClβO(A)=AβO(A)=A(ClO(A)ClO(XA))=ClO(A)(AClO(XA))=ClO(A)X=ClO(A)
が成り立つ.

βBdry(X)に対して次が成り立つ:

  1. β(AB)=Clβ(AB)Clβ(X(AB))=(Clβ(A)Clβ(B))Clβ((XA)(XB))(Clβ(A)Clβ(B))(Clβ(XA)Clβ(XB))(Clβ(A)Clβ(XA))(Clβ(B)Clβ(XB))=β(A)β(B).
  2. ABβ(A)Clβ(A)Clβ(B)=Bβ(B).

逆に,写像β:P(X)P(X)

  1. β()=;
  2. β(A)=β(XA);
  3. β(β(A))β(A);
  4. β(AB)β(A)β(B);
  5. ABβ(A)Bβ(B);

を満たしているとき,Clβ(A):=Aβ(A)とおくと,

  1. Clβ()=;
  2. Clβ(A)=Clβ(XA);
  3. Clβ(Clβ(A))=Clβ(Aβ(A))=(Aβ(A))β(Aβ(A))(Aβ(A))(β(A)β(β(A)))=Aβ(A)=Clβ(A);
  4. β(AB)β(A)β(B)(AB)β(AB)
    より
    Clβ(AB)=(AB)β(AB)=(Aβ(A))(Bβ(B))=Clβ(A)Clβ(B)
    が成り立つ.

よってClβTopCl(X)であるからβBdry(X)であってClβ=Clβを満たすものが存在する.したがって
β(A)=Clβ(A)Clβ(XA)=Clβ(A)Clβ(XA)=β(A)
より,β=βBdry(X)が成り立つ.

OOpen(X)とする.このとき
ACOA=ClO(A)A=AβO(A)βO(A)A
が成り立つ.したがって
AOXACOβO(XA)XAβO(A)XAβO(A)A=
が成り立つ.また,
IntO(A)=XClO(XA)=X((XA)βO(XA))=A(XβO(A))=AβO(A)
が成り立つ.とくにIntO(A)βO(A)=である.さらに
βO(A)=ClO(A)ClO(XA)=ClO(A)(XIntO(A))=ClO(A)IntO(A),ClO(A)=AβO(A)=(AβO(A))βO(A)=IntO(A)βO(A),
が成り立つ.

β=βOBdry(X)とする.このとき次が成り立つ:

  1. X=Int(A)β(A)Int(XA);
  2. β(A)C;
  3. AOCβ(A)=;
  4. UOInt(β(U))=;
  5. β(β(β(A)))=β(β(A)).
  1. X=Cl(A)(XCl(A))=Int(A)β(A)Int(XA).
  2. Cl(β(A))=β(A)β(β(A))=β(A).
    1. AOCのとき,
      β(A)=Cl(A)Int(A)=AA=
      が成り立つ.
    2. β(A)=のとき,
      A=Aβ(A)=Int(A)O,
      および
      A=Aβ(A)=Cl(A)C
      が成り立つ.
  3. UOのとき,
    Int(β(U))Uβ(U)Int(U)=
    より
    Int(β(U))Cl(U)=
    となるので,
    Int(β(U))=Int(β(U))β(U)Int(β(U))Cl(U)=
    が成り立つ.
  4. β(A)CよりXβ(A)Oであるから
    Int(β(β(A)))=Int(β(Xβ(A)))=
    となる.よって
    β(β(β(A)))=Cl(β(β(A)))Int(β(β(A)))=β(β(A))
    が成り立つ.

導作用素

写像D:P(X)P(X)について

  1. D()=;
  2. D(D(A))AD(A);
  3. D(AB)=D(A)D(B);
  4. xD({x});

が成り立つとき,D導作用素という.導作用素全体のなす集合をDer(X)で表わす.

DDer(X)とする.このとき写像ClD:P(X)P(X)
ClD(A):=AD(A)
で定めると,これは位相的閉包作用素である.

  1. ClD()=D()=が成り立つ.
  2. AClD(A)は明らか.
  3. D(AD(A))=D(A)D(D(A))AD(A)
    より,
    ClD(ClD(A))=ClD(AD(A))=(AD(A))D(AD(A))=AD(A)=ClD(A)
    が成り立つ.
  4. ClD(AB)=(AB)D(AB)=(AB)(D(A)D(B))=(AD(A))(BD(B))=ClD(A)ClD(B)
    が成り立つ.

Cl=ClOTopCl(X)とする.このとき写像DO:P(X)P(X)
DO(A):={xXxClO(A{x})}
で定めると,これは導作用素である.

  1. DO()=は明らか.
  2. xDO(DO(A))Aとする.このときxDO(A)が成り立つことを示せばよい.いまxClO(DO(A){x})より
    UOx, U(DO(A){x})
    が成り立つ.そこでUOxとしyU(DO(A){x})を取ると
    UOy, yDO(A)
    より
    U(A{y})UA=U(A{x})
    が成り立つ.よってxClO(A{x})すなわちxDO(A)を得る.
  3. ClO((AB){x})=ClO((A{x})(B{x}))=ClO(A{x})ClO(B{x})
    よりDO(AB)=DO(A)DO(B)が成り立つ.
  4. x=ClO({x}{x})より,xDO({x})が成り立つ.

DClDClODOとは互いの逆写像である.

DClDD

ClDTopCl(X)よりOOpen(X)であってClD=ClOなるものが存在する.AP(X)とする.

  1. xD(A)とする.
    1. xAのとき,A=(A{x}){x}より
      xD(A)=D(A{x})D({x})
      であるから,xD({x})と合わせて,
      xD(A{x})ClD(A{x})=ClO(A{x}),
      すなわちxDO(A)が成り立つ.
    2. xAのとき,A=(A{x}){x}より
      xD(A)ClD(A)=ClO(A)=ClO((A{x}){x}),
      すなわちxDO(A{x})=DO(A)DO({x})が成り立つので,xDO({x})と合わせて,xDO(A)を得る.
  2. xDO(A)とする.このとき
    xClO(A{x})=ClD(A{x})=(A{x})D(A{x})
    より,xD(A{x})D(A)が成り立つ.

ClODOClO

AP(X)とする.

  1. xClO(A)Aとすると,
    UOx, U(A{x})=UA
    よりxClO(A{x})が成り立つので,
    xDO(A)ADO(A)=ClDO(A)
    を得る.
  2. 任意のxClDO(A)=ADO(A)に対して
    xAClO(A{x})ClO(A)
    が成り立つ.

OOpen(X)とする.このとき
ACOA=ClO(A)A=ADO(A)DO(A)A
が成り立つ.

収束関係再考

準近傍フィルター族

Open(X)を介した)反単調Galois対応Nbd(X)TopConv(X):
NO{(x,F)X×Filter(X)NO(x)F}
を踏まえ,一般のフィルター族NFilter(X)Xに対して,ξNX×Filter(X)
ξN:={(x,F)X×Filter(X)N(x)F}
で定める.(したがってξO=ξNOである.)このとき
FFN(x)FN(x)F
よりlimξNは単調である.また,
xlimξNxN(x)x
が成り立つ.

フィルター族NFilter(X)Xについて
xX, N(x)x
が成り立つとき,NX上の準近傍フィルター族ということにする.X上の準近傍フィルター族全体のなす集合をpreNbd(X)で表わす:
NpreNbd(X)ξNConv(X).

収束関係ξConv(X)に対してフィルター族Nξ
Nξ(x):={FFilter(X)xlimξF}
で定める.xlimξxよりNξ(x)xであるから,NξpreNbd(X)である.

NpreNbd(X),ξConv(X)とする.このとき次が成り立つ:

  1. NξN=N;
  2. ξNξξ.
  1. xXとする.ξNの定義より
    xlimξNF(x,F)ξNN(x)F
    であるから,
    N(x){FFilter(X)xlimξNF}=NξN(x)N(x)
    が成り立つ.
  2. (x,F)ξとすると,xlimξFよりNξ(x)Fとなるので,(x,F)ξNξが成り立つ.

前位相的収束関係

ξ=ξNOTopConv(X)のとき,任意のxXに対して
(x,Nξ(x))=(x,NξNO(x))=(x,NO(x))ξNO=ξ
が成り立つ.

ξConv(X)とする.任意のxXに対して
(x,Nξ(x))ξ
が成り立つとき,ξX上の前位相的収束関係という.X上の前位相的収束関係全体のなす集合をpreTopConv(X)で表わす.

NpreNbd(X)とすると,任意のxXに対して
(x,NξN(x))=(x,N(x))ξN
が成り立つので,ξNpreTopConv(X)である.

写像γ:preNbd(X)preTopConv(X):δ
γ(N):=ξN, δ(ξ):=Nξ
で定めると,(γ,δ)は反単調Galois対応である.

これは明らかに反単調Galois対応
Nbd(X)TopConv(X)
の拡張になっている.

(γ,δ)はGalois接続である

  1. ξγ(N)とし,xXとする.このとき
    xlimξF(x,F)ξξNN(x)F
    より
    N(x){FFilter(X)xlimξF}=Nξ(x)=δ(ξ)(x)
    が成り立つ.
  2. Nδ(ξ)とする.このとき
    (x,F)ξxlimξFNξ(x)FN(x)F(x,F)ξN
    より,ξγ(N)が成り立つ.

γ,δは互いの逆写像である

  1. δ(γ(N))=NξN=Nであった.
  2. ξpreTopConv(X)とする.一般にξNξξが成り立つのだった.一方,(x,F)ξNξとすると,Nξ(x)Fであるから,仮定とlimξの単調性より
    xlimξNξ(x)limξF,
    すなわち(x,F)ξが成り立つ.

擬閉包作用素

ξConv(X)とする.このとき,写像Clξ:P(X)P(X)
Clξ(A):={xXFFilter(X), AFNξ(x)}
で定めると,

  1. Clξ()=;
  2. AClξ(A);
  3. Clξ(AB)=Clξ(A)Clξ(B);

が成り立つ.

  1. 空集合はフィルターの要素ではないのでClξ()=が成り立つ.
  2. xAとすると,xlimξxより,AxNξ(x)となるので,xClξ(A)が成り立つ.
    1. xClξ(AB)Clξ(A)とするとFFilter(X)であって
      ABFNξ(x); AF
      なるものが存在する.このとき,任意のNNξ(x)に対してNBが成り立つ.実際,N0Nξ(x)であってN0B=なるものが存在したとすると,N0,ABFより
      N0A=(N0A)(N0B)=N0(AB)F, N0AA,
      したがってAFとなり不合理である.よって
      B{NBNNξ(x)}Nξ(x)
      となるのでxClξ(B)を得る.以上よりClξ(AB)Clξ(A)Clξ(B),すなわちClξ(AB)Clξ(A)Clξ(B)が成り立つ.
    2. ABとしxClξ(A)とすると,FFilter(X)であって
      AFNξ(x)
      なるものが存在するので,AF,ABより
      BFNξ(x)
      が成り立ち,xClξ(B)を得る.よってClξは単調なので,
      Clξ(A)Clξ(B)Clξ(AB)
      が成り立つ.

ξConv(X)とする.このとき任意のAXに対して
xClξ(A)NNξ(x), NA
が成り立つ.したがって位相的収束関係ξNOTopConv(X)に対してはClξNO=ClOが成り立つ.

  1. xClξ(A)とし,FFilter(X)であってAFNξ(x)なるものを取る.このとき,任意のNNξ(x)に対してN,AFより
    FNA
    が成り立つ.
  2. 任意のNNξ(x)に対してNAが成り立つとする.このとき
    {NANNξ(x)}
    はフィルター基なので,これが生成するフィルター
    F:={NANNξ(x)}Filter(X)
    が定まる.明らかにAFであり,Nξ(x)Fが成り立つ.よってxClξ(A)を得る.

ξConv(X)とする.このとき任意のAXに対して
Clξ(A)={xXXANξ(x)}
が成り立つ.

  1. xClξ(A)とする.もしXANξ(x)とすると,
    =(XA)A
    となり不合理である.
  2. XANξ(x)とすると,任意のNNξ(x)に対してNXAすなわちNAが成り立つので,xClξ(A)を得る.

写像Cl:P(X)P(X)について

  1. Cl()=;
  2. ACl(A);
  3. Cl(AB)=Cl(A)Cl(B);

が成り立つとき,ClX上の擬閉包作用素という.X上の擬閉包作用素全体のなす集合をpreTopCl(X)で表わす.

ClpreTopCl(X)とする.このとき
C:={AP(X)A=Cl(A)}
と定めると,これはXの閉集合系をなす.

  1. ,XCは明らか.
  2. A,ACとすると
    AA=Cl(A)Cl(A)=Cl(AA)
    よりAACが成り立つ.
  3. ACとする.任意のAAに対して
    Cl(A)Cl(A)=A
    が成り立つので,
    ACl(A)A
    より,ACを得る.

AXとする.このとき,
ACCCl(A)Cl(C)=C
より
Cl(A){CCAC}=ClOC(A)
が成り立つ.

3者の関係

近傍系族N=NONbd(X)に対しては
N(x)={NXxIntO(N)=XClO(XN)}
であったことを踏まえ,擬閉包作用素ClpreTopCl(X)に対して,NClP(P(X))X
NCl(x):={NXxCl(XN)}
で定める.

NClpreNbd(X)が成り立つ.

xXとする.

  1. 任意のNNCl(x)に対して,xCl(XN)XNより,xNが成り立つ.
  2. xCl(XX)=よりXNCl(x)が成り立つ.
  3. N,NNCl(x)とする.このとき
    xCl(XN)Cl(XN)=Cl((XN)(XN))=Cl(X(NN))
    よりNNNCl(x)が成り立つ.
  4. NNCl(x),NNXとすると,
    xCl(XN)Cl(XN)
    よりNNCl(x)が成り立つ.

写像ϕ:preTopConv(X)preTopCl(X)およびψ:preTopCl(X)preNbd(X)をそれぞれ
ϕ(ξ):=Clξ; ψ(Cl):=NCl
で定めると,これらは全単射である.さらに,(ϕ,ϕ1)(resp. (ψ,ψ1))は単調Galois対応(resp. 反単調Galois対応)であり,Galois対応
TopConv(X)TopCl(X)Nbd(X)
の拡張になっている.

ϕ,ψは全単射

ψϕ=δおよびϕγψ=idが成り立つことを示せばよい:
preNbd(X)γpreTopCl(X)ψpreTopConv(X)ϕδ

  1. ξpreTopConv(X)とし,xXとする.
    1. NNξ(x)=δ(ξ)(x)とする.このとき
      FFilter(X), XNFFNξ(x)
      より,xClξ(XN)すなわちNNClξ(x)=ψ(ϕ(ξ))(x)が成り立つ.
    2. NNξ(x)とする.このとき任意のFNξ(x)に対して,FNより,F(XN)であるから,
      XN{F(XN)FN(x)}Nξ(x)
      が成り立つ.よってxClξ(XN)となるので,NNClξ(x)を得る.
  2. ClpreTopCl(X)とし,AXとする.
    1. xCl(A)とする.このときNNCl(x)=NξNCl(x)であってNA=なるものが存在したとすると,AXNより
      xCl(A)Cl(XN)x
      となり不合理である.よってxClξNCl(A)=ϕ(γ(ψ(Cl)))(A)が成り立つ.
    2. xCl(A)とする.このときN:=XAとおくと,xCl(XN)より
      NNCl(x)=NξNCl(x), NA=
      であるから,xClξNCl(A)が成り立つ.

(ϕ,ϕ1),(ψ,ψ1)はGalois対応

  1. ξξとすると
    Nξ(x)={FFilter(X)xlimξF}{FFilter(X)xlimξF}=Nξ(x)
    よりNξNξであるから,
    Clξ(A)={xXXANξ(x)}{xXXANξ(x)}=Clξ(A)
    が成り立つ.よってϕは単調であり,したがってψ1=ϕγは反単調である.
  2. ClClとすると
    NNCl(x)xCl(XN)xCl(XN)NNCl(x)
    よりNClNClが成り立つので,ψは反単調である.したがってϕ1=γψは単調である.

以上より
ϕ(ξ)Clξϕ1(Cl),
および
Nψ(Cl)Clψ1(N)
が成り立つ.

ϕ,ψTopConv(X)TopCl(X)Nbd(X)の拡張

  1. ξ=ξNOTopConv(X)のとき,ϕ(ξ)=ClξNO=ClO
    となることは既に見た.
  2. Cl=ClOTopCl(X)のとき,
    NCl(x)={NXxClO(XN)}={NXxIntO(N)}=NO(x)
    より,
    ψ(Cl)=NCl=NO
    が成り立つ.
  • NpreNbd(X)に対して,
    ξN=γ(N)={(x,F)X×Filter(X)N(x)F}preTopConv(X),ClN:=ClξN=[A{xXXAN(x)}]preTopCl(X)
    が対応する.
  • ξpreTopConv(X)に対して,
    Clξ=ϕ(ξ)=[A{xXXANξ(x)}]preTopCl(X),Nξ=NClξ=[x{NXxClξ(XN)}]preNbd(X)
    が対応する.
  • ClpreTopCl(X)に対して,
    NCl=ψ(Cl)=[x{NXxCl(XN)}]preNbd(X),ξCl:=ξNCl={(x,F)X×Filter(X)NCl(x)F}preTopConv(X)
    が対応する.

NpreNbd(X),ξpreTopConv(X),ClpreTopCl(X)が互いに対応しているとする.このとき次は同値である:

  1. NNbd(X),すなわち
    NN(x)IntN(N)N(x)
    が成り立つ;
  2. ξTopConv(X)が成り立つ;
  3. ClTopCl(X),すなわち
    ClCl=Cl
    が成り立つ.

更新履歴

  • 2024/10/20:「収束関係再考」の節を書き直しました.

参考文献

投稿日:20241019
更新日:20241020
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うすい
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  6. 基本近傍系
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  12. 導作用素
  13. 収束関係再考
  14. 準近傍フィルター族
  15. 前位相的収束関係
  16. 擬閉包作用素
  17. 3者の関係
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