1に収束する極限に対して,(限りなく大きい数)乗すればeが出てくる説(sinx/x)編

はじめに

(短めです🙇)

こんにちは.りーるるです!!久しぶりの投稿となりました...
皆様は次を見たことがありますか？
$$\lim_{x\to0}\dfrac{\sin{x}}{x}=1$$
もちろんありますよね！では次は？
$$ \lim_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e$$
こちらもあると思います.
では,次はいかがでしょう?
$$\lim_{x\to0}\biggl(\dfrac{\sin{x}}{x}\biggr)^{\frac{1}{x^2}}$$
このように,大体$e$関係になりそう？？ですよね.
今回はこの極限についての話です.

本題

話は簡単で自然対数を取りましょう.まず$f(x)$を定めておきます.
$$f(x)=\biggl(\dfrac{\sin{x}}{x}\biggr)^{\frac{1}{x^2}}$$
対数を取ると,
$$\log{f(x)}=\frac{1}{x^2}\log{\biggl(\dfrac{\sin{x}}{x}\biggr)}$$
ここで,$\dfrac{\sin{x}}{x}$が下から$1$に近づくため,$\dfrac{\sin{x}}{x}=1-y$と置いて$y\to 0$を考える.
$$\log{f(x)}=\dfrac{\log{(1-y)}}{y}\cdot\dfrac{y}{x^2}=\dfrac{\log{(1-y)}}{y}\cdot\dfrac{1-\dfrac{\sin{x}}{x}}{x^2}$$
とできる.整理すると,
$$\log{f(x)}=-\dfrac{\log{(1-y)}}{y}\cdot\dfrac{\sin{x}-x}{x^3}$$
$-\dfrac{\log{(1-y)}}{y}\to1$ $(y\to0)$は微分の定義からすぐわかる.

$\dfrac{\sin{x}-x}{x^3}$ $(x\to0)$に関しては 私の過去の記事 を見てください.(ド宣伝)
(青文字がリンクになってます.)

以上から,
$$\lim_{x\to0}\{\log{f(x)}\}=-\dfrac{1}{6}$$
とわかります.よって,
$$\lim_{x\to0}\biggl(\dfrac{\sin{x}}{x}\biggr)^{\frac{1}{x^2}}=e^{-\frac{1}{6}}$$

とわかります.

最後に

今回のタイトルと手法から見てもわかる通り,いろいろ遊べます！
$$\lim_{x\to0}\biggl(\dfrac{2x\cos{x}}{\tan{2x}}\biggr)^{\frac{1}{x^2}}=e^{-\frac{11}{6}}$$
だったり,
$$\lim_{x\to0}\biggl(3\dfrac{\tan{x}-x}{x^3}\biggr)^{\frac{1}{x^2}}=e^{\frac{5}{2}}$$
だったりいろいろできます.

ではまた〜