圏論における随伴 Part3
以前の記事 の定義を思い出します．
$\mathcal{C},\mathcal{D}$を圏，$F:\mathcal{C}\rightarrow\mathcal{D}$と$G:\mathcal{D}\rightarrow\mathcal{C}$を関手とします．
この時，二つのhom関手
$\text{Hom}_\mathcal{D}(F(-),-):\mathcal{C}^{\text{op}}\times \mathcal{D}\rightarrow \text{Set}$と
$\text{Hom}_\mathcal{C}(-,G(-)):\mathcal{C}^{\text{op}}\times \mathcal{D}\rightarrow \text{Set}$が自然同型であるとき，$F$は$G$の左随伴（または$G$は$F$の右随伴）であるといい，記号では$F\dashv G$と書く．
$\mathcal{C},\mathcal{D}$を圏，$F:\mathcal{C}\rightarrow\mathcal{D}$と$G:\mathcal{D}\rightarrow\mathcal{C}$を関手とします．
この時，二つの自然変換$\eta:id_\mathcal{C}\rightarrow GF$と$\varepsilon:FG\rightarrow id_\mathcal{D}$が存在し，これらが三角等式
$
\xymatrix{
FGF \ar[r]^-{\varepsilon F} &F& &G\\
F \ar[u]^{F\eta}\ar[ur]_{1_F} & &G\ar[ur]^{1_G}\ar[r]_-{\eta G}&GFG\ar[u]_{G\varepsilon}
}
$
を満たすとき，$\langle F,G,\eta,\varepsilon\rangle$を随伴と呼ぶ．また，$\eta$を単位（unit），$\varepsilon$を余単位(counit)と呼ぶ．
(1),(2)の同値性は 以前の記事 で調べました．
$\mathcal{A,B,C}$を圏，$F:\mathcal{A}\rightarrow \mathcal{B}$，$G:\mathcal{C}\rightarrow \mathcal{B}$を関手とします．
(1) 対象は$\langle X,Y,f\rangle$（$X$は$\mathcal{A}$の対象，$Y$は$\mathcal{C}$の対象，$f$は$F(X)$から$G(Y)$への射）である．
(2) $\langle X,Y,f\rangle$から$\langle X',Y',f'\rangle$への射は$\alpha:X\rightarrow X'$と$\beta:Y\rightarrow Y'$の組$\langle \alpha,\beta\rangle$で，次の図式を可換にするものである．
$$
\xymatrix{
FX\ar[r]^f\ar[d]_{F\alpha} &GY\ar[d]^{G\beta}\\
FX'\ar[r]_{f'}&GY'
}
$$
こうしてできた圏をコンマ圏と呼び，$(F\downarrow G)$と書く．
$\mathcal{C},\mathcal{D}$を圏，$F:\mathcal{C}\rightarrow\mathcal{D}$と$G:\mathcal{D}\rightarrow\mathcal{C}$を関手とします．
このとき，次のような自然変換$\eta:1_\mathcal{C}\rightarrow GF$が存在するならば，$F$は$G$の左随伴（または$G$は$F$の右随伴）であるという：任意の$X\in\text{Ob}(\mathcal{C})$について$\langle *,F(X),\eta_X\rangle$は$(X\downarrow G)$の始対象である
ここで，$(X\downarrow G)$における関手$X$とは，$X\in\text{Ob}(\mathcal{C})$を関手$X:1\rightarrow\mathcal{C}$と見立てたものです（$1$は対象がただ1つの離散圏）．
任意に$(X\downarrow G)$の対象$\langle *,Y,f:X\rightarrow G(Y)\rangle$を取ってくる．
$\langle *,F(X),\eta_X\rangle$から$\langle *,Y,f:X\rightarrow G(Y)\rangle$への射$\langle id_*,q:F(X)\rightarrow Y\rangle$は次の可換図式を満たす：
$$\xymatrix{
X\ar[r]^-{\eta_X}\ar[rd]_-f &GF(X)\ar[d]^{Gq}\\
&G(Y)
}$$
ここで，
以前の記事
の証明で述べたように，$G(q)\circ\eta_X=\overline{q}$なので，$f=\overline{q}$．つまり，$q=\overline{f}$．よって$\langle *,F(X),\eta_X\rangle$は始対象である．
条件を満たすような余単位$\varepsilon$を構成する．
$Step1$：余単位の一意性
$(\eta,\varepsilon)$と$(\eta,\varepsilon')$がどちらも三角等式を満たすものとする．よって，
$$\xymatrix{
& GY\\
GY\ar[ru]^{id_{GY}}\ar[r]_-{\eta_{GY}} & G(FGY)\ar[u]_{G(\varepsilon_Y)}
} $$
が可換．これは，コンマ圏$(GY\downarrow G)$における
$$\langle id_*,\varepsilon_Y\rangle:\langle*,FG(Y),\eta_{GY}\rangle\rightarrow\langle*,Y,id_{GY}\rangle$$
という射を表している．同様にして，
$$\langle id_*,\varepsilon'_Y\rangle:\langle*,FG(Y),\eta_{GY}\rangle\rightarrow\langle*,Y,id_{GY}\rangle$$
という射も得られる．ここで，$(GY\downarrow G)$における始対象は$\langle*,FG(Y),\eta_{GY}\rangle $であるので，$\varepsilon_Y=\varepsilon'_Y$よって余単位は存在すれば一意．
$Step2$：余単位の構成
$\varepsilon_Y$をコンマ圏$(GY\downarrow G)$における始対象からの一意的な射
$$\langle*,FG(Y),\eta_{GY}\rangle\rightarrow\langle*,Y,id_{GY}\rangle$$
から得られるものとする．定義より，これは片方の三角不等式$G\varepsilon\circ\eta G=id$を満たす．
$Step3$：$\varepsilon$の自然性
自然変換であることを見る．つまり，$f:Y\rightarrow Y'$に対して，
$$
\xymatrix{
FG(Y)\ar[r]^-{\varepsilon_Y}\ar[d]_{FGf} & Y\ar[d]^f\\
FG(Y')\ar[r]^-{\varepsilon_{Y'}} & Y'
}$$
が満たされればよい．これを見るために，この図式に$G$を作用させたものをまず考える．
$$
\xymatrix{
GFG(Y)\ar[r]^-{G(\varepsilon_Y)}\ar[d]_{GFGf} & GY\ar[d]^{Gf}\\
GFG(Y')\ar[r]^-{G(\varepsilon_{Y'})} &G Y'
}$$
一方，三角不等式より
$$\xymatrix{
& GY\\
GY\ar[ru]^{id_{GY}}\ar[r]_-{\eta_{GY}} & G(FGY)\ar[u]_{G(\varepsilon_Y)}
}$$
であった．すると，次のような図式が書ける．
よって，$G(\varepsilon_{Y'}\circ FG(f))\circ \eta_{GY}=Gf$ と$G(f\circ \varepsilon_Y)\circ \eta_{GY}=Gf$が分かる．ここで，$\langle*,FG(Y),\eta_{GY}\rangle$が始対象であることから，$\langle *,Y',Gf\rangle$への射は一意的．よって$\varepsilon_{Y'}\circ FG(f)=f\circ\varepsilon_Y$が分かった．
$Step4$：もう一方の三角等式の確認
$$\xymatrix{
FX\ar[r]^-{F(\eta_X)}\ar[rd]_-{id} &FGF(X)\ar[d]^{\varepsilon_{FX}}\\
&FX
}$$
が成り立つことを見たい．これに$G$を作用させて
$$\xymatrix{ GFX\ar[r]^-{GF(\eta_X)}\ar[rd]_-{id} &GFGF(X)\ar[d]^{G(\varepsilon_{FX})}\\ &GFX }$$
とする．$\eta$の自然性から
$$\xymatrix{ X\ar[r]^-{\eta_X}\ar[d]_{\eta_X} & GFX\ar[d]^{GF(\eta_X)}\\ GFX\ar[r]_-{\eta_{GFX}} &GFGFX }$$
が可換になる．なので，図式は次のようになる：
よって
$$G(\varepsilon_{FX}\circ F(\eta_X))\circ\eta_X = G(\varepsilon_{FX})\circ\eta_{GFX}\circ\eta_X=\eta_X=G(id_{FX})\circ\eta_X$$
が得られる（$Step2$で得られている三角等式を使った）．よって$Step3$と同様に$\varepsilon_{FX}\circ F(\eta_X)=id_{FX}$である．
