Gasper-Rahmanの積公式

Heineの変換公式 より,
\begin{align} &\Q21{a,b}{c}{x}\Q21{\alpha,\beta}{\gamma}{x}\\ &=\frac{(\alpha\beta x/\gamma;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}}\Q21{a,b}{c}{x}\Q21{\gamma/\alpha,\gamma/\beta}{\gamma}{\frac{\alpha\beta x}{\gamma}}\\ &=\frac{(\alpha\beta x/\gamma;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}}\sum_{0\leq j}\frac{(\gamma/\alpha,\gamma/\beta;q)_j}{(\gamma,q;q)_j}\left(\frac{\alpha\beta x}{\gamma}\right)^j\Q43{q^{-j},q^{1-j}/\gamma,a,b}{\alpha q^{1-j}/\gamma,\beta q^{1-j}/\gamma, c}{q} \end{align}
ここで, $\gamma=\alpha\beta c/ab$とすると, ${}_4\phi_3$はbalancedになる. Watsonの変換公式 より,
\begin{align} \Q43{q^{-j},q^{1-j}/\gamma,a,b}{\alpha q^{1-j}/\gamma,\beta q^{1-j}/\gamma, c}{q}&=\frac{(\alpha c/a,\alpha c/b;q)_j}{(\alpha c,\alpha c/ab;q)_j}{}_8W_7(\alpha c/q;a,b,\alpha,\alpha\beta c^2q^{j-1}/ab,q^{-j};q/\beta) \end{align}
であるから,　そのとき,
\begin{align} &\Q21{a,b}{c}{x}\Q21{\alpha,\beta}{\gamma}{x}\\ &=\frac{(ab x/c;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}}\sum_{0\leq j}\frac{(\beta c/ab,\alpha c/a,\alpha c/b;q)_j}{(\alpha\beta c/ab,\alpha c,q;q)_j}\left(\frac{ab x}{c}\right)^j{}_8W_7(\alpha c/q;a,b,\alpha,\alpha\beta c^2q^{j-1}/ab,q^{-j};q/\beta)\\ &=\frac{(ab x/c;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}}\sum_{0\leq j}\frac{(\beta c/ab,\alpha c/a,\alpha c/b;q)_j}{(\alpha\beta c/ab,\alpha c,q;q)_j}\left(\frac{ab x}{c}\right)^j\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq k}\frac{1-\alpha cq^{2k-1}}{1-\alpha c/q}\frac{(\alpha c/q,a,b,\alpha,\alpha\beta c^2q^{j-1}/ab,q^{-j};q)_k}{(q,\alpha c/a,\alpha c/b,c,abq^{1-j}/\beta c,\alpha cq^j;q)_k}\left(\frac q{\beta}\right)^k\\ &=\frac{(ab x/c;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}}\sum_{0\leq k}\frac{1-\alpha cq^{2k-1}}{1-\alpha c/q}\frac{(\alpha c/q,a,b,\alpha;q)_k}{(q,\alpha c/a,\alpha c/b,c;q)_k}\left(\frac c{ab}\right)^k\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq j}\frac{(\alpha c/a,\alpha c/b;q)_j}{(\alpha\beta c/ab,\alpha\beta c^2/abq;q)_j}\left(\frac{ab x}{c}\right)^j\frac{(\alpha\beta c^2/abq;q)_{j+k}(\beta c/ab;q)_{j-k}}{(\alpha c;q)_{j+k}(q;q)_{j-k}}\\ &=\frac{(ab x/c;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}}\sum_{0\leq k}\frac{1-\alpha cq^{2k-1}}{1-\alpha c/q}\frac{(\alpha c/q,a,b,\alpha,;q)_k(\alpha\beta c^2/abq;q)_{2k}}{(q,c,\alpha\beta c/ab,\alpha\beta c^2/abq;q)_k(\alpha c;q)_{2k}}x^k\\ &\qquad\cdot\Q43{\alpha cq^k/a,\alpha cq^k/b,\alpha\beta c^2q^{2k-1}/ab,\beta c/ab}{\alpha\beta cq^k/ab,\alpha\beta c^2q^{k-1}/ab,\alpha cq^{2k}}{\frac{abx}{c}} \end{align}
ここで, $\alpha=a, \beta=aq/c$とすると,
\begin{align} &\Q21{a,b}{c}{x}\Q21{a,aq/c}{aq/b}{x}\\ &=\frac{(ab x/c;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}}\sum_{0\leq k}\frac{1-acq^{2k-1}}{1-a c/q}\frac{(a c/q,a,a,b;q)_k(ac/b;q)_{2k}}{(q,c,aq/b,ac/b;q)_k(a c;q)_{2k}}x^k\\ &\qquad\cdot\Q32{cq^k,acq^{2k}/b, q/b}{aq^{k+1}/b,a cq^{2k}}{\frac{abx}{c}} \end{align}
を得る. ここで, Gasper-Rahmanによる non-terminating Sears-Carlitzの変換公式
\begin{align} &\Q32{a,b,c}{aq/b,aq/c}{\frac{axq}{bc}}\\ &=\frac{(ax;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}}\Q54{aq/bc,\sqrt a,-\sqrt a,\sqrt{aq},-\sqrt{aq}}{aq/b,aq/c,ax,q/x}q\\ &\qquad+\frac{(a,aq/bc,axq/b,axq/c;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,axq/bc,1/x;q)_{\infty}}\Q54{axq/bc,x\sqrt a,-x\sqrt a,x\sqrt{aq},-x\sqrt{aq}}{axq/b,axq/c,xq,ax^2}q \end{align}
より,
\begin{align} &\Q32{acq^{2k}/b, q/b,cq^k}{a cq^{2k},aq^{k+1}/b}{\frac{abx}{c}}\\ &=\frac{(axq^{k};q)_{\infty}}{(bxq^{-k}/c;q)_{\infty}}\Q54{aq^k,q^k\sqrt{ac/b},-q^k\sqrt{ac/b},q^k\sqrt{acq/b},-q^k\sqrt{acq/b}}{acq^{2k},aq^{k+1}/b,axq^k,cq^{k+1}/bx}{q}\\ &\qquad+\frac{(acq^{2k}/b,aq^k,axq/c,abxq^k;q)_{\infty}}{(acq^{2k},aq^{k+1}/b,abx/c,cq^k/bx;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\Q54{abx/c,x\sqrt{ab/c},-x\sqrt{ab/c},x\sqrt{abq/c},-x\sqrt{abq/c}}{axq/c,abxq^k,bxq^{1-k}/c,abx^2/c}q\\ &=\frac{(ax;q)_{\infty}}{(bx/c;q)_{\infty}}\frac{q^{\binom k2}(-cq/bx)^k}{(ax,cq/bx;q)_k}\Q54{aq^k,q^k\sqrt{ac/b},-q^k\sqrt{ac/b},q^k\sqrt{acq/b},-q^k\sqrt{acq/b}}{acq^{2k},aq^{k+1}/b,axq^k,cq^{k+1}/bx}{q}\\ &\qquad+\frac{(ac/b,a,axq/c,abx;q)_{\infty}}{(ac,aq/b,abx/c,c/bx;q)_{\infty}}\frac{(aq/b,c/bx;q)_k(ac;q)_{2k}}{(a,abx;q)_k(ac/b;q)_{2k}}\\ &\qquad\cdot\Q54{abx/c,x\sqrt{ab/c},-x\sqrt{ab/c},x\sqrt{abq/c},-x\sqrt{abq/c}}{axq/c,abxq^k,bxq^{1-k}/c,abx^2/c}q \end{align}
を得る. よって, これを代入して,
\begin{align} &\Q21{a,b}{c}{x}\Q21{a,aq/c}{aq/b}{x}\\ &=\frac{(ab x/c;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}}\sum_{0\leq k}\frac{1-acq^{2k-1}}{1-a c/q}\frac{(a c/q,a,a,b;q)_k(ac/b;q)_{2k}}{(q,c,aq/b,ac/b;q)_k(a c;q)_{2k}}x^k\\ &\qquad\Bigg(\frac{(ax;q)_{\infty}}{(bx/c;q)_{\infty}}\frac{q^{\binom k2}(-cq/bx)^k}{(ax,cq/bx;q)_k}\Q54{aq^k,q^k\sqrt{ac/b},-q^k\sqrt{ac/b},q^k\sqrt{acq/b},-q^k\sqrt{acq/b}}{acq^{2k},aq^{k+1}/b,axq^k,cq^{k+1}/bx}{q}\\ &\qquad\qquad+\frac{(ac/b,a,axq/c,abx;q)_{\infty}}{(ac,aq/b,abx/c,c/bx;q)_{\infty}}\frac{(aq/b,c/bx;q)_k(ac;q)_{2k}}{(a,abx;q)_k(ac/b;q)_{2k}}\\ &\qquad\qquad\cdot\Q54{abx/c,x\sqrt{ab/c},-x\sqrt{ab/c},x\sqrt{abq/c},-x\sqrt{abq/c}}{axq/c,abxq^k,bxq^{1-k}/c,abx^2/c}q\Bigg) \end{align}
ここで, 1つ目の項は
\begin{align} &\sum_{0\leq k}\frac{1-acq^{2k-1}}{1-a c/q}\frac{(a c/q,a,a,b;q)_k(ac/b;q)_{2k}}{(q,c,aq/b,ac/b;q)_k(a c;q)_{2k}}x^k\\ &\qquad\frac{q^{\binom k2}(-cq/bx)^k}{(ax,cq/bx;q)_k}\Q54{aq^k,q^k\sqrt{ac/b},-q^k\sqrt{ac/b},q^k\sqrt{acq/b},-q^k\sqrt{acq/b}}{acq^{2k},aq^{k+1}/b,axq^k,cq^{k+1}/bx}{q}\\ &=\sum_{0\leq k}\frac{1-acq^{2k-1}}{1-a c/q}\frac{(a c/q,a,a,b;q)_k(ac/b;q)_{2k}}{(q,c,aq/b,ac/b;q)_k(a c;q)_{2k}}x^k\\ &\qquad\cdot\frac{q^{\binom k2}(-cq/bx)^k}{(ax,cq/bx;q)_k}\sum_{0\leq j}\frac{(aq^k;q)_j(acq^{2k}/b;q)_{2j}}{(q,acq^{2k},aq^{k+1}/b,axq^k,cq^{k+1}/bx;q)_j}q^j\\ &=\sum_{0\leq k}\frac{1-acq^{2k-1}}{1-a c/q}\frac{(a c/q,a,b;q)_k}{(q,c,ac/b;q)_k}q^{\binom k2}(-cq/b)^k\sum_{0\leq j}\frac{(a;q)_{j+k}(ac/b;q)_{2j+2k}}{(q;q)_j(ax,cq/bx,aq/b;q)_{j+k}(ac;q)_{j+2k}}q^j\\ &=\sum_{0\leq k}\frac{1-acq^{2k-1}}{1-a c/q}\frac{(a c/q,a,b;q)_k}{(q,c,ac/b;q)_k}q^{\binom k2}(-c/b)^k\sum_{0\leq j}\frac{(a;q)_{j}(ac/b;q)_{2j}}{(q;q)_{j-k}(ax,cq/bx,aq/b;q)_{j}(ac;q)_{j+k}}q^j\\ &=\sum_{0\leq j}\frac{(a;q)_{j}(ac/b;q)_{2j}}{(q,ax,cq/bx,aq/b,ac;q)_{j}}q^j\sum_{0\leq k}\frac{1-acq^{2k-1}}{1-a c/q}\frac{(a c/q,a,b,q^{-j};q)_k}{(q,c,ac/b,acq^j;q)_k}(cq^j/b)^k\\ &=\sum_{0\leq j}\frac{(a;q)_{j}(ac/b;q)_{2j}}{(q,ax,cq/bx,aq/b,ac;q)_{j}}q^j\frac{(ac,c/b;q)_j}{(c,ac/b;q)_j}\\ &=\sum_{0\leq j}\frac{(a,c/b;q)_{j}(ac/b;q)_{2j}}{(q,ax,cq/bx,aq/b,c,ac/b;q)_{j}}q^j \end{align}
ここで, 最後から2つ目の等号は Rogersの${}_6\phi_5$和公式 による. 次に, 2つ目の項もRogersの${}_6\phi_5$和公式から
\begin{align} &\sum_{0\leq k}\frac{1-acq^{2k-1}}{1-a c/q}\frac{(a c/q,a,a,b;q)_k(ac/b;q)_{2k}}{(q,c,aq/b,ac/b;q)_k(a c;q)_{2k}}x^k\\ &\qquad\cdot\frac{(aq/b,c/bx;q)_k(ac;q)_{2k}}{(a,abx;q)_k(ac/b;q)_{2k}}\Q54{abx/c,x\sqrt{ab/c},-x\sqrt{ab/c},x\sqrt{abq/c},-x\sqrt{abq/c}}{axq/c,abxq^k,bxq^{1-k}/c,abx^2/c}q\\ &=\sum_{0\leq k}\frac{1-acq^{2k-1}}{1-a c/q}\frac{(a c/q,a,b,c/bx;q)_k}{(q,c,ac/b,abx;q)_k}x^k\sum_{0\leq j}\frac{(abx/c;q)_j(abx^2/c;q)_{2j}}{(q,axq/c,abxq^k,bxq^{1-k}/c,abx^2/c;q)_j}q^j\\ &=\sum_{0\leq j}\frac{(abx/c;q)_j(abx^2/c;q)_{2j}}{(q,axq/c,abx^2/c,abx,bxq/c;q)_j}q^j\sum_{0\leq k}\frac{1-acq^{2k-1}}{1-a c/q}\frac{(a c/q,a,b,cq^{-j}/bx;q)_k}{(q,c,ac/b,abxq^j;q)_k}(xq^j)^k\\ &=\sum_{0\leq j}\frac{(abx/c;q)_j(abx^2/c;q)_{2j}}{(q,axq/c,abx^2/c,abx,bxq/c;q)_j}q^j\frac{(ac,c/b,axq^j,bxq^j;q)_{\infty}}{(c,ac/b,abxq^j,xq^j;q)_{\infty}}\\ &=\frac{(ac,c/b,ax,bx;q)_{\infty}}{(c,ac/b,abx,x;q)_{\infty}}\sum_{0\leq j}\frac{(abx/c,x;q)_j(abx^2/c;q)_{2j}}{(q,axq/c,abx^2/c,bxq/c,ax,bx;q)_j}q^j\\ \end{align}
よって,
\begin{align} &\Q21{a,b}{c}{x}\Q21{a,aq/c}{aq/b}{x}\\ &=\frac{(ab x/c,ax;q)_{\infty}}{(x,bx/c;q)_{\infty}}\sum_{0\leq j}\frac{(a,c/b;q)_{j}(ac/b;q)_{2j}}{(q,ax,cq/bx,aq/b,c,ac/b;q)_{j}}q^j\\ &\qquad+\frac{(ac/b,a,axq/c,abx;q)_{\infty}}{(ac,aq/b,x,c/bx;q)_{\infty}}\frac{(ac,c/b,ax,bx;q)_{\infty}}{(c,ac/b,abx,x;q)_{\infty}}\sum_{0\leq j}\frac{(abx/c,x;q)_j(abx^2/c;q)_{2j}}{(q,axq/c,abx^2/c,bxq/c,ax,bx;q)_j}q^j\\ &=\frac{(ab x/c,ax;q)_{\infty}}{(x,bx/c;q)_{\infty}}\sum_{0\leq j}\frac{(a,c/b;q)_{j}(ac/b;q)_{2j}}{(q,ax,cq/bx,aq/b,c,ac/b;q)_{j}}q^j\\ &\qquad+\frac{(a,axq/c,c/b,ax,bx;q)_{\infty}}{(aq/b,x,c/bx,c,x;q)_{\infty}}\sum_{0\leq j}\frac{(abx/c,x;q)_j(abx^2/c;q)_{2j}}{(q,axq/c,abx^2/c,bxq/c,ax,bx;q)_j}q^j \end{align}
となって定理が示される.