Witten指数とMorse理論 2/2

※本記事は Witten指数とMorse理論 1/2 の続きです。

前回の記事では、超対称量子力学及びWitten模型を導入し、ゼロエネルギー状態と超対称性の自発的破れ、さらにWitten指数等に関して述べました。本記事ではWitten指数とMorse理論の関係に関して述べます。

Morse理論は多様体の位相的性質をその多様体上で定義される微分可能な関数によって解析する理論です。Euler標数とBetti数に関するMorse理論から導かれる定理、また「Morseの不等式」と呼ばれる不等式に関し、超対称量子力学における解釈が存在します。そしてこれはWitten指数と関係します。この解釈は直感的であり、量子力学の初歩的な知識があればある程度理解できます。ここでは厳密な証明の解説ではなく、この「解釈・直感」の説明を目指すことをご承知ください。

本記事はRefs.Eguchi1998Eguchi1991Witten1982-1Witten1982-2に基づきます(江口先生のpdfの劣化コピーになってしまった...)。

Morse理論のいくつかの定理

まず、超対称量子力学に関連するMorse理論・Hodge理論のいくつかの定理を証明なしに記します（証明追ってない）。Refs.Nakahara2000Matsumoto1997からの引用ですので、詳しくはこれらの文献をご参照ください。申し訳ありませんが、homology・de Rahm cohomologyに関しては既知とさせてもらいます（例えばRef.Nakahara2000をご参照ください）。

次章 からが本題です。

Hesse行列

$\cal M$を$m$次元の閉じた多様体（＝境界のないコンパクトな多様体）とします。$f:{\cal M}\to {\mathbb R}$をその上の滑らかな関数とします。
$\cal M$の点$p_0$が$f:{\cal M}\to {\mathbb R}$の臨界点(critical point)であるとは、$p_0$のまわりの局所座標系$(x_1,x_2,\cdots,x_m)$について

\begin{align} \frac{\partial f}{\partial x_1}(p_0)=0, \ \frac{\partial f}{\partial x_2}(p_0)=0, \ \cdots, \ \frac{\partial f}{\partial x_m}(p_0)=0 \end{align}

が成立することです。
$p_0$は$f:{\cal M}\to {\mathbb R}$の臨界点とします。臨界点$p_0$における$f$のHesse行列とは

\begin{align} H_f(p_0)_{ij}:=\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}(p_0) \end{align}

のことです。

臨界点$p_0$における$f$のHesse行列$H_f(p_0)$の行列式$\det H_f(p_0)$が0でないとき、$p_0$を非退化な臨界点と呼び、反対に$\det H_f(p_0)=0$であるとき、$p_0$を退化した臨界点と呼びます。

臨界点、退化・非退化は、局所座標の取り方に依存しません。以下、臨界点は非退化であるような状況を考えます。

Morseの補題

この$\lambda$を非退化な臨界点$p_0$の指数 (Morse指数) と呼びます。$m$次元の場合、$\lambda$は$0$から$m$までの値を取ります。

Betti数

$K$を単体的複体とします。$H_r(K;{\mathbb R})$を、$K$のhomology群とします。このとき$r$次Betti数$b_r(K)$は

\begin{align} b_r(K):=\dim H_r(K;{\mathbb R}) \end{align}

で定義されます。$b_r(K)$は$H_r(K;{\mathbb Z})$の自由加群の階数と等しいです。

Euler-Poincareの定理

Euler-Poincareの定理は以下です：

$\chi(K)$はEuler標数と呼ばれます。多面体の場合$\chi(K)=V-E+F$です。ここで$V,E,F$はそれぞれ$K$の頂点、辺、面の数です。

Morseの不等式

Morse関数とはすべての臨界点が非退化な関数のことです。このときMorseの不等式とは以下の定理です。

de Rham cohomology群とhomology群の同型性

多様体$\cal M$におけるde Rham cohomogoly群$H^r({\cal M})$は、$\cal M$におけるhomology群$H_r({\cal M})$と同型です：

\begin{align} H^r({\cal M})\cong H_r({\cal M}) \end{align}

よって両者の次元は同じであり、$b^r({\cal M}):=\dim H^r({\cal M})$とすると、これはBetti数$b_r({\cal M})$に等しいです：

\begin{align} b^r({\cal M}):=\dim H^r({\cal M})=\dim H_r({\cal M})=b_r({\cal M}) \end{align}

Laplacianと調和形式

多様体$\cal M$上の$r$-形式の集合$\Omega^r(M)$の元
\begin{align} \omega:=\frac{1}{r!}\omega_{\mu_1\cdots\mu_r} dx^{\mu_1}\wedge\cdots\wedge d x^{\mu_r} \end{align}
を考えます。Laplacian $\Delta: \Omega^r({\cal M})\to \Omega^r({\cal M})$は、外微分およびその随伴$d, d^*$を用いて
\begin{align} \Delta:=(d+d^*)^2=dd^*+d^*d \end{align}
で定義されます。

$r$-形式$\omega$が
\begin{align} \Delta\omega=0 \end{align}
を満たすとき、$\omega$は調和形式と呼ばれます。

$\cal M$上の調和$r$-形式全体の集合を${\rm Harm}^r({\cal M})$で表します。この時Hodgeの定理は以下です：

また次の事実が成立します。

関係する定理の導入は以上です。

Witten指数と近似的ゼロモードおよび真のゼロモードとの関係

前回の記事 で示したように、Witten指数は超対称変換の生成子のゼロモードにより定まります。ゼロモードは超ポテンシャルの微分がゼロとなる点（=臨界点）の付近に局在します。そのモードがboonicかfermionicかは、臨界点における超ポテンシャルの2階微分の係数の正負で定まります。ただしこれらは厳密なゼロエネルギーを持つモードではないことがあります。実際には各臨界点の「近似的ゼロモード」は他の臨界点に漏れ出し、トンネル効果によりエネルギーが持ち上がることで厳密なゼロモードではなくなる場合があります。しかしながら、近似的ゼロモードにより計算したWitten指数は、厳密なゼロモードにより計算したWitten指数と一致します。これはWitten指数が超ポテンシャルの微分の漸近的な振る舞いを固定した変形に対して不変であり、その意味でトポロジカルな不変量であることによります。

以下この事実を概観します。

Witten指数の計算

Witten模型のWitten指数$\Delta_W$を計算します。それには 前回の記事 にあるように、次の方程式

\begin{align} & \ \ \ Q^*\psi(x)=0, \ Q\psi(x)=0,\\ &Q^*:=\frac{1}{\sqrt{2}}\sigma_+ \left\{\frac{1}{i}\frac{d}{dx}-i\frac{dW(x)}{dx}\right\},\\ &Q:=\frac{1}{\sqrt{2}}\sigma_- \left\{\frac{1}{i}\frac{d}{dx}+i\frac{dW(x)}{dx}\right\},\\ &\sigma_3:= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix} , \ \sigma_+:= \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} , \ \sigma_-:= \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{align}

を満たす解を求めればよいです。

\begin{align} \psi= \begin{pmatrix} \phi_f \\ \phi_b \end{pmatrix} \end{align}

とすれば（前回の記事では$\phi_+,\phi_-$と記していました。また本記事では演算子のHermite共役も$*$で表します）、上の式は

\begin{align} &\left\{\frac{1}{i}\frac{d}{dx}-i\frac{dW(x)}{dx}\right\}\phi_b(x)=0,\\ &\left\{\frac{1}{i}\frac{d}{dx}+i\frac{dW(x)}{dx}\right\}\phi_f(x)=0 \end{align}

となり、解は

\begin{align} \phi_b(x)=\exp(-W(x)), \ \ \ \phi_f(x)=\exp(+W(x)) \end{align}

のように簡単に求まります。$W$は超ポテンシャルと呼ばれます。

ただし解はnormalizableでなければならないので、$\int dx |\phi_b(x)|^2<\infty, \ \int dx |\phi_f(x)|^2<\infty$を満たす必要があり、解が必ず存在するとは限りません。解のnormalizabilityは$|x|\to \infty$における$W(x)$の振る舞いで決まります：

解のnormalizabilityを調べます。Witten模型のHamiltonianは

\begin{align} H=\frac{1}{2} \left\{ -\frac{d^2}{dx^2}+\left(\frac{dW}{dx}\right)^2 \right\} +\frac{1}{2}\sigma_3\frac{d^2W}{dx^2} \end{align}

ですが、ここで$W'\sim \lambda(x-x_0)$とし、$W\to W/\epsilon$として$\epsilon$が小さい極限を考えると（$W$のスケールアップ）、$\psi$は

\begin{align} \lambda<0\text{のとき }\psi\sim \begin{pmatrix} e^{-\frac{1}{2}|\lambda/\epsilon|(x-x_0)^2}\\0 \end{pmatrix}\\ \lambda>0\text{のとき }\psi\sim \begin{pmatrix} 0\\ e^{-\frac{1}{2}|\lambda/\epsilon|(x-x_0)^2} \end{pmatrix} \end{align}

となります。よって$\epsilon$が小さいとき、波動関数は$x=x_0$付近に局在します（図1）。この場合、$(dW/dx)^2$は調和振動子のポテンシャルであり、$1/\epsilon$のリーディングではゼロ点振動部分が$\sigma_3$を含む項と打ち消し合い、基底状態のエネルギーがゼロになります。そしてこの場合、基底状態は任意の$\epsilon$のオーダー（WKB近似）でゼロになります。すなわち$W'=0$に局在した状態は真のゼロエネルギー状態であり、SUSYは保たれます。

$W'=0$に局所化する波動関数。このとき$\Delta_W={\rm sign}(\lambda)$

一方、例えば$W'\sim\lambda (x-x_0)^2$の場合を考えます。このとき公式1よりnormalizableな解は存在しないので$\Delta_W=0$です。このとき$W'=0$の場所が2つあり、グラフは図2のようになります。

$W'\sim \lambda(x-x_0)^2$の図

このとき局所化した波動関数はbosonとfermionがひとつずつ存在するので$\Delta_W=0$です。ところがこの2つの局所化した波動関数は、完全なゼロエネルギー状態ではないです。実際先程述べたようにこのときnormalizableな波動関数は存在しません。この場合、$W'=0$に局在する2つの波動関数に重なりが存在します。このときトンネル効果により、2つの近似的なゼロエネルギー状態は混ざり、エネルギーはゼロからシフトします。（※トンネル効果を考慮した二重井戸型ポテンシャルにおけるWKB近似の計算は この記事 から続く3つの記事をご参照ください）

それにも関わらず、Witten指数は、$W'=0$の解の数を、そのゼロを切るときの傾きの正負で分類し符号をつけて足し合わせれば正確に計算できます。これは以下に見るように一般的な事情です。

図2の$W'$を、その$|x|\to\infty$の振る舞いを変えずに上に移動させます。極小がゼロより大きくなるまで移動させれば、$\phi_f$と$\phi_b$は打ち消し合って消えます。この操作により$\Delta_W$の値は変化しません。

$W'$を上にもちあげる。

無限遠での$W'$の振る舞いを変えないで$W'$の形を変形した場合、近似的ゼロモードは増えたとしても必ずfermionとbosonがペアで生じるため、$\Delta_W$の値は変わりません（図4）。

$\Delta_W=1$の例。無限遠の振舞いを固定した$W'$の変形で$\Delta_W$は変化しない。

この意味でWitten指数はトポロジカルな不変量です。

超対称量子力学とMorse理論との関係

曲がった空間における超対称量子力学は、理論が定義される多様体におけるde Rham cohomologyと直接の対応を持ちます。この対応から、超対称変換の生成子のゼロモードは、この理論上に定義される調和形式と関係します。これらの事実から、Morseの不等式や前記定理5を、超対称量子力学とWitten指数を通して理解することができます。

以下この事実を概観します。

$n$次元空間における多様体${\cal M}$を考えます。その座標を$x^i \ \ \ (i=1,\cdots, n)$とします。超ポテンシャル$W$として多様体$M$の高さを表す関数を採用します。これを$h({\boldsymbol x})$とします。

今までbosonとfermionの空間は、上成分・下成分により表示していました。ここからは、これをfermionの生成・消滅演算子${\psi^*}^i,\psi^i \ (i=1,\cdots,n)$により表すことにします。空間$n$次元に対応しこれらの演算子も$n$コ存在します。このとき超対称電荷は以下のようになります：

\begin{align} Q^*&=\frac{1}{\sqrt{2}} {\psi^*}^j \left\{ \frac{1}{i}\frac{\partial}{\partial x^j} -i\frac{\partial h({\boldsymbol x})}{\partial x^j} \right\},\\ Q&=\frac{1}{\sqrt{2}} \psi^j \left\{ \frac{1}{i}\frac{\partial}{\partial x^j} +i\frac{\partial h({\boldsymbol x})}{\partial x^j} \right\} \end{align}

このときHamiltonianは

\begin{align} H=Q^* Q+QQ^*=-\frac{1}{2} \left( g^{ij}\frac{\partial^2}{\partial x^i\partial x^j}+g^{ij}\frac{\partial h}{\partial x^i}\frac{\partial h}{\partial x^j} \right) +\frac{1}{2}({\psi^*}^i\psi^j-\psi^i{\psi^*}^j)\frac{D^2h}{Dx^i Dx^j} \end{align}

と書けます。ここで$D^2h/Dx^iDx^j$とは

\begin{align} \frac{D^2h}{Dx^iDx^j}=\frac{\partial}{\partial x^i}\frac{\partial h}{\partial x^j}+\Gamma^k{}_{ij}\frac{\partial h}{\partial x^k} \end{align}

であり、$\partial h/\partial x^j$に共変微分が作用したものです ($\Gamma^k{}_{ij}$はクリストッフェル記号)。

Morseの補題より、臨界点付近で適当な座標を採ると
\begin{align} h(x)\simeq \frac{1}{2}\sum_{j=1}^n\lambda_{(j)}(x^j-x_0^j)^2 \end{align}
のように書けます。よって臨界点付近で
\begin{align} \frac{\partial h}{\partial x^j}=\lambda_{(j)}(x^j-x_0^j) \end{align}
です。この時Hamiltonianは対角化されていて
\begin{align} H=-\frac{1}{2}\sum_{j=1}^n \left( \frac{\partial^2}{\partial x^2_j}+\lambda^2_{(j)}(x^j-x_0^j)^2+\frac{1}{2}\lambda_{(j)}(\psi_j^*\psi_j-\psi_j\psi_j^*) \right) \end{align}
です。上で見たように、この臨界点には$\lambda_{(j)}$が正ならbosonicなモードが局在化し、負ならfermionicなモードが局在化します。すなわち、多次元の多様体の場合にも、1次元の話が適用できます。

微分形式との対応

この系は微分形式と対応づけることができます。以下これを見ていきます。

前に行ったように、$h(x)\to t h(x)$のようにスケールし、$Q^*,Q$を
\begin{align} Q_t^*&=\frac{1}{\sqrt{2}} {\psi^*}^j \left\{ \frac{1}{i}\frac{\partial}{\partial x^j} -it\frac{\partial h({\boldsymbol x})}{\partial x^j} \right\},\\ Q_t&=\frac{1}{\sqrt{2}} \psi^j \left\{ \frac{1}{i}\frac{\partial}{\partial x^j} +it\frac{\partial h({\boldsymbol x})}{\partial x^j} \right\} \end{align}
のように定義しなおします。

fermionが$n$コある状態は、生成演算子で書くと

\begin{align} \Phi(x)=\Phi_{i_1,i_2,\cdots,i_p}(x){\psi^*}^{i_1} \cdots {\psi^*}^{i_n}|0\rangle \end{align}

となります。ここで$\Phi_{i_1,\cdots,i_p}$は添字に関し完全反対称です。こうすれば、各臨界点に局在する波動関数は

\begin{align} \Phi(x)\simeq\exp\left\{ -\frac{1}{2}\sum_{j=1}^n|\lambda_{(j)}|(x^j-x_0^j)^2 \right\}\psi_{i_1}^*\cdots\psi_{i_p}^*|0\rangle \end{align}

となります。ここで$p$は臨界点における$\lambda_{(j)}$が負になるような$j$の数であり、Morse指数と呼ばれます。ここで近似的ゼロモードの波動関数のfermion数が$p$である臨界点の個数を$k_p$とします。これはすなわちMorse指数が$p$であるような臨界点の数です。fermion数がevenの場合はbosonになるので、$k_p$を使うとWitten指数は以下のように書けます：

\begin{align} {\rm tr}(-1)^F=\sum_{p=0}^n(-1)^pk_p \end{align}

これらのモードのすべてがゼロエネルギーというわけではないですが、bosonicな近似的なゼロモードを引いておけば、前に述べたように正しくWitten指数を与えます。

さて、超対称量子力学と調和形式との対応を見ることにします。簡単のため、$Q_t$において$t=0$とし

\begin{align} Q_0^*&=\frac{1}{\sqrt{2}} {\psi^*}^j \left\{ \frac{1}{i}\frac{\partial}{\partial x^j} \right\},\\ Q_0&=\frac{1}{\sqrt{2}} \psi^j \left\{ \frac{1}{i}\frac{\partial}{\partial x^j} \right\} \end{align}

を考えます。これらの$\Phi_{i_1,\cdots,i_p}{\psi^*}^{i_1}\cdots {\psi^*}^{i_p}|0\rangle$への作用を考えます。$Q_0^*$は

\begin{align} Q_0^*\Phi(x)=\partial_j\Phi_{i_1,\cdots,i_p}(x) {\psi^*}^{j}{\psi^*}^{i_1}\cdots{\psi^*}^{i_p}|0\rangle \end{align}
となります。$\psi^*$を$dx\wedge$と同一視すれば、これは外微分$d$の作用と同じです。同様に$Q_0$の作用は

\begin{align} Q_0\Phi(x)=(-1)^{k-1}\partial_{i_k} \Phi_{i_1,\cdots,i_k,\cdots i_p}(x){\psi^*}^{i_1}\cdots \widehat{{\psi^*}^{i_k}}\cdots{\psi^*}^{i_p}|0\rangle \end{align}

となります。ここで$\widehat{\psi^*}$は「$\psi^*$を除く」という意味です。これもまた外微分の随伴作用素$d^*$の作用と同じです。

ここで$Q_t^*,Q_t$は以下のように書き換えられます：

\begin{align} Q_t^*&=e^{-th(x)}\left({\psi^*}^j\frac{1}{i}\frac{\partial}{\partial x^j}\right)e^{th(x)},\\ Q_t&=e^{-th(x)}\left({\psi}^j\frac{1}{i}\frac{\partial}{\partial x^j}\right)e^{th(x)} \end{align}

これは$Q_0^*, Q_0$を$e^{th(x)}$でconjugateしたものです。$t=0$としたHamiltonianは

\begin{align} H=Q_0^*Q_0+Q_0Q_0^*=dd^*+d^*d=\Delta \end{align}

となり、これはLaplacianになります。実際のHamiltonianは$Q_0^*,Q_0$ではなくこれらのconjugationをとった演算子により構成されますが、conjugationにより調和形式は調和形式にうつりますEguchi1998。よって真のゼロモードとは、多様体$\cal M$上のLaplacianのゼロモード、すなわち調和形式になります。$p$次調和形式の数はBetti数$b_p$です（定理5参照）。これらの事実から、$b_p$とはfermion数が$p$であるような真のゼロモードの数です。よって

\begin{align} {\rm tr}(-1)^F =\sum b_p(-1)^p \end{align}
が成立します(fermion数がevenの場合はbosonの数に対応することに注意)。ゆえに定理2よりWitten指数はEuler標数$\chi({\cal M})$に等しいです：

\begin{align} \chi({\cal M})={\rm tr}(-1)^F \end{align}

$k_p$はfermion数$p$の近似的ゼロモードの数、$b_p$はfermion数$p$の真のゼロモードの数であり、当然$k_p$のほうが大きいか又は等しいので

\begin{align} k_p\ge b_p \end{align}

が成立します。これは弱いMorse不等式と呼ばれるものです。

このように、超対称量子力学はEuler標数、Betti数、Morse指数に直感的な解釈を与えます。

まとめ

以下今回の記事のまとめです：

最近、量子アノマリー・指数定理に関わる記事をいくつか書きましたが(例えばinfinite_hotelDirac_zeromode)、本記事の話もLaplacianのゼロモードに関する指数（Witten指数）に関する定理であることを付記しておきます。

たわいない余談なのですが、最近若者言葉（ネットスラング？）で「〜からしか摂取できない栄養」なる言い回しがあります。「〜」の部分には自身の好きな事柄を入れます。自身の好きな事が持つ何らかの特徴が唯一無二であり、他では得られない面白さ・深遠さをもたらす事を表す言葉です。この言葉を使うなら、超対称量子力学とMorse理論の関係は、「物理学からしか摂取できない栄養」という言い回しがしっくりくるように個人的に思います。

以上です。おしまい。${}_\blacksquare$