根号内に平方根と立方根を有する「外れる二重根号」

　毎度おなじみ^[要出典]、「いかなる指摘や非難も受けつける」という目的のためだけに初心者設定をしていない実質初心者こと、 匿(Tock) でございます。今回も根性とともに色々な二重根号を見ていきましょう。

今来た一行

　${\color{red} \sqrt[n]{a+b\sqrt{x}+c\sqrt[3]{y}\,}}$という形の、外れる二重根号を探します($a,b,c,n,x,y$はいずれも整数)。メインは後半。

研究の経緯

　以前、私は 二重根号に関する3つの不思議な公式（＋それらの公式から得られる多数の等式） なる記事を書きました。ここで紹介した二重根号の等式を抜き出し、 Wikipedia で紹介されているそれと比較してみましょう。

　非自明であるという点においては、双方とも大差ありませんね。根号内の美しさではWikipedia側に軍配が上がりそうですが。
　とはいえ、もっと根本を見つめ直しましょう。じーっ……。

「私の記事、平方根しか出てこないな？」

　ということで。今回は立方根を登場させます。立方根の絡んだ二重根号について、いい感じの公式を探索します。
　ただし、$\sqrt[n]{a\sqrt[3]{x}\pm b\sqrt[3]{y}\,}$という形の二重根号($n\ge 2$)は様々な論文で既に研究されており、例えば Denesting certain nested radicals of depth two では$$ \begin{align*} \sqrt{m\sqrt[3]{4m-8n}+n\sqrt[3]{4m+n}\,}=\pm\frac{1}{3}\left(\sqrt[3]{\left(4m+n\right)^{2}}+\sqrt[3]{4\left(m-2n\right)\left(4m+n\right)}-\sqrt[3]{2\left(m-2n\right)^{2}}\right) \end{align*}$$という汎用性しかない公式が紹介されています。
　ゆえに、少しでもオリジナリティを出すべく、別の形を想定します。具体的には、$ {\color{blue} \sqrt[n]{a+b\sqrt{x}+c\sqrt[3]{y}\,}}$のような形をした二重根号を研究対象に選びます($a,b,c,n,x,y$はいずれも整数)。

探索の手法

　いくら根性を用意したとしても、時間と数学力には限りがあります。
　例えば、任意に数値を代入して$\displaystyle \sqrt[3]{1000+129\sqrt{21}-1270\sqrt[3]{2}}$という二重根号を得たとしましょう。当然、こう言いたくなります。
「これ、外せるか……？」
　そう、ディネスティング($n$重根号を$(n-1)$重以下の根号に書き換えること)可能か否かなど、一瞥だけで判るはずがありませんね。結論を言うと、物凄く頑張れば$$ \begin{align*}{\color{red} \sqrt[3]{1000+129\sqrt{21}-1270\sqrt[3]{2}}} ={\color{blue} \frac{10\left(4\sqrt[3]{4}+2\sqrt[3]{2}-5\right)}{\sqrt[3]{9}\left(\sqrt{21}-1\right)}-4\sqrt[3]{6}}\end{align*}$$と外せるのですが、このような作業をすべての代入に対して実施したら人類滅亡のほうが先に来てしまいます。
　ですから、すべてを見つけることは諦めます。手の届く範囲で「外せる二重根号の生成公式」を探索し、そこに値を代入してこういった非自明な等式を得る、と、逆方向からアプローチします。

人は補題なしに生きられない

　それでは、「外せる二重根号の生成公式」とやらを作ってみましょう。まず、誰証が明見をて丸も投明げらしかたない補題を2つ用意します。

　どちらの補題も、結論が(多項式)×(多項式)=(多項式中の$x$に$x^3$を代入した式)という形をしています。この事実を胸に留めておいてください。

　続いて、以下の補題を考えます。

生成メソッドは非常に簡単

　準備が整いました。この補題1.3に補題1.1の式を代入してみると、
$$ \begin{align*} {\color{blue} \left(\underbrace{\left(\sqrt[3]{x}-1\right)}_{\zeta_1\left(\sqrt[3]{x},y\right)}\sqrt{\eta(x,y)}+\underbrace{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}+1}_{\zeta_2\left(\sqrt[3]{x},y\right)}\right)^{2} =\alpha+\beta\sqrt{\eta(x,y)}+\gamma\sqrt[3]{x}+\delta\sqrt[3]{x^2}} \quad\cdots({\rm ii}) \end{align*}$$を満足する多項式$\alpha,\beta,\gamma,\delta$が存在するといえます。$({\rm ii})$の左辺を根性で展開し、$\gamma$と$\delta$を計算します。
$$ \begin{align*} &{\color{blue} \left(\left(\sqrt[3]{x}-1\right)\sqrt{\eta(x,y)}+\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}+1\right)^{2}} \\ &\qquad =\underbrace{\eta(x,y)+2x+1}_{\alpha}+\underbrace{2\left(x-1\right)}_{\beta}\sqrt{\eta(x,y)}+\underbrace{\left(-2\eta(x,y)+x+2\right)}_{\gamma}\sqrt[3]{x}+\underbrace{\left(\eta(x,y)+3\right)}_{\delta}\sqrt[3]{x^{2}} \end{align*}$$
$$ \Longrightarrow \left\{\begin{align*} \gamma &= -2\eta(x,y)+x+2 \\[6pt] \delta &= \eta(x,y)+3 \end{align*}\right.$$

　まず$\delta$に注目しましょう。もしも$\delta=0$が成り立つならば、$({\rm ii})$の両辺の平方根をとると
$$ \begin{align*} {\color{blue} \left(\sqrt[3]{x}-1\right)\sqrt{\eta(x,y)}+\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}+1} ={\color{red} \sqrt{\alpha+\beta\sqrt{\eta(x,y)}+\gamma\sqrt[3]{x}}} \end{align*}$$となって、二重根号を含まない式(左辺)と$\sqrt[n]{a+b\sqrt{x}+c\sqrt[3]{y}\,}$型の二重根号(右辺)がイコールで結ばれます。
　このとき明らかに$\eta(x,y)=-3$ですから、上の式は以下のように整理されます。
$$ \begin{align*} {\color{blue} \left(\sqrt[3]{x}-1\right)\underbrace{\sqrt{3}\,i}_{\sqrt{\eta(x,y)}}+\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}+1} ={\color{red} \pm\left(\sqrt{a+b\sqrt{3}\, i+c\sqrt[3]{x}\,}{\text {型の二重根号}}\right)} \quad\cdots({\rm iii}) \end{align*}$$　虚数単位$i$を登場させてしまいましたが、確かに目的通り「外せる二重根号の生成公式」を作れました。
　実際、任意の値、例えば$x=2$などを$({\rm iii})$に代入すると、
$$ \begin{align*} {\color{blue} \dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(\left(\sqrt[3]{2}-1\right)\sqrt{3}\,i+\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}-1}\right)} ={\color{red} \pm\sqrt{1+\sqrt{3}\,i+5\sqrt[3]{2}}} \end{align*}$$といった式を生成できて、公式の威力を実感できます(左辺を2乗すると右辺の根号内の式になる)。

手法の応用

　前節では、$({\rm ii})$の$\delta=0$となるケースを考えました。$\delta=0$の代わりに$\gamma=0$のケースを考えれば、どうなるでしょうか。既に$\gamma=-2\eta(x,y)+x+2$を計算しているので、今回は$\eta(x,y)=\dfrac{x}{2}+1$とすればよいですね。整理すれば、
$$ \begin{align*} {\color{blue} \left(\sqrt[3]{x}-1\right)\underbrace{\sqrt{\dfrac{x}{2}+1}}_{\sqrt{\eta(x,y)}}+\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}+1} ={\color{red} \left(\sqrt{a+b\sqrt{\dfrac{x}{2}+1}+c\sqrt[3]{x^2}\,}{\text {型の二重根号}}\right)}　\quad\cdots({\rm iv}) \end{align*}$$と書けます。おしまい。

報われる人は努力しているらしい

　論点チェンジ。今度は補題1.3に補題1.2の式を代入します。
$$ \begin{align*} {\color{blue} \left(\underbrace{\left(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}-y\right)}_{\zeta_1\left(\sqrt[3]{x},y\right)}\sqrt{\eta(x,y)}+\underbrace{\left(y+1\right)\sqrt[3]{x^2}+(x+y)\sqrt[3]{x}-x+y^{2}}_{\zeta_2\left(\sqrt[3]{x},y\right)}\right)^{2} =\alpha+\beta\sqrt{\eta(x,y)}+\gamma\sqrt[3]{x}+\delta\sqrt[3]{x^2}} \quad\cdots({\rm v}) \end{align*}$$　心が折れそうですね。耐えましょう。ちなみに代入が変わったので$\alpha$～$\delta$の中身も変わっています。
　先程と同様に展開し、$\gamma,\delta$を求めます。
$$ \begin{align*} &{\color{blue} \left(\left(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}-y\right)\sqrt{\eta(x,y)}+\left(y+1\right)\sqrt[3]{x^2}+(x+y)\sqrt[3]{x}-x+y^{2}\right)^{2}} \\ &\qquad =\underbrace{\left(2x+y^2\right)\eta(x,y)+(2y+3)x^2+2xy+y^4}_{\alpha} \\ &\qquad\qquad\quad +\underbrace{2\left(x^{2}+\left(3y+1\right)x-y^{3}\right)}_{\beta}\sqrt{\eta(x,y)} \\ &\qquad\qquad\qquad +\underbrace{\left( (x-2y)\eta(x,y)-2x^2+(3y^2+1)x+2y^3 \right)}_{\gamma}\sqrt[3]{x} \\ &\qquad\qquad\qquad\quad +\underbrace{\left( -(2y-1)\eta(x,y)+x^2-2x+(2y+3)y^2 \right)}_{\delta}\sqrt[3]{x^{2}} \end{align*}$$
$$ \Longrightarrow\left\{\begin{align*} \gamma &= (x-2y)\eta(x,y)-2x^2+(3y^2+1)x+2y^3 \\[6pt] \delta &= -(2y-1)\eta(x,y)+x^2-2x+(2y+3)y^2 \end{align*}\right.$$　心が折れましたね。それでも耐えましょう。
　$\gamma=0$のとき$\eta(x,y)=\dfrac{2x^2-(3y^2+1)x-2y^3}{x-2y}$です。したがって、以下の生成公式が導かれます。
$$ \begin{align*} &{\color{blue} \left(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}-y\right)\underbrace{\sqrt{\dfrac{2x^2-(3y^2+1)x-2y^3}{x-2y}}}_{\sqrt{\eta(x,y)}}+\left(y+1\right)\sqrt[3]{x^2}+(x+y)\sqrt[3]{x}-x+y^{2}} \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad ={\color{red} \left(\sqrt{a+b\sqrt{\dfrac{2x^2-(3y^2+1)x-2y^3}{x-2y}}+c\sqrt[3]{x^2}\,}{\text {型の二重根号}}\right)}\quad\cdots({\rm vi'}) \end{align*}$$　……ええ、生成公式です。誰がなんと言おうと、これは外せる二重根号の生成公式です。
　それを確かめるため、例えば$x=y=\dfrac{1}{2}$のときを考えましょう(どんな値でも構いません)。このとき$\dfrac{2x^2-(3y^2+1)x-2y^3}{x-2y}=\dfrac{5}{4}$ですから、ひたすら計算すると
$$ \begin{align*} {\color{blue} \frac{2\sqrt[3]{4}+3\sqrt[3]{2}-1+\sqrt{5}\left(\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}-1\right)}{\sqrt{2}}} ={\color{red} \sqrt{25+11\sqrt{5}+\sqrt[3]{2}}}\quad\cdots({\rm vi''}) \end{align*}$$が出てきます。確かに生成できましたね。万歳。

　次。$({\rm v})$で$\delta=0$のケースです。同様の手順で、以下の生成公式に還元されます。←説明が面倒になりつつある
$$ \begin{align*} &{\color{blue} \left(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}-y\right)\underbrace{\sqrt{\dfrac{x^2-2x+(2y+3)y^2}{2y-1}}}_{\sqrt{\eta(x,y)}}+\left(y+1\right)\sqrt[3]{x^2}+(x+y)\sqrt[3]{x}-x+y^{2}} \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad ={\color{red} \left(\sqrt{a+b\sqrt{\dfrac{x^2-2x+(2y+3)y^2}{2y-1}}+c\sqrt[3]{x}\,}{\text {型の二重根号}}\right)}\quad\cdots({\rm vi}) \end{align*}$$　ここで一旦IQを30ほど上げてみると、あることに気がつきます。
「$({\rm vi'})$の左辺に$\left(x,y\right)=\left(\dfrac{1}{x},\dfrac{y}{x}\right)$を代入して$x^2$倍すれば、$({\rm vi})$の左辺と一致するね？」
　はい、その通りです。2つの生成公式を導いたつもりでしたが、事実上これらは1つだったのです。無念……。

ここから探索難易度が跳ね上がる

　$\sqrt[n]{a+b\sqrt{x}+c\sqrt[3]{y}\,}$型の二重根号で外れるものを探す、という目的で始まった本記事ですが、今のところ$n=2$の場合しか探索できていません。もっと探したいですね。
　序盤で登場した$\displaystyle \sqrt[3]{1000+129\sqrt{21}-1270\sqrt[3]{2}}$を覚えていますか？　今思えば、これは$n=3$の場合に相当します。ですから、$n=3$の場合くらいは頑張りましょう。

　ついてきていますか？　割と大変な計算をしましたよ。

　$n=3$の場合には、補題1.3の代わりに以下の補題2.2を用います。

　補題2.2に補題2.1の式を代入してみると、以下の式が成り立ちます($\alpha,\beta,\gamma,\delta$は何らかの整数次多項式)。
$$ \begin{align*} {\color{blue} \left(\underbrace{\left(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}-y\right)}_{\zeta_1\left(\sqrt[3]{x},y\right)}\underbrace{\sqrt{4y+1}}_{\sqrt{\eta(x,y)}}+\underbrace{\sqrt[3]{x^2}-(2y+1)\sqrt[3]{x}-y}_{\zeta_2\left(\sqrt[3]{x},y\right)}\right)^{3} =\alpha+\beta\sqrt{4y+1}+\gamma\sqrt[3]{x}+\delta\sqrt[3]{x^2}} \quad\cdots({\rm viii}) \end{align*}$$
　以降は$n=2$の場合と同様です。$({\rm viii})$の$\gamma$と$\delta$を求めましょう(ここの計算は省略します)。
$$ \left\{\begin{align*} \gamma &= -24y\left((3y+1)x+y^3\right) \\[6pt] \delta &= -24y^2(x-3y-1) \end{align*}\right.$$　$y=0$のときは不適なので($\because \eta(x,y)=1$)、$\gamma=0 \Longleftrightarrow x=-\dfrac{y^3}{3y+1}$および$\delta=0 \Longleftrightarrow x=3y+1$といえますね。
　それぞれを$({\rm viii})$に代入すれば、以下の生成公式を得ます。
$$ \begin{align*} x=-\dfrac{y^3}{3y+1}:\;&{\color{blue} \left(1+\sqrt{4y+1}\right)\left(-1-\sqrt[3]{\frac{1}{3y+1}}+y\sqrt[3]{\left(\frac{1}{3y+1}\right)^{2}}\right)+2(y+1)\sqrt[3]{\frac{1}{3y+1}}} \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad ={\color{red} \left(\sqrt[3]{a+b\sqrt{4y+1}+c\sqrt[3]{\left(\frac{1}{3y+1}\right)^{2}}\,}{\text {型の二重根号}}\right)} \quad\cdots({\rm ix'}) \\ x=3y+1:\;&{\color{blue} \left(1+\sqrt{4y+1}\right)\left(-y+\sqrt[3]{3y+1}+\sqrt[3]{\left(3y+1\right)^{2}}\right)-2(y+1)\sqrt[3]{3y+1}} \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad ={\color{red} \left(\sqrt[3]{a+b\sqrt{4y+1}+c\sqrt[3]{3y+1}\,}{\text {型の二重根号}}\right)} \quad\cdots({\rm ix}) \end{align*}$$　いずれも$\sqrt[n]{a+b\sqrt{x}+c\sqrt[3]{y}\,}$型の「外れる二重根号」を生成する式になっていますね。目標達成です。

　ところで、$({\rm ix})$と$({\rm ix'})$をよく見比べてみると、あることに気がつきます。
「$({\rm ix'})$の左辺に$-\sqrt[3]{(3y+1)^2}$を掛ければ、$({\rm ix})$の左辺と一致するね？」
　はい、その通りです。2つの生成公式を導いたつもりでしたが、事実上これらは1つだったのです。天丼……。

理想の代入

　改めて、発見できた生成公式を列挙します(1行に収めるため少々変形しています)。

　これらに任意の数値を代入すれば、$\sqrt[n]{a+b\sqrt{x}+c\sqrt[3]{y}\,}$型二重根号のディネスティング問題を一瞬で作れます。不定期でディネスティング問題を出題している私自身としましては有難いことこの上ないですね。

ひたすら二重根号を外すだけ。
頭の体操にどうぞ。

(1) ★☆☆☆☆☆(中学生レベル)
(2) ★★★☆☆☆(高校生レベル)
(3) ★★★★★★(ラマヌジャンレベル)― 匿(Tock)（ @con_malinconia ）October 14, 2023

結構難しめの二重根号外し。
3連休のうちに解ける人は何名いるでしょうか？― 匿(Tock)（ @con_malinconia ）November 2, 2023

　具体的に見てみましょう。適当に$x=5, y=8$あたりを選び公式3へと代入すれば、以下の式が得られます。$$ \begin{align*} {\color{red} \sqrt{160859-724\sqrt{18465}+15544\sqrt[3]{5}}} ={\color{blue} \frac{362\sqrt{15}}{8-\sqrt[3]{5}-\sqrt[3]{25}}-\sqrt{1231}\left(8-\sqrt[3]{5}-\sqrt[3]{25}\right)} \end{align*}$$「こんなものを出題したら各位から怒られるよ……。」
　つい本音が漏れてしまいました。まあ、確かに当初の目的である「$\sqrt[n]{a+b\sqrt{x}+c\sqrt[3]{y}\,}$型の二重根号を外す」は達成できているわけですが、係数を見ると、その……ね？(同意を求めるポーズ)

　数学的には何ら問題なくとも、出題者の観点で考えればこれは由々しき事態。
「$\displaystyle \sqrt{160859-724\sqrt{18465}+15544\sqrt[3]{5}}$の二重根号を外しなさい」
など、誰も解いてくれません。もう少し、例えば$({\rm vi''})$で見た$\displaystyle \sqrt{25+11\sqrt{5}+\sqrt[3]{2}}$のように平易な係数でなければ……。
　と、そういう経緯で、ここからはプログラムを走らせて根号内の数値が簡単になる代入を探索した結果となります。労力的にはここからが本番です。

　以上、4つの公式を使ってみました。根性がそろそろ尽きそうです……。
　数式は全部手打ちしたので入力ミスがあるかもしれません。あればコメントでご指摘ください。

余計な問題

雑談が結語

　上記の問題2にて、$n\ge 4$の場合に$\sqrt[n]{a+b\sqrt{x}+c\sqrt[3]{y}\,}$型のディネスティング問題を作る難しさを紹介しました。万能に思えた従来の手法が使えず、そもそも「外せる二重根号」が無限に存在するかも怪しい状況です。
　私も大量の計算を試しましたが、現時点で発見できたのは以下の1種類のみです……。$$ \begin{align*} {\color{red} \sqrt[4]{98\pm 20i\sqrt{42}+65\sqrt[3]{14}}}={\color{blue} \frac{1+\sqrt[3]{14}\mp i\sqrt[6]{378}}{1+i}\sqrt[12]{\frac{14}{27}}\,k}\quad(k=\pm1,\pm i) \end{align*}$$　これ以外で$\sqrt[n]{a+b\sqrt{x}+c\sqrt[3]{y}\,}$型($n\ge 4$)の「外せる二重根号」を見つけられた方はご連絡ください。讃えますので。

　HTMLコード含めて約32,000文字、その最後の一字までお読みいただき、ありがとうございました。本記事をPDF出力する際は、用紙サイズA3、倍率75％で設定するとレイアウトが綺麗になります。