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圏論における随伴 Part3

この著者は初心者として投稿しています。間違いや考慮が足りていない点が含まれている可能性が高いです。見つけたらコメント欄で優しく指摘してあげましょう。

以前の記事の定義を思い出します．

随伴(1)

$C, D$ を圏， $F : C \to D$ と $G : D \to C$ を関手とします．
この時，二つのhom関手
${Hom}_{D} (F (-), -) : C^{op} \times D \to Set$ と
${Hom}_{C} (-, G (-)) : C^{op} \times D \to Set$ が自然同型であるとき， $F$ は $G$ の左随伴（または $G$ は $F$ の右随伴）であるといい，記号では $F ⊣ G$ と書く．

随伴(2)

$C, D$ を圏， $F : C \to D$ と $G : D \to C$ を関手とします．
この時，二つの自然変換 $η : i d_{C} \to G F$ と $ε : F G \to i d_{D}$ が存在し，これらが三角等式
$F G F ε F F G F F η 1_{F} G 1_{G} η G G F G G ε$
を満たすとき， $⟨ F, G, η, ε ⟩$ を随伴と呼ぶ．また， $η$ を単位（unit）， $ε$ を余単位(counit)と呼ぶ．

(1),(2)の同値性は以前の記事で調べました．

コンマ圏

$A, B, C$ を圏， $F : A \to B$ ， $G : C \to B$ を関手とします．
(1) 対象は $⟨ X, Y, f ⟩$ （ $X$ は $A$ の対象， $Y$ は $C$ の対象， $f$ は $F (X)$ から $G (Y)$ への射）である．
(2) $⟨ X, Y, f ⟩$ から $⟨ X^{'}, Y^{'}, f^{'} ⟩$ への射は $α : X \to X^{'}$ と $β : Y \to Y^{'}$ の組 $⟨ α, β ⟩$ で，次の図式を可換にするものである．
$F X f F α G Y G β F X^{'} f^{'} G Y^{'}$
こうしてできた圏をコンマ圏と呼び， $(F ↓ G)$ と書く．

随伴(3)

$C, D$ を圏， $F : C \to D$ と $G : D \to C$ を関手とします．
このとき，次のような自然変換 $η : 1_{C} \to G F$ が存在するならば， $F$ は $G$ の左随伴（または $G$ は $F$ の右随伴）であるという：任意の $X \in Ob (C)$ について $⟨ *, F (X), η_{X} ⟩$ は $(X ↓ G)$ の始対象である

ここで， $(X ↓ G)$ における関手 $X$ とは， $X \in Ob (C)$ を関手 $X : 1 \to C$ と見立てたものです（ $1$ は対象がただ1つの離散圏）．

(1), (2) \to (3)

任意に $(X ↓ G)$ の対象 $⟨ *, Y, f : X \to G (Y) ⟩$ を取ってくる．
$⟨ *, F (X), η_{X} ⟩$ から $⟨ *, Y, f : X \to G (Y) ⟩$ への射 $⟨ i d_{*}, q : F (X) \to Y ⟩$ は次の可換図式を満たす：
$X η_{X} f G F (X) G q G (Y)$
ここで，以前の記事の証明で述べたように， $G (q) \circ η_{X} = \overset{―}{q}$ なので， $f = \overset{―}{q}$ ．つまり， $q = \overset{―}{f}$ ．よって $⟨ *, F (X), η_{X} ⟩$ は始対象である．

(3) \to (1), (2)

条件を満たすような余単位 $ε$ を構成する．
$S t e p 1$ ：余単位の一意性
$(η, ε)$ と $(η, ε^{'})$ がどちらも三角等式を満たすものとする．よって，
$G Y G Y i d_{G Y} η_{G Y} G (F G Y) G (ε_{Y})$
が可換．これは，コンマ圏 $(G Y ↓ G)$ における
$⟨ i d_{*}, ε_{Y} ⟩ : ⟨ *, F G (Y), η_{G Y} ⟩ \to ⟨ *, Y, i d_{G Y} ⟩$
という射を表している．同様にして，
$⟨ i d_{*}, ε_{Y}^{'} ⟩ : ⟨ *, F G (Y), η_{G Y} ⟩ \to ⟨ *, Y, i d_{G Y} ⟩$
という射も得られる．ここで， $(G Y ↓ G)$ における始対象は $⟨ *, F G (Y), η_{G Y} ⟩$ であるので， $ε_{Y} = ε_{Y}^{'}$ よって余単位は存在すれば一意．
$S t e p 2$ ：余単位の構成
$ε_{Y}$ をコンマ圏 $(G Y ↓ G)$ における始対象からの一意的な射
$⟨ *, F G (Y), η_{G Y} ⟩ \to ⟨ *, Y, i d_{G Y} ⟩$
から得られるものとする．定義より，これは片方の三角不等式 $G ε \circ η G = i d$ を満たす．
$S t e p 3$ ： $ε$ の自然性
自然変換であることを見る．つまり， $f : Y \to Y^{'}$ に対して，
$F G (Y) ε_{Y} F G f Y f F G (Y^{'}) ε_{Y^{'}} Y^{'}$
が満たされればよい．これを見るために，この図式に $G$ を作用させたものをまず考える．
$G F G (Y) G (ε_{Y}) G F G f G Y G f G F G (Y^{'}) G (ε_{Y^{'}}) G Y^{'}$
一方，三角不等式より
$G Y G Y i d_{G Y} η_{G Y} G (F G Y) G (ε_{Y})$
であった．すると，次のような図式が書ける．

よって， $G (ε_{Y^{'}} \circ F G (f)) \circ η_{G Y} = G f$ と $G (f \circ ε_{Y}) \circ η_{G Y} = G f$ が分かる．ここで， $⟨ *, F G (Y), η_{G Y} ⟩$ が始対象であることから， $⟨ *, Y^{'}, G f ⟩$ への射は一意的．よって $ε_{Y^{'}} \circ F G (f) = f \circ ε_{Y}$ が分かった．
$S t e p 4$ ：もう一方の三角等式の確認
$F X F (η_{X}) i d F G F (X) ε_{F X} F X$
が成り立つことを見たい．これに $G$ を作用させて
$G F X G F (η_{X}) i d G F G F (X) G (ε_{F X}) G F X$
とする． $η$ の自然性から
$X η_{X} η_{X} G F X G F (η_{X}) G F X η_{G F X} G F G F X$
が可換になる．なので，図式は次のようになる：

よって
$G (ε_{F X} \circ F (η_{X})) \circ η_{X} = G (ε_{F X}) \circ η_{G F X} \circ η_{X} = η_{X} = G (i d_{F X}) \circ η_{X}$
が得られる（ $S t e p 2$ で得られている三角等式を使った）．よって $S t e p 3$ と同様に $ε_{F X} \circ F (η_{X}) = i d_{F X}$ である．