(2020/11/17追記:証明中の積分と微分の順序交換について書き加えました)
こんにちは!
前回の記事
の続きで
いくつかの複素数を変数にもつ関数を研究する分野が多変数複素解析、あるいは多変数関数論と呼ばれる分野です。一変数の複素解析と同様に、正則関数がその主役となります。多変数の正則関数は一変数の場合と振る舞いが大きく異なり、そこが難しいところでもあり面白いところでもあります。今回から数回にわたって、多変数複素解析ならではの現象について紹介してみたいと思います。
今回紹介するのは、多変数の正則関数の定義と正則領域と呼ばれるタイプの領域についてです。
一変数の複素解析に関する知識をいくらか仮定します。例えば、正則関数の定義、コーシー・リーマンの方程式、コーシーの積分公式、 一致の定理 などです。
また、証明の途中で積分記号下の微分(積分と微分の入れ替え)を行います。積分記号下の微分に関しては、例えば こちらの記事 が参考になります。
早速ですが、
各変数について正則であるような関数のことを
この定義のみから
定義1と定義2は同値であることが知られています(ハルトークスの定理)。以下では、定義2の方を正則関数の定義だと思うことにします。
一変数のときと同様の議論を行うことにより、正則関数が解析的であること、すなわち局所的に
の形で記述できることがわかります。
多変数の正則関数ではじめて発生する面白い現象として、解析接続に関する現象があります。定理の形で書くと、次のようになります。
すなわち、領域
とおく。
(工事中……ここに図が入ります)
そこで、
によって定める。ただし、
積分記号下の微分を行うことにより、
2020/11/17追記:「積分記号下の微分」の議論を最初の版では端折ってしまっていました。詳しく書くと以下のようになります。
が成り立つ(
をみたす。そこで、
以上の議論により、
そこで、定義域の共通部分
コーシーの積分公式から、
したがって、定義域の共通部分で
一方、このようなことは一変数では起こりません。
ということで、一変数と多変数では正則関数の解析接続に関する状況が大きく違っているということが分かりました。多変数では定理2は常には成り立ちません。定理2の状況が常に成り立つような領域
領域
例えば、定理2より
領域がいつ正則領域になるかを調べることが多変数関数論の重要な問題でしたが、この問題は岡によって解決されました。その後、偏微分方程式論を駆使した別証明もヘルマンダーによって得られています。どのような条件になるかは今回は紹介しませんが、これらの証明もいずれ紹介できると良いですね……大変そうですが……
今回は、次の内容を紹介しました。
今後多変数複素解析に関する記事も書いていきたいと思っています。それではまた!