集合 ⑬

Prop & Proof

$A\subseteq B$と$A\setminus B=\varnothing$が同値であることを示すため、両方向を示す。

1. $A\subseteq B\Rightarrow A\setminus B=\varnothing$を示す。
   集合の等号の定義より、任意の$x\in U$について
   $$ x\in A\setminus B\ \Leftrightarrow\ x\in\varnothing $$
   を示せばよい。
   任意の$x\in U$をとる。差集合の定義より
   $$ x\in A\setminus B\ \Leftrightarrow\ (x\in A\land x\notin B) $$
   が成り立つ。
   ここで$A\subseteq B$より、任意の$x\in U$について
   $$ x\in A\Rightarrow x\in B $$
   が成り立つ。従って$x\in A$ならば$x\in B$であるから、$x\in A\land x\notin B$は成り立たない。
   よって任意の$x\in U$について
   $$ x\in A\setminus B $$
   は偽である($\Leftrightarrow\ \bot$)。また、空集合の定義より任意の $x\in U$ について $x\in\varnothing$ は偽であるから、
   $$ x\in\varnothing\ \Leftrightarrow\ \bot $$
   が成り立つ。すなわち任意の$x\in U$について
   $$ x\in A\setminus B\ \Leftrightarrow\ \bot \Leftrightarrow\ x\in\varnothing $$
   が成り立つ。
   以上より、集合の等号の定義から
   $$ A\setminus B=\varnothing $$
   が成り立つ。
   $ $
2. $A\setminus B=\varnothing\Rightarrow A\subseteq B$を示す。
   部分集合の定義より、任意の$x\in U$について
   $$ x\in A\Rightarrow x\in B $$
   を示せばよい。
   任意の$x\in U$をとり、$x\in A$を仮定する。背理法により、$x\notin B$と仮定する。
   すると$x\in A\land x\notin B$が成り立つから、差集合の定義より
   $$ x\in A\setminus B $$
   が従う。一方で、仮定$A\setminus B=\varnothing$より、集合の等号の定義から任意の$x\in U$について
   $$ x\in A\setminus B\ \Leftrightarrow\ x\in\varnothing $$
   が成り立つ。ところが$x\in\varnothing$は偽である事から$x\in A\setminus B$も偽でなければならない。
   (同値 $P \Leftrightarrow Q$ は、$P$と$Q$の真偽値が一致するとき真)
   これは仮定$x\in A\setminus B$と矛盾する。よって$x\notin B$という仮定は誤りであり、$x\in B$が成り立つ。
   従って任意の$x\in U$について$x\in A\Rightarrow x\in B$が成り立つので、部分集合の定義より
   $$ A\subseteq B $$
   が成り立つ。
   $ $

-以上(1.2.)より
$$ A\subseteq B\ \Leftrightarrow\ A\setminus B=\varnothing $$
が成り立つ。
$$ \Box$$

部分集合の定義より、任意の$x\in U$について
$$ x\in A\setminus B\Rightarrow x\in A $$
を示せばよい。
$ $
任意の$x\in U$をとり、$x\in A\setminus B$を仮定する。
差集合の定義より
$$ x\in A\setminus B\ \Leftrightarrow\ (x\in A\land x\notin B) $$
が成り立つ。
したがって$x\in A\land x\notin B$が成り立つ。特に$x\in A$が成り立つ。
よって任意の$x\in U$について$x\in A\setminus B\Rightarrow x\in A$が成り立つので、部分集合の定義より
$$ A\setminus B\subseteq A $$
が成り立つ。
$$ \Box$$

両方向を示す。

1. $A=B\Rightarrow (A\setminus B=\varnothing)\land(B\setminus A=\varnothing)$ を示す。
   $A=B$を仮定する。すなわち、任意の$x \in U$について
   $$ x\in A\ \Leftrightarrow\ x\in B $$
   が成り立つ。
   $ $
   まず$A\setminus B=\varnothing$を示す。
   差集合の定義より任意の$x \in U$について
   $$ x\in A\setminus B\ \Leftrightarrow\ (x\in A\land x\notin B) $$
   が成り立つ。
   しかし$x\in A$ならば$x\in B$であるから、$x\in A\land x\notin B$は成り立たない。
   よって任意の$x \in U$について$x\in A\setminus B$は偽である($\bot$)。
   また、空集合の定義より任意の $x\in U$ について $x\in\varnothing$ は偽であるから、
   $$ x\in\varnothing\ \Leftrightarrow\ \bot $$
   が成り立つ。すなわち任意の$x\in U$について
   $$ x\in A\setminus B\ \Leftrightarrow\ \bot \Leftrightarrow\ x\in\varnothing $$
   が成り立つ。
   従って任意の$x \in U$について
   $$ x\in A\setminus B\ \Leftrightarrow\ x\in\varnothing $$
   が成り立つので、集合の等号の定義より$A\setminus B=\varnothing$が成り立つ。
   $ $
   次に$B\setminus A=\varnothing$を示す。
   差集合の定義より任意の$x \in U$について
   $$ x\in B\setminus A\ \Leftrightarrow\ (x\in B\land x\notin A) $$
   が成り立つ。
   しかし$A=B$の仮定より、特に$x\in B$ならば$x\in A$であるから、$x\in B\land x\notin A$は成り立たない。
   よって任意の$x \in U$について$x\in B\setminus A$は偽である($\bot$)。
   また、空集合の定義より任意の $x\in U$ について $x\in\varnothing$ は偽であるから、
   $$ x\in\varnothing\ \Leftrightarrow\ \bot $$
   が成り立つ。従って任意の$x \in U$について
   $$ x\in B\setminus A\ \Leftrightarrow\ x\in\varnothing $$
   が成り立つので、集合の等号の定義より$B\setminus A=\varnothing$が成り立つ。
   $ $
2. $(A\setminus B=\varnothing)\land(B\setminus A=\varnothing)\Rightarrow A=B$ を示す。
   $(A\setminus B=\varnothing)\land(B\setminus A=\varnothing)$を仮定する。従って
   $$ A\setminus B=\varnothing,\quad B\setminus A=\varnothing $$
   が成り立つ。
   集合の等号の定義より、$A=B$を示すためには任意の$x \in U$について
   $$ x\in A\ \Leftrightarrow\ x\in B $$
   を示せばよい。
   任意の$x \in U$をとる。まず$x\in A\Rightarrow x\in B$を示す。
   $x\in A$を仮定する。背理法により$x\notin B$と仮定する。
   すると$x\in A\land x\notin B$が成り立つから、差集合の定義より$x\in A\setminus B$が従う。
   しかし$A\setminus B=\varnothing$より$x\in A\setminus B$は偽である。これは矛盾である。
   従って$x\notin B$は成り立たず、$x\in B$が成り立つ。よって$x\in A\Rightarrow x\in B$が成り立つ。
   $ $
   次に$x\in B\Rightarrow x\in A$を示す。
   $x\in B$を仮定する。背理法により$x\notin A$と仮定する。
   すると$x\in B\land x\notin A$が成り立つから、差集合の定義より$x\in B\setminus A$が従う。
   しかし$B\setminus A=\varnothing$より$x\in B\setminus A$は偽である。これは矛盾である。
   従って$x\notin A$は成り立たず、$x\in A$が成り立つ。
   よって$x\in B\Rightarrow x\in A$が成り立つ。
   $ $
   以上より任意の$x \in U$について$x\in A\Leftrightarrow x\in B$が成り立つので、集合の等号の定義より
   $$ A=B $$
   が成り立つ。

-以上(1.2.)より
$$ A=B\ \Leftrightarrow\ (A\setminus B=\varnothing)\land(B\setminus A=\varnothing) $$
が成り立つ。
$$ \Box$$