コネクターを勉強してみる

コネクター,ζ(3)の表示

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はじめに

どうも、色々やる数学徒です。
今回は僕の記事で紹介だけしている等式(↓)の証明とその深掘りをしてみます。

$ζ (3) = \sum_{(n, m) \in N^{2}} \frac{n! m!}{n^{2} m (m + n)!}$

たまたま積分で遊んでたらコネクターの話に繋がっている等式だったらしく感動しました。🥺

等式の証明

とりあえず示しましょう。

$ζ (3) = \sum_{(n, m) \in N^{2}} \frac{n! m!}{n^{2} m (m + n)!}$

エスパーすることで朧げながら下のような積分を考えれば良いことがわかるので後は地道に計算します。
$\begin{aligned} \int_{0 < t_{1} < t_{2} < 1} \frac{\ln t_{2}}{t_{2} (1 - t_{1})} d t_{1} d t_{2} & = \int_{0}^{1} \frac{\ln t_{2}}{t_{2}} d t_{2} \int_{0}^{t_{2}} \frac{d t_{1}}{1 - t_{1}} \\ = \sum_{n = 1}^{\infty} \int_{0}^{1} \frac{\ln t_{2}}{t_{2}} d t_{2} \int_{0}^{t_{2}} t_{1}^{n - 1} d t_{1} \\ = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} \int_{0}^{1} t_{2}^{n - 1} \ln t_{2} d t_{2} \\ = - \sum_{n = 1}^{\infty} \sum_{m = 1}^{\infty} \frac{1}{m n} \int_{0}^{1} t_{2}^{n - 1} (1 - t_{2})^{m} d t_{2} \\ = - \sum_{n = 1}^{\infty} \sum_{m = 1}^{\infty} \frac{1}{m n} \frac{Γ (m + 1) Γ (n)}{Γ (m + n + 1)} \\ = - \sum_{(m, n) \in N^{2}} \frac{m! (n - 1)!}{m n (m + n)!} \\ = - \sum_{(m, n) \in N^{2}} \frac{n! m!}{n^{2} m (m + n)!} \dots (1) \end{aligned}$
級数展開せずに積分してみると
$\begin{aligned} \int_{0 < t_{1} < t_{2} < 1} \frac{\ln t_{2}}{t_{2} (1 - t_{1})} d t_{1} d t_{2} & = \int_{0}^{1} \frac{\ln t_{2}}{t_{2}} d t_{2} \int_{0}^{t_{2}} \frac{d t_{1}}{1 - t_{1}} \\ = - \int_{0}^{1} \frac{\ln t_{2} \ln (1 - t_{2})}{t_{2}} d t_{2} \\ = - {[- {Li}_{2} (t) \ln t]}_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{{Li}_{2} (t)}{t} d t \\ = - {Li}_{3} (1) \\ = - ζ (3) \dots (2) \end{aligned}$
(1),(2)より上記の等式を得る

と、ここまでが僕が自力で出せたところ。(少ない！簡単！)
上の数式をOCやTwitterにて投稿してみたところコネクターやら和公式なるものがあることがわかりました。

以下はヨヨヨに勧められて読んだ NKSσさんの記事とヨヨヨさんの記事で勉強したことを書き留めておきます。記法はこれらの記事に順守しています。(矢印記法など)
やっぱりヨヨヨさんたちの記事は読みやすいですね、見習いたいです。
個人的にこの記事とか計算方法がわかりやすく書いてあっておすすめです。

コネクターの話

先に多重ゼータを初見の方もいると思うので定義などサラッと書いておきます。
詳しくはこちらをご覧ください。

多重ゼータ値(MZV)

$ζ (k_{1}, \dots, k_{r}) := \sum_{0 < n_{1} < \dots < n_{r}} \frac{1}{n_{1}^{k_{1}} \dots n_{r}^{k_{r}}}$

ここの $k_{1}, \dots, k_{r}$ をインデックスとよび、 $k$ などと表します。
これに対し次のように矢印を考えます。

$k_{\to} = (k_{1}, \dots, k_{r}, 1)$
$k_{↑} = (k_{1}, \dots, k_{r} + 1)$
必要なら $\emptyset_{\to} = 1$ とする

次にこの多重ゼータ値における双対性を考えます。

MZVの双対性

$ζ (k) = ζ (k^{†})$

いやもう、キレイすぎて…本質をきちんと理解できてなくてもこのシンプルさに毎度驚かされます。(ヨヨヨの記事にわかりやすく証明が書かれています)
ここで
$k := ({1}^{a_{1} - 1}, b_{1} + 1, \dots, {1}^{a_{r}}, b_{r})$
$k^{†} := ({1}^{b_{r} - 1}, a_{r} + 1, \dots, {1}^{b_{1} - 1}, a_{1} + 1)$

ヨヨヨの双対性1では確か変数変換してどうの…みたいな感じで証明していましたが(別記事ではコネクター使っていました)コネクターという道具を用いることでも示せるようです。

上で定義し直したインデックスたちを $\emptyset$ で表してみます。
$k = \emptyset_{\to^{a_{1}} ↑^{b_{1}} \dots \to^{a_{r}} ↑^{b_{r}}}$
$k^{†} = \emptyset_{\to^{b_{r}} ↑^{a_{r}} \dots \to^{b_{1}} ↑^{a_{1}}}$
なんだかやろうとしていることが見えてきましたね。
こうして $\emptyset$ を使って書き直してみると矢印が運ばれているみたいですよね。
このことから輸送という単語を使うみたいです。(なんだかオシャレですね)

以上のことから $Z (k_{\to}; l) = Z (k; l_{↑})$

$Z (k_{↑}; l) = Z (k; l_{\to})$
を満たす $Z (k; l)$ を考え $ζ (k) = Z (k; \emptyset)$ であることから双対性を示せるようです。

$Z (k; l) := \sum_{\begin{matrix} 0 = n_{0} < n_{1} < \dots < n_{r} \\ 0 = m_{0} < m_{1} < \dots < m_{s} \end{matrix}} \frac{1}{n^{k} m^{l}} C (n_{r}, m_{s})$

上で $n$ と書いてますが $n_{0}, \dots, n_{r}$ のことです。
なんでこんなふうに定義しようと思ったんですかね…
すると NKSσさんの記事によると $C (0, m) = 1, \frac{n! m!}{(n + m)!}$ がわかり、以上から1番最初の等式を証明できます。

$\begin{aligned} ζ (3) & = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}} C (n, 0) \\ = \sum_{(n, m) \in N^{2}} \frac{1}{n^{2} m} C (n, m) \\ = \sum_{(n, m) \in N^{2}} \frac{n! m!}{n^{2} m (n + m)!} \end{aligned}$