ζ(3)の表示やコネクターについて
目次
・はじめに
・内容
・最後に
はじめに
どうも、色数です。
今回もまたζ(3)の表示やコネクターについて考察してみます。
内容
双対性コネクター
は$\frac{n!m!}{(n+m)!}$という形で与えられている。
これはベータ関数$B(x,y):=\int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt$を使っても表示できるため今回はベータ関数と超幾何級数の変形を用いることでヨヨヨさんの考えていた
$(\frac{n!m!}{(n+m)!})^2$
というブツを考えてみる。
$\displaystyle Z_{a,b}(\mathbf k;\mathbf l):=\sum_{\substack{0<\mathbf n\\0<\mathbf m}}\frac{1}{\mathbf n^{\mathbf k}\mathbf m^{\mathbf l}}B_a(n_r,m_s)^b$
ここで$B_a(n,m)$は不完全ベータ関数
今回は$a=1$についてのみ考察する。
$\displaystyle Z_{1,1}(\mathbf k;\mathbf l)=Z(\mathbf k;\mathbf l_{\uparrow})+Z(\mathbf k_{\uparrow};\mathbf l)$
定義より得る
$\displaystyle \sum_{\substack{0< n\\0< m}}\frac{1}{ n^{ k}m^{ l+2}}\left(\frac{n!m!}{(n+m)!}\right)^2=2\sum_{\substack{0< n_1< n_2\\0< m_1< m_2}}\frac{1}{n_1^{k}m_1^{l+4}}\left(\frac{(2n_1+2)!m_1!}{(n_1+m_1+1)!}\frac{(m_1+m_2-2)!(m_1+n_2)!}{(n_1+n_2+2m_1-2)!(m_2-1)!}\right)$
\begin{align}
Z_{1,2}(k;l+2)&=\sum_{\substack{0< n\\0< m}}\frac{1}{ n^{ k} m^{ l+2}}\left(\frac{n!m!}{(n+m)!}\right)^2…(\textcolor{blue}{\heartsuit})\\
&=\sum_{\substack{0< n\\0< m}}\frac{1}{ n^{ k}\ m^{ l+4}}\left(\int_0^1t^{n}(1-t)^{m-1}dt\right)^2\\
&=2\sum_{\substack{0< n\\0< m}}\frac{1}{ n^{ k} m^{ l+4}}\left(\int_{0< t_1< t_2<1}t_1^{n}(1-t_1)^{m-1}t_2^{n}(1-t_2)^{m-1}dt_1dt_2\right)\\
&=2\sum_{\substack{0< n\\0< m}}\frac{1}{ n^{k} m^{ l+4}}\left(\sum_{v=0}^\infty\frac{(1-m)_v}{v!(n+v+1)}\int_0^1t_2^{2n+v+1}(1-t_2)^{m-1}dt_2\right)\\
&=2\sum_{\substack{0< n\\0< m}}\frac{1}{ n^{k}m^{l+4}}\left(\sum_{v=0}^\infty\frac{(1-m)_v(2n+v+2)!m!}{v!(n+v+2)(2n+v+m+2)!}\right)\\
&=2\sum_{\substack{0< n\\0< m}}\frac{1}{n^{k}m^{l+4}}\left(m!\sum_{v=0}^\infty\frac{(1-m)_v(1)_{2n+v+2}}{v!(n+v+1)(1)_{2n+v+m+2}}\right)\\
&=2\sum_{\substack{0< n\\0< m}}\frac{1}{n^{k}m^{l+4}}\left(\frac{m!(2n+2)!}{(2n+m+2)!}\sum_{v=0}^\infty\frac{(1-m)_v(2n+3)_v}{v!(n+v+1)(2n+m+3)_v}\right)\\
&=2\sum_{\substack{0< n\\0< m}}\frac{1}{n^{k}m^{l+4}}\left(\frac{ m!(2n+2)!}{(n+1)(2n+m+2)!}\sum_{v=0}^\infty\frac{(1-m)_v(2n+3)_v(n+1)_v}{v!(2n+m+3)_v(n+2)_v}\right)\\
&=2\sum_{\substack{0< n\\0< m}}\frac{1}{n^{k}m^{l+4}}\left(\frac{m!(2n+2)!}{(n+1)(2n+m+2)!}{}_3F_2\left[\begin{gathered}n+1,2n+3,1-m\\2n+m+3,n+2\end{gathered};1\right]\right)\\
&=2\sum_{\substack{0< n_1\\0< m_1}}\frac{1}{n_1^{k}m_1^{l+4}}\left(\frac{(2n_1+2)!(2n_1+m_1+2)!(2m_1-1)!}{(2n_1+m_1+2)!(2n_1+2m_1+2)!}{}_3F_2\bigg\lbrack\begin{gathered}n_1+m_1+2,1,2m_1\\2n_1+2m_1+3,m_1+1\end{gathered};1\bigg\rbrack\right)(変換公式×2)\\
&=2\sum_{\substack{0< n_1< n_2\\0< m_1< m_2}}\frac{1}{n_1^{k}m_1^{l+4}}\left(\frac{(2n_1+2)!m_1!}{(n_1+m_1+1)!}\frac{(m_1+m_2-2)!(m_1+n_2)!}{(n_1+n_2+2m_1-2)!(m_2-1)!}\right)…(\heartsuit)
\end{align}
$(\textcolor{blue}{\heartsuit}),(\heartsuit)$より得る
$\displaystyle \zeta(3)=3\sum_{\substack{0< n\\0< m}}\frac{1}{nm^2}\left(\frac{n!m!}{(n+m)!}\right)^2=6\sum_{\substack{0< n_1< n_2\\0< m_1< m_2}}\frac{1}{n_1m_1^{6}}\left(\frac{(2n_1+2)!m_1!}{(n_1+m_1+1)!}\frac{(m_1+m_2-2)!(m_1+n_2)!}{(n_1+n_2+2m_1-2)!(m_2-1)!}\right)$
LHS=MHSはヨヨヨさんからMHS=RHSは上記より得る
最後に
今回のように超幾何級数の変換公式を用いたらヨヨヨさんの考えていた級数たちの別表示が得られるのではないでしょうか？
ただ煩雑になるだけで面白みがないかもしれませんが