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R(4)を求める

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$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{d}[0]{\displaystyle} \newcommand{f}[0]{<} \newcommand{l}[0]{\left(} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{r}[0]{\right)} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{v}[0]{\varnothing} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} \newcommand{z}[0]{\zeta} $$

はじめに

この記事では$\d R(4)=\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^4\binom{2n}n} $を求めます。
加速級数についてあまり知らないという方は こちら の記事をまず読んでみてください。ここに書いてある輸送関係式をメインに使います。
また、この記事では明記されていませんが$Z(\boldsymbol{k},\boldsymbol{l},\boldsymbol{h})=Z(\boldsymbol{l},\boldsymbol{k},\boldsymbol{h}) $が定義より明らかに成り立つので、それも使用します。
さらに、 こちら の記事に書いてある$\d\z(1,3)=\frac14\z(4) $$\d\z(2,2)=\frac34\z(4) $と双対性を利用して求めれる$\z(1,1,2)=\z(4) $も使用します。

求める

まず、$\z(4) $を輸送関係式にかけます。
$ \begin{eqnarray*} &&\z(4)\\ &=&Z(1,4;1;\varnothing)\\ &=&Z(1,1;1,1,1,1;\v)\\ &=&Z(1;1,1,1,1;1)+Z(1,1;1,1,1;1)+Z(1;1,1,1;2)\\ &=&Z(4;1;1)+Z(3;1;2)+Z(1;1,1,1;1,1)+Z(1,1;1,1;1,1)+Z(1;1,1;1,2)\\ &=&R(4)+R(4)+Z(3;1;1,1)+Z(2;1;1,2)+Z(1;1;1,1,2)+2Z(1;1,1;1,1,1)\\ &=&2R(4)+R(1,3)+R(1,3)+R(1,1,2)+2R(1,1,2)\\ &=&2R(4)+2R(1,3)+3R(1,1,2) \end{eqnarray*} $
よって、
$2R(4)+2R(1,3)+3R(1,1,2)=\z(4) ~~~~~~~~~~\ldots A$
がわかります。
次に、$\z(1,3) $を輸送関係式にかけます。
$ \begin{eqnarray*} &&\z(1,3)\\ &=&Z(1,1,3;1;\v)\\ &=&Z(1,1,1;1,1,1;\v)\\ &=&Z(1,1;1,1;2)+2Z(1,1;1,1,1;1)\\ &=&Z(1;1;2,2)+2Z(1;1,1;2,1)+2Z(1;1,1,1;1,1)+2Z(1,1;1,1;1,1)+2Z(1;1,1;1,2)\\ &=&R(2,2)+2Z(2;1;2,1)+2Z(3;1;1,1)+2Z(2;1;1,2)+4Z(1;1,1;1,1,1)+2Z(1;1;1,1,2)\\ &=&R(2,2)+2R(2,2)+2R(1,3)+2R(1,3)+4R(1,1,2)+2R(1,1,2)\\ &=&3R(2,2)+4R(1,3)+6R(1,1,2) \end{eqnarray*} $
よって、
$3R(2,2)+4R(1,3)+6R(1,1,2)=\d\frac14\z(4)~~~~~~~~~~\ldots B $
がわかります。
次に、$\z(2,2) $を輸送関係式にかけます。
$ \begin{eqnarray*} &&\z(2,2)\\ &=&Z(1,2,2;1;\v)\\ &=&Z(1,2,1;1,1;\v)\\ &=&Z(2,1;1,1;1)+Z(1,2,1;1;1)+Z(2,1;1;2)\\ &=&Z(1,1;1,1;2)+Z(1,2;2;1)+Z(1,1;1;3)\\ &=&Z(1;1;2,2)+2Z(1;1,1;2,1)+Z(1,2;1;2)+Z(1;2;3)\\ &=&R(2,2)+2Z(2;1;2,1)+Z(1,1;1,1;2)+Z(1;1;4)\\ &=&3R(2,2)+R(4)+R(2,2)+2Z(1;1,1;2,1)\\ &=&R(4)+6R(2,2) \end{eqnarray*} $
よって、
$R(4)+6R(2,2)=\d\frac34\z(4)~~~~~~~~~~\ldots C $
がわかります。
最後に、$\z(1,1,2) $を輸送関係式にかけます。
$ \begin{eqnarray*} &&\z(1,1,2)\\ &=&Z(1,1,1,2;1;\v)\\ &=&Z(1,1,1,1;1,1;\v)\\ &=&Z(1,1,1;1,1;1)+Z(1,1,1,1;1;1)+Z(1,1,1;1;2)\\ &=&R(4)+R(4)+Z(1,1,1;1;1,1)+Z(1,1;1,1;1,1)+Z(1,1;1;1,2)\\ &=&2R(4)+R(1,3)+R(1,3)+2Z(1;1,1;1,1,1)+Z(1;1;1,1,2)\\ &=&2R(4)+2R(1,3)+2R(1,1,2)+R(1,1,2)\\ &=&2R(4)+2R(1,3)+3R(1,1,2) \end{eqnarray*} $
よって、
$2R(4)+2R(1,3)+3R(1,1,2)=\z(4)$
がわかります。これは$A$と同じです。
$A,B,C$より、
$ \begin{cases} 2R(4)+2R(1,3)+3R(1,1,2)=\z(4) ~~~~~~~~~~\ldots A\\ 3R(2,2)+4R(1,3)+6R(1,1,2)=\d\frac14\z(4)~~~~~~~~~~\ldots B \\ R(4)+6R(2,2)=\d\frac34\z(4)~~~~~~~~~~\ldots C\\ \end{cases} $
これを解くと、
$R(4)=\d\frac{17}{36}\z(4) $$R(2,2)=\d\frac5{108}\z(4) $が分かります。
よって、
$\d\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^4\binom{2n}n}=\frac{17}{36}\z(4) $
が求まりました。

おわりに

つい最近知った加速級数について書きました。このような非自明的な級数を求めることができるのは楽しいですね。

投稿日:20201112

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投稿者

神鳥奈紗
神鳥奈紗
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遭難者です.高専1年です.MZV,級数,積分をメインにやっています.

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