大学数学基礎解説

コネクターと級数

多重ゼータ値,コネクター,双対性

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0.目次

1.はじめに
2.コネクターと輸送関係式
3.級数の双対性
4.おまけ
5.終わりに

1.はじめに

コネクターについて最近考えたことを書きます。
表記などはWataruさんのこちらの記事を参考にしています。
多重ゼータ値の双対性と連結和

2.コネクターと輸送関係式

$G (n, m) := \frac{(x)_{n} (y)_{m}}{(x + y)_{n + m - 1}}$

これが今回用いるコネクターです。

連結和

$Z (k; l) = \sum_{\begin{matrix} 0 < n_{1} < n_{2} < \dots < n_{a} \\ 0 < m_{1} < m_{2} < \dots < m_{b} \end{matrix}} \frac{1}{(n + x - 1)^{k} (m + y - 1)^{l}} G (n_{a}, m_{b})$

$(n + x - 1)^{k} = (n_{1} + x - 1)^{k_{1}} (n_{2} + x - 1)^{k_{2}} \dots (n_{a} + x - 1)^{k_{a}}$

という略記です。まあ、なんとなく察してください

輸送関係式1

$Z (k_{\to}; l) = Z (k; l_{↑})$

$\sum_{n_{0} < n} \frac{1}{n + x - 1} G (n, m) = \frac{1}{m + y - 1} G (n_{0}, m)$ を示せばよい。

$\begin{aligned} \sum_{n_{0} < n} \frac{1}{n + x - 1} G (n, m) & = \sum_{n_{0} < n} \frac{1}{n + x - 1} \frac{(x)_{n} (y)_{m}}{(x + y)_{n + m - 1}} \\ = \sum_{n_{0} < n} \frac{1}{(n + x - 1) (m + y - 1)} \frac{(x)_{n} (y)_{m}}{(x + y)_{n + m - 1}} {(n + m + x + y - 2) - (n + x - 1)} \\ = \sum_{n_{0} < n} \frac{1}{m + y - 1} {\frac{(x)_{n - 1} (y)_{m}}{(x + y)_{n + m - 2}} - \frac{(x)_{n} (y)_{m}}{(x + y)_{n + m - 1}}} \\ = \sum_{n_{0} < n} \frac{1}{m + y - 1} (G (n - 1, m) - G (n, m)) \\ = \frac{1}{m + y - 1} G (n_{0}, m) ◼ \end{aligned}$

輸送関係式2

$Z (k_{↑}; l) = Z (k; l_{\to})$

$\frac{1}{n + x - 1} G (n, m_{0}) = \sum_{m_{0} < m} \frac{1}{m + y - 1} G (n, m)$

を示せばよいが、これは対称性から定理1と同様に成り立つことが確認できる。
(右辺を定理1と同様の手法で計算すればよいです。)

3.級数の双対性

用語の意味とかは過去記事を見てください多重ゼータ値の双対性1

双対性を持つ級数

許容インデックス $k = (k_{1}, k_{2}, \dots, k_{r})$ に対して
$U (k; x, y) := \sum_{0 < n_{1} < n_{2} < \dots < n_{r}} \frac{1}{(n_{1} + x - 1)^{k_{1}} (n_{2} + x - 1)^{k_{2}} \dots (n_{r} + x - 1)^{k_{r}}} \frac{(x)_{n_{r}}}{(x + y)_{n_{r} - 1}}$
$k$ の双対インデックスを $k^{†}$ と表したとき
$U (k; x, y) = U (k^{†}; y, x)$
が成り立つ。

定理1と定理2を順に用いていきます。
また、正整数 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{s}, b_{1}, b_{2}, \dots, b_{s}$ を用いて
$k = ({1}^{a_{1} - 1}, b_{1} + 1, \dots, {1}^{a_{s} - 1}, b_{s} + 1)$
とします。
( $k$ が許容インデックスならば必ずこの形で一意的に書ける)

$\begin{aligned} U (k; x, y) & = Z (k; \emptyset) \\ = Z (\emptyset_{\to^{a_{1}} ↑^{b_{1}} \to^{a_{2}} ↑^{b_{2}} \dots \to^{a_{s}} ↑^{b_{s}}}; \emptyset) \\ ⋮ \\ = Z (\emptyset; \emptyset_{\to^{b_{s}} ↑^{a_{s}} \to^{b_{s - 1}} ↑^{a_{s - 1}} \dots \to^{b_{1}} ↑^{a_{1}}}) \\ = Z (\emptyset; k^{†}) \\ = U (k^{†}; y, x) ◼ \end{aligned}$

最後 $x$ と $y$ が入れ替わることに注意してください。

(例)
$\begin{aligned} U (3; x, y) & = \sum_{0 < n} \frac{1}{(n + x - 1)^{3}} \frac{(x)_{n}}{(x + y)_{n - 1}} \\ = \sum_{0 < n} \frac{1}{(n + x - 1)^{3}} G (n, 0) \\ = \sum_{0 < n} \frac{1}{(n + x - 1)^{2}} (\frac{1}{n + x - 1} G (n, 0)) \\ = \sum_{0 < n} \frac{1}{(n + x - 1)^{2}} \sum_{0 < m_{1}} \frac{1}{m_{1} + y - 1} G (n, m_{1}) (∵ 定理 2) \\ = \sum_{0 < n} \sum_{0 < m_{1}} \frac{1}{n + x - 1} \frac{1}{m_{1} + y - 1} (\frac{1}{n + x - 1} G (n, m_{1})) \\ = \sum_{0 < n} \sum_{0 < m_{1} < m_{2}} \frac{1}{n + x - 1} \frac{1}{(m_{1} + y - 1) (m_{2} + y - 1)} G (n, m_{2}) (∵ 定理 2) \\ = \sum_{0 < m_{1} < m_{2}} \frac{1}{(m_{1} + y - 1) (m_{2} + y - 1)} \sum_{0 < n} \frac{1}{n + x - 1} G (n, m_{2}) \\ = \sum_{0 < m_{1} < m_{2}} \frac{1}{(m_{1} + y - 1) (m_{2} + y - 1)^{2}} G (0, m_{2}) (∵ 定理 1) \\ = \sum_{0 < m_{1} < m_{2}} \frac{1}{(m_{1} + y - 1) (m_{2} + y - 1)^{2}} \frac{(y)_{m_{2}}}{(x + y)_{m_{2} - 1}} \\ = U (1, 2; y, x) \end{aligned}$

$\begin{array}{r} \end{array}$

$x = y = 1$ とすると多重ゼータ値の双対関係式になります。

$ζ (k) = ζ (k^{†})$

$x = y = \frac{1}{2}$ とすることにより以下を得ます。

$U (k) = U (k^{†})$

$U (k) := \sum_{0 < n_{1} < n_{2} < \dots < n_{r}} \frac{n_{r}}{(n_{1} - \frac{1}{2})^{k_{1}} (n_{2} - \frac{1}{2})^{k_{2}} \dots (n_{r} - \frac{1}{2})^{k_{r}}} \frac{(\binom{2 n_{r}}{n_{r}})}{2^{2 n_{r}}}$

$x = α + 1$ $y = 1$ とすることにより次を得ます。

$k = (k_{1}, k_{2}, \dots k_{r}), 0 < α$
$ζ (k; α) := \sum_{0 \leq n_{1} < \dots < n_{r}} \frac{1}{(n_{1} + α)^{k_{1}} (n_{2} + α)^{k_{2}} \dots (n_{r} + α)^{k_{r}}}$
$ξ_{α} (k) := \sum_{0 < n_{1} < n_{2} < \dots < n_{r}} \frac{n_{r}!}{n_{1}^{k_{1}} n_{2}^{k_{2}} \dots n_{r}^{k_{r}} (α)_{n_{r}}}$
としたときに
$ζ (k; α) = ξ_{α} (k^{†})$

4.おまけ

今までの結果から、次のような等式が成り立つことも分かります。

級数

$\begin{array}{r} \sum_{n = 1}^{\infty} \sum_{m = 1}^{\infty} \frac{1}{(n - \frac{1}{2}) (m - \frac{1}{2})} \frac{n! m!}{(n + m - 1)!} \frac{(\binom{2 n}{n}) (\binom{2 m}{m})}{2^{2 n + 2 m}} = π \end{array}$

(省略気味)

$\begin{aligned} U (2; x, y) & = \sum_{0 < n} \frac{1}{(n + x - 1)^{2}} G (n, 0) \\ = \sum_{0 < m} \frac{1}{m + y - 1} \sum_{0 < n} \frac{1}{n + x - 1} G (n, m) \end{aligned}$

なので、
$U (2; x, y) = \sum_{0 < m} \frac{1}{m + y - 1} \sum_{0 < n} \frac{1}{n + x - 1} G (n, m)$ が成り立つ。
ここで $x = y = \frac{1}{2}$ とすると
$U (2; \frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = \sum_{n = 1}^{\infty} \sum_{m = 1}^{\infty} \frac{1}{(n - \frac{1}{2}) (m - \frac{1}{2})} \frac{n! m!}{(n + m - 1)!} \frac{(\binom{2 n}{n}) (\binom{2 m}{m})}{2^{2 n + 2 m}}$
となる。

一方で、過去記事メモ(随時更新予定) に書いたように(証明はまだ書いてない)
$\sum_{0 < n_{1} < n_{2} < \dots < n_{r}} \frac{n_{r}}{(n_{1} - \frac{1}{2})^{2} (n_{2} - \frac{1}{2})^{2} \dots (n_{r} - \frac{1}{2})^{2}} \frac{(\binom{2 n}{n})}{2^{2 n}} = \frac{π^{2 r - 1}}{(2 r - 1)!}$

が成り立つので、r=1として
$U (2; \frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = π$
が分かります。
以上より
$\sum_{n = 1}^{\infty} \sum_{m = 1}^{\infty} \frac{1}{(n - \frac{1}{2}) (m - \frac{1}{2})} \frac{n! m!}{(n + m - 1)!} \frac{(\binom{2 n}{n}) (\binom{2 m}{m})}{2^{2 n + 2 m}} = π$