Jacksonによるq-Clausenの公式

前の記事 の系1の1つ目の式
\begin{align} &\Q54{b,c,d,e,q^{-2n}}{q^{1-2n}/b,q^{1-2n}/c,q^{1-2n}/d,q^{1-2n}/e}q\\ &=\frac{(q^{n+1},b,c,d,e,q^{1-2n}/bc,q^{1-2n}/bd,q^{1-2n}/cd;q)_n}{(q^{1-2n}/b,q^{1-2n}/c,q^{1-2n}/d,e;q)_{2n}}e^n\qquad bcde=q^{1-3n} \end{align}
において, $q\mapsto q^2, e\mapsto q^{1-2n}$とすると, $d=q^{1-4n}/bc$となり,
\begin{align} &\Q43{b,c,q^{1-4n}/bc,q^{-4n}}{q^{2-4n}/b,q^{2-4n}/c,bcq}{q^2;q^2}\\ &=\frac{(q^{2n+2},b,c,q^{1-4n}/bc,q^{1-2n},q^{2-4n}/bc,bq,cq;q^2)_n}{(q^{2-4n}/b,q^{2-4n}/c,bcq,q^{1-2n};q^2)_{2n}}q^{n(1-2n)}\\ &=\frac{(q^2;q^2)_{2n}(b,c,q^{1-4n}/bc;q)_{2n}}{(b,c,bcq;q^2)_{2n}(q;q)_{2n}}(bc)^{2n}q^{3n(2n-1)}\\ &=\frac{(q^2;q^2)_{2n}(b,c,bcq^{2n};q)_{2n}}{(b,c,bcq;q^2)_{2n}(q;q)_{2n}}q^{-2n}\\ &=\frac{(q^2,bc;q^2)_{2n}(b,c;q)_{2n}}{(b,c;q^2)_{2n}(q,bc;q)_{2n}}q^{-2n} \end{align}
が得られる. つまり, 定理の$n$が偶数の場合が示せた. 次に 前の記事 の系1の2つ目の式
\begin{align} &\Q54{b,c,d,e,q^{-2n-1}}{q^{-2n}/b,q^{-2n}/c,q^{-2n}/d,q^{-2n}/e}{q}\\ &=\frac{(q^{n+1},b,c,d,e;q)_{n+1}(q^{-2n}/bc,q^{-2n}/bd,q^{-2n}/cd;q)_n}{(q^{-2n}/b,q^{-2n}/c,q^{-2n}/d,e;q)_{2n+1}}e^{n+1}\qquad bcde=q^{-1-3n} \end{align}
において$q\mapsto q^2,e\mapsto q^{-1-2n}$とすると, $d=q^{-1-4n}/bc$となり,
\begin{align} &\Q54{b,c,q^{-1-4n}/bc,q^{-1-2n},q^{-4n-2}}{bcq,q^{-4n}/b,q^{-4n}/c,q^{1-2n}}{q^2;q^2}\\ &=\frac{(q^{2n+2},b,c,q^{-1-4n}/bc,q^{-1-2n};q^2)_{n+1}(q^{-4n}/bc,bq,cq;q^2)_n}{(q^{-4n}/b,q^{-4n}/c,bcq,q^{-1-2n};q^2)_{2n+1}}q^{-(n+1)(2n+1)}\\ &=\frac{(q^2;q^2)_{2n+1}(b,c,q^{-1-4n}/bc;q)_{2n+1}}{(b,c,bcq;q^2)_{2n+1}(q;q)_{2n}}(bc)^{2n+1}q^{(3n-1)(2n+1)}\\ &=-\frac{(q^2;q^2)_{2n+1}(b,c,bcq^{2n+1};q)_{2n+1}}{(b,c,bcq;q^2)_{2n+1}(q;q)_{2n}}q^{-2n-1}\\ &=-\frac{(q^2,bc;q^2)_{2n+1}(b,c;q)_{2n+1}}{(b,c;q^2)_{2n+1}(bc;q)_{2n+1}(q;q)_{2n}} \end{align}
が得られる. ここで, 左辺は
\begin{align} &\Q54{b,c,q^{-1-4n}/bc,q^{-1-2n},q^{-4n-2}}{bcq,q^{-4n}/b,q^{-4n}/c,q^{1-2n}}{q^2;q^2}\\ &=(1-q^{-1-2n})\sum_{0\leq k}\frac{(b,c,q^{-1-4n}/bc,q^{-4n-2};q^2)_k}{(q^2,bcq,q^{-4n}/b,q^{-4n}/c;q^2)_k}\frac{1}{1-q^{2k-1-2n}}q^{2k} \end{align}
となるが,
\begin{align} \sum_{0\leq k}\frac{(b,c,q^{-1-4n}/bc,q^{-4n-2};q^2)_k}{(q^2,bcq,q^{-4n}/b,q^{-4n}/c;q^2)_k}\frac{1}{1-q^{2k-1-2n}}q^{4k}=0 \end{align}
であることが, この級数の第$k$項と第$2n+1-k$項の和が$0$になることから分かるので, これを用いると
\begin{align} &\sum_{0\leq k}\frac{(b,c,q^{-1-4n}/bc,q^{-4n-2};q^2)_k}{(q^2,bcq,q^{-4n}/b,q^{-4n}/c;q^2)_k}\frac{1}{1-q^{2k-1-2n}}q^{2k}\\ &=\sum_{0\leq k}\frac{(b,c,q^{-1-4n}/bc,q^{-4n-2};q^2)_k}{(q^2,bcq,q^{-4n}/b,q^{-4n}/c;q^2)_k}\frac{1-q^{2k-1-2n}}{1-q^{2k-1-2n}}q^{2k}\\ &=\Q43{b,c,q^{-1-4n}/bc,q^{-4n-2}}{bcq,q^{-4n}/b,q^{-4n}/c}{q^2;q^2}\\ \end{align}
が分かる. よって,
\begin{align} &\Q43{b,c,q^{-1-4n}/bc,q^{-4n-2}}{bcq,q^{-4n}/b,q^{-4n}/c}{q^2;q^2}\\ &=-\frac 1{1-q^{-1-2n}}\frac{(q^2,bc;q^2)_{2n+1}(b,c;q)_{2n+1}}{(b,c;q^2)_{2n+1}(bc;q)_{2n+1}(q;q)_{2n}}\\ &=\frac{(q^2,bc;q^2)_{2n+1}(b,c;q)_{2n+1}}{(b,c;q^2)_{2n+1}(q,bc;q)_{2n+1}}q^{-2n-1}\\ \end{align}
が得られる. つまり定理の$n$が奇数の場合も示せた.

\begin{align} &\sum_{0\leq n}\frac{(a,b;q^2)_n}{(abq,q^2;q^2)_n}x^n\sum_{0\leq m}\frac{(a,b;q^2)_m}{(abq,q^2;q^2)_m}(xq)^m\\ &=\sum_{0\leq n}(xq)^n\sum_{k=0}^n\frac{(a,b;q^2)_{k}}{(abq,q^2;q^2)_{k}}\frac{(a,b;q^2)_{n-k}}{(abq,q^2;q^2)_{n-k}}q^{-k}\\ &=\sum_{0\leq n}\frac{(a,b;q^2)_n}{(abq,q^2;q^2)_n}(xq)^n\Q43{a,b,q^{1-2n}/ab,q^{-2n}}{abq,q^{2-2n}/a,q^{2-2n}/b}{q^2;q^2} \end{align}
ここで定理1を用いると
\begin{align} &\sum_{0\leq n}\frac{(a,b;q^2)_n}{(abq,q^2;q^2)_n}x^n\sum_{0\leq m}\frac{(a,b;q^2)_m}{(abq,q^2;q^2)_m}(xq)^m\\ &=\sum_{0\leq n}\frac{(a,b;q^2)_n}{(abq,q^2;q^2)_n}(xq)^n\frac{(a,b;q)_n(q^2,ab;q^2)_n}{(a,b;q^2)_n(q,ab;q)_n}q^{-n}\\ &=\sum_{0\leq n}\frac{(a,b;q)_n}{(abq;q^2)_n}\frac{(ab;q^2)_n}{(q,ab;q)_n}x^n \end{align}
となって示すべき等式が得られた.