位相の定め方

$I \in \mathsf{TopInt}(X)$とする．$I$の単調性を示せばよい．そこで$A \subset B$とすると，
$$ I(A) = I(A \cap B) = I(A) \cap I(B) \subset I(B)$$
が成り立つ．

1. $\I_{\mathcal{B}}(X) = \bigcup \mathcal{B} = X$が成り立つ．
2. $\I_{\mathcal{B}}(A) \subset A$は明らか．
3. $x \in \I_{\mathcal{B}}(A)$とすると，$B \in \mathcal{B}$であって$x \in B \subset A$を満たすものが存在する．このとき$B \subset \I_{\mathcal{B}}(A)$であるから，$x \in B \subset \I_{\mathcal{B}}(\I_{\mathcal{B}}(A))$を得る．
4. $A,A' \in \power{X}$とすると，$\{B \in \mathcal{B}\mid B \subset A\cap A'\} \subset \{B\in\mathcal{B}\mid B \subset A\}$であるから，$\I_{\mathcal{B}}(A\cap A') \subset \I_{\mathcal{B}}(A)$が成り立つ．同様に$\I_{\mathcal{B}}(A\cap A') \subset I(A')$も成り立つ．よって
   $$ \I_{\mathcal{B}}(A\cap A') \subset \I_{\mathcal{B}}(A) \cap \I_{\mathcal{B}}(A')$$
   が成り立つ．逆に$x \in \I_{\mathcal{B}}(A) \cap \I_{\mathcal{B}}(A')$とすると，$B,B' \in \mathcal{B}$であって
   $$ x \in B \subset A,\ x \in B' \subset A'$$
   を満たすものが存在する．したがって$B'' \in \mathcal{B}$であって
   $$ x \in B'' \subset B \cap B' \subset A \cap A'$$
   を満たすものが存在するので，$x \in \I_{\mathcal{B}}(A \cap A')$が成り立つ．

1. $\varnothing \subset I(\varnothing) \subset \varnothing$より$\varnothing \in \mathcal{O}_{I}$を得る．$X \in \mathcal{O}_{I}$は明らか．
2. $U,V \in \mathcal{O}_{I}$とすると，
   $$ I(U \cap V) = I(U) \cap I(V) = U \cap V$$
   より，$U \cap V \in \mathcal{O}_{I}$が成り立つ．
3. $\mathcal{U} \subset \mathcal{O}_{I}$とし，$x \in \bigcup \mathcal{U}$とする．このとき$U \in \mathcal{U}$であって$x \in U$なるものが存在するので，
   $$ x \in U = I(U) \subset I\qty(\bigcup\mathcal{U})$$
   が成り立つ．よって
   $$ \bigcup\mathcal{U} \subset I\qty(\bigcup\mathcal{U}) \subset \bigcup\mathcal{U}$$
   となるので，$\bigcup\mathcal{U} \in \mathcal{O}_{I}$を得る．

1. $\lambda(\mathcal{B}) \leq I$とする．このとき任意の$B \in \mathcal{B}$に対して，
   $$ B \subset \I_{\mathcal{B}}(B) \subset I(B) \subset B$$
   より$I(B) = B$が成り立つので，$B \in \rho(I)$を得る．よって$\mathcal{B} \subset \rho(I)$が成り立つ．
2. $\mathcal{B} \subset \rho(I)$とする．このとき，任意の$A \in \power{X}$に対して
   \begin{align} \I_{\mathcal{B}}(A) &= \bigcup \{B \in \mathcal{B} \mid B \subset A\}\\ &= \bigcup\{B \in \mathcal{B} \mid B = I(B) \subset I(A)\}\\ &\subset I(A) \\ \end{align}
   が成り立つので，$\lambda(\mathcal{B}) \leq I$を得る．

$\mathcal{O} \in \mathsf{Open}(X)$とする．

1. $\mathcal{O} \subset \rho(\lambda(\mathcal{O}))$は明らか．
2. $U \in \rho(\lambda(\mathcal{O}))$とすると，
   $$ U = \lambda(\mathcal{O})(U) = \bigcup\{V \in \mathcal{O}\mid V \subset U\} \in \mathcal{O}$$
   が成り立つ．

$I \in \mathsf{TopInt}(X)$とする．

1. $\lambda(\rho(I)) \leq I$は明らか．
2. $A \in \power{X}$とする．このとき$I(I(A)) = I(A)$より$I(A) \in \rho(I)$であるから，$I(A) \subset A$と合わせて
   $$ I(A) \subset \bigcup\{U \in \rho(I) \mid U \subset A\} = \lambda(\rho(I))(A)$$
   を得る．よって$I \leq \lambda(\rho(I))$が成り立つ．

1. $X \in \mathcal{O}$であるから，任意の$x \in X$に対して$B \in \mathcal{B}$であって$x \in B \subset X$を満たすものが存在する．よって$\bigcup\mathcal{B}=X$が成り立つ．
2. $B,B' \in \mathcal{B} \subset \mathcal{O},\, x \in B \cap B'$とすると，$B \cap B' \in \mathcal{O}$より，$B'' \in \mathcal{B}$であって$x \in B'' \subset B \cap B'$を満たすものが存在する．

1. $\varnothing \notin \gen{\mathcal{F}_{0}}_{\subset}$は明らか．
2. $\prescript{\exists}{}F_{0} \in \mathcal{F}_{0} \neq \varnothing$に対して$F_{0} \subset X$が成り立つので，$X \in \gen{\mathcal{F}_{0}}_{\subset}$を得る．
3. $F,F' \in \gen{\mathcal{F}_{0}}_{\subset}$とする．このとき$F_{0},F_{0}',F_{0}'' \in \mathcal{F}_{0}$であって
   $$ F_{0}'' \subset F_{0} \cap F_{0}' \subset F \cap F'$$
   なるものが存在するので，$F \cap F' \in \gen{\mathcal{F}_{0}}_{\subset}$が成り立つ．
4. $F \in \gen{\mathcal{F}_{0}}_{\subset}, F \subset G \subset X \implies G \in \gen{\mathcal{F}_{0}}_{\subset}$は明らか．

$\mathcal{N} := \gen{\mathcal{N}_{0}}$とおく：
$$ \mathcal{N}(x) = \gen{\mathcal{N}_{0}(x)}_{\subset} = \{N \in \power{X} \mid \exists N_{0} \in \mathcal{N}_{0}(x),\ N_{0} \subset N\}.$$

(i)$\implies$(ii)

$x \in X$とする．

1. $\mathcal{N}_{0}(x) \subset \mathcal{N}(x) \subset \gen{x}_{\in}$が成り立つ．
2. $N_{0} \in \mathcal{N}_{0}(x)$とする．このとき$\I_{\mathcal{N}}(N_{0}) \in \mathcal{N}(x) = \gen{\mathcal{N}_{0}(x)}_{\subset}$に対して，$N_{0}' \in \mathcal{N}_{0}(x)$であって$N_{0}' \subset \I_{\mathcal{N}}(N_{0})$なるものが存在する．

(ii)$\implies$(i)

$x \in X$とする．

1. 任意の$N \in \mathcal{N}(x)$に対して，$x \in \prescript{\exists}{}{N_{0}}_{\in \mathcal{N}_{0}(x)} \subset N$が成り立つ．
2. $N \in \mathcal{N}(x)$とし，$N_{0} \subset N$なる$N_{0} \in \mathcal{N}_{0}(x)$を取る．このとき$N_{0}' \in \mathcal{N}_{0}(x)$であって$N_{0}' \subset \I_{\mathcal{N}}(N_{0})$を満たすものが存在する．よって
   $$ N_{0}' \subset \I_{\mathcal{N}}(N_{0}) \subset \I_{\mathcal{N}}(N)$$
   より，$\I_{\mathcal{N}}(N) \in \gen{\mathcal{N}_{0}(x)}_{\subset} = \mathcal{N}(x)$が成り立つ．

条件(1)は$\gen{\mathcal{N}_{0}} \leq \nu_{\tau}(\mathcal{O})$と同値であり，条件(2)は$\nu_{\tau}(\mathcal{O}) \leq \gen{\mathcal{N}_{0}}$を書き下したものであることに注意すればよい．

1. 任意の$x \in X$に対して，$B \in \mathcal{L}(x) \neq \varnothing$を取れば$x \in B \in \mathcal{B}_{\mathcal{L}}$が成り立つので，$\mathcal{B}_{\mathcal{L}}$は$X$の被覆である．
2. $B,B' \in \mathcal{B}_{\mathcal{L}}$とし$x \in B \cap B'$とする．このとき
   $$ x \in B \cap B' \subset \I_{\gen{\mathcal{L}}}(B) \cap \I_{\gen{\mathcal{L}}}(B') = \I_{\gen{\mathcal{L}}}(B \cap B')$$
   より$B \cap B' \in \gen{\mathcal{L}}(x) = \gen{\mathcal{L}(x)}_{\subset}$となるので，$B'' \in \mathcal{L}(x) \subset \mathcal{B}_{\mathcal{L}}$であって
   $$ x \in B'' \subset B \cap B'$$
   を満たすものが存在する．

$x \in X$とする．

1. $N \in \nu(\mathcal{B}_{\mathcal{L}})(x)$とする．このとき$B \in \mathcal{B}_{\mathcal{L}}$であって$x \in B \subset N$なるものが存在する．さらに$x \in B \subset \I_{\gen{\mathcal{L}}}(B)$より$B \in \gen{\mathcal{L}}(x)$となるので，$B' \in \mathcal{L}(x)$であって$B' \subset B \subset N$を満たすものが存在する．よって$N \in \gen{\mathcal{L}(x)}_{\subset} = \gen{\mathcal{L}}(x)$が成り立つ．
2. $N \in \gen{\mathcal{L}}(x)$とすると，$B \in \mathcal{L}(x) \subset \mathcal{B}_{\mathcal{L}}$であって$x \in B \subset N$なるものが存在するので，$N \in \nu(\mathcal{B}_{\mathcal{L}})(x)$が成り立つ．

(1),(2),(3)が成り立つとすると$\mathcal{L}$は局所基底族である．あとは条件(2)が$\mathcal{B}_{\mathcal{L}} \subset \mathcal{O}$と，したがって$\tau_{\nu}(\gen{\mathcal{L}}) \subset \mathcal{O}$と同値であり，条件(3)は$\mathcal{O} \subset \tau_{\nu}(\gen{\mathcal{L}})$を書き下したものであることに注意すればよい．

1. $\mathcal{F},\mathcal{F}' \in \mathsf{Filter}(X),\,\mathcal{F} \subset \mathcal{F}'$とする．このとき任意の$x \in X$に対して
   \begin{align} x \in \lim\nolimits_{\xi_{\mathcal{O}}}(\mathcal{F}) &\iff (x,\mathcal{F}) \in \xi_{\mathcal{O}}\\ &\iff \mathcal{N}_{\mathcal{O}}(x) \subset \mathcal{F}\\ &\implies \mathcal{N}_{\mathcal{O}}(x) \subset \mathcal{F}'\\ &\iff (x,\mathcal{F}') \in \xi_{\mathcal{O}}\\ &\iff x \in \lim\nolimits_{\xi_{\mathcal{O}}}(\mathcal{F}') \end{align}
   が成り立つので，$\lim_{\xi_{\mathcal{O}}}$は単調である．
2. 任意の$x \in X$に対して，$\mathcal{N}_{\mathcal{O}}(x) \subset \gen{x}_{\in}$より，$(x,\gen{x}_{\in}) \in \xi_{\mathcal{O}}$すなわち$x \in \lim_{\xi_{\mathcal{O}}}(\gen{x}_{\in})$が成り立つ．

$\mathcal{A} \in \ppower{X}$とし，$\zeta := \gamma(\mathcal{A})$とおく．

1. $\varnothing, X \in \delta(\zeta)$は明らか．
2. $U,V \in \delta(\zeta)$とし，$(x,\mathcal{F}) \in \zeta$とする．このとき$x \in U \cap V$ならば，$U,V \in \mathcal{F}$したがって$U \cap V \in \mathcal{F}$となる．よって$U \cap V \in \delta(\zeta)$が成り立つ．
3. $\mathcal{U} \subset \delta(\zeta)$とし，$(x,\mathcal{F}) \in \zeta$とする．このとき，$x \in \bigcup\mathcal{U}$とすると，$U \in \mathcal{U}$であって$x \in U$なるものが存在し，したがって
   $$ U \in \mathcal{F},\ U \subset \bigcup\mathcal{U}$$
   より$\bigcup\mathcal{U} \in \mathcal{F}$を得る．よって$\bigcup\mathcal{U} \in \delta(\zeta)$が成り立つ．

$\mathcal{O} \in \mathsf{Open}(X)$とする．

1. $\mathcal{O} \subset \delta(\gamma(\mathcal{O}))$は明らか．
2. $U \in \delta(\gamma(\mathcal{O}))$とする．このとき，各$x \in U$に対して，$(x,\mathcal{N}_{\mathcal{O}}(x)) \in \gamma(\mathcal{O})$および$x \in U$より，$U \in \mathcal{N}_{\mathcal{O}}(x)$が成り立つので，$V(x) \in \mathcal{O}$であって$x \in V(x) \subset U$なるものが存在する．よって
   $$ U = \bigcup\{V(x) \in \mathcal{O}\mid x \in U\} \in \mathcal{O}$$
   が成り立つ．

$\zeta \in \power{X \times \mathsf{Filter}(X)}$とし，$\mathcal{O} := \delta(\zeta) \in \delta(\power{X\times\mathsf{Filter}(X)}) = \mathsf{Open}(X)$とおく．

1. $(x,\mathcal{F}) \in \gamma(\mathcal{O})$とし，$N \in \mathcal{N}_{\mathcal{O}}(x)$とする．このとき$U \in \mathcal{O}$であって$x \in U \subset N$なるものが存在する．よって
   $$ U \in \mathcal{F},\ U \subset N$$
   より$N \in \mathcal{F}$が成り立つ．
2. $\mathcal{N}_{\mathcal{O}}(x) \subset \mathcal{F}$とすると，任意の$U \in \mathcal{O}$に対して
   $$ x \in U \implies U \in \mathcal{N}_{\mathcal{O}}(x) \subset \mathcal{F}$$
   が成り立つので，$(x,\mathcal{F}) \in \gamma(\mathcal{O})$を得る．

以上より
$$ \gamma(\delta(\zeta)) = \{(x,\mathcal{F}) \in X \times \mathsf{Filter}(X) \mid \mathcal{N}_{\mathcal{O}}(x) \subset \mathcal{F}\} \in \mathsf{TopConv}(X)$$
が成り立つ．

$\xi = \xi_{\mathcal{O}} \in \mathsf{TopConv}(X)$とする．

1. $\xi \subset \gamma(\delta(\xi))$は明らか．
2. $(x,\mathcal{F}) \in \gamma(\delta(\xi))$とする．このとき$\mathcal{N}_{\mathcal{O}}(x) \subset \mathcal{F}$が成り立つことを示せばよい．そこで$N \in \mathcal{N}_{\mathcal{O}}(x)$とすると，$U \in \mathcal{O}$であって$x \in U \subset N$なるものが存在する．いま，任意の$(y,\mathcal{G}) \in \xi=\xi_{\mathcal{O}}$に対して
   $$ y \in U \implies U \in \mathcal{N}_{\mathcal{O}}(y) \subset \mathcal{G}$$
   が成り立つので，$U \in \delta(\xi)$を得る．よって$x \in U$と合わせて$U \in \mathcal{F}$となるので，
   $$ U \in \mathcal{F} \in \mathsf{Filter}(X),\ U \subset N$$
   より$N \in \mathcal{F}$が成り立つ．

$\cl \in \mathsf{TopCl}(X)$とする．$\cl$の単調性を示せばよい．そこで$A \subset B$とすると，
$$ \cl(A) \subset \cl(A) \cup \cl(B) = \cl(A \cup B) = \cl(B)$$
が成り立つ．

1. $\cl_{\I}(\varnothing) = X \smallsetminus \I(X) = \varnothing$が成り立つ．
2. $\I(X \smallsetminus A) \subset X \smallsetminus A$より$A \subset \cl_{\I}(A)$が成り立つ．
3. 任意の$A \in \power{X}$に対して
   \begin{align} \cl_{\I}(\cl_{\I}(A)) &= X \smallsetminus \I(X \smallsetminus \cl_{\I}(A))\\ &= X \smallsetminus \I(X \smallsetminus (X \smallsetminus \I(X \smallsetminus A)))\\ &= X \smallsetminus \I(\I(X \smallsetminus A))\\ &= X \smallsetminus \I(X\smallsetminus A)\\ &= \cl_{\I}(A) \end{align}
   が成り立つ．
4. 任意の$A,A' \in \power{X}$に対して
   \begin{align} \cl_{\I}(A \cup A') &= X \smallsetminus \I(X \smallsetminus (A \cup A'))\\ &= X \smallsetminus \I((X \smallsetminus A) \cap (X \smallsetminus A'))\\ &= X \smallsetminus (\I(X \smallsetminus A) \cap \I(X \smallsetminus A'))\\ &= (X \smallsetminus \I(X \smallsetminus A)) \cup (X \smallsetminus \I(X \smallsetminus A'))\\ &= \cl_{\I}(A) \cup \cl_{\I}(A') \end{align}
   が成り立つ．

1. $\cl \leq \gamma(\I)$とする．このとき任意の$A \in \power{X}$に対して，
   $$ \cl(X \smallsetminus A) \subset \cl_{\I}(X \smallsetminus A) = X \smallsetminus \I(A)$$
   より，
   $$ \I(A) \subset X \smallsetminus \cl(X \smallsetminus A) = \I_{\cl}(A)$$
   が成り立つ．よって$\I \leq \delta(\cl)$を得る．
2. 同様にして$\I \leq \delta(\cl) \implies \cl \leq \gamma(\I)$も成り立つ．

1. $\cl_{\beta}(\varnothing) = \varnothing$は明らか．
2. $A \subset \cl_{\beta}(A)$も明らか．
3. まづ
   \begin{align} \beta(A \cup \beta(A)) \smallsetminus (A \cup \beta(A)) &= (X \smallsetminus (A \cup \beta(A))) \cap \beta(X \smallsetminus (A \cup \beta(A)))\\ &= (X\smallsetminus A) \cap (X \smallsetminus \beta(A)) \cap \beta((X\smallsetminus A) \cap (X \smallsetminus \beta(A)))\\ &= (X\smallsetminus A) \cap (X\smallsetminus \beta(A)) \cap (\beta(X\smallsetminus A) \cup \beta(X\smallsetminus \beta(A)))\\ &= (X \smallsetminus (A \cup \beta(A))) \cap (\beta(A) \cup \beta(\beta(A)))\\ &\subset (X \smallsetminus \beta(A)) \cap \beta(A)\\ &= \varnothing \end{align}
   より
   $$ \beta(A \cup \beta(A)) \subset A \cup \beta(A)$$
   が成り立つ．したがって
   \begin{align} \cl_{\beta}(\cl_{\beta}(A)) &= \cl_{\beta}(A \cup \beta(A))\\ &= (A \cup \beta(A)) \cup \beta(A \cup \beta(A))\\ &= A \cup \beta(A)\\ &= \cl_{\beta}(A) \end{align}
   が成り立つ．
4. $$ (X\smallsetminus A ) \cap (X \smallsetminus B) \cap \beta((X\smallsetminus A) \cap (X \smallsetminus B)) = (X\smallsetminus A) \cap (X \smallsetminus B) \cap (\beta(X\smallsetminus A) \cup \beta(X\smallsetminus B))$$
   より
   $$ \beta(A \cup B) \smallsetminus (A \cup B) = (\beta(A) \cup \beta(B)) \smallsetminus (A \cup B)$$
   が成り立つので，
   \begin{align} \cl_{\beta}(A \cup B) &= (A \cup B) \cup \beta(A \cup B)\\ &= (A \cup B) \cup (\beta(A \cup B) \smallsetminus (A \cup B))\\ &= (A \cup B) \cup ((\beta(A) \cup \beta(B)) \smallsetminus (A \cup B))\\ &= (A \cup B) \cup (\beta(A) \cup \beta(B))\\ &= (A \cup \beta(A)) \cup (B \cup \beta(B))\\ &= \cl_{\beta}(A) \cup \cl_{\beta}(B) \end{align}
   を得る．

1. $\beta_{\mathcal{O}}(\varnothing) = \cl_{\mathcal{O}}(\varnothing) \cap \cl_{\mathcal{O}}(X) = \varnothing$.
2. $\beta_{\mathcal{O}}(A) = \cl_{\mathcal{O}}(X \smallsetminus A) \cap \cl_{\mathcal{O}}(X \smallsetminus (X \smallsetminus A)) = \beta_{\mathcal{O}}(X \smallsetminus A)$.
3. \begin{align} \beta_{\mathcal{O}}(\beta_{\mathcal{O}}(A)) &\subset \cl_{\mathcal{O}}(\beta_{\mathcal{O}}(A))\\ &= \cl_{\mathcal{O}}(\cl_{\mathcal{O}}(A) \cap \cl_{\mathcal{O}}(X \smallsetminus A))\\ &\subset \cl_{\mathcal{O}}(\cl_{\mathcal{O}}(A)) \cap \cl_{\mathcal{O}}(\cl_{\mathcal{O}}(X\smallsetminus A))\\ &= \cl_{\mathcal{O}}(A) \cap \cl_{\mathcal{O}}(X\smallsetminus A)\\ &= \beta_{\mathcal{O}}(A). \end{align}
4. \begin{align} A \cap B \cap \beta_{\mathcal{O}}(A \cap B) &= A \cap B \cap \cl_{\mathcal{O}}(A \cap B) \cap \cl_{\mathcal{O}}(X \smallsetminus (A \cap B))\\ &= A \cap B \cap \cl_{\mathcal{O}}((X \smallsetminus A) \cup (X \smallsetminus B))\\ &= A \cap B \cap (\cl_{\mathcal{O}}(X \smallsetminus A) \cup \cl_{\mathcal{O}}(X \smallsetminus B))\\ &= (A \cap B \cap \cl_{\mathcal{O}}(X\smallsetminus A)) \cup (A \cap B \cap \cl_{\mathcal{O}}(X \smallsetminus B))\\ &= (A \cap B \cap \cl_{\mathcal{O}}(A) \cap \cl_{\mathcal{O}}(X \smallsetminus A)) \cup (A \cap B \cap \cl_{\mathcal{O}}(B) \cap \cl_{\mathcal{O}}(X \smallsetminus B))\\ &= (A \cap B \cap \beta_{\mathcal{O}}(A)) \cup (A \cap B \cap \beta_{\mathcal{O}}(B))\\ &= A \cap B \cap (\beta_{\mathcal{O}}(A) \cup \beta_{\mathcal{O}}(B)). \end{align}

$\beta \mapsto \cl_{\beta} \mapsto \beta$

$\cl_{\beta} \in \mathsf{TopCl}(X)$より$\mathcal{O} \in \mathsf{Open}(X)$であって$\cl_{\beta} = \cl_{\mathcal{O}}$なるものが存在する．このとき$A \in \power{X}$に対して，
\begin{align} \beta_{\mathcal{O}}(A) &= \cl_{\mathcal{O}}(A) \cap \cl_{\mathcal{O}}(X\smallsetminus A)\\ &= \cl_{\beta}(A) \cap \cl_{\beta}(X\smallsetminus A)\\ &= (A \cup \beta(A)) \cap ((X \smallsetminus A) \cup \beta(X\smallsetminus A))\\ &= (A \cup \beta(A)) \cap ((X\smallsetminus A) \cup \beta(A))\\ &= (A \cap (X \smallsetminus A)) \cup \beta(A)\\ &= \varnothing \cup \beta(A)\\ &= \beta(A) \end{align}
が成り立つ．

$\cl_{\mathcal{O}} \mapsto \beta_{\mathcal{O}} \mapsto \cl_{\mathcal{O}}$

任意の$A \in \power{X}$に対して，
\begin{align} \cl_{\beta_{\mathcal{O}}}(A) &= A \cup \beta_{\mathcal{O}}(A)\\ &= A \cup (\cl_{\mathcal{O}}(A) \cap \cl_{\mathcal{O}}(X \smallsetminus A))\\ &= \cl_{\mathcal{O}}(A) \cap (A \cup \cl_{\mathcal{O}}(X \smallsetminus A))\\ &= \cl_{\mathcal{O}}(A) \cap X\\ &= \cl_{\mathcal{O}}(A) \end{align}
が成り立つ．

1. $X = \cl(A) \sqcup (X \smallsetminus \cl(A)) = \I(A) \sqcup \beta(A) \sqcup \I(X \smallsetminus A)$.
2. $\cl(\beta(A)) = \beta(A) \cup \beta(\beta(A)) = \beta(A)$.
3. 1. $A \in \mathcal{O} \cap \mathcal{C}$のとき，
      $$ \beta(A) = \cl(A) \smallsetminus \I(A) = A \smallsetminus A = \varnothing$$
      が成り立つ．
   2. $\beta(A) = \varnothing$のとき，
      $$ A = A \smallsetminus \beta(A) = \I(A) \in \mathcal{O},$$
      および
      $$ A = A \cup \beta(A) = \cl(A) \in \mathcal{C}$$
      が成り立つ．
4. $U \in \mathcal{O}$のとき，
   $$ \I(\beta(U)) \cap U \subset \beta(U) \cap \I(U) = \varnothing$$
   より
   $$ \I(\beta(U)) \cap \cl(U) = \varnothing$$
   となるので，
   $$ \I(\beta(U)) = \I(\beta(U)) \cap \beta(U) \subset \I(\beta(U)) \cap \cl(U) = \varnothing$$
   が成り立つ．
5. $\beta(A) \in \mathcal{C}$より$X \smallsetminus \beta(A) \in \mathcal{O}$であるから
   $$ \I(\beta(\beta(A))) = \I(\beta(X \smallsetminus \beta(A))) = \varnothing$$
   となる．よって
   $$ \beta(\beta(\beta(A))) = \cl(\beta(\beta(A))) \smallsetminus \I(\beta(\beta(A))) = \beta(\beta(A))$$
   が成り立つ．

1. $\cl_{D}(\varnothing) = \varnothing \cup D(\varnothing) = \varnothing$が成り立つ．
2. $A \subset \cl_{D}(A)$は明らか．
3. $$ D(A\cup D(A)) = D(A) \cup D(D(A)) \subset A \cup D(A)$$
   より，
   \begin{align} \cl_{D}(\cl_{D}(A)) &= \cl_{D}(A \cup D(A)) \\ &= (A \cup D(A)) \cup D(A \cup D(A)) \\ &= A \cup D(A) \\ &= \cl_{D}(A) \end{align}
   が成り立つ．
4. \begin{align} \cl_{D}(A \cup B) &= (A\cup B) \cup D(A \cup B)\\ &= (A \cup B) \cup (D(A) \cup D(B))\\ &= (A \cup D(A)) \cup (B \cup D(B))\\ &= \cl_{D}(A) \cup \cl_{D}(B) \end{align}
   が成り立つ．

1. $D_{\mathcal{O}}(\varnothing) = \varnothing$は明らか．
2. $x \in D_{\mathcal{O}}(D_{\mathcal{O}}(A)) \smallsetminus A$とする．このとき$x \in D_{\mathcal{O}}(A)$が成り立つことを示せばよい．いま$x \in \cl_{\mathcal{O}}(D_{\mathcal{O}}(A) \smallsetminus \{x\})$より
   $$ \forall U \in \mathcal{O}_{x},\ U \cap (D_{\mathcal{O}}(A) \smallsetminus \{x\}) \neq \varnothing$$
   が成り立つ．そこで$U \in \mathcal{O}_{x}$とし$y \in U \cap (D_{\mathcal{O}}(A) \smallsetminus \{x\})$を取ると
   $$ U \in \mathcal{O}_{y},\ y \in D_{\mathcal{O}}(A)$$
   より
   $$ \varnothing \neq U \cap (A \smallsetminus \{y\}) \subset U \cap A = U \cap (A \smallsetminus \{x\})$$
   が成り立つ．よって$x \in \cl_{\mathcal{O}}(A \smallsetminus \{x\})$すなわち$x \in D_{\mathcal{O}}(A)$を得る．
3. \begin{align} \cl_{\mathcal{O}}((A \cup B) \smallsetminus \{x\}) &= \cl_{\mathcal{O}}((A \smallsetminus \{x\}) \cup (B \smallsetminus \{x\}))\\ &= \cl_{\mathcal{O}}(A \smallsetminus \{x\}) \cup \cl_{\mathcal{O}}(B \smallsetminus \{x\}) \end{align}
   より$D_{\mathcal{O}}(A \cup B) = D_{\mathcal{O}}(A) \cup D_{\mathcal{O}}(B)$が成り立つ．
4. $x \notin \varnothing = \cl_{\mathcal{O}}(\{x\} \smallsetminus \{x\})$より，$x \notin D_{\mathcal{O}}(\{x\})$が成り立つ．

$D \mapsto \cl_{D} \mapsto D$

$\cl_{D} \in \mathsf{TopCl}(X)$より$\mathcal{O} \in \mathsf{Open}(X)$であって$\cl_{D} = \cl_{\mathcal{O}}$なるものが存在する．$A \in \power{X}$とする．

1. $x \in D(A)$とする．
   1. $x \in A$のとき，$A = (A\smallsetminus\{x\}) \cup \{x\}$より
      $$ x \in D(A) = D(A\smallsetminus\{x\}) \cup D(\{x\})$$
      であるから，$x \notin D(\{x\})$と合わせて，
      $$ x \in D(A\smallsetminus\{x\}) \subset \cl_{D}(A\smallsetminus\{x\}) = \cl_{\mathcal{O}}(A\smallsetminus\{x\}),$$
      すなわち$x \in D_{\mathcal{O}}(A)$が成り立つ．
   2. $x \notin A$のとき，$A = (A\cup\{x\})\smallsetminus\{x\}$より
      $$ x \in D(A) \subset \cl_{D}(A) = \cl_{\mathcal{O}}(A) = \cl_{\mathcal{O}}((A \cup \{x\}) \smallsetminus \{x\}),$$
      すなわち$x \in D_{\mathcal{O}}(A \cup \{x\}) = D_{\mathcal{O}}(A) \cup D_{\mathcal{O}}(\{x\})$が成り立つので，$x \notin D_{\mathcal{O}}(\{x\})$と合わせて，$x \in D_{\mathcal{O}}(A)$を得る．
2. $x \in D_{\mathcal{O}}(A)$とする．このとき
   $$ x \in \cl_{\mathcal{O}}(A \smallsetminus \{x\}) = \cl_{D}(A \smallsetminus \{x\}) = (A \smallsetminus \{x\}) \cup D(A \smallsetminus \{x\}) $$
   より，$x \in D(A \smallsetminus \{x\}) \subset D(A)$が成り立つ．

$\cl_{\mathcal{O}} \mapsto D_{\mathcal{O}} \mapsto \cl_{\mathcal{O}}$

$A \in \power{X}$とする．

1. $x \in \cl_{\mathcal{O}}(A) \smallsetminus A$とすると，
   $$ \forall U \in \mathcal{O}_{x},\ U \cap (A \smallsetminus \{x\}) = U \cap A \neq \varnothing$$
   より$x \in \cl_{\mathcal{O}}(A \smallsetminus \{x\})$が成り立つので，
   $$ x \in D_{\mathcal{O}}(A) \subset A \cup D_{\mathcal{O}}(A) = \cl_{D_{\mathcal{O}}}(A)$$
   を得る．
2. 任意の$x \in \cl_{D_{\mathcal{O}}}(A) = A \cup D_{\mathcal{O}}(A)$に対して
   $$ x \in A \cup \cl_{\mathcal{O}}(A \smallsetminus \{x\}) \subset \cl_{\mathcal{O}}(A)$$
   が成り立つ．

1. $x \in X$とする．$\xi_{\mathcal{N}}$の定義より
   $$ x \in \lim\nolimits_{\xi_{\mathcal{N}}}\mathcal{F}\iff (x,\mathcal{F}) \in \xi_{\mathcal{N}} \iff \mathcal{N}(x) \subset \mathcal{F}$$
   であるから，
   $$ \mathcal{N}(x) \subset \bigcap\{\mathcal{F} \in \mathsf{Filter}(X) \mid x \in \lim\nolimits_{\xi_{\mathcal{N}}}\mathcal{F}\} = \mathcal{N}_{\xi_{\mathcal{N}}}(x) \subset \mathcal{N}(x)$$
   が成り立つ．
2. $(x,\mathcal{F}) \in \xi$とすると，$x \in \lim_{\xi}\mathcal{F}$より$\mathcal{N}_{\xi}(x) \subset \mathcal{F}$となるので，$(x,\mathcal{F}) \in \xi_{\mathcal{N}_{\xi}}$が成り立つ．

$(\gamma,\delta)$はGalois接続である

1. $\xi \subset \gamma(\mathcal{N})$とし，$x \in X$とする．このとき
   $$ x \in \lim\nolimits_{\xi}\mathcal{F} \iff (x,\mathcal{F}) \in \xi \subset \xi_{\mathcal{N}} \implies \mathcal{N}(x) \subset \mathcal{F}$$
   より
   $$ \mathcal{N}(x) \subset \bigcap\{\mathcal{F} \in \mathsf{Filter}(X) \mid x \in \lim\nolimits_{\xi}\mathcal{F}\} = \mathcal{N}_{\xi}(x) = \delta(\xi)(x)$$
   が成り立つ．
2. $\mathcal{N} \leq \delta(\xi)$とする．このとき
   \begin{align} (x,\mathcal{F}) \in \xi &\iff x \in \lim\nolimits_{\xi}\mathcal{F}\\ &\implies \mathcal{N}_{\xi}(x) \subset \mathcal{F}\\ &\implies \mathcal{N}(x) \subset \mathcal{F}\\ &\iff (x,\mathcal{F}) \in \xi_{\mathcal{N}} \end{align}
   より，$\xi \subset \gamma(\mathcal{N})$が成り立つ．

$\gamma,\delta$は互いの逆写像である

1. $\delta(\gamma(\mathcal{N})) = \mathcal{N}_{\xi_{\mathcal{N}}} = \mathcal{N}$であった．
2. $\xi \in \mathsf{preTopConv}(X)$とする．一般に$\xi_{\mathcal{N}_{\xi}} \supset \xi$が成り立つのだった．一方，$(x,\mathcal{F}) \in \xi_{\mathcal{N}_{\xi}}$とすると，$\mathcal{N}_{\xi}(x) \subset \mathcal{F}$であるから，仮定と$\lim_{\xi}$の単調性より
   $$ x \in \lim\nolimits_{\xi}\mathcal{N}_{\xi}(x) \subset \lim\nolimits_{\xi}\mathcal{F},$$
   すなわち$(x,\mathcal{F}) \in \xi$が成り立つ．

1. 空集合はフィルターの要素ではないので$\cl_{\xi}(\varnothing) = \varnothing$が成り立つ．
2. $x \in A$とすると，$x \in \lim_{\xi}\gen{x}_{\in}$より，$A \in \gen{x}_{\in} \supset \mathcal{N}_{\xi}(x)$となるので，$x \in \cl_{\xi}(A)$が成り立つ．
3. 1. $x \in \cl_{\xi}(A\cup B) \smallsetminus \cl_{\xi}(A)$とすると$\mathcal{F} \in \mathsf{Filter}(X)$であって
      $$ A \cup B \in \mathcal{F} \supset \mathcal{N}_{\xi}(x);\ A \notin \mathcal{F}$$
      なるものが存在する．このとき，任意の$N \in \mathcal{N}_{\xi}(x)$に対して$N \cap B \neq \varnothing$が成り立つ．実際，$N_{0} \in \mathcal{N}_{\xi}(x)$であって$N_{0} \cap B = \varnothing$なるものが存在したとすると，$N_{0},A\cup B \in \mathcal{F}$より
      $$ N_{0} \cap A = (N_{0} \cap A) \cup (N_{0} \cap B) = N_{0} \cap (A \cup B) \in \mathcal{F},\ N_{0} \cap A \subset A,$$
      したがって$A \in \mathcal{F}$となり不合理である．よって
      $$ B \in \gen{\{N \cap B \mid N \in \mathcal{N}_{\xi}(x)\}}_{\subset} \supset \mathcal{N}_{\xi}(x)$$
      となるので$x \in \cl_{\xi}(B)$を得る．以上より$\cl_{\xi}(A \cup B) \smallsetminus \cl_{\xi}(A) \subset \cl_{\xi}(B)$，すなわち$\cl_{\xi}(A \cup B) \subset \cl_{\xi}(A) \cup \cl_{\xi}(B)$が成り立つ．
   2. $A \subset B$とし$x \in \cl_{\xi}(A)$とすると，$\mathcal{F} \in \mathsf{Filter}(X)$であって
      $$ A \in \mathcal{F} \supset \mathcal{N}_{\xi}(x)$$
      なるものが存在するので，$A \in \mathcal{F}, A \subset B$より
      $$ B \in \mathcal{F} \supset \mathcal{N}_{\xi}(x)$$
      が成り立ち，$x \in \cl_{\xi}(B)$を得る．よって$\cl_{\xi}$は単調なので，
      $$ \cl_{\xi}(A) \cup \cl_{\xi}(B) \subset \cl_{\xi}(A \cup B)$$
      が成り立つ．

1. $x \in \cl_{\xi}(A)$とし，$\mathcal{F} \in \mathsf{Filter}(X)$であって$A \in \mathcal{F}\supset \mathcal{N}_{\xi}(x)$なるものを取る．このとき，任意の$N \in \mathcal{N}_{\xi}(x)$に対して$N, A \in \mathcal{F}$より
   $$ \mathcal{F} \ni N \cap A \neq \varnothing$$
   が成り立つ．
2. 任意の$N \in \mathcal{N}_{\xi}(x)$に対して$N \cap A \neq \varnothing$が成り立つとする．このとき
   $$ \{N \cap A \mid N \in \mathcal{N}_{\xi}(x)\}$$
   はフィルター基なので，これが生成するフィルター
   $$ \mathcal{F} := \gen{\{N \cap A \mid N \in \mathcal{N}_{\xi}(x)\}}_{\subset} \in \mathsf{Filter}(X)$$
   が定まる．明らかに$A \in \mathcal{F}$であり，$\mathcal{N}_{\xi}(x) \subset \mathcal{F}$が成り立つ．よって$x \in \cl_{\xi}(A)$を得る．

1. $x \in \cl_{\xi}(A)$とする．もし$X \smallsetminus A \in \mathcal{N}_{\xi}(x)$とすると，
   $$ \varnothing = (X \smallsetminus A) \cap A \neq \varnothing$$
   となり不合理である．
2. $X \smallsetminus A \notin \mathcal{N}_{\xi}(x)$とすると，任意の$N \in \mathcal{N}_{\xi}(x)$に対して$N \not\subset X \smallsetminus A$すなわち$N \cap A \neq \varnothing$が成り立つので，$x \in \cl_{\xi}(A)$を得る．

1. $\varnothing, X \in \mathcal{C}$は明らか．
2. $A,A' \in \mathcal{C}$とすると
   $$ A \cup A' = \cl(A) \cup \cl(A') = \cl(A \cup A')$$
   より$A \cup A' \in \mathcal{C}$が成り立つ．
3. $\mathcal{A} \subset \mathcal{C}$とする．任意の$A \in \mathcal{A}$に対して
   $$ \cl\qty(\bigcap\mathcal{A}) \subset \cl(A) = A$$
   が成り立つので，
   $$ \bigcap\mathcal{A} \subset \cl\qty(\bigcap\mathcal{A}) \subset \bigcap\mathcal{A}$$
   より，$\bigcap\mathcal{A} \in \mathcal{C}$を得る．

$x \in X$とする．

1. 任意の$N \in \mathcal{N}_{\cl}(x)$に対して，$x \notin \cl(X \smallsetminus N) \supset X \smallsetminus N$より，$x \in N$が成り立つ．
2. $x \notin \cl(X\smallsetminus X) = \varnothing$より$X \in \mathcal{N}_{\cl}(x)$が成り立つ．
3. $N,N' \in \mathcal{N}_{\cl}(x)$とする．このとき
   \begin{align} x \notin \cl(X\smallsetminus N) \cup \cl(X \smallsetminus N') &= \cl((X \smallsetminus N) \cup (X \smallsetminus N'))\\ &= \cl(X \smallsetminus (N \cap N')) \end{align}
   より$N \cap N' \in \mathcal{N}_{\cl}(x)$が成り立つ．
4. $N \in \mathcal{N}_{\cl}(x), N \subset N' \subset X$とすると，
   $$ x \notin \cl(X \smallsetminus N) \supset \cl(X \smallsetminus N')$$
   より$N' \in \mathcal{N}_{\cl}(x)$が成り立つ．

$\phi,\psi$は全単射

$\psi \circ \phi = \delta$および$\phi \circ \gamma \circ \psi = \id$が成り立つことを示せばよい：
$$ \xymatrix{ {\mathsf{preNbd}(X)} \ar@/^1.5pc/[rr]^{\gamma} & {\mathsf{preTopCl}(X)} \ar[l]_{\psi} & {\mathsf{preTopConv}(X)} \ar[l]_{\phi} \ar@/^1.5pc/[ll]^{\delta} }$$

1. $\xi \in \mathsf{preTopConv}(X)$とし，$x \in X$とする．
   1. $N \in \mathcal{N}_{\xi}(x) = \delta(\xi)(x)$とする．このとき
      $$ \forall \mathcal{F} \in \mathsf{Filter}(X),\ X \smallsetminus N \in \mathcal{F} \implies \mathcal{F} \not\supset \mathcal{N}_{\xi}(x)$$
      より，$x \notin \cl_{\xi}(X \smallsetminus N)$すなわち$N \in \mathcal{N}_{\cl_{\xi}}(x) = \psi(\phi(\xi))(x)$が成り立つ．
   2. $N \notin \mathcal{N}_{\xi}(x)$とする．このとき任意の$F \in \mathcal{N}_{\xi}(x)$に対して，$F \not\subset N$より，$F \cap (X \smallsetminus N) \neq \varnothing$であるから，
      $$ X \smallsetminus N \in \gen{\{F \cap (X \smallsetminus N) \mid F \in \mathcal{N}(x)\}}_{\subset} \supset \mathcal{N}_{\xi}(x)$$
      が成り立つ．よって$x \in \cl_{\xi}(X \smallsetminus N)$となるので，$N \notin \mathcal{N}_{\cl_{\xi}}(x)$を得る．
2. $\cl \in \mathsf{preTopCl}(X)$とし，$A \subset X$とする．
   1. $x \in \cl(A)$とする．このとき$N \in \mathcal{N}_{\cl}(x) = \mathcal{N}_{\xi_{\mathcal{N}_{\cl}}}(x)$であって$N \cap A = \varnothing$なるものが存在したとすると，$A \subset X \smallsetminus N$より
      $$ x \in \cl(A) \subset \cl(X \smallsetminus N) \not\ni x$$
      となり不合理である．よって$x \in \cl_{\xi_{\mathcal{N}_{\cl}}}(A) = \phi(\gamma(\psi(\cl)))(A)$が成り立つ．
   2. $x \notin \cl(A)$とする．このとき$N := X \smallsetminus A$とおくと，$x \notin \cl(X \smallsetminus N)$より
      $$ N \in \mathcal{N}_{\cl}(x) = \mathcal{N}_{\xi_{\mathcal{N}_{\cl}}}(x),\ N \cap A = \varnothing$$
      であるから，$x \notin \cl_{\xi_{\mathcal{N}_{\cl}}}(A)$が成り立つ．

$(\phi,\phi^{-1}), (\psi,\psi^{-1})$はGalois対応

1. $\xi \subset \xi'$とすると
   $$ \mathcal{N}_{\xi}(x) = \bigcap\{\mathcal{F} \in \mathsf{Filter}(X) \mid x \in \lim\nolimits_{\xi}\mathcal{F}\} \supset \bigcap\{\mathcal{F} \in \mathsf{Filter}(X) \mid x \in \lim\nolimits_{\xi'}\mathcal{F}\} = \mathcal{N}_{\xi'}(x)$$
   より$\mathcal{N}_{\xi} \geq \mathcal{N}_{\xi'}$であるから，
   $$ \cl_{\xi}(A) = \{x \in X \mid X \smallsetminus A \notin \mathcal{N}_{\xi}(x)\} \subset \{x \in X \mid X \smallsetminus A \notin \mathcal{N}_{\xi'}(x)\} = \cl_{\xi'}(A)$$
   が成り立つ．よって$\phi$は単調であり，したがって$\psi^{-1} = \phi \circ \gamma$は反単調である．
2. $\cl \leq \cl'$とすると
   \begin{align} N \in \mathcal{N}_{\cl'}(x) &\iff x \notin \cl'(X \smallsetminus N)\\ &\implies x \notin \cl(X \smallsetminus N)\\ &\iff N \in \mathcal{N}_{\cl}(x) \end{align}
   より$\mathcal{N}_{\cl'} \leq \mathcal{N}_{\cl}$が成り立つので，$\psi$は反単調である．したがって$\phi^{-1} = \gamma \circ \psi$は単調である．

以上より
$$ \phi(\xi) \leq \cl \iff \xi \leq \phi^{-1}(\cl),$$
および
$$ \mathcal{N} \leq \psi(\cl) \iff \cl \leq \psi^{-1}(\mathcal{N})$$
が成り立つ．

$\phi,\psi$は$\mathsf{TopConv}(X) \rightleftarrows \mathsf{TopCl}(X) \rightleftarrows \mathsf{Nbd}(X)$の拡張

1. $\xi = \xi_{\mathcal{N}_{\mathcal{O}}} \in \mathsf{TopConv}(X)$のとき，$$ \phi(\xi) = \cl_{\xi_{\mathcal{N}_{\mathcal{O}}}} = \cl_{\mathcal{O}}$$
   となることは既に見た．
2. $\cl = \cl_{\mathcal{O}} \in \mathsf{TopCl}(X)$のとき，
   \begin{align} \mathcal{N}_{\cl}(x) &= \{N \subset X \mid x \notin \cl_{\mathcal{O}}(X \smallsetminus N)\}\\ &= \{N \subset X \mid x \in \I_{\mathcal{O}}(N)\}\\ &= \mathcal{N}_{\mathcal{O}}(x) \end{align}
   より，
   $$ \psi(\cl) = \mathcal{N}_{\cl} = \mathcal{N}_{\mathcal{O}}$$
   が成り立つ．