1に収束する極限に対して,(限りなく大きい数)乗すればeが出てくる説(H_n/ln n)編

$$H_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$$として,
$$ L=\lim_{n\to\infty}\biggl(\dfrac{H_n}{\ln{n}}\biggl)^{\ln{n}}$$
ここで,$\displaystyle H_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}=\ln{n}+\gamma+\varepsilon_n $と表せる.
ただし,$\gamma$はオイラー・マスケローニ定数$(0.5772...)$
$\varepsilon_n $は$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\varepsilon_n=0$となる項のことです.
$$ L=\lim_{n\to\infty}\biggl(1+\dfrac{\gamma+\varepsilon_n}{\ln{n}}\biggl)^{\ln{n}}$$
対数をとり評価する.
$$ \ln{L}=\lim_{n\to\infty}(\ln{n})\cdot\ln{\biggl(1+\dfrac{\gamma+\varepsilon_n}{\ln{n}}\biggl)}$$
$\dfrac{\gamma+\varepsilon_n}{\ln{n}}$はオーダーに注目してもわかる通り,$0$に収束する.これを$x_n$とおくと,
$$ \ln{L}=\lim_{n\to\infty}(\ln{n})\cdot x_n\cdot \dfrac{\ln{(1+x_n)}}{x_n}$$
$$ \ln{L}=\lim_{n\to\infty}(\ln{n})\cdot \dfrac{\gamma+\varepsilon_n}{\ln{n}}\cdot \dfrac{\ln{(1+x_n)}}{x_n}$$
約分できて,
$$ \ln{L}=\lim_{n\to\infty}(\gamma+\varepsilon_n)\cdot \dfrac{\ln{(1+x_n)}}{x_n}$$
$\dfrac{\ln{(1+x_n)}}{x_n}$は微分の定義から極限は$1$とわかり,$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\varepsilon_n=0$より,
$$ \ln{L}=\gamma$$
を得る.よって,
$$\therefore\quad\lim_{n\to\infty}\biggl(\dfrac{H_n}{\ln{n}}\biggl)^{\ln{n}}=e^{\gamma} $$
を得る.