Gasperによるq-Clausenの公式
Clausenの公式
\begin{align}
\F21{a,b}{a+b+\frac 12}{z}^2&=\F32{2a,2b,a+b}{2a+2b,a+b+\frac 12}z
\end{align}
の$q$類似については様々な結果が知られているが, 今回はterminatingの場合に成り立つ以下の結果を示す.
$a,b,abz,ab/z$のいずれかが非負整数$N$を用いて$q^{-N}$と表されるとき,
\begin{align}
\Q43{a,b,abz,ab/z}{ab\sqrt q,-ab\sqrt q,-ab}{q}^2&=\Q54{a^2,b^2,ab,abz,ab/z}{a^2b^2,ab\sqrt q,-ab\sqrt q,-ab}q
\end{align}
が成り立つ.
Terminatingな場合, 両辺は有理関数であるから特に$abz=q^{-N}$の場合に示せば十分である.
前の記事
で示した系2は
\begin{align}
\Q21{q^{-N},b}{q^{1-N}/b}{\frac{xq}{b}}^2&=(xq^{1-N}/b,bx;q)_N\Q54{q^{-N},q^{1-N}/b^2,q^{\frac 12-N}/b,-q^{\frac 12-N}/b,-q^{1-N}/b}{q^{1-N}/b,q^{1-2N}/b^2,xq^{1-N}/b,q^{1-N}/bx}{q}\\
&=(xq^{1-N}/b,bx;q)_N\frac{(q^{-N},q^{1-N}/b^2,q^{\frac 12-N}/b,-q^{\frac 12-N}/b,-q^{1-N}/b;q)_N}{(q,q^{1-N}/b,q^{1-2N}/b^2,xq^{1-N}/b,q^{1-N}/bx;q)_N}q^N\Q54{q^{-N},b^2q^N,b,b/x,bx}{b^2,b\sqrt q,-b\sqrt q,-b}q\\
&=\frac{(b^2,b\sqrt q,-b\sqrt q,-b;q)_N}{(b,b^2q^N;q)_N}\left(\frac xb\right)^N\Q54{q^{-N},b^2q^N,b,b/x,bx}{b^2,b\sqrt q,-b\sqrt q,-b}q\\
&=\frac{(b^2;q)_N^2}{(b;q)_N^2}\left(\frac xb\right)^N\Q54{q^{-N},b^2q^N,b,b/x,bx}{b^2,b\sqrt q,-b\sqrt q,-b}q
\end{align}
一方,
前の記事
で示した定理1は
\begin{align}
\Q21{q^{-N},b}{q^{1-N}/b}{\frac{xq}b}&=\frac{(b^2;q)_N}{(b;q)_N}\left(\frac xb\right)^{\frac N2}\Q43{q^{-N},b^2q^N,\sqrt{b/x},\sqrt{bx}}{b\sqrt q,-b,-b\sqrt q}q
\end{align}
であるから, これらより
\begin{align}
\Q43{q^{-N},b^2q^N,\sqrt{b/x},\sqrt{bx}}{b\sqrt q,-b,-b\sqrt q}q^2=\Q54{q^{-N},b^2q^N,b,b/x,bx}{b^2,b\sqrt q,-b\sqrt q,-b}q
\end{align}
を得る. ここで, $b\mapsto ab, x\mapsto a/b$とすると,
\begin{align}
\Q43{q^{-N},a^2b^2q^N,a,b}{ab\sqrt q,-ab,-ab\sqrt q}q^2=\Q54{q^{-N},a^2b^2q^N,ab,a^2,b^2}{a^2b^2,ab\sqrt q,-ab\sqrt q,-ab}q
\end{align}
となる. よって示すべきことが得られた.
定理1の左辺に現れている${}_4\phi_3$は本質的にRogers多項式になっているので, それはRogers多項式の二乗が綺麗な形で書けることを意味している.
Singhの二次変換公式
を用いると
\begin{align}
\Q43{a,b,abz,ab/z}{ab\sqrt q,-ab\sqrt q,-ab}{q}&=\Q43{a^2,b^2,a^2b^2z^2,a^2b^2/z^2}{a^2b^2q,-ab,-abq}{q^2;q^2}
\end{align}
となるので, 定理1は以下の形で書くこともできる.
$a,b,abz,ab/z$のいずれかが非負整数$N$を用いて$q^{-N}$と表されるとき,
\begin{align}
\Q43{a^2,b^2,a^2b^2z^2,a^2b^2/z^2}{a^2b^2q,-ab,-abq}{q^2;q^2}^2&=\Q54{a^2,b^2,ab,abz,ab/z}{a^2b^2,ab\sqrt q,-ab\sqrt q,-ab}q
\end{align}
が成り立つ.
古典極限
古典極限は
\begin{align}
\Q43{a,b,abz,ab/z}{ab\sqrt q,-ab\sqrt q,-ab}{q}&\to \F21{a,b}{a+b+\frac 12}{(1-z)(1-z^{-1})} \\
\Q54{a^2,b^2,ab,abz,ab/z}{a^2b^2,ab\sqrt q,-ab\sqrt q,-ab}q&\to \F32{2a,2b,a+b}{2a+2b,a+b+\frac 12}{(1-z)(1-z^{-1})}
\end{align}
となるので, terminatingな場合のClausenの公式の直接的な$q$類似になっていることが分かる(ただし入っている引数は$(1-z)(1-z^{-1})$である.)
