2019年の阪大入試（理系）第4問（1）をめちゃくちゃ遠回りして解く その5

補題2，定理3から明らか．

フリップを同じ位置で2回続けて行うと元に戻ることに注意すると, 定理中の図式に現れるフリップだけを調べれば十分であることがわかる．$t=t_1$のとき$F(L,L_t)$は($\mathrm{i}$)を満たすので，以下帰納的に図式中の矢印が正しいことを示す．
最初に，($\mathrm{vi}$)から($\mathrm{viii}$)の間の矢印について確かめる．($\mathrm{vi}$)から($\mathrm{viii}$)の間の図式でのフリップを考えると，フリップした後の入れ替わった辺の傾きは定理3と命題5から真ん中の大きさである．よって，これらの間の矢印については補題4から正しいことがわかる．
次に($\mathrm{ii}$) と($\mathrm{iii}$)の間の矢印について確かめる．$F(L,L_t)$が($\mathrm{ii}$)または($\mathrm{iii}$)を満たすことを仮定したとき， $\mathrm{grad}_L(\ell_{1;t})=0$かつ$(\mathrm{ii})\overset{2}\longrightarrow(\mathrm{iii})$または$(\mathrm{iii})\overset{3}\longrightarrow(\mathrm{ii})$であることを帰納的に確かめれば十分である． まず最初に$F(L,L_t)=F(L,\varphi_2(L_{t_1}))$ならば，$F(L,L_t)$は$(\mathrm{iii})$を満たし，$\mathrm{grad}_L(\ell_{1;t})=0$である．仮定のもとで$F(L,L_t)$が$(\mathrm{ii})$を満たすならば定理3より$\mathrm{grad}_L(\ell_{1;t})<\mathrm{grad}_L(\ell_{3:t})<\mathrm{grad}_L(\ell_{2;t})$であることがわかる． したがって，補題2，定理3，命題5から $(\mathrm{ii})\overset{2}\longrightarrow(\mathrm{iii})$が示される．$L_{t'}:=\varphi_2(L_{t})$としたとき，$\ell_{1;t}=\ell_{1;t'}$であるから，$\mathrm{grad}_L(\ell_{1;t'})=0$である．$F(L,L_{t})$が($\mathrm{iii}$)を満たすときも， 同様の議論から$(\mathrm{iii})\overset{3}\longrightarrow(\mathrm{ii})$と$\mathrm{grad}_L(\ell_{1;t''})=0$が示される（$L_{t''}:=\varphi_3(L_{t})$とした）．
次に，$(\mathrm{iii})\overset{1}\longrightarrow(\mathrm{vii})$と$(\mathrm{ii})\overset{1}\longrightarrow(\mathrm{vii})$も $\mathrm{grad}_L(\ell_{1;t})=0$と補題2，命題3，定理5から従う．
($\mathrm{iv}$),($\mathrm{v}$),($\mathrm{viii}$)の間の矢印に関しては($\mathrm{ii}$),($\mathrm{iii}$),($\mathrm{vii}$)の間の矢印と同様の議論をすればよい（ただし$\mathrm{grad}_L(\ell_{1;t})=0$の代わりに$\mathrm{grad}_L(\ell_{2;t})=\infty$を用いる）．
以上のことから，($\mathrm{i}$)を満たす状態から定理中の図式にあるようなフリップを行うと2度と($\mathrm{i}$)を満たす状態には戻ってこないことがわかり，$(\mathrm{i})\overset{1}\longrightarrow(\mathrm{iii})$と$(\mathrm{i})\overset{2}\longrightarrow(\mathrm{v})$が従う．

定理6と補題7から従う．

$F(L_t,L)=(f_{ij;t})$と表すとすると，定理1(定理9)中の$f_{i;t}$は$f_{i3;t}$を指す．以後，$f_{ij;t}$の記号の方で議論を行う．
定理8の図式中の任意の($\mathrm n$)と($\mathrm n$)を満たす$F(L_t,\ell_3)$について，
\begin{align*} h(F(L_t,\ell_3))_n=x \quad h(F(L_t,\ell_3))_d=y, \end{align*}
であるとき，
\begin{align*} &h(F(\varphi_a(L_{t}),\ell_3))_n=x+y, \quad h(F(\varphi_a(L_{t}),\ell_3))_d=y,\\ &h(F(\varphi_b(L_{t}),\ell_3))_n=x, \quad h(F(\varphi_b (L_{t}),\ell_3))_d=x+y \end{align*}
を満たすことを確かめれば良い．
$F(L_t,\ell_3)$が($\mathrm i$)を満たすときは，直接計算で求めれば良い．$F(L_t,\ell_3)$が($\mathrm{iii}$)を満たすとする．このとき，
\begin{align*} h(F(L_t,\ell_3))=\dfrac{f_{13;t_1}+1}{f_{33;t}+1}=\dfrac{1}{f_{33;t}+1}=\dfrac{1}{f_{32;t}+2} \end{align*}
であることが定理8からわかっている（分子が第1成分であることは帰納的に示される）．
定理8と$h$の定義から， $L_{t'}:=\varphi_3(L_t)$に対して，
\begin{align*} h(F(L_{t'},\ell_3))&=\dfrac{1}{f_{23;t}+1}=\dfrac{1}{f_{32;t}+3}=\dfrac{1}{(f_{32;t}+2)+1}. \end{align*}
一方，$L_{t''}:=\varphi_2(L_t)$に対しては
\begin{align*} &h(F(L_{t''},\ell_3))=\dfrac{f_{23;t}+1}{f_{33;t}+1}=\dfrac{f_{32:t}+3}{f_{32;t}+2}=\dfrac{(f_{32:t}+2)+1}{f_{32;t}+2} \end{align*}
を得る．したがって$F(L_t,\ell_3)$が($\mathrm{iii}$)を満たすときは求めるべき条件を満たしている．
次に$F(L_t,\ell_3)$が($\mathrm{ii}$)を満たすとする． このとき，
\begin{align*} h(F(L_t,\ell_3))&=\dfrac{f_{33;t_1}+1}{f_{23;t}+1}=\dfrac{1}{f_{23;t}+1}=\dfrac{1}{f_{22;t}+2}\\ \end{align*}
が定理8からわかっている（分子が第1成分であることは帰納的に示される）．
よって定理8と$h$の定義から， $L_{t'}:=\varphi_2(L_t)$と$L_{t''}:=\varphi_1(L_t)$に対して，
\begin{align*} h(F(L_{t'},\ell_3))&=\dfrac{1}{f_{33;t}+1}=\dfrac{1}{f_{22;t}+3}=\dfrac{1}{(f_{22;t}+2)+1},\\ h(F(L_{t''},\ell_3))&=\dfrac{f_{33;t}+1}{f_{23;t}+1}=\dfrac{f_{22:t}+3}{f_{22;t}+2}=\dfrac{(f_{22:t}+2)+1}{f_{22;t}+2}. \end{align*}
したがって$F(L_t,\ell_3)$が($\mathrm{ii}$)を満たすときは求めるべき条件を満たしている．
($\mathrm{iv}$)と($\mathrm{v}$)を満たす場合については($\mathrm{iii}$)と($\mathrm{ii}$)の場合と同様にして示される．
次に，$F(L_t,\ell_3)$が($\mathrm{vi}$)を満たす場合を考える． まず
\begin{align*} h(F(L_t,\ell_3))=\frac{f_{13;t}+1}{f_{23;t}+1} \end{align*}
の場合を仮定する．まず定理8から
\begin{align*} h(F(L_t,\ell_3))&=\frac{f_{13;t}+1}{f_{23;t}+1}=\dfrac{f_{11;t}+f_{12;t}+2}{f_{21;t}+f_{22;t}+2}\\ \end{align*}
であって，定理8と$h$の定義から$L_{t'}:=\varphi_1(L_t)$と$L_{t''}:=\varphi_2(L_t)$に対して，
\begin{align*} h(F(L_{t'},\ell_3))&=\frac{f_{33;t}+1}{f_{23;t}+1}=\dfrac{f_{11;t}+f_{12;t}+f_{21;t}+f_{22;t}+4}{f_{21;t}+f_{22;t}+2}\\ &=\dfrac{(f_{11;t}+f_{12;t}+2)+(f_{21;t}+f_{22;t}+2)}{f_{21;t}+f_{22;t}+2},\\ h(F(L_{t''},\ell_3))&=\dfrac{f_{13;t}+1}{f_{33;t}+1}=\dfrac{f_{11;t}+f_{12;t}+2}{f_{11;t}+f_{12;t}+f_{21;t}+f_{22;t}+4}\\ & =\dfrac{f_{11;t}+f_{12;t}+2}{(f_{11;t}+f_{12;t}+2)+(f_{21;t}+f_{22;t}+2)}. \end{align*}
よって求めるべき条件を満たしている．
次に
\begin{align*} h(F(L_t,\ell_3))=\frac{f_{23;t}+1}{f_{13;t}+1}, \end{align*}
を仮定すると，これは最初のケースと同様に求めるべき条件を満たしていることがわかる．
よって, $F(L_t,\ell_3)$が($\mathrm{vi}$)を満たすときも示された．
$F(L_t,\ell_3)$が($\mathrm{vii}$)や($\mathrm{viii}$)を満たす場合も$(\mathrm{vi})$の時と同じようにして示される．