コネクターと級数
0.目次
1.はじめに
2.コネクターと輸送関係式
3.級数の双対性
4.おまけ
5.終わりに
1.はじめに
コネクターについて最近考えたことを書きます。
表記などはWataruさんのこちらの記事を参考にしています。
多重ゼータ値の双対性と連結和
2.コネクターと輸送関係式
$$G(n,m):=\frac{(x)_{n}(y)_{m}}{(x+y)_{n+m-1}}$$
これが今回用いるコネクターです。
$$Z(\boldsymbol{ k };\boldsymbol{ l })=\sum_{\substack{0\lt n_1 \lt n_2 \lt \cdots \lt n_a\\0\lt m_1 \lt m_2 \lt \cdots \lt m_b}}\frac{1}{(\boldsymbol{n}+x-1)^\boldsymbol{k}(\boldsymbol{m}+y-1)^\boldsymbol{l} }G(n_a,m_b)$$
$(\boldsymbol{n}+x-1)^\boldsymbol{k}=(n_1+x-1)^{k_1}(n_2+x-1)^{k_2}\cdots(n_a+x-1)^{k_a}$
という略記です。まあ、なんとなく察してください
$$Z(\boldsymbol{k}_{\rightarrow};\boldsymbol{l})=Z(\boldsymbol{k};\boldsymbol{l}_{\uparrow})$$
$$\sum_{n_{0} \lt n}\frac{1}{n+x-1}G(n,m)=\frac{1}{m+y-1}G(n_0,m)$$を示せばよい。
\begin{align} \sum_{n_0 \lt n}\frac{1}{n+x-1}G(n,m)&=\sum_{n_0 \lt n}\frac{1}{n+x-1}\frac{(x)_n(y)_{m}}{(x+y)_{n+m-1}}\\ &=\sum_{n_0 \lt n}\frac{1}{(n+x-1)(m+y-1)}\frac{(x)_n(y)_{m}}{(x+y)_{n+m-1}}\lbrace{(n+m+x+y-2)-(n+x-1)}\rbrace\\ &=\sum_{n_0 \lt n}\frac{1}{m+y-1} \Big \lbrace\frac{(x)_{n-1} (y)_m}{(x+y)_{n+m-2}}-\frac{(x)_n (y)_m}{(x+y)_{n+m-1}}\Big \rbrace\\ &=\sum_{n_0 \lt n}\frac{1}{m+y-1} \Big(G(n-1,m)-G(n,m)\Big)\\ &=\frac{1}{m+y-1}G(n_0,m) \blacksquare \end{align}
$$Z(\boldsymbol{k}_{\uparrow};\boldsymbol{l})=Z(\boldsymbol{k};\boldsymbol{l}_{\rightarrow})$$
$$\frac{1}{n+x-1}G(n,m_0)=\sum_{m_0 \lt m}\frac{1}{m+y-1}G(n,m)$$
を示せばよいが、これは対称性から定理1と同様に成り立つことが確認できる。
(右辺を定理1と同様の手法で計算すればよいです。)
3.級数の双対性
用語の意味とかは過去記事を見てください 多重ゼータ値の双対性1
許容インデックス$\boldsymbol{ k }=(k_1,k_2,\cdots ,k_r)$に対して
$$U(\boldsymbol{k};x,y):=\sum_{0\lt n_1 \lt n_2 \lt \cdots \lt n_r}\frac{1}{(n_1+x-1)^{k_1}(n_2+x-1)^{k_2} \cdots (n_r+x-1)^{k_r}}\frac{(x)_{n_r}}{(x+y)_{n_r-1}}$$
$\boldsymbol{ k }$の双対インデックスを$\boldsymbol{ k^{\dagger}}$と表したとき
$$U(\boldsymbol{ k };x,y)=U(\boldsymbol{ k^{\dagger} };y,x)$$
が成り立つ。
定理1と定理2を順に用いていきます。
また、正整数$a_1,a_2,\cdots,a_s,b_1,b_2,\cdots,b_s$を用いて
$$\boldsymbol{k}=(\lbrace 1 \rbrace^{a_1-1},b_1+1,\cdots,\lbrace 1 \rbrace^{a_s-1},b_s+1)$$
とします。
($\boldsymbol{k}$が許容インデックスならば必ずこの形で一意的に書ける)
\begin{align} U(\boldsymbol{k};x,y) &=Z(\boldsymbol{ k };\emptyset)\\ &=Z(\emptyset_{\rightarrow ^{a_1}\uparrow ^{b_1}\rightarrow ^{a_2}\uparrow ^{b_2}\cdots \rightarrow ^{a_s}\uparrow ^{b_s}};\emptyset)\\ &\quad \vdots\\ &=Z(\emptyset;\emptyset_{\rightarrow ^{b_s}\uparrow ^{a_s}\rightarrow ^{b_{s-1}}\uparrow ^{a_{s-1}}\cdots \rightarrow ^{b_1}\uparrow ^{a_1}})\\ &=Z(\emptyset;\boldsymbol{k}^{\dagger})\\ &=U(\boldsymbol{ k^{\dagger} };y,x) \blacksquare\\ \end{align}
最後$x$と$y$が入れ替わることに注意してください。
(例)
\begin{align}
U(3;x,y)&=\sum_{0\lt n}\frac{1}{(n+x-1)^3}\frac{(x)_n}{(x+y)_{n-1}}\\
&=\sum_{0\lt n}\frac{1}{(n+x-1)^3}G(n,0)\\
&=\sum_{0\lt n}\frac{1}{(n+x-1)^2}\Big(\frac{1}{n+x-1}G(n,0)\Big)\\
&=\sum_{0\lt n}\frac{1}{(n+x-1)^2}\sum_{0\lt m_1}\frac{1}{m_1+y-1}G(n,m_1) \quad (\because定理2)\\
&=\sum_{0\lt n}\sum_{0\lt m_1}\frac{1}{n+x-1}\frac{1}{m_1+y-1}\Big(\frac{1}{n+x-1}G(n,m_1)\Big)\\
&=\sum_{0\lt n}\sum_{0\lt m_1 \lt m_2}\frac{1}{n+x-1}\frac{1}{(m_1+y-1)(m_2+y-1)}G(n,m_2) \quad (\because定理2)\\
&=\sum_{0\lt m_1 \lt m_2}\frac{1}{(m_1+y-1)(m_2+y-1)}\sum_{0\lt n}\frac{1}{n+x-1}G(n,m_2)\\
&=\sum_{0\lt m_1 \lt m_2}\frac{1}{(m_1+y-1)(m_2+y-1)^2}G(0,m_2)
\quad (\because定理1)\\
&=\sum_{0\lt m_1 \lt m_2}\frac{1}{(m_1+y-1)(m_2+y-1)^2}\frac{(y)_{m_2}}{(x+y)_{m_2-1}}\\
&=U(1,2;y,x)
\end{align}
\begin{align} \\ \\ \end{align}
$x=y=1$とすると多重ゼータ値の双対関係式になります。
$$\zeta(\boldsymbol{k})=\zeta(\boldsymbol{ k^{\dagger} })$$
$x=y=\frac{1}{2}$とすることにより以下を得ます。
$$U(\boldsymbol{ k })=U(\boldsymbol{ k^{\dagger} })$$
$$U(\boldsymbol{k}):=\sum_{0\lt n_1 \lt n_2 \lt \cdots \lt n_r}\frac{n_r}{(n_1-\frac{1}{2})^{k_1}(n_2-\frac{1}{2})^{k_2} \cdots (n_r-\frac{1}{2})^{k_r}}\frac{\binom{2n_r}{n_r}}{2^{2n_r}}$$
$x=\alpha+1$ $y=1$とすることにより次を得ます。
$\boldsymbol{k}=(k_1,k_2,\cdots k_r),0\lt\alpha$
$$\zeta(\boldsymbol{k};\boldsymbol{\alpha}):=\sum_{0\leq n_1\lt\cdots\lt n_r}\frac{1}{(n_1+\alpha)^{k_1}(n_2+\alpha)^{k_2}\cdots (n_r+\alpha)^{k_r}}$$
$$ \xi_{\alpha}(\boldsymbol{k}):=\sum_{0\lt n_1 \lt n_2 \lt \cdots \lt n_r}\frac{n_r!}{n_1^{k_1}n_2^{k_2}\cdots n_r^{k_r}(\alpha)_{n_r}}$$
としたときに
$$\zeta(\boldsymbol{k};\boldsymbol{\alpha})=\xi_{\alpha}(\boldsymbol{k^{\dagger})}$$
4.おまけ
今までの結果から、次のような等式が成り立つことも分かります。
\begin{align} \sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{(n-\frac{1}{2})(m-\frac{1}{2})}\frac{n!m!}{(n+m-1)!}\frac{\binom{2n}{n}\binom{2m}{m}}{2^{2n+2m}}=\pi \end{align}
\begin{align} U(2;x,y)&=\sum_{0 \lt n}\frac{1}{(n+x-1)^2}G(n,0)\\ &=\sum_{0\lt m}\frac{1}{m+y-1}\sum_{0\lt n}\frac{1}{n+x-1}G(n,m)\\ \end{align}
なので、
$$U(2;x,y)=\sum_{0\lt m}\frac{1}{m+y-1}\sum_{0\lt n}\frac{1}{n+x-1}G(n,m)$$が成り立つ。
ここで$x=y=\frac{1}{2}$とすると
$$U(2;\frac{1}{2},\frac{1}{2})=\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{(n-\frac{1}{2})(m-\frac{1}{2})}\frac{n!m!}{(n+m-1)!}\frac{\binom{2n}{n}\binom{2m}{m}}{2^{2n+2m}}$$
となる。
一方で、過去記事
メモ(随時更新予定)
に書いたように(証明はまだ書いてない)
$$\sum_{0\lt n_1 \lt n_2 \lt \cdots \lt n_r}\frac{n_r}{(n_1-\frac{1}{2})^2(n_2-\frac{1}{2})^2\cdots (n_r-\frac{1}{2})^2}\frac{\binom{2n}{n}}{2^{2n}}=\frac{\pi^{2r-1}}{(2r-1)!}$$
が成り立つので、r=1として
$$ U(2;\frac{1}{2},\frac{1}{2})=\pi$$
が分かります。
以上より
$$\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{(n-\frac{1}{2})(m-\frac{1}{2})}\frac{n!m!}{(n+m-1)!}\frac{\binom{2n}{n}\binom{2m}{m}}{2^{2n+2m}}=\pi$$
5.終わりに
書きたかったことをいろいろ書けたので満足しました。
ここまで読んでいただきありがとうございました(^_-)-☆