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大学数学基礎解説
文献あり

Witten指数とMorse理論 1/2

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Witten指数とは、超対称量子力学および超対称場の理論におけるゼロエネルギーのモードで定義される指数です。一方Morse理論は、多様体の位相的性質を、その多様体上で定義される微分可能な関数によって解析する理論です。Euler標数とBetti数に関するMorse理論から導かれる定理、また「Morseの不等式」と呼ばれる不等式に関し、超対称量子力学における解釈が存在します。そしてこれはWitten指数を通して理解することができます。この解釈は直感的であり、量子力学の初歩的な知識があればある程度理解できます。本記事と次の記事で、これらMorse理論と超対称量子力学との関係を述べます。

本記事では超対称量子力学の導入、超対称性の自発的破れ、およびWitten指数に関して述べます。Morse理論との関係は次の記事で述べます。

本記事はRefs.Witten1982-1Witten1982-2Witten1981Eguchi1998Eguchi1991Sakamoto2012に基づきます。

超対称量子力学の形式的・数学的な側面に関しては、例えばAraiに記述があります。超対称性の概要は 超対称性・超場形式 の記事にも説明がありますので、よろしければご参照ください。

以下超対称性をSUSYと省略することがあります。

超対称量子力学

まず超対称量子力学の代数的な構造について記します。

"fermionic"なHilbert空間${\cal H}^+$と"bosonic"なHilbert空間${\cal H}^-$、そしてその直和を考えます:

\begin{align} {\cal H}={\cal H}^+\oplus{\cal H}^- \end{align}

ここでいう"boson"や"fermion"は形式的な話であり、素粒子のいわゆるボソンやフェルミオンの状態である必要はないですし、超対称量子力学では実際そうではありません。

このHilbert空間に作用するHermiteな作用素$Q_i, \ i=1,\cdots,N$が存在し、これらは${\cal H}^+$から${\cal H}^-$、またはその逆への写像とします。これらは後に定義するように超対称変換の生成子です。さらに$(-1)^F$という演算子を導入します。これは${\cal H}^+$${\cal H}^-$を区別するoperatorであり、以下の性質を有します:

\begin{align} \begin{cases} (-1)^F\psi = \psi & \text{if }\psi\in {\cal H}^- \ (\text{すなわちbosonicな状態の場合})\\ (-1)^F\chi = -\chi & \text{if }\chi\in {\cal H}^+ \ (\text{すなわちfermionicな状態の場合}) \end{cases} \end{align}

また$(-1)^F$$Q_i$は反交換です:

\begin{align} \{(-1)^F,Q_i\}=0 \ \text{ for }i=1,\cdots,N \end{align}

さらに系は超対称変換に対し不変とします。すなわち

\begin{align} [H,Q_i]=0 \ \text{ for }i=1,\cdots,N \end{align}

です。さらに次の条件を課します:

\begin{align} \{Q_i,Q_j\}=H\delta_{ij} \ \text{ for }i=1,\cdots,N \end{align}

すなわち$i\neq j$に対し$Q_i,Q_j$は反可換であり、またHamiltonianは$Q_i^2$(for any $i=1,\cdots,N$)であることを要求します。

以下では$N=2$の場合を取り扱います。このとき

\begin{align} H=\frac{1}{2}(Q_1^2+Q_2^2) \end{align}

と書けます。ここでHamiltonianは$(-1)^F$と可換であることに注意してください:

\begin{align} [H,(-1)^F]=0 \end{align}

SUSYの自発的破れ

一般に「自発的対称性の破れ (Spontaneous Symmetry Breaking, SSB)」と呼ばれる現象があり、「明示的な対称性の破れ (explicit symmetry breaking)」と区別されます。後者はHamiltonian自体が何らかの対称性を破ることを指します。一方前者は、Hamiltonianはある対称性を持つが、系に現れる状態がその対称性を持たないような現象です。

いまHamiltonianは超対称性を持つとします。SUSYのSSBが起きていない状況とは、基底状態$|0\rangle$が超対称性の生成子$Q_i \ \ (i=1,\cdots n)$により消される状況を指します:

\begin{align} \text{No SSB} \ \leftrightarrow \ Q_i|0\rangle=0 \ \ (\text{for }i=1,\cdots n) \end{align}

SUSYの変換は$\exp(i\epsilon Q_i)$と書けるので、$\epsilon\ll 1$なら、 状態の微小な変化は$i\epsilon Q_i$の状態への作用になります。よって上の条件は基底状態がSUSY不変である条件と整合的です。

逆にSSBが起きている状況とは、基底状態が少なくとも1つの$Q_i$で消えない状況を指します:
\begin{align} \text{SSB} \ \leftrightarrow \ {}^\exists i \ \text{ s.t. } \ Q_i|0\rangle\neq 0 \end{align}

さて、一般に超対称性が存在する量子力学系の状態のエネルギーは正またはゼロです。なぜなら基底状態のエネルギーを$E_0$とすると

\begin{align} E_0=\langle 0|H|0\rangle&=\langle 0|Q_i^2|0\rangle\\ &=|Q_i|0\rangle|^2\ge 0 \ \text{ for }i=1,\cdots,N \end{align}

だからです。これより、$E_0=0$の状態はすべての$Q_i$の作用に関して消えます。また基底状態がノンゼロのエネルギーを持てば、少なくともひとつの$Q_i$の作用に関してその状態は消されないこともわかります。ということは、SSBの定義と見比べれば

  • SUSY SSBが起きない $\leftrightarrow$ $E_0=0$の状態が存在する
  • SUSY SSBが起きる $\leftrightarrow$ $E_0=0$の状態が存在しない

であることがわかります。

Witten模型

次のHamiltonianを持つ系 -Witten模型- を考えます:

\begin{align} H&=\frac{1}{2}\left\{ -\frac{d^2}{dx^2}+\left(\frac{dW}{dx}\right)^2 \right\} +\frac{1}{2}\sigma_3\frac{d^2W}{dx^2},\\ \sigma_3&:= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{align}

このHamiltonianにはSUSYの構造が隠されています。$H$は次のように"因数分解"できます:

\begin{align} &H=Q^\dagger Q+QQ^\dagger,\\ Q^\dagger&=\frac{1}{\sqrt{2}}\sigma_+\left\{\frac{1}{i}\frac{d}{dx}-i\frac{dW(x)}{dx}\right\},\\ Q&=\frac{1}{\sqrt{2}}\sigma_-\left\{\frac{1}{i}\frac{d}{dx}+i\frac{dW(x)}{dx}\right\},\\ \sigma_+&:= \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} , \ \ \ \sigma_-:= \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{align}

ここで$Q^\dagger,Q$はそれぞれ2回かけると零になる性質を持ちます:

\begin{align} {Q^\dagger}^2=Q^2=0 \end{align}

これらの演算子の(反)交換関係をまとめると

\begin{align} \{Q^\dagger,Q\}&=H,\\ \{Q^\dagger,Q^\dagger\}&=\{Q,Q\}=0,\\ [H,Q^\dagger]&=[H,Q]=0 \end{align}

となります。これは超対称代数($N=2$)であり、系が超対称性を持つことを意味します。ここで、前前章の$Q_i$がHermiteであったのに対し、$Q,Q^*$はnon Hermiteであることに注意してください。$Q_1,Q_2$

\begin{align} Q_1:=Q+Q^\dagger, \ \ \ Q_2:=i(Q-Q^\dagger) \end{align}

のように定義すれば、$Q_1,Q_2$は前前章の代数関係を満たします。

$(-1)^F$はHamiltonianと可換なので、エネルギーの固有状態は$(-1)^F$の固有値$\pm 1$により分類できます。いま、$\psi(x)$$\sigma$の上成分・下成分に関する2重項とし

\begin{align} \psi(x):= \begin{pmatrix} \phi_+(x)\\ \phi_-(x) \end{pmatrix} \end{align}

とします。ここで$\sigma_+,\sigma_-$はそれぞれ上昇演算子・下降演算子であり、$\sigma_3$の固有状態を上げ下げします。このとき$(-1)^F$$\sigma_3$に対応します。上成分はfermionicな状態であり$\cal H_+$に対応し、下成分は$\cal H_-$に属しbosonicです。そしてエネルギー固有状態は$\sigma_3$の固有状態でもあります。$\sigma_3$の固有値が+1の状態、すなわちfermionicの状態に更に$\sigma_+$が作用すれば状態は消え、また$-1$すなわちbosonicの状態に更に$\sigma_-$が作用しても同様に状態が消えます。

boson-fermionパートナーとゼロエネルギー状態の存在条件

エネルギーが正の状態を考えます。あるbosonicな状態$|b\rangle$はエネルギー$E>0$をもつ$H$の固有状態とします。$Q^\dagger$はbosonをfermionに変えるので$|f\rangle:=Q^\dagger|b\rangle$とすると

\begin{align} \langle f|f\rangle&=\langle b|QQ^\dagger|b\rangle\\ &=\langle b|QQ^\dagger+Q^\dagger Q|b\rangle\\ &=E\langle b|b\rangle\\ &\neq 0 \end{align}

を得ます。ということは、$E>0$なら必ず$|b\rangle$に対して$|f\rangle=Q^\dagger|b\rangle$というfermionicな状態が存在します。その逆も然りで、$E>0$の固有値をもつ$H$の固有状態$|f\rangle$が存在すれば、対応するbosonicなパートナー$Q|f\rangle$が存在します。

一方$E=0$の状態にはパートナーが存在しません。$|b\rangle$$E=0$をもつ$H$の固有状態とすれば

\begin{align} \langle b|QQ^\dagger|b\rangle=E\langle b|b\rangle=0 \end{align}

より、もし$|f\rangle$が存在するとすればゼロノルム状態となってしまうので、そのような状態は存在しません。また$Q^\dagger$$\sigma_+$に、$Q$$\sigma_-$に比例することから

\begin{align} Q^\dagger|f\rangle&=0,\\ Q|b\rangle&=0 \end{align}

が恒等的に成立します。

以上から、超対称量子力学には以下のような構造が存在します。

\begin{align} E>0:\hspace{0.5cm} 0\xleftarrow{Q}|b\rangle \xleftarrow{Q}\ \xrightarrow{Q^\dagger} |f\rangle \xrightarrow{Q^\dagger}0 \end{align}

\begin{align} E=0:\hspace{0.5cm} 0\xleftarrow{Q}|b\rangle\xrightarrow{Q^\dagger}0 \\ 0\xleftarrow{Q}|f\rangle\xrightarrow{Q^\dagger}0 \end{align}

上で見たように、SUSYが自発的に破れない/破れるは、ゼロエネルギー状態が存在するか否か、すなわち

\begin{align} Q^\dagger\psi=Q\psi=0 \ \ \ (\leftrightarrow Q_1\psi=Q_2\psi=0) \end{align}

を満たす状態が存在するか否かにより判断できます。よって

\begin{align} Q^\dagger|b\rangle&=0\\ Q|f\rangle&=0 \end{align}

を満たす状態を探すことでSUSY SSBに関して調べることができます($Q|b\rangle=0, \ Q^\dagger|f\rangle=0$は恒等的に成立することに注意)。

Witten指数

Witten指数は以下で定義されます:

\begin{align} \Delta_W&={\rm tr}(-1)^F\\ &=\sum_n\langle n|(-1)^{F}|n\rangle \end{align}

$|n\rangle$は系の状態に$n$というラベルをつけたものです(連続状態があれば和を積分として解釈する)。これらは正規直交系とします。$\Delta_W$は系に存在するすべての状態に関し、その状態がbosonicかfermionicかで符号を掛けて(bosonicなら1、fermionicなら-1)足し合わせた量です。そしてこれは、エネルギーゼロの状態のboson数$n_b^{E=0}$から、エネルギー$E$がゼロの状態のfermion数$n_f^{E=0}$を引いたものになります:

\begin{align} \Delta_W=n_b^{E=0}-n_f^{E=0} \end{align}

なぜなら、前章で示したとおり、超対称量子力学において$E>0$の状態は必ずbosonとfermionがペアになって現れるからです。

Witten指数はSUSYのSSBと一対一対応するような指数ではありません。しかし$\Delta_W\neq 0$なら必ずゼロエネルギーの状態が存在するので

\begin{align} \Delta_W\neq 0\rightarrow \text{SUSY SSBは起こらない} \end{align}

ということが言えます。

Witten指数はトポロジカルな不変量です。次の記事でどのような意味で不変量なのかを示しますが、このことから、Witten指数を用いると、超対称性の自発的破れに関し時に強力な予言が可能になります。

ひとつ注意です。$\Delta_W$への$E>0$の状態の寄与はbosonとfermionで打ち消すと言いましたが、正確には正則化しておく必要があります。そのためには例えば

\begin{align} \Delta_W={\rm tr}\left[e^{-\beta H}(-1)^F\right] \ \ \ \ (\beta>0) \end{align}

のように正則化する方法があります(Refs.Alvarez1983Nakahara2003)。こうすれば$e^{-\beta H}$が高エネルギー状態の抑制因子となり、bosonとfermionの状態の相殺がwell definedになります。この定義でも結局ゼロエネルギー状態のみが$\Delta_W$に寄与するため、$\Delta_W$$\beta$には依存しません。

本記事のまとめ

以下本記事のまとめです:

$\boldsymbol N=2$超対称量子力学(複素超電荷$Q,Q^\dagger$による表現)

\begin{align} &H=Q^\dagger Q+QQ^\dagger,\\ &\{Q^\dagger,Q\}=H,\\ &\{Q^\dagger,Q^\dagger\}=\{Q,Q\}=0,\\ &[H,Q^\dagger]=[H,Q]=0,\\ &[H,(-1)^F]=0 \end{align}

ここで$(-1)^F$はbosonicな状態に対して$+1$、fermionicな状態に対して$-1$の固有値をもつ作用素。

Witten模型
Witten模型では$H,Q,Q^\dagger$を以下のように設定する:

\begin{align} H&=\frac{1}{2}\left\{ -\frac{d^2}{dx^2}+\left(\frac{dW}{dx}\right)^2 \right\} +\frac{1}{2}\sigma_3\frac{d^2W}{dx^2}\\ &Q^\dagger=\frac{1}{\sqrt{2}}\sigma_+\left\{\frac{1}{i}\frac{d}{dx}-i\frac{dW(x)}{dx}\right\},\\ &Q=\frac{1}{\sqrt{2}}\sigma_-\left\{\frac{1}{i}\frac{d}{dx}+i\frac{dW(x)}{dx}\right\},\\ \sigma_3&:= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix} , \ \ \sigma_+:= \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} , \ \ \sigma_-:= \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{align}

この$H,Q,Q^\dagger$は上記の代数関係を満たす。

超対称性の自発的破れに関して
$\hspace{2cm}$ SUSY SSBが起きない $\leftrightarrow$ ゼロエネルギーの状態が存在する
$\hspace{5.0cm} \leftrightarrow$ 基底状態が$Q$$Q^\dagger$の両方で消える($N=2$超対称量子力学の場合)

$\hspace{2cm}$ SUSY SSBが起きる $\leftrightarrow$ ゼロエネルギーの状態が存在しない
$\hspace{5.0cm} \leftrightarrow$ 基底状態が$Q$または$Q^\dagger$で消えない($N=2$超対称量子力学の場合)

$Q,Q^\dagger$の状態に対する作用の構造

\begin{align} E>0:\hspace{0.5cm} 0\xleftarrow{Q}|b\rangle \xleftarrow{Q}\ \xrightarrow{Q^\dagger} |f\rangle \xrightarrow{Q^\dagger}0 \end{align}

\begin{align} E=0:\hspace{0.5cm} 0\xleftarrow{Q}|b\rangle\xrightarrow{Q^\dagger}0 \\ 0\xleftarrow{Q}|f\rangle\xrightarrow{Q^\dagger}0 \end{align}

Witten指数

Witten指数$\Delta_W$は以下のように定義される:

\begin{align} \Delta_W:={\rm tr}(-1)^F \end{align}

これはbosonicな状態に$+1$、fermionicな状態に$-1$を割り当て、すべての状態に関して和をとった量。
$\Delta_W$$E=0$のbosonicな状態の数$n_B^{E=0}$とfermionicな状態の数$n_F^{E=0}$を用いて以下のように書ける:

\begin{align} \Delta_W=n_B^{E=0}-n_F^{E=0} \end{align}

今回はここまで。${}_\blacksquare$


【次の記事】 Witten指数とMorse理論 2/2

参考文献

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江口徹, E. Witten氏の業績 I, 数学/日本数学会編, 1991, 51-58
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坂本眞人, 量子力学から超対称性へ −超対称性のエッセンスを捉える−, サイエンス社, 2012
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新井朝雄, 量子現象の数理, 朝倉物理学体系, 朝倉書店, 2006, 464-
[8]
Alvarez-Gaume, L, Supersymmetry and the Atiyah-Singer Index Theorem, Comm. Math. Phys., 1983, 161-173
[9]
Mikio Nakahara, Geometry, topology and physics (second edition), Graduate student series in physics, Institute of physics publishing, 2003
投稿日:20231027
更新日:2023119

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bisaitama
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