文献あり

位相の定め方

130

$X$ を集合とする．開集合系を基準として，閉集合系，位相的開核作用素，位相的閉包作用素，近傍系族，位相的収束関係，などがそれぞれ1対1に対応することを示す：
$Nbd (X) Closed (X) Open (X) monotone TopConv (X) TopInt (X) antitone Bdry (X) TopCl (X) Der (X)$

関係ない画像

開集合系

$O \in P (P (X))$ について

$\emptyset, X \in O$ ;
$U, V \in O ⟹ U \cap V \in O$ ;
$U \subset O ⟹ ⋃ U \in O$ ;

が成り立つとき， $O$ を $X$ の開集合系，位相などという． $X$ の開集合系全体のなす集合を $Open (X)$ で表わす．

開集合系 $O \in Open (X)$ との組 $(X, O)$ を位相空間という．

$B \in P (P (X))$ について

$⋃ B = X$ ;
$\forall B, B^{'} \in B, \forall x \in B \cap B^{'}, \exists B^{″} \in B, x \in B^{″} \subset B \cap B^{'}$ ;

が成り立つとき， $B$ を $X$ 上の基底という． $X$ 上の基底全体のなす集合を $Base (X)$ で表わす．

$X$ の開集合系は $X$ 上の基底である．

$B^{'} \in P (P (X))$ が条件(2)を満たすとき， $B^{'} \cup {X}$ は $X$ 上の基底である．

$S \subset P (X)$ に対して
$⟨ S ⟩_{\cap} := {⋂_{i \in I} S_{i} | I : finite, S_{i} \in S}$
とおくと，これは $S$ を含む $X$ 上の基底である．

位相的開核作用素

写像 $I : P (X) \to P (X)$ について

$I (X) = X$ ;
$I (A) \subset A$ ;
$I \circ I = I$ ;
$I (A \cap B) = I (A) \cap I (B)$ ;

が成り立つとき， $I$ を位相的開核作用素という．位相的開核作用素全体のなす集合を $TopInt (X)$ で表わす．また，開核作用素 $P (X) \to P (X)$ 全体のなす集合を $Int (X)$ で表わす．

$Int (X)$ 上の順序を
$I \leq I^{'} : ⟺ \forall A \in P (X), I (A) \subset I^{'} (A)$
により定める．

$TopInt (X) \subset Int (X)$ が成り立つ．

$I \in TopInt (X)$ とする． $I$ の単調性を示せばよい．そこで $A \subset B$ とすると，
$I (A) = I (A \cap B) = I (A) \cap I (B) \subset I (B)$
が成り立つ．

基底 $B \in Base (X)$ に対して，写像 ${Int}_{B} : P (X) \to P (X)$ を
${Int}_{B} (A) := ⋃ {B \in B ∣ B \subset A}$
で定めると，これは位相的開核作用素である．

${Int}_{B} (X) = ⋃ B = X$ が成り立つ．
${Int}_{B} (A) \subset A$ は明らか．
$x \in {Int}_{B} (A)$ とすると， $B \in B$ であって $x \in B \subset A$ を満たすものが存在する．このとき $B \subset {Int}_{B} (A)$ であるから， $x \in B \subset {Int}_{B} ({Int}_{B} (A))$ を得る．
$A, A^{'} \in P (X)$ とすると， ${B \in B ∣ B \subset A \cap A^{'}} \subset {B \in B ∣ B \subset A}$ であるから， ${Int}_{B} (A \cap A^{'}) \subset {Int}_{B} (A)$ が成り立つ．同様に ${Int}_{B} (A \cap A^{'}) \subset I (A^{'})$ も成り立つ．よって
${Int}_{B} (A \cap A^{'}) \subset {Int}_{B} (A) \cap {Int}_{B} (A^{'})$
が成り立つ．逆に $x \in {Int}_{B} (A) \cap {Int}_{B} (A^{'})$ とすると， $B, B^{'} \in B$ であって
$x \in B \subset A, x \in B^{'} \subset A^{'}$
を満たすものが存在する．したがって $B^{″} \in B$ であって
$x \in B^{″} \subset B \cap B^{'} \subset A \cap A^{'}$
を満たすものが存在するので， $x \in {Int}_{B} (A \cap A^{'})$ が成り立つ．

位相的開核作用素 $I \in TopInt (X)$ に対して，
$O_{I} := {U \subset X ∣ I (U) = U}$
とおくと，これは $X$ の開集合系である．

$\emptyset \subset I (\emptyset) \subset \emptyset$ より $\emptyset \in O_{I}$ を得る． $X \in O_{I}$ は明らか．
$U, V \in O_{I}$ とすると，
$I (U \cap V) = I (U) \cap I (V) = U \cap V$
より， $U \cap V \in O_{I}$ が成り立つ．
$U \subset O_{I}$ とし， $x \in ⋃ U$ とする．このとき $U \in U$ であって $x \in U$ なるものが存在するので，
$x \in U = I (U) \subset I (⋃ U)$
が成り立つ．よって
$⋃ U \subset I (⋃ U) \subset ⋃ U$
となるので， $⋃ U \in O_{I}$ を得る．

写像 $λ : Base (X) ⇄ TopInt (X) : ρ$ を
$λ (B) := {Int}_{B}; ρ (I) := O_{I}$
で定めると， $(λ, ρ)$ はGalois随伴である．

$λ (B) \leq I$ とする．このとき任意の $B \in B$ に対して，
$B \subset {Int}_{B} (B) \subset I (B) \subset B$
より $I (B) = B$ が成り立つので， $B \in ρ (I)$ を得る．よって $B \subset ρ (I)$ が成り立つ．
$B \subset ρ (I)$ とする．このとき，任意の $A \in P (X)$ に対して
$\begin{aligned} {Int}_{B} (A) & = ⋃ {B \in B ∣ B \subset A} \\ = ⋃ {B \in B ∣ B = I (B) \subset I (A)} \\ \subset I (A) \end{aligned}$
が成り立つので， $λ (B) \leq I$ を得る．

先に見たように，

$ρ (λ (Base (X))) \subset Open (X)$ が成り立つ．

$Open (X) \subset Base (X)^{ρ \circ λ}$ が成り立つ．

$O \in Open (X)$ とする．

$O \subset ρ (λ (O))$ は明らか．
$U \in ρ (λ (O))$ とすると，
$U = λ (O) (U) = ⋃ {V \in O ∣ V \subset U} \in O$
が成り立つ．

$TopInt (X) \subset TopInt (X)^{λ \circ ρ}$ が成り立つ．

$I \in TopInt (X)$ とする．

$λ (ρ (I)) \leq I$ は明らか．
$A \in P (X)$ とする．このとき $I (I (A)) = I (A)$ より $I (A) \in ρ (I)$ であるから， $I (A) \subset A$ と合わせて
$I (A) \subset ⋃ {U \in ρ (I) ∣ U \subset A} = λ (ρ (I)) (A)$
を得る．よって $I \leq λ (ρ (I))$ が成り立つ．

以上より，単調Galois対応
$λ_{ρ} : Open (X) ⇄ TopInt (X) : ρ_{λ}$
を得る：
$\begin{aligned} {Int}_{O} (A) & = λ_{ρ} (O) (A) = ⋃ {U \in O ∣ U \subset A}, \\ ρ_{λ} (I) & = {U \in P (X) ∣ I (U) = U} . \end{aligned}$

近傍系族

$F \subset P (X)$ について，

$\emptyset \notin F$ ;
$X \in F$ ;
$F, F^{'} \in F ⟹ F \cap F^{'} \in F$ ;
$F \in F, F \subset F^{'} \subset X ⟹ F^{'} \in F$ ;

が成り立つとき， $F$ を $X$ 上のフィルターという． $X$ 上のフィルター全体のなす集合を $Filter (X)$ で表わす．

写像集合 $Filter (X)^{X}$ 上の順序を
$u \leq v : ⟺ \forall x \in X, u (x) \subset v (x)$
により定める．

$x \in X$ に対して
$⟨ x ⟩_{\in} := {A \in P (X) ∣ x \in A} \in Filter (X)$
とおく．

$u \in Filter (X)^{X}$ とする．各 $A \subset X$ に対して
${Int}_{u} (A) := {x \in X ∣ A \in u (x)}$
とおく．

$u \in Filter (X)^{X}$ とする．このとき，任意の $A, B \in P (X)$ に対して
$\begin{aligned} x \in {Int}_{u} (A \cap B) & ⟺ A \cap B \in u (x) \\ ⟺ A, B \in u (x) \\ ⟺ x \in {Int}_{u} (A) \cap {Int}_{u} (B) \end{aligned}$
が成り立つ．したがってとくに ${Int}_{u}$ は単調である．

フィルター族 $N \in Filter (X)^{X}$ について

$\forall x \in X, N (x) \subset ⟨ x ⟩_{\in}$ ;
$\forall x \in X, \forall N \in N (x), {Int}_{N} (N) \in N (x)$ ;

が成り立つとき， $N$ を $X$ 上の近傍系族，近傍フィルター族などという． $X$ 上の近傍系族全体のなす集合を $Nbd (X)$ で表わす．

[7]の例24において，Galois随伴 $ν : Base (X) ⇄ Filter (X)^{X} : τ$ が存在し，これから単調Galois対応 $ν_{τ} : Open (X) ⇄ Nbd (X) : τ_{ν}$ が定まることを見た：
$\begin{aligned} N_{O} (x) & := ν_{τ} (O) (x) = {N \in P (X) ∣ \exists U \in O, x \in U \subset N}, \\ τ_{ν} (N) & = {U \in P (X) ∣ \forall x \in U, U \in N (x)} . \end{aligned}$

このGalois対応によって $O$ と $N$ とが対応しているとき，任意の $A \in P (X)$ に対して
$\begin{aligned} x \in {Int}_{N} (A) & ⟺ A \in N (x) = N_{O} (x) \\ ⟺ \exists U \in O, x \in U \subset A \\ ⟺ x \in ⋃ {U \in O ∣ U \subset A} = {Int}_{O} (A) \end{aligned}$
が成り立つ．よって ${Int}_{N} = {Int}_{O}$ を得る．

開基と準開基

$O \in Open (X)$ とする．

$Open (X) = τ (ν (Base (X)))$ より，基底 $B \in Base (X)$ であって $O = τ (ν (B))$ なるものが存在する．とくに $B \subset O$ が成り立つ．
$B \subset O$ なる基底 $B \in Base (X)$ に対して
$\begin{aligned} O = τ (ν (B)) & ⟺ O \subset τ (ν (B)) \\ ⟺ \forall U \in O, U \in τ (ν (B)) \\ ⟺ \forall U \in O, \forall x \in U, U \in ν (B) (x) \\ ⟺ \forall U \in O, \forall x \in U, \exists B \in B, x \in B \subset U \end{aligned}$
が成り立つ．

$(X, O)$ を位相空間とする． $B \subset O$ について
$\forall U \in O, \forall x \in U, \exists B \in B, x \in B \subset U$
が成り立つとき， $B$ を位相空間 $(X, O)$ の開基という．

位相空間 $(X, O)$ の開基 $B \subset O$ は $X$ 上の基底である．したがって $O = τ (ν (B))$ が成り立つ．

$X \in O$ であるから，任意の $x \in X$ に対して $B \in B$ であって $x \in B \subset X$ を満たすものが存在する．よって $⋃ B = X$ が成り立つ．
$B, B^{'} \in B \subset O, x \in B \cap B^{'}$ とすると， $B \cap B^{'} \in O$ より， $B^{″} \in B$ であって $x \in B^{″} \subset B \cap B^{'}$ を満たすものが存在する．

$(X, O)$ を位相空間とする．開基 $B \subset O$ であって $# B \leq ℵ_{0}$ を満たすものが存在するとき， $(X, O)$ を第2可算空間という．

$(X, O)$ を位相空間とする． $S \subset O$ であって $⟨ S ⟩_{\cap} \subset O$ が開基となるものを，位相空間 $(X, O)$ の準開基という．

$S \in P (P (X))$ に対して， $O := τ (ν (⟨ S ⟩_{\cap}))$ を $S$ によって生成される位相という：
$U \in O ⟺ \forall x \in U, \exists S_{1}, \dots, S_{n} \in S, x \in ⋂_{i = 1}^{n} S_{i} \subset U .$

基本近傍系と局所開基

$F_{0} \subset P (X)$ について，

$\emptyset \notin F_{0}$ ;
$F_{0} \neq \emptyset$ ;
$\forall F_{0}, F_{0}^{'} \in F_{0}, \exists F_{0}^{″} \in F_{0}, F_{0}^{″} \subset F_{0} \cap F_{0}^{'}$ ;

が成り立つとき， $F_{0}$ を $X$ 上のフィルター基という． $X$ 上のフィルター基全体のなす集合を ${Filter}_{0} (X)$ で表わす．

フィルター基 $F_{0} \in {Filter}_{0} (X)$ に対して
$⟨ F_{0} ⟩_{\subset} := {F \in P (X) ∣ \exists F_{0} \in F_{0}, F_{0} \subset F}$
とおくと，これは $X$ 上のフィルターである． $⟨ F_{0} ⟩_{\subset}$ を $F_{0}$ によって生成されるフィルターという．

$\emptyset \notin ⟨ F_{0} ⟩_{\subset}$ は明らか．
${}^{\exists}F_{0} \in F_{0} \neq \emptyset$ に対して $F_{0} \subset X$ が成り立つので， $X \in ⟨ F_{0} ⟩_{\subset}$ を得る．
$F, F^{'} \in ⟨ F_{0} ⟩_{\subset}$ とする．このとき $F_{0}, F_{0}^{'}, F_{0}^{″} \in F_{0}$ であって
$F_{0}^{″} \subset F_{0} \cap F_{0}^{'} \subset F \cap F^{'}$
なるものが存在するので， $F \cap F^{'} \in ⟨ F_{0} ⟩_{\subset}$ が成り立つ．
$F \in ⟨ F_{0} ⟩_{\subset}, F \subset G \subset X ⟹ G \in ⟨ F_{0} ⟩_{\subset}$ は明らか．

基本近傍系

フィルター基族 $N_{0} \in {Filter}_{0} (X)^{X}$ について
$⟨ N_{0} ⟩ := [x \mapsto ⟨ N_{0} (x) ⟩_{\subset}] \in Nbd (X)$
が成り立つとき， $N_{0}$ を $X$ 上の近傍基族という． $X$ 上の近傍基族全体のなす集合を ${Nbd}_{0} (X)$ で表わす．

$N_{0} \in {Filter}_{0} (X)^{X}$ とする．このとき次は同値である：

$N_{0}$ は $X$ 上の近傍基族である；
以下の2条件が成り立つ：
1. $\forall x \in X, N_{0} (x) \subset ⟨ x ⟩_{\in}$ ;
2. $\forall x \in X, \forall N_{0} \in N_{0} (x), \exists N_{0}^{'} \in N_{0} (x), N_{0}^{'} \subset {Int}_{⟨ N_{0} ⟩} (N_{0})$ .

$N := ⟨ N_{0} ⟩$ とおく：
$N (x) = ⟨ N_{0} (x) ⟩_{\subset} = {N \in P (X) ∣ \exists N_{0} \in N_{0} (x), N_{0} \subset N} .$

(i) $⟹$ (ii)

$x \in X$ とする．

$N_{0} (x) \subset N (x) \subset ⟨ x ⟩_{\in}$ が成り立つ．
$N_{0} \in N_{0} (x)$ とする．このとき ${Int}_{N} (N_{0}) \in N (x) = ⟨ N_{0} (x) ⟩_{\subset}$ に対して， $N_{0}^{'} \in N_{0} (x)$ であって $N_{0}^{'} \subset {Int}_{N} (N_{0})$ なるものが存在する．

(ii) $⟹$ (i)

$x \in X$ とする．

任意の $N \in N (x)$ に対して， $x \in {}^{\exists}{N_{0}}_{\in N_{0} (x)} \subset N$ が成り立つ．
$N \in N (x)$ とし， $N_{0} \subset N$ なる $N_{0} \in N_{0} (x)$ を取る．このとき $N_{0}^{'} \in N_{0} (x)$ であって $N_{0}^{'} \subset {Int}_{N} (N_{0})$ を満たすものが存在する．よって
$N_{0}^{'} \subset {Int}_{N} (N_{0}) \subset {Int}_{N} (N)$
より， ${Int}_{N} (N) \in ⟨ N_{0} (x) ⟩_{\subset} = N (x)$ が成り立つ．

$X$ 上の近傍基族 $N_{0} \in {Nbd}_{0} (X)$ に対して， $X$ の開集合系
$τ_{ν} (⟨ N_{0} ⟩) = {U \in P (X) ∣ \forall x \in U, \exists N_{0} \in N_{0} (x), N_{0} \subset U}$
が定まる．

$(X, O)$ を位相空間とする．近傍基族 $N_{0} \in {Nbd}_{0} (X)$ であって $⟨ N_{0} ⟩ = ν_{τ} (O)$ となるものを，位相空間 $(X, O)$ の基本近傍系族という．

$(X, O)$ を位相空間とする．フィルター基族 $N_{0} \in {Filter}_{0} (X)^{X}$ が $(X, O)$ の基本近傍系族であるためには

$\forall x \in X, N_{0} (x) \subset ν_{τ} (O) (x)$ ;
$\forall x \in X, \forall N \in ν_{τ} (O) (x), \exists N_{0} \in N_{0} (x), N_{0} \subset N$ ;

が成り立つことが必要かつ十分である．

条件(1)は $⟨ N_{0} ⟩ \leq ν_{τ} (O)$ と同値であり，条件(2)は $ν_{τ} (O) \leq ⟨ N_{0} ⟩$ を書き下したものであることに注意すればよい．

局所開基

フィルター基族 $L \in {Filter}_{0} (X)^{X}$ について

$\forall x \in X, L (x) \subset ⟨ x ⟩_{\in}$ ;
$\forall x \in X, \forall U \in L (x), U \subset {Int}_{⟨ L ⟩} (U)$ ;

が成り立つとき， $L$ を $X$ 上の局所基底族という． $X$ 上の局所基底族全体のなす集合を $LBase (X)$ で表わす．

上の補題より，局所基底族 $L$ は近傍基族である．

局所基底族 $L \in LBase (X)$ に対して
$B_{L} := ⋃_{x \in X} L (x)$
とおくと，これは $X$ 上の基底である．

任意の $x \in X$ に対して， $B \in L (x) \neq \emptyset$ を取れば $x \in B \in B_{L}$ が成り立つので， $B_{L}$ は $X$ の被覆である．
$B, B^{'} \in B_{L}$ とし $x \in B \cap B^{'}$ とする．このとき
$x \in B \cap B^{'} \subset {Int}_{⟨ L ⟩} (B) \cap {Int}_{⟨ L ⟩} (B^{'}) = {Int}_{⟨ L ⟩} (B \cap B^{'})$
より $B \cap B^{'} \in ⟨ L ⟩ (x) = ⟨ L (x) ⟩_{\subset}$ となるので， $B^{″} \in L (x) \subset B_{L}$ であって
$x \in B^{″} \subset B \cap B^{'}$
を満たすものが存在する．

局所基底族 $L \in LBase (X)$ に対して
$ν (B_{L}) = ⟨ L ⟩ \in Nbd (X)$
が成り立つ．

$x \in X$ とする．

$N \in ν (B_{L}) (x)$ とする．このとき $B \in B_{L}$ であって $x \in B \subset N$ なるものが存在する．さらに $x \in B \subset {Int}_{⟨ L ⟩} (B)$ より $B \in ⟨ L ⟩ (x)$ となるので， $B^{'} \in L (x)$ であって $B^{'} \subset B \subset N$ を満たすものが存在する．よって $N \in ⟨ L (x) ⟩_{\subset} = ⟨ L ⟩ (x)$ が成り立つ．
$N \in ⟨ L ⟩ (x)$ とすると， $B \in L (x) \subset B_{L}$ であって $x \in B \subset N$ なるものが存在するので， $N \in ν (B_{L}) (x)$ が成り立つ．

局所基底族 $L \in LBase (X)$ に対して，基底 $B_{L}$ は位相空間 $(X, τ_{ν} (⟨ L ⟩))$ の開基である：
$τ_{ν} (ν (B_{L})) = τ_{ν} (⟨ L ⟩) = {U \in P (X) ∣ \forall x \in U, \exists B \in L (x), B \subset U} .$

$(X, O)$ を位相空間とする．局所基底族 $L \in LBase (X)$ であって $τ_{ν} (⟨ L ⟩) = O$ となるもの，すなわち $B_{L}$ が $(X, O)$ の開基となるものを，位相空間 $(X, O)$ の局所開基族という．

$L$ が $(X, O)$ の局所開基族であるとき， $L$ は近傍基族であって $⟨ L ⟩ = ν_{τ} (τ_{ν} (⟨ L ⟩)) = ν_{τ} (O)$ が成り立つので， $L$ は $(X, O)$ の基本近傍系族である．

$(X, O)$ を位相空間とする．フィルター基族 $L \in {Filter}_{0} (X)^{X}$ が $(X, O)$ の局所開基族であるためには

$\forall x \in X, L (x) \subset ⟨ x ⟩_{\in}$ ;
$\forall x \in X, L (x) \subset O$ ;
$\forall U \in O, \forall x \in U, \exists B \in L (x), B \subset U$ ;

が成り立つことが必要かつ十分である．

(1),(2),(3)が成り立つとすると $L$ は局所基底族である．あとは条件(2)が $B_{L} \subset O$ と，したがって $τ_{ν} (⟨ L ⟩) \subset O$ と同値であり，条件(3)は $O \subset τ_{ν} (⟨ L ⟩)$ を書き下したものであることに注意すればよい．

位相空間 $(X, O)$ の開基 $B$ に対して，
$L_{B} := [x \mapsto B_{x} := {U \in B ∣ x \in U}]$
は $(X, O)$ の局所開基族である．

位相空間 $(X, O)$ の基本近傍系族 $N_{0}$ に対して，
$L_{N_{0}} := [x \mapsto {{Int}_{O} (N_{0}) ∣ N_{0} \in N_{0} (x)}]$
は $(X, O)$ の局所開基族である．

$(X, O)$ を位相空間とする．基本近傍系族 $M \in LBase (X) \cup {Nbd}_{0} (X) = {Nbd}_{0} (X)$ であって
$\forall x \in X, # M (x) \leq ℵ_{0}$
を満たすものが存在するとき， $(X, O)$ を第1可算空間という．

第2可算空間は第1可算空間である．

位相的収束関係

2項関係 $ξ \subset X \times Filter (X)$ に対して，写像 $lim_{ξ} : Filter (X) \to P (X)$ を
${lim}_{ξ} (F) := {x \in X ∣ (x, F) \in ξ}$
で定める． $lim_{ξ}$ が単調であって，任意の $x \in X$ に対して $x \in lim_{ξ} (⟨ x ⟩_{\in})$ が成り立つとき， $ξ$ を $X$ 上の収束関係という． $X$ 上の収束関係全体のなす集合を $Conv (X)$ で表わす．

開集合系 $O \in Open (X)$ に対して
$ξ_{O} := {(x, F) \in X \times Filter (X) ∣ N_{O} (x) \subset F}$
とおくと，これは $X$ 上の収束関係である．

$F, F^{'} \in Filter (X), F \subset F^{'}$ とする．このとき任意の $x \in X$ に対して
$\begin{aligned} x \in {lim}_{ξ_{O}} (F) & ⟺ (x, F) \in ξ_{O} \\ ⟺ N_{O} (x) \subset F \\ ⟹ N_{O} (x) \subset F^{'} \\ ⟺ (x, F^{'}) \in ξ_{O} \\ ⟺ x \in {lim}_{ξ_{O}} (F^{'}) \end{aligned}$
が成り立つので， $lim_{ξ_{O}}$ は単調である．
任意の $x \in X$ に対して， $N_{O} (x) \subset ⟨ x ⟩_{\in}$ より， $(x, ⟨ x ⟩_{\in}) \in ξ_{O}$ すなわち $x \in lim_{ξ_{O}} (⟨ x ⟩_{\in})$ が成り立つ．

収束関係 $ξ_{O}$ を $O \in Open (X)$ から定まる位相的収束関係という．位相的収束関係全体のなす集合を $TopConv (X)$ で表わす：
$TopConv (X) := {ξ \in Conv (X) ∣ \exists O \in Open (X), ξ = ξ_{O}} .$

2項関係
${(A, (x, F)) \in P (X) \times (X \times Filter (X)) ∣ x \in A ⟹ A \in F}$
から定まるGalois接続 $γ : P (P (X)) ⇄ P (X \times Filter (X)) : δ$ を考える（[3] Ex.21）：
$\begin{aligned} γ (A) & = {(x, F) \in X \times Filter (X) ∣ \forall A \in A, x \in A ⟹ A \in F}, \\ δ (ζ) & = {A \in P (X) ∣ \forall (x, F) \in ζ, x \in A ⟹ A \in F} . \end{aligned}$

$δ (γ (P (P (X)))) \subset Open (X)$ が成り立つ．

$A \in P (P (X))$ とし， $ζ := γ (A)$ とおく．

$\emptyset, X \in δ (ζ)$ は明らか．
$U, V \in δ (ζ)$ とし， $(x, F) \in ζ$ とする．このとき $x \in U \cap V$ ならば， $U, V \in F$ したがって $U \cap V \in F$ となる．よって $U \cap V \in δ (ζ)$ が成り立つ．
$U \subset δ (ζ)$ とし， $(x, F) \in ζ$ とする．このとき， $x \in ⋃ U$ とすると， $U \in U$ であって $x \in U$ なるものが存在し，したがって
$U \in F, U \subset ⋃ U$
より $⋃ U \in F$ を得る．よって $⋃ U \in δ (ζ)$ が成り立つ．

$Open (X) \subset P (P (X))^{δ \circ γ}$ が成り立つ．

$O \in Open (X)$ とする．

$O \subset δ (γ (O))$ は明らか．
$U \in δ (γ (O))$ とする．このとき，各 $x \in U$ に対して， $(x, N_{O} (x)) \in γ (O)$ および $x \in U$ より， $U \in N_{O} (x)$ が成り立つので， $V (x) \in O$ であって $x \in V (x) \subset U$ なるものが存在する．よって
$U = ⋃ {V (x) \in O ∣ x \in U} \in O$
が成り立つ．

$γ (δ (P (X \times Filter (X)))) \subset TopConv (X)$ が成り立つ．

$ζ \in P (X \times Filter (X))$ とし， $O := δ (ζ) \in δ (P (X \times Filter (X))) = Open (X)$ とおく．

$(x, F) \in γ (O)$ とし， $N \in N_{O} (x)$ とする．このとき $U \in O$ であって $x \in U \subset N$ なるものが存在する．よって
$U \in F, U \subset N$
より $N \in F$ が成り立つ．
$N_{O} (x) \subset F$ とすると，任意の $U \in O$ に対して
$x \in U ⟹ U \in N_{O} (x) \subset F$
が成り立つので， $(x, F) \in γ (O)$ を得る．

以上より
$γ (δ (ζ)) = {(x, F) \in X \times Filter (X) ∣ N_{O} (x) \subset F} \in TopConv (X)$
が成り立つ．

$TopConv (X) \subset P (X \times Filter (X))^{γ \circ δ}$ が成り立つ．

$ξ = ξ_{O} \in TopConv (X)$ とする．

$ξ \subset γ (δ (ξ))$ は明らか．
$(x, F) \in γ (δ (ξ))$ とする．このとき $N_{O} (x) \subset F$ が成り立つことを示せばよい．そこで $N \in N_{O} (x)$ とすると， $U \in O$ であって $x \in U \subset N$ なるものが存在する．いま，任意の $(y, G) \in ξ = ξ_{O}$ に対して
$y \in U ⟹ U \in N_{O} (y) \subset G$
が成り立つので， $U \in δ (ξ)$ を得る．よって $x \in U$ と合わせて $U \in F$ となるので，
$U \in F \in Filter (X), U \subset N$
より $N \in F$ が成り立つ．

以上より，反単調Galois対応 $γ_{δ} : Open (X) ⇄ TopConv (X) : δ_{γ}$ を得る：
$\begin{aligned} γ_{δ} (O) & = {(x, F) \in X \times Filter (X) ∣ \forall U \in O, x \in U ⟹ U \in F} \\ = {(x, F) \in X \times Filter (X) ∣ N_{O} (x) \subset F} \\ = ξ_{O}, \\ δ_{γ} (ξ_{O}) & = O . \end{aligned}$

閉集合系

$C \in P (P (X))$ について

$\emptyset, X \in C$ ;
$C, C^{'} \in C ⟹ C \cup C^{'} \in C$ ;
$C^{'} \subset C ⟹ ⋂ C^{'} \in C$ ;

が成り立つとき， $C$ を $X$ の閉集合系という． $X$ の閉集合系全体のなす集合を $Closed (X)$ で表わす．

開集合系 $O \in Open (X)$ に対して
$λ (O) := C_{O} := {X ∖ U \in P (X) ∣ U \in O}$
は $X$ の閉集合系であり，閉集合系 $C \in Closed (X)$ に対して
$ρ (C) := O_{C} := {X ∖ C \in P (X) ∣ C \in C}$
は $X$ の開集合系である．また，
$\begin{aligned} λ (O) \subset C & ⟺ \forall U \in O, \exists C \in C, X ∖ U = C \\ ⟺ \forall U \in O, \exists C \in C, U = X ∖ C \\ ⟺ O \subset ρ (C) \end{aligned}$
より， $λ : Open (X) ⇄ Closed (X) : ρ$ はGalois随伴であり，明らかに
$ρ (λ (O)) = O, λ (ρ (C)) = C$
が成り立つ．

位相的閉包作用素

写像 $Cl : P (X) \to P (X)$ について

$Cl (\emptyset) = \emptyset$ ;
$A \subset Cl (A)$ ;
$Cl \circ Cl = Cl$ ;
$Cl (A \cup B) = Cl (A) \cup Cl (B)$ ;

が成り立つとき， $Cl$ を位相的閉包作用素という．位相的閉包作用素全体のなす集合を $TopCl (X)$ で表わす．また，閉包作用素 $P (X) \to P (X)$ 全体のなす集合を $Cl (X)$ で表わす．

$Cl (X)$ 上の順序を
$Cl \leq {Cl}^{'} : ⟺ \forall A \in P (X), Cl (A) \subset {Cl}^{'} (A)$
により定める．

$TopCl (X) \subset Cl (X)$ が成り立つ．

$Cl \in TopCl (X)$ とする． $Cl$ の単調性を示せばよい．そこで $A \subset B$ とすると，
$Cl (A) \subset Cl (A) \cup Cl (B) = Cl (A \cup B) = Cl (B)$
が成り立つ．

位相的開核作用素 $Int \in TopInt (X)$ に対して，写像 ${Cl}_{Int} : P (X) \to P (X)$ を
${Cl}_{Int} (A) := X ∖ Int (X ∖ A)$
で定めると，これは位相的閉包作用素である．

${Cl}_{Int} (\emptyset) = X ∖ Int (X) = \emptyset$ が成り立つ．
$Int (X ∖ A) \subset X ∖ A$ より $A \subset {Cl}_{Int} (A)$ が成り立つ．
任意の $A \in P (X)$ に対して
$\begin{aligned} {Cl}_{Int} ({Cl}_{Int} (A)) & = X ∖ Int (X ∖ {Cl}_{Int} (A)) \\ = X ∖ Int (X ∖ (X ∖ Int (X ∖ A))) \\ = X ∖ Int (Int (X ∖ A)) \\ = X ∖ Int (X ∖ A) \\ = {Cl}_{Int} (A) \end{aligned}$
が成り立つ．
任意の $A, A^{'} \in P (X)$ に対して
$\begin{aligned} {Cl}_{Int} (A \cup A^{'}) & = X ∖ Int (X ∖ (A \cup A^{'})) \\ = X ∖ Int ((X ∖ A) \cap (X ∖ A^{'})) \\ = X ∖ (Int (X ∖ A) \cap Int (X ∖ A^{'})) \\ = (X ∖ Int (X ∖ A)) \cup (X ∖ Int (X ∖ A^{'})) \\ = {Cl}_{Int} (A) \cup {Cl}_{Int} (A^{'}) \end{aligned}$
が成り立つ．

同様に次が成り立つ：

位相的閉包作用素 $Cl \in TopCl (X)$ に対して，写像 ${Int}_{Cl} : P (X) \to P (X)$ を
${Int}_{Cl} (A) := X ∖ Cl (X ∖ A)$
で定めると，これは位相的開核作用素である．

写像 $γ : TopInt (X) ⇄ TopCl (X) : δ$ を
$γ (Int) := {Cl}_{Int}; δ (Cl) := {Int}_{Cl}$
で定めると， $(γ, δ)$ はGalois接続である．

$Cl \leq γ (Int)$ とする．このとき任意の $A \in P (X)$ に対して，
$Cl (X ∖ A) \subset {Cl}_{Int} (X ∖ A) = X ∖ Int (A)$
より，
$Int (A) \subset X ∖ Cl (X ∖ A) = {Int}_{Cl} (A)$
が成り立つ．よって $Int \leq δ (Cl)$ を得る．
同様にして $Int \leq δ (Cl) ⟹ Cl \leq γ (Int)$ も成り立つ．

明らかに $δ \circ γ = id, γ \circ δ = id$ が成り立つので， $(γ, δ)$ は反単調Galois対応である．

$O \in Open (X)$ に対して ${Cl}_{O} := {Cl}_{{Int}_{O}} \in TopCl (X)$ とおくと，
$\begin{aligned} {Cl}_{O} (A) & = X ∖ {Int}_{O} (X ∖ A) \\ = X ∖ ⋃ {U \in O ∣ U \subset X ∖ A} \\ = ⋂ {X ∖ U \in P (X) ∣ U \in O, U \subset X ∖ A} \\ = ⋂ {X ∖ U \in P (X) ∣ U \in O, A \subset X ∖ U} \\ = ⋂ {C \in C_{O} ∣ A \subset C} \end{aligned}$
が成り立つ．また，
$\begin{aligned} x \in {Cl}_{O} (A) & ⟺ x \notin {Int}_{O} (X ∖ A) \\ ⟺ \forall U \in O, x \notin U \lor U ⊄ X ∖ A \\ ⟺ \forall U \in O_{x}, U \cap A \neq \emptyset \\ ⟺ \forall N \in N_{O} (x), N \cap A \neq \emptyset \end{aligned}$
が成り立つ．さらに，
$\begin{aligned} C_{O} & = {X ∖ U \in P (X) ∣ U \in O} \\ = {X ∖ U \in P (X) ∣ {Int}_{O} (U) = U} \\ = {X ∖ U \in P (X) ∣ X ∖ U = {Cl}_{O} (X ∖ U)} \\ = {C \in P (X) ∣ C = {Cl}_{O} (C)} \end{aligned}$
が成り立つ．

境界作用素

写像 $β : P (X) \to P (X)$ について

$β (\emptyset) = \emptyset$ ;
$β (A) = β (X ∖ A)$ ;
$β (β (A)) \subset β (A)$ ;
$A \cap B \cap β (A \cap B) = A \cap B \cap (β (A) \cup β (B))$ ;

が成り立つとき， $β$ を境界作用素という．境界作用素全体のなす集合を $Bdry (X)$ で表わす．

$β \in Bdry (X)$ とする．このとき写像 ${Cl}_{β} : P (X) \to P (X)$ を
${Cl}_{β} (A) := A \cup β (A)$
で定めると，これは位相的閉包作用素である．

${Cl}_{β} (\emptyset) = \emptyset$ は明らか．
$A \subset {Cl}_{β} (A)$ も明らか．
まづ
$\begin{aligned} β (A \cup β (A)) ∖ (A \cup β (A)) & = (X ∖ (A \cup β (A))) \cap β (X ∖ (A \cup β (A))) \\ = (X ∖ A) \cap (X ∖ β (A)) \cap β ((X ∖ A) \cap (X ∖ β (A))) \\ = (X ∖ A) \cap (X ∖ β (A)) \cap (β (X ∖ A) \cup β (X ∖ β (A))) \\ = (X ∖ (A \cup β (A))) \cap (β (A) \cup β (β (A))) \\ \subset (X ∖ β (A)) \cap β (A) \\ = \emptyset \end{aligned}$
より
$β (A \cup β (A)) \subset A \cup β (A)$
が成り立つ．したがって
$\begin{aligned} {Cl}_{β} ({Cl}_{β} (A)) & = {Cl}_{β} (A \cup β (A)) \\ = (A \cup β (A)) \cup β (A \cup β (A)) \\ = A \cup β (A) \\ = {Cl}_{β} (A) \end{aligned}$
が成り立つ．
$(X ∖ A) \cap (X ∖ B) \cap β ((X ∖ A) \cap (X ∖ B)) = (X ∖ A) \cap (X ∖ B) \cap (β (X ∖ A) \cup β (X ∖ B))$
より
$β (A \cup B) ∖ (A \cup B) = (β (A) \cup β (B)) ∖ (A \cup B)$
が成り立つので，
$\begin{aligned} {Cl}_{β} (A \cup B) & = (A \cup B) \cup β (A \cup B) \\ = (A \cup B) \cup (β (A \cup B) ∖ (A \cup B)) \\ = (A \cup B) \cup ((β (A) \cup β (B)) ∖ (A \cup B)) \\ = (A \cup B) \cup (β (A) \cup β (B)) \\ = (A \cup β (A)) \cup (B \cup β (B)) \\ = {Cl}_{β} (A) \cup {Cl}_{β} (B) \end{aligned}$
を得る．

$Cl = {Cl}_{O} \in TopCl (X)$ とする．このとき写像 $β_{O} : P (X) \to P (X)$ を
$β_{O} (A) := {Cl}_{O} (A) \cap {Cl}_{O} (X ∖ A)$
で定めると，これは境界作用素である．

$β_{O} (\emptyset) = {Cl}_{O} (\emptyset) \cap {Cl}_{O} (X) = \emptyset$ .
$β_{O} (A) = {Cl}_{O} (X ∖ A) \cap {Cl}_{O} (X ∖ (X ∖ A)) = β_{O} (X ∖ A)$ .
$\begin{aligned} β_{O} (β_{O} (A)) & \subset {Cl}_{O} (β_{O} (A)) \\ = {Cl}_{O} ({Cl}_{O} (A) \cap {Cl}_{O} (X ∖ A)) \\ \subset {Cl}_{O} ({Cl}_{O} (A)) \cap {Cl}_{O} ({Cl}_{O} (X ∖ A)) \\ = {Cl}_{O} (A) \cap {Cl}_{O} (X ∖ A) \\ = β_{O} (A) . \end{aligned}$
$\begin{aligned} A \cap B \cap β_{O} (A \cap B) & = A \cap B \cap {Cl}_{O} (A \cap B) \cap {Cl}_{O} (X ∖ (A \cap B)) \\ = A \cap B \cap {Cl}_{O} ((X ∖ A) \cup (X ∖ B)) \\ = A \cap B \cap ({Cl}_{O} (X ∖ A) \cup {Cl}_{O} (X ∖ B)) \\ = (A \cap B \cap {Cl}_{O} (X ∖ A)) \cup (A \cap B \cap {Cl}_{O} (X ∖ B)) \\ = (A \cap B \cap {Cl}_{O} (A) \cap {Cl}_{O} (X ∖ A)) \cup (A \cap B \cap {Cl}_{O} (B) \cap {Cl}_{O} (X ∖ B)) \\ = (A \cap B \cap β_{O} (A)) \cup (A \cap B \cap β_{O} (B)) \\ = A \cap B \cap (β_{O} (A) \cup β_{O} (B)) . \end{aligned}$

$β \mapsto {Cl}_{β}$ と ${Cl}_{O} \mapsto β_{O}$ とは互いの逆写像である．

$β \mapsto {Cl}_{β} \mapsto β$

${Cl}_{β} \in TopCl (X)$ より $O \in Open (X)$ であって ${Cl}_{β} = {Cl}_{O}$ なるものが存在する．このとき $A \in P (X)$ に対して，
$\begin{aligned} β_{O} (A) & = {Cl}_{O} (A) \cap {Cl}_{O} (X ∖ A) \\ = {Cl}_{β} (A) \cap {Cl}_{β} (X ∖ A) \\ = (A \cup β (A)) \cap ((X ∖ A) \cup β (X ∖ A)) \\ = (A \cup β (A)) \cap ((X ∖ A) \cup β (A)) \\ = (A \cap (X ∖ A)) \cup β (A) \\ = \emptyset \cup β (A) \\ = β (A) \end{aligned}$
が成り立つ．

${Cl}_{O} \mapsto β_{O} \mapsto {Cl}_{O}$

任意の $A \in P (X)$ に対して，
$\begin{aligned} {Cl}_{β_{O}} (A) & = A \cup β_{O} (A) \\ = A \cup ({Cl}_{O} (A) \cap {Cl}_{O} (X ∖ A)) \\ = {Cl}_{O} (A) \cap (A \cup {Cl}_{O} (X ∖ A)) \\ = {Cl}_{O} (A) \cap X \\ = {Cl}_{O} (A) \end{aligned}$
が成り立つ．

$β \in Bdry (X)$ に対して次が成り立つ：

$\begin{aligned} β (A \cup B) & = {Cl}_{β} (A \cup B) \cap {Cl}_{β} (X ∖ (A \cup B)) \\ = ({Cl}_{β} (A) \cup {Cl}_{β} (B)) \cap {Cl}_{β} ((X ∖ A) \cap (X ∖ B)) \\ \subset ({Cl}_{β} (A) \cup {Cl}_{β} (B)) \cap ({Cl}_{β} (X ∖ A) \cap {Cl}_{β} (X ∖ B)) \\ \subset ({Cl}_{β} (A) \cap {Cl}_{β} (X ∖ A)) \cup ({Cl}_{β} (B) \cap {Cl}_{β} (X ∖ B)) \\ = β (A) \cup β (B) . \end{aligned}$
$A \subset B ⟹ β (A) \subset {Cl}_{β} (A) \subset {Cl}_{β} (B) = B \cup β (B)$ .

逆に，写像 $β^{'} : P (X) \to P (X)$ が

$β^{'} (\emptyset) = \emptyset$ ;
$β^{'} (A) = β^{'} (X ∖ A)$ ;
$β^{'} (β^{'} (A)) \subset β^{'} (A)$ ;
$β^{'} (A \cup B) \subset β^{'} (A) \cup β^{'} (B)$ ;
$A \subset B ⟹ β^{'} (A) \subset B \cup β^{'} (B)$ ;

を満たしているとき， ${Cl}_{β^{'}} (A) := A \cup β^{'} (A)$ とおくと，

${Cl}_{β^{'}} (\emptyset) = \emptyset$ ;
${Cl}_{β^{'}} (A) = {Cl}_{β^{'}} (X ∖ A)$ ;
$\begin{aligned} {Cl}_{β^{'}} ({Cl}_{β^{'}} (A)) & = {Cl}_{β^{'}} (A \cup β^{'} (A)) \\ = (A \cup β^{'} (A)) \cup β^{'} (A \cup β^{'} (A)) \\ \subset (A \cup β^{'} (A)) \cup (β^{'} (A) \cup β^{'} (β^{'} (A))) \\ = A \cup β^{'} (A) \\ = {Cl}_{β^{'}} (A); \end{aligned}$
$β^{'} (A \cup B) \subset β^{'} (A) \cup β^{'} (B) \subset (A \cup B) \cup β^{'} (A \cup B)$
より
${Cl}_{β^{'}} (A \cup B) = (A \cup B) \cup β^{'} (A \cup B) = (A \cup β^{'} (A)) \cup (B \cup β^{'} (B)) = {Cl}_{β^{'}} (A) \cup {Cl}_{β^{'}} (B)$
が成り立つ．

よって ${Cl}_{β^{'}} \in TopCl (X)$ であるから $β \in Bdry (X)$ であって ${Cl}_{β} = {Cl}_{β^{'}}$ を満たすものが存在する．したがって
$β^{'} (A) = {Cl}_{β^{'}} (A) \cap {Cl}_{β^{'}} (X ∖ A) = {Cl}_{β} (A) \cap {Cl}_{β} (X ∖ A) = β (A)$
より， $β^{'} = β \in Bdry (X)$ が成り立つ．

$O \in Open (X)$ とする．このとき
$\begin{aligned} A \in C_{O} & ⟺ A = {Cl}_{O} (A) \\ ⟺ A = A \cup β_{O} (A) \\ ⟺ β_{O} (A) \subset A \end{aligned}$
が成り立つ．したがって
$\begin{aligned} A \in O & ⟺ X ∖ A \in C_{O} \\ ⟺ β_{O} (X ∖ A) \subset X ∖ A \\ ⟺ β_{O} (A) \subset X ∖ A \\ ⟺ β_{O} (A) \cap A = \emptyset \end{aligned}$
が成り立つ．また，
$\begin{aligned} {Int}_{O} (A) & = X ∖ {Cl}_{O} (X ∖ A) \\ = X ∖ ((X ∖ A) \cup β_{O} (X ∖ A)) \\ = A \cap (X ∖ β_{O} (A)) \\ = A ∖ β_{O} (A) \end{aligned}$
が成り立つ．とくに ${Int}_{O} (A) \cap β_{O} (A) = \emptyset$ である．さらに
$\begin{aligned} β_{O} (A) & = {Cl}_{O} (A) \cap {Cl}_{O} (X ∖ A) \\ = {Cl}_{O} (A) \cap (X ∖ {Int}_{O} (A)) \\ = {Cl}_{O} (A) ∖ {Int}_{O} (A), \\ {Cl}_{O} (A) & = A \cup β_{O} (A) \\ = (A ∖ β_{O} (A)) \cup β_{O} (A) \\ = {Int}_{O} (A) ⊔ β_{O} (A), \end{aligned}$
が成り立つ．

$β = β_{O} \in Bdry (X)$ とする．このとき次が成り立つ：

$X = Int (A) ⊔ β (A) ⊔ Int (X ∖ A)$ ;
$β (A) \in C$ ;
$A \in O \cap C ⟺ β (A) = \emptyset$ ;
$U \in O ⟹ Int (β (U)) = \emptyset$ ;
$β (β (β (A))) = β (β (A))$ .

$X = Cl (A) ⊔ (X ∖ Cl (A)) = Int (A) ⊔ β (A) ⊔ Int (X ∖ A)$ .
$Cl (β (A)) = β (A) \cup β (β (A)) = β (A)$ .
1. $A \in O \cap C$ のとき，
  $β (A) = Cl (A) ∖ Int (A) = A ∖ A = \emptyset$
  が成り立つ．
2. $β (A) = \emptyset$ のとき，
  $A = A ∖ β (A) = Int (A) \in O,$
  および
  $A = A \cup β (A) = Cl (A) \in C$
  が成り立つ．
$U \in O$ のとき，
$Int (β (U)) \cap U \subset β (U) \cap Int (U) = \emptyset$
より
$Int (β (U)) \cap Cl (U) = \emptyset$
となるので，
$Int (β (U)) = Int (β (U)) \cap β (U) \subset Int (β (U)) \cap Cl (U) = \emptyset$
が成り立つ．
$β (A) \in C$ より $X ∖ β (A) \in O$ であるから
$Int (β (β (A))) = Int (β (X ∖ β (A))) = \emptyset$
となる．よって
$β (β (β (A))) = Cl (β (β (A))) ∖ Int (β (β (A))) = β (β (A))$
が成り立つ．

導作用素

写像 $D : P (X) \to P (X)$ について

$D (\emptyset) = \emptyset$ ;
$D (D (A)) \subset A \cup D (A)$ ;
$D (A \cup B) = D (A) \cup D (B)$ ;
$x \notin D ({x})$ ;

が成り立つとき， $D$ を導作用素という．導作用素全体のなす集合を $Der (X)$ で表わす．

$D \in Der (X)$ とする．このとき写像 ${Cl}_{D} : P (X) \to P (X)$ を
${Cl}_{D} (A) := A \cup D (A)$
で定めると，これは位相的閉包作用素である．

${Cl}_{D} (\emptyset) = \emptyset \cup D (\emptyset) = \emptyset$ が成り立つ．
$A \subset {Cl}_{D} (A)$ は明らか．
$D (A \cup D (A)) = D (A) \cup D (D (A)) \subset A \cup D (A)$
より，
$\begin{aligned} {Cl}_{D} ({Cl}_{D} (A)) & = {Cl}_{D} (A \cup D (A)) \\ = (A \cup D (A)) \cup D (A \cup D (A)) \\ = A \cup D (A) \\ = {Cl}_{D} (A) \end{aligned}$
が成り立つ．
$\begin{aligned} {Cl}_{D} (A \cup B) & = (A \cup B) \cup D (A \cup B) \\ = (A \cup B) \cup (D (A) \cup D (B)) \\ = (A \cup D (A)) \cup (B \cup D (B)) \\ = {Cl}_{D} (A) \cup {Cl}_{D} (B) \end{aligned}$
が成り立つ．

$Cl = {Cl}_{O} \in TopCl (X)$ とする．このとき写像 $D_{O} : P (X) \to P (X)$ を
$D_{O} (A) := {x \in X ∣ x \in {Cl}_{O} (A ∖ {x})}$
で定めると，これは導作用素である．

$D_{O} (\emptyset) = \emptyset$ は明らか．
$x \in D_{O} (D_{O} (A)) ∖ A$ とする．このとき $x \in D_{O} (A)$ が成り立つことを示せばよい．いま $x \in {Cl}_{O} (D_{O} (A) ∖ {x})$ より
$\forall U \in O_{x}, U \cap (D_{O} (A) ∖ {x}) \neq \emptyset$
が成り立つ．そこで $U \in O_{x}$ とし $y \in U \cap (D_{O} (A) ∖ {x})$ を取ると
$U \in O_{y}, y \in D_{O} (A)$
より
$\emptyset \neq U \cap (A ∖ {y}) \subset U \cap A = U \cap (A ∖ {x})$
が成り立つ．よって $x \in {Cl}_{O} (A ∖ {x})$ すなわち $x \in D_{O} (A)$ を得る．
$\begin{aligned} {Cl}_{O} ((A \cup B) ∖ {x}) & = {Cl}_{O} ((A ∖ {x}) \cup (B ∖ {x})) \\ = {Cl}_{O} (A ∖ {x}) \cup {Cl}_{O} (B ∖ {x}) \end{aligned}$
より $D_{O} (A \cup B) = D_{O} (A) \cup D_{O} (B)$ が成り立つ．
$x \notin \emptyset = {Cl}_{O} ({x} ∖ {x})$ より， $x \notin D_{O} ({x})$ が成り立つ．

$D \mapsto {Cl}_{D}$ と ${Cl}_{O} \mapsto D_{O}$ とは互いの逆写像である．

$D \mapsto {Cl}_{D} \mapsto D$

${Cl}_{D} \in TopCl (X)$ より $O \in Open (X)$ であって ${Cl}_{D} = {Cl}_{O}$ なるものが存在する． $A \in P (X)$ とする．

$x \in D (A)$ とする．
1. $x \in A$ のとき， $A = (A ∖ {x}) \cup {x}$ より
  $x \in D (A) = D (A ∖ {x}) \cup D ({x})$
  であるから， $x \notin D ({x})$ と合わせて，
  $x \in D (A ∖ {x}) \subset {Cl}_{D} (A ∖ {x}) = {Cl}_{O} (A ∖ {x}),$
  すなわち $x \in D_{O} (A)$ が成り立つ．
2. $x \notin A$ のとき， $A = (A \cup {x}) ∖ {x}$ より
  $x \in D (A) \subset {Cl}_{D} (A) = {Cl}_{O} (A) = {Cl}_{O} ((A \cup {x}) ∖ {x}),$
  すなわち $x \in D_{O} (A \cup {x}) = D_{O} (A) \cup D_{O} ({x})$ が成り立つので， $x \notin D_{O} ({x})$ と合わせて， $x \in D_{O} (A)$ を得る．
$x \in D_{O} (A)$ とする．このとき
$x \in {Cl}_{O} (A ∖ {x}) = {Cl}_{D} (A ∖ {x}) = (A ∖ {x}) \cup D (A ∖ {x})$
より， $x \in D (A ∖ {x}) \subset D (A)$ が成り立つ．

${Cl}_{O} \mapsto D_{O} \mapsto {Cl}_{O}$

$A \in P (X)$ とする．

$x \in {Cl}_{O} (A) ∖ A$ とすると，
$\forall U \in O_{x}, U \cap (A ∖ {x}) = U \cap A \neq \emptyset$
より $x \in {Cl}_{O} (A ∖ {x})$ が成り立つので，
$x \in D_{O} (A) \subset A \cup D_{O} (A) = {Cl}_{D_{O}} (A)$
を得る．
任意の $x \in {Cl}_{D_{O}} (A) = A \cup D_{O} (A)$ に対して
$x \in A \cup {Cl}_{O} (A ∖ {x}) \subset {Cl}_{O} (A)$
が成り立つ．

$O \in Open (X)$ とする．このとき
$\begin{aligned} A \in C_{O} & ⟺ A = {Cl}_{O} (A) \\ ⟺ A = A \cup D_{O} (A) \\ ⟺ D_{O} (A) \subset A \end{aligned}$
が成り立つ．

収束関係再考

準近傍フィルター族

（ $Open (X)$ を介した）反単調Galois対応 $Nbd (X) ⇄ TopConv (X)$ :
$N_{O} ⟷ {(x, F) \in X \times Filter (X) ∣ N_{O} (x) \subset F}$
を踏まえ，一般のフィルター族 $N \in Filter (X)^{X}$ に対して， $ξ_{N} \subset X \times Filter (X)$ を
$ξ_{N} := {(x, F) \in X \times Filter (X) ∣ N (x) \subset F}$
で定める．（したがって $ξ_{O} = ξ_{N_{O}}$ である．）このとき
$F \subset F^{'} \land N (x) \subset F ⟹ N (x) \subset F^{'}$
より $lim_{ξ_{N}}$ は単調である．また，
$x \in {lim}_{ξ_{N}} ⟨ x ⟩_{\in} ⟺ N (x) \subset ⟨ x ⟩_{\in}$
が成り立つ．

フィルター族 $N \in Filter (X)^{X}$ について
$\forall x \in X, N (x) \subset ⟨ x ⟩_{\in}$
が成り立つとき， $N$ を $X$ 上の準近傍フィルター族ということにする． $X$ 上の準近傍フィルター族全体のなす集合を $preNbd (X)$ で表わす：
$N \in preNbd (X) ⟺ ξ_{N} \in Conv (X) .$

収束関係 $ξ \in Conv (X)$ に対してフィルター族 $N_{ξ}$ を
$N_{ξ} (x) := ⋂ {F \in Filter (X) ∣ x \in {lim}_{ξ} F}$
で定める． $x \in lim_{ξ} ⟨ x ⟩_{\in}$ より $N_{ξ} (x) \subset ⟨ x ⟩_{\in}$ であるから， $N_{ξ} \in preNbd (X)$ である．

$N \in preNbd (X), ξ \in Conv (X)$ とする．このとき次が成り立つ：

$N_{ξ_{N}} = N$ ;
$ξ_{N_{ξ}} \supset ξ$ .

$x \in X$ とする． $ξ_{N}$ の定義より
$x \in {lim}_{ξ_{N}} F ⟺ (x, F) \in ξ_{N} ⟺ N (x) \subset F$
であるから，
$N (x) \subset ⋂ {F \in Filter (X) ∣ x \in {lim}_{ξ_{N}} F} = N_{ξ_{N}} (x) \subset N (x)$
が成り立つ．
$(x, F) \in ξ$ とすると， $x \in lim_{ξ} F$ より $N_{ξ} (x) \subset F$ となるので， $(x, F) \in ξ_{N_{ξ}}$ が成り立つ．

前位相的収束関係

$ξ = ξ_{N_{O}} \in TopConv (X)$ のとき，任意の $x \in X$ に対して
$(x, N_{ξ} (x)) = (x, N_{ξ_{N_{O}}} (x)) = (x, N_{O} (x)) \in ξ_{N_{O}} = ξ$
が成り立つ．

$ξ \in Conv (X)$ とする．任意の $x \in X$ に対して
$(x, N_{ξ} (x)) \in ξ$
が成り立つとき， $ξ$ を $X$ 上の前位相的収束関係という． $X$ 上の前位相的収束関係全体のなす集合を $preTopConv (X)$ で表わす．

$N \in preNbd (X)$ とすると，任意の $x \in X$ に対して
$(x, N_{ξ_{N}} (x)) = (x, N (x)) \in ξ_{N}$
が成り立つので， $ξ_{N} \in preTopConv (X)$ である．

写像 $γ : preNbd (X) ⇄ preTopConv (X) : δ$ を
$γ (N) := ξ_{N}, δ (ξ) := N_{ξ}$
で定めると， $(γ, δ)$ は反単調Galois対応である．

これは明らかに反単調Galois対応
$Nbd (X) ⇄ TopConv (X)$
の拡張になっている．

$(γ, δ)$ はGalois接続である

$ξ \subset γ (N)$ とし， $x \in X$ とする．このとき
$x \in {lim}_{ξ} F ⟺ (x, F) \in ξ \subset ξ_{N} ⟹ N (x) \subset F$
より
$N (x) \subset ⋂ {F \in Filter (X) ∣ x \in {lim}_{ξ} F} = N_{ξ} (x) = δ (ξ) (x)$
が成り立つ．
$N \leq δ (ξ)$ とする．このとき
$\begin{aligned} (x, F) \in ξ & ⟺ x \in {lim}_{ξ} F \\ ⟹ N_{ξ} (x) \subset F \\ ⟹ N (x) \subset F \\ ⟺ (x, F) \in ξ_{N} \end{aligned}$
より， $ξ \subset γ (N)$ が成り立つ．

$γ, δ$ は互いの逆写像である

$δ (γ (N)) = N_{ξ_{N}} = N$ であった．
$ξ \in preTopConv (X)$ とする．一般に $ξ_{N_{ξ}} \supset ξ$ が成り立つのだった．一方， $(x, F) \in ξ_{N_{ξ}}$ とすると， $N_{ξ} (x) \subset F$ であるから，仮定と $lim_{ξ}$ の単調性より
$x \in {lim}_{ξ} N_{ξ} (x) \subset {lim}_{ξ} F,$
すなわち $(x, F) \in ξ$ が成り立つ．

擬閉包作用素

$ξ \in Conv (X)$ とする．このとき，写像 ${Cl}_{ξ} : P (X) \to P (X)$ を
${Cl}_{ξ} (A) := {x \in X ∣ \exists F \in Filter (X), A \in F \supset N_{ξ} (x)}$
で定めると，

${Cl}_{ξ} (\emptyset) = \emptyset$ ;
$A \subset {Cl}_{ξ} (A)$ ;
${Cl}_{ξ} (A \cup B) = {Cl}_{ξ} (A) \cup {Cl}_{ξ} (B)$ ;

が成り立つ．

空集合はフィルターの要素ではないので ${Cl}_{ξ} (\emptyset) = \emptyset$ が成り立つ．
$x \in A$ とすると， $x \in lim_{ξ} ⟨ x ⟩_{\in}$ より， $A \in ⟨ x ⟩_{\in} \supset N_{ξ} (x)$ となるので， $x \in {Cl}_{ξ} (A)$ が成り立つ．
1. $x \in {Cl}_{ξ} (A \cup B) ∖ {Cl}_{ξ} (A)$ とすると $F \in Filter (X)$ であって
  $A \cup B \in F \supset N_{ξ} (x); A \notin F$
  なるものが存在する．このとき，任意の $N \in N_{ξ} (x)$ に対して $N \cap B \neq \emptyset$ が成り立つ．実際， $N_{0} \in N_{ξ} (x)$ であって $N_{0} \cap B = \emptyset$ なるものが存在したとすると， $N_{0}, A \cup B \in F$ より
  $N_{0} \cap A = (N_{0} \cap A) \cup (N_{0} \cap B) = N_{0} \cap (A \cup B) \in F, N_{0} \cap A \subset A,$
  したがって $A \in F$ となり不合理である．よって
  $B \in ⟨ {N \cap B ∣ N \in N_{ξ} (x)} ⟩_{\subset} \supset N_{ξ} (x)$
  となるので $x \in {Cl}_{ξ} (B)$ を得る．以上より ${Cl}_{ξ} (A \cup B) ∖ {Cl}_{ξ} (A) \subset {Cl}_{ξ} (B)$ ，すなわち ${Cl}_{ξ} (A \cup B) \subset {Cl}_{ξ} (A) \cup {Cl}_{ξ} (B)$ が成り立つ．
2. $A \subset B$ とし $x \in {Cl}_{ξ} (A)$ とすると， $F \in Filter (X)$ であって
  $A \in F \supset N_{ξ} (x)$
  なるものが存在するので， $A \in F, A \subset B$ より
  $B \in F \supset N_{ξ} (x)$
  が成り立ち， $x \in {Cl}_{ξ} (B)$ を得る．よって ${Cl}_{ξ}$ は単調なので，
  ${Cl}_{ξ} (A) \cup {Cl}_{ξ} (B) \subset {Cl}_{ξ} (A \cup B)$
  が成り立つ．

$ξ \in Conv (X)$ とする．このとき任意の $A \subset X$ に対して
$x \in {Cl}_{ξ} (A) ⟺ \forall N \in N_{ξ} (x), N \cap A \neq \emptyset$
が成り立つ．したがって位相的収束関係 $ξ_{N_{O}} \in TopConv (X)$ に対しては ${Cl}_{ξ_{N_{O}}} = {Cl}_{O}$ が成り立つ．

$x \in {Cl}_{ξ} (A)$ とし， $F \in Filter (X)$ であって $A \in F \supset N_{ξ} (x)$ なるものを取る．このとき，任意の $N \in N_{ξ} (x)$ に対して $N, A \in F$ より
$F ∋ N \cap A \neq \emptyset$
が成り立つ．
任意の $N \in N_{ξ} (x)$ に対して $N \cap A \neq \emptyset$ が成り立つとする．このとき
${N \cap A ∣ N \in N_{ξ} (x)}$
はフィルター基なので，これが生成するフィルター
$F := ⟨ {N \cap A ∣ N \in N_{ξ} (x)} ⟩_{\subset} \in Filter (X)$
が定まる．明らかに $A \in F$ であり， $N_{ξ} (x) \subset F$ が成り立つ．よって $x \in {Cl}_{ξ} (A)$ を得る．

$ξ \in Conv (X)$ とする．このとき任意の $A \subset X$ に対して
${Cl}_{ξ} (A) = {x \in X ∣ X ∖ A \notin N_{ξ} (x)}$
が成り立つ．

$x \in {Cl}_{ξ} (A)$ とする．もし $X ∖ A \in N_{ξ} (x)$ とすると，
$\emptyset = (X ∖ A) \cap A \neq \emptyset$
となり不合理である．
$X ∖ A \notin N_{ξ} (x)$ とすると，任意の $N \in N_{ξ} (x)$ に対して $N ⊄ X ∖ A$ すなわち $N \cap A \neq \emptyset$ が成り立つので， $x \in {Cl}_{ξ} (A)$ を得る．

写像 $Cl : P (X) \to P (X)$ について

$Cl (\emptyset) = \emptyset$ ;
$A \subset Cl (A)$ ;
$Cl (A \cup B) = Cl (A) \cup Cl (B)$ ;

が成り立つとき， $Cl$ を $X$ 上の擬閉包作用素という． $X$ 上の擬閉包作用素全体のなす集合を $preTopCl (X)$ で表わす．

$Cl \in preTopCl (X)$ とする．このとき
$C := {A \in P (X) ∣ A = Cl (A)}$
と定めると，これは $X$ の閉集合系をなす．

$\emptyset, X \in C$ は明らか．
$A, A^{'} \in C$ とすると
$A \cup A^{'} = Cl (A) \cup Cl (A^{'}) = Cl (A \cup A^{'})$
より $A \cup A^{'} \in C$ が成り立つ．
$A \subset C$ とする．任意の $A \in A$ に対して
$Cl (⋂ A) \subset Cl (A) = A$
が成り立つので，
$⋂ A \subset Cl (⋂ A) \subset ⋂ A$
より， $⋂ A \in C$ を得る．

$A \subset X$ とする．このとき，
$A \subset C \in C ⟹ Cl (A) \subset Cl (C) = C$
より
$Cl (A) \subset ⋂ {C \in C ∣ A \subset C} = {Cl}_{O_{C}} (A)$
が成り立つ．

3者の関係

近傍系族 $N = N_{O} \in Nbd (X)$ に対しては
$N (x) = {N \subset X ∣ x \in {Int}_{O} (N) = X ∖ {Cl}_{O} (X ∖ N)}$
であったことを踏まえ，擬閉包作用素 $Cl \in preTopCl (X)$ に対して， $N_{Cl} \in P (P (X))^{X}$ を
$N_{Cl} (x) := {N \subset X ∣ x \notin Cl (X ∖ N)}$
で定める．

$N_{Cl} \in preNbd (X)$ が成り立つ．

$x \in X$ とする．

任意の $N \in N_{Cl} (x)$ に対して， $x \notin Cl (X ∖ N) \supset X ∖ N$ より， $x \in N$ が成り立つ．
$x \notin Cl (X ∖ X) = \emptyset$ より $X \in N_{Cl} (x)$ が成り立つ．
$N, N^{'} \in N_{Cl} (x)$ とする．このとき
$\begin{aligned} x \notin Cl (X ∖ N) \cup Cl (X ∖ N^{'}) & = Cl ((X ∖ N) \cup (X ∖ N^{'})) \\ = Cl (X ∖ (N \cap N^{'})) \end{aligned}$
より $N \cap N^{'} \in N_{Cl} (x)$ が成り立つ．
$N \in N_{Cl} (x), N \subset N^{'} \subset X$ とすると，
$x \notin Cl (X ∖ N) \supset Cl (X ∖ N^{'})$
より $N^{'} \in N_{Cl} (x)$ が成り立つ．

写像 $ϕ : preTopConv (X) \to preTopCl (X)$ および $ψ : preTopCl (X) \to preNbd (X)$ をそれぞれ
$ϕ (ξ) := {Cl}_{ξ}; ψ (Cl) := N_{Cl}$
で定めると，これらは全単射である．さらに， $(ϕ, ϕ^{- 1})$ （resp. $(ψ, ψ^{- 1})$ ）は単調Galois対応（resp. 反単調Galois対応）であり，Galois対応
$TopConv (X) ⇄ TopCl (X) ⇄ Nbd (X)$
の拡張になっている．

$ϕ, ψ$ は全単射

$ψ \circ ϕ = δ$ および $ϕ \circ γ \circ ψ = id$ が成り立つことを示せばよい：
$preNbd (X) γ preTopCl (X) ψ preTopConv (X) ϕ δ$

$ξ \in preTopConv (X)$ とし， $x \in X$ とする．
1. $N \in N_{ξ} (x) = δ (ξ) (x)$ とする．このとき
  $\forall F \in Filter (X), X ∖ N \in F ⟹ F ⊅ N_{ξ} (x)$
  より， $x \notin {Cl}_{ξ} (X ∖ N)$ すなわち $N \in N_{{Cl}_{ξ}} (x) = ψ (ϕ (ξ)) (x)$ が成り立つ．
2. $N \notin N_{ξ} (x)$ とする．このとき任意の $F \in N_{ξ} (x)$ に対して， $F ⊄ N$ より， $F \cap (X ∖ N) \neq \emptyset$ であるから，
  $X ∖ N \in ⟨ {F \cap (X ∖ N) ∣ F \in N (x)} ⟩_{\subset} \supset N_{ξ} (x)$
  が成り立つ．よって $x \in {Cl}_{ξ} (X ∖ N)$ となるので， $N \notin N_{{Cl}_{ξ}} (x)$ を得る．
$Cl \in preTopCl (X)$ とし， $A \subset X$ とする．
1. $x \in Cl (A)$ とする．このとき $N \in N_{Cl} (x) = N_{ξ_{N_{Cl}}} (x)$ であって $N \cap A = \emptyset$ なるものが存在したとすると， $A \subset X ∖ N$ より
  $x \in Cl (A) \subset Cl (X ∖ N) ∌ x$
  となり不合理である．よって $x \in {Cl}_{ξ_{N_{Cl}}} (A) = ϕ (γ (ψ (Cl))) (A)$ が成り立つ．
2. $x \notin Cl (A)$ とする．このとき $N := X ∖ A$ とおくと， $x \notin Cl (X ∖ N)$ より
  $N \in N_{Cl} (x) = N_{ξ_{N_{Cl}}} (x), N \cap A = \emptyset$
  であるから， $x \notin {Cl}_{ξ_{N_{Cl}}} (A)$ が成り立つ．

$(ϕ, ϕ^{- 1}), (ψ, ψ^{- 1})$ はGalois対応

$ξ \subset ξ^{'}$ とすると
$N_{ξ} (x) = ⋂ {F \in Filter (X) ∣ x \in {lim}_{ξ} F} \supset ⋂ {F \in Filter (X) ∣ x \in {lim}_{ξ^{'}} F} = N_{ξ^{'}} (x)$
より $N_{ξ} \geq N_{ξ^{'}}$ であるから，
${Cl}_{ξ} (A) = {x \in X ∣ X ∖ A \notin N_{ξ} (x)} \subset {x \in X ∣ X ∖ A \notin N_{ξ^{'}} (x)} = {Cl}_{ξ^{'}} (A)$
が成り立つ．よって $ϕ$ は単調であり，したがって $ψ^{- 1} = ϕ \circ γ$ は反単調である．
$Cl \leq {Cl}^{'}$ とすると
$\begin{aligned} N \in N_{{Cl}^{'}} (x) & ⟺ x \notin {Cl}^{'} (X ∖ N) \\ ⟹ x \notin Cl (X ∖ N) \\ ⟺ N \in N_{Cl} (x) \end{aligned}$
より $N_{{Cl}^{'}} \leq N_{Cl}$ が成り立つので， $ψ$ は反単調である．したがって $ϕ^{- 1} = γ \circ ψ$ は単調である．

以上より
$ϕ (ξ) \leq Cl ⟺ ξ \leq ϕ^{- 1} (Cl),$
および
$N \leq ψ (Cl) ⟺ Cl \leq ψ^{- 1} (N)$
が成り立つ．

$ϕ, ψ$ は $TopConv (X) ⇄ TopCl (X) ⇄ Nbd (X)$ の拡張

$ξ = ξ_{N_{O}} \in TopConv (X)$ のとき， $ϕ (ξ) = {Cl}_{ξ_{N_{O}}} = {Cl}_{O}$
となることは既に見た．
$Cl = {Cl}_{O} \in TopCl (X)$ のとき，
$\begin{aligned} N_{Cl} (x) & = {N \subset X ∣ x \notin {Cl}_{O} (X ∖ N)} \\ = {N \subset X ∣ x \in {Int}_{O} (N)} \\ = N_{O} (x) \end{aligned}$
より，
$ψ (Cl) = N_{Cl} = N_{O}$
が成り立つ．

$N \in preNbd (X)$ に対して，
$\begin{aligned} ξ_{N} & = γ (N) = {(x, F) \in X \times Filter (X) ∣ N (x) \subset F} \in preTopConv (X), \\ {Cl}_{N} & := {Cl}_{ξ_{N}} = [A \mapsto {x \in X ∣ X ∖ A \notin N (x)}] \in preTopCl (X) \end{aligned}$
が対応する．
$ξ \in preTopConv (X)$ に対して，
$\begin{aligned} {Cl}_{ξ} & = ϕ (ξ) = [A \mapsto {x \in X ∣ X ∖ A \notin N_{ξ} (x)}] \in preTopCl (X), \\ N_{ξ} & = N_{{Cl}_{ξ}} = [x \mapsto {N \subset X ∣ x \notin {Cl}_{ξ} (X ∖ N)}] \in preNbd (X) \end{aligned}$
が対応する．
$Cl \in preTopCl (X)$ に対して，
$\begin{aligned} N_{Cl} & = ψ (Cl) = [x \mapsto {N \subset X ∣ x \notin Cl (X ∖ N)}] \in preNbd (X), \\ ξ_{Cl} & := ξ_{N_{Cl}} = {(x, F) \in X \times Filter (X) ∣ N_{Cl} (x) \subset F} \in preTopConv (X) \end{aligned}$
が対応する．

$N \in preNbd (X), ξ \in preTopConv (X), Cl \in preTopCl (X)$ が互いに対応しているとする．このとき次は同値である：

$N \in Nbd (X)$ ，すなわち
$N \in N (x) ⟹ {Int}_{N} (N) \in N (x)$
が成り立つ；
$ξ \in TopConv (X)$ が成り立つ；
$Cl \in TopCl (X)$ ，すなわち
$Cl \circ Cl = Cl$
が成り立つ．

更新履歴

2024/10/20：「収束関係再考」の節を書き直しました．

参考文献

[1]

N. Bourbaki, General Topology Chapters 1–4

[2]

J. Dugundji, Topology

[3]

M. Erné, J. Koslowski, A. Melton, G. E. Strecker, A Primer on Galois Connections, Ann. N. Y. Acad. Sci

[4]

Barbel M. R. Stadler , Peter F. Stadler, Basic Properties of Filter Convergence Spaces (pdf), 閲覧日 2024年10月17日, https://www.bioinf.uni-leipzig.de/~studla/Publications/PREPRINTS/01-pfs-007-subl1.pdf

[5]

位相空間論とフィルター, 閲覧日 2024年10月20日, https://tetobourbaki.hatenablog.com/entry/2018/07/11/191714

[6]

収束空間について, 閲覧日 2024年10月17日, https://tetobourbaki.hatenablog.com/entry/2018/07/22/160712

[7]

Unknown, Galois接続入門, Mathlog, Tue Oct 01 2024, アクセス日: Sun Oct 20 2024

投稿日：2024年10月19日

更新日：2024年10月20日

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うすい

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うすい

位相の定め方

開集合系
位相的開核作用素
近傍系族
開基と準開基
基本近傍系と局所開基
基本近傍系
局所開基
位相的収束関係
閉集合系
位相的閉包作用素
境界作用素
導作用素
収束関係再考
準近傍フィルター族
前位相的収束関係
擬閉包作用素
3者の関係
更新履歴
参考文献

位相の定め方

開集合系

位相的開核作用素

近傍系族

開基と準開基

基本近傍系と局所開基

基本近傍系

(i)⟹(ii)

(ii)⟹(i)

局所開基

位相的収束関係

閉集合系

位相的閉包作用素

境界作用素

β↦Clβ↦β

ClO↦βO↦ClO

導作用素

D↦ClD↦D

ClO↦DO↦ClO

収束関係再考

準近傍フィルター族

前位相的収束関係

(γ,δ)はGalois接続である

γ,δは互いの逆写像である

擬閉包作用素

3者の関係

ϕ,ψは全単射

(ϕ,ϕ−1),(ψ,ψ−1)はGalois対応

ϕ,ψはTopConv(X)⇄TopCl(X)⇄Nbd(X)の拡張

更新履歴

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(i) $⟹$ (ii)

(ii) $⟹$ (i)

$β \mapsto {Cl}_{β} \mapsto β$

${Cl}_{O} \mapsto β_{O} \mapsto {Cl}_{O}$

$D \mapsto {Cl}_{D} \mapsto D$

${Cl}_{O} \mapsto D_{O} \mapsto {Cl}_{O}$

$(γ, δ)$ はGalois接続である

$γ, δ$ は互いの逆写像である

$ϕ, ψ$ は全単射

$(ϕ, ϕ^{- 1}), (ψ, ψ^{- 1})$ はGalois対応

$ϕ, ψ$ は $TopConv (X) ⇄ TopCl (X) ⇄ Nbd (X)$ の拡張