Andrews-Askey積分から従うq積分の正則性
$q$積分を
\begin{align}
\int_a^bf(t)\,d_qt=\sum_{0\leq n}(bq^nf(bq^n)-aq^nf(aq^n))
\end{align}
とする.
Andrews-Askey積分から従う$q$モーメント
Andrews-Askey積分は
\begin{align}
\int_a^b\frac{(tq/a,tq/b;q)_{\infty}}{(ct,dt;q)_{\infty}}\,d_qt=b\frac{(a/b,bq/a,abcd,q;q)_{\infty}}{(ac,ad,bc,bd;q)_{\infty}}
\end{align}
と表される. ここで, $a=x, b=1, c\mapsto a/x,d=z$とすると
\begin{align}
\int_{x}^1\frac{(tq/x,tq;q)_{\infty}}{(at/x,zt;q)_{\infty}}\,d_qt=\frac{(x,q/x,az,q;q)_{\infty}}{(a,xz,a/x,z;q)_{\infty}}
\end{align}
となる. $q$二項定理を用いて両辺の$z^n$の係数を比較すると以下が得られる.
\begin{align} \int_x^1\frac{(tq/x,tq;q)_{\infty}}{(at/x;q)_{\infty}}t^n\,d_qt=\frac{(q,x,q/x;q)_{\infty}}{(a,a/x;q)_{\infty}}\sum_{k=0}^n\frac{(q;q)_n(a;q)_{n-k}}{(q;q)_k(q;q)_{n-k}}x^k \end{align}
これは前の記事( Al-Salam-Carlitz多項式のqモーメントによる表示 )の定理1と本質的には同値である.
$q$積分の正則性
$|x|<1$として,
\begin{align}
f(z)=\sum_{0\leq n}c_nz^n
\end{align}
の収束半径を$R$とする. このとき, 命題1の両辺に$c_n$を掛けて足し合わせると
\begin{align}
\int_x^1\frac{(tq/x,tq;q)_{\infty}}{(at/x;q)_{\infty}}f(t)\,d_qt&=\frac{(q,x,q/x;q)_{\infty}}{(a,a/x;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}c_n\sum_{k=0}^n\frac{(q;q)_n(a;q)_{n-k}}{(q;q)_k(q;q)_{n-k}}x^k\\
&=\frac{(q,x,q/x;q)_{\infty}}{(a,a/x;q)_{\infty}}\sum_{0\leq k}\frac{x^k}{(q;q)_k}\sum_{k\leq n}c_n\frac{(q;q)_n(a;q)_{n-k}}{(q;q)_{n-k}}\\
&=\frac{(q,x,q/x;q)_{\infty}}{(a,a/x;q)_{\infty}}\sum_{0\leq k}\frac{x^k}{(q;q)_k}\sum_{0\leq n}\frac{(q;q)_{n+k}(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}c_{n+k}
\end{align}
ここで, 任意の$\varepsilon>0$に対してある定数$C>0$があって,
\begin{align}
\left|\sum_{0\leq n}\frac{(q;q)_{n+k}(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}c_{n+k}\right|&\leq C\left|\sum_{0\leq n}\frac{(q;q)_{n+k}(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}(R+\varepsilon)^{-n-k}\right|\\
&=C(R+\varepsilon)^{-k}\left|\sum_{0\leq n}\frac{(q;q)_{n+k}(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}(R+\varepsilon)^{-n}\right|
\end{align}
となり,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(q;q)_{n+k}(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}(R+\varepsilon)^{-n}\to (q;q)_{\infty}\sum_{0\leq n}\frac{(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}(R+\varepsilon)^{-n}\qquad k\to\infty
\end{align}
であるから,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(q;q)_{n+k}(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}c_{n+k}=O((R+\varepsilon)^{-k})
\end{align}
となる. よって, 以下を得る.
\begin{align}
f(z)=\sum_{0\leq n}c_nz^n
\end{align}
の収束半径が$R>0$であるとき,
\begin{align}
\frac{(a/x;q)_{\infty}}{(q/x;q)_{\infty}}\int_x^1\frac{(tq/x,tq;q)_{\infty}}{(at/x;q)_{\infty}}f(t)\,d_qt
&=\frac{(q,x;q)_{\infty}}{(a;q)_{\infty}}\sum_{0\leq k}x^k\sum_{0\leq n}\frac{(q^{k+1},a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}c_{n+k}
\end{align}
であり, この右辺の級数の$x$に関する収束半径は$R$である. 特に, 左辺の$q$積分は$x=0$において正則である.
特に,
\begin{align}
f(z)=\frac{(b_1z,\dots,b_sz;q)_{\infty}}{(a_1z,\dots,a_rz;q)_{\infty}}
\end{align}
とするとそれは収束半径$\min\{|a_1|^{-1},\dots,|a_r|^{-1}\}$の正則関数であるから, 以下の系を得る.
$R=\min\{|a_1|^{-1},\dots,|a_r|^{-1}\}$とするとき,
\begin{align}
\frac{(a/x;q)_{\infty}}{(q/x;q)_{\infty}}\int_x^1\frac{(tq/x,tq,b_1t,\dots,b_st;q)_{\infty}}{(at/x,a_1t,\dots,a_rt;q)_{\infty}}\,d_qt
\end{align}
は$|x|< R$において正則である. 特に, $a=0$として
\begin{align}
\frac{1}{(q/x;q)_{\infty}}\int_x^1\frac{(tq/x,tq,b_1t,\dots,b_st;q)_{\infty}}{(a_1t,\dots,a_rt;q)_{\infty}}\,d_qt
\end{align}
は$|x|< R$において正則である.
系1の$q$積分を展開すると
\begin{align}
&\int_x^1\frac{(tq/x,tq,b_1t,\dots,b_st;q)_{\infty}}{(at/x,a_1t,\dots,a_rt;q)_{\infty}}\,d_qt\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{(q^{n+1}/x,q^{n+1},b_1q^n,\dots,b_sq^n;q)_{\infty}}{(aq^n/x,a_1q^n,\dots,a_rq^n;q)_{\infty}}q^n\\
&\qquad-x\sum_{0\leq n}\frac{(q^{n+1},xq^{n+1},b_1xq^n,\dots,b_sxq^n;q)_{\infty}}{(aq^n,a_1xq^n,\dots,a_rxq^n;q)_{\infty}}q^n\\
&=\frac{(q/x,q,b_1,\dots,b_s;q)_{\infty}}{(a/x,a_1,\dots,a_r;q)_{\infty}}\Q{r+1}{s+1}{a_1,\dots,a_r,a/x}{b_1,\dots,b_s,q/x}q-x\frac{(q,xq,b_1x,\dots,b_sx;q)_{\infty}}{(a,a_1x,\dots,a_rx;q)_{\infty}}\Q{r+1}{s+1}{a_1x,\dots,a_rx,a}{b_1x,\dots,b_sx,xq}q
\end{align}
となる. よって, 系1は以下のように書きかえられる.
$R=\min\{|a_1|^{-1},\dots,|a_r|^{-1}\}$とするとき,
\begin{align}
\Q{r+1}{s+1}{a_1,\dots,a_r,a/x}{b_1,\dots,b_s,q/x}q+\frac{(x,a/x,a_1,\dots,a_r,b_1x,\dots,b_sx;q)_{\infty}}{(1/x,a,a_1x,\dots,a_rx,b_1,\dots,b_s;q)_{\infty}}\Q{r+1}{s+1}{a_1x,\dots,a_rx,a}{b_1x,\dots,b_sx,xq}q
\end{align}
は$x< R$において正則である. また,
\begin{align}
\Q{r}{s+1}{a_1,\dots,a_r}{b_1,\dots,b_s,q/x}q+\frac{(x,a_1,\dots,a_r,b_1x,\dots,b_sx;q)_{\infty}}{(1/x,a_1x,\dots,a_rx,b_1,\dots,b_s;q)_{\infty}}\Q{r}{s+1}{a_1x,\dots,a_rx}{b_1x,\dots,b_sx,xq}q
\end{align}
は$x< R$において正則である.
特に, $N$を非負整数として, $x=aq^N$のとき,
\begin{align}
&\Q{r+1}{s+1}{a_1,\dots,a_r,a/x}{b_1,\dots,b_s,q/x}q+\frac{(x,a/x,a_1,\dots,a_r,b_1x,\dots,b_sx;q)_{\infty}}{(1/x,a,a_1x,\dots,a_rx,b_1,\dots,b_s;q)_{\infty}}\Q{r+1}{s+1}{a_1x,\dots,a_rx,a}{b_1x,\dots,b_sx,xq}q\\
&=\Q{r+1}{s+1}{a_1,\dots,a_r,q^{-N}}{b_1,\dots,b_s,aq^{1-N}}q
\end{align}
と1つのterminating$q$超幾何級数になる. 系2を用いれば, このタイプのterminating$q$超幾何級数の間の等式から一致の定理を用いることによってnon-terminating$q$超幾何級数の間の等式を得ることができる. 1つの例として,
Watsonの変換公式
から
non-terminating Watsonの変換公式
を導出することができる.
