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大学数学基礎解説
文献あり

Witten指数とMorse理論 2/2

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※本記事は Witten指数とMorse理論 1/2 の続きです。

前回の記事では、超対称量子力学及びWitten模型を導入し、ゼロエネルギー状態と超対称性の自発的破れ、さらにWitten指数等に関して述べました。本記事ではWitten指数とMorse理論の関係に関して述べます。

Morse理論は多様体の位相的性質をその多様体上で定義される微分可能な関数によって解析する理論です。Euler標数とBetti数に関するMorse理論から導かれる定理、また「Morseの不等式」と呼ばれる不等式に関し、超対称量子力学における解釈が存在します。そしてこれはWitten指数と関係します。この解釈は直感的であり、量子力学の初歩的な知識があればある程度理解できます。ここでは厳密な証明の解説ではなく、この「解釈・直感」の説明を目指すことをご承知ください。

本記事はRefs.Eguchi1998Eguchi1991Witten1982-1Witten1982-2に基づきます(江口先生のpdfの劣化コピーになってしまった...)。

Morse理論のいくつかの定理

まず、超対称量子力学に関連するMorse理論・Hodge理論のいくつかの定理を証明なしに記します(証明追ってない)。Refs.Nakahara2000Matsumoto1997からの引用ですので、詳しくはこれらの文献をご参照ください。申し訳ありませんが、homology・de Rahm cohomologyに関しては既知とさせてもらいます(例えばRef.Nakahara2000をご参照ください)。

次章 からが本題です。

Hesse行列

Mm次元の閉じた多様体(=境界のないコンパクトな多様体)とします。f:MRをその上の滑らかな関数とします。
Mの点p0f:MRの臨界点(critical point)であるとは、p0のまわりの局所座標系(x1,x2,,xm)について

fx1(p0)=0, fx2(p0)=0, , fxm(p0)=0

が成立することです。
p0f:MRの臨界点とします。臨界点p0におけるfのHesse行列とは

Hf(p0)ij:=2fxixj(p0)

のことです。

臨界点p0におけるfのHesse行列Hf(p0)の行列式detHf(p0)が0でないとき、p0を非退化な臨界点と呼び、反対にdetHf(p0)=0であるとき、p0を退化した臨界点と呼びます。

臨界点、退化・非退化は、局所座標の取り方に依存しません。以下、臨界点は非退化であるような状況を考えます。

Morseの補題

Morseの補題

p0f:MRの非退化な臨界点であるとき、p0のまわりの局所座標系(X1,,Xm)をうまく選んで、その局所座標系によって表した関数fの形が次の標準形になるようにすることができる

f=X12Xλ2+Xλ+12++Xm2+c

ここでcは定数、またp0はこの座標系において原点になっている。
ここでλはHessian Hf(p0)の負の固有値の数に等しい。またλfp0が定まれば定まる。

このλを非退化な臨界点p0の指数 (Morse指数) と呼びます。m次元の場合、λ0からmまでの値を取ります。

Betti数

Kを単体的複体とします。Hr(K;R)を、Kのhomology群とします。このときr次Betti数br(K)

br(K):=dimHr(K;R)

で定義されます。br(K)Hr(K;Z)の自由加群の階数と等しいです。

Euler-Poincareの定理

Euler-Poincareの定理は以下です:

Euler-Poincareの定理

Kn次元単体的複体、IrKr-単体の個数とする。このとき

χ(K):=r=0n(1)rIr=r=0n(1)rbr(K)

がなりたつ。

χ(K)はEuler標数と呼ばれます。多面体の場合χ(K)=VE+Fです。ここでV,E,FはそれぞれKの頂点、辺、面の数です。

Morseの不等式

Morse関数とはすべての臨界点が非退化な関数のことです。このときMorseの不等式とは以下の定理です。

Morseの不等式

Mを閉じたm次元多様体とし、f:MRM上のMorse関数とする。このとき、指数がλであるような臨界点の個数kλMλ次元Betti数bλ(M)の間に次の不等式が成り立つ
kλ>bλ(M)

de Rham cohomology群とhomology群の同型性

多様体Mにおけるde Rham cohomogoly群Hr(M)は、Mにおけるhomology群Hr(M)と同型です:

Hr(M)Hr(M)

よって両者の次元は同じであり、br(M):=dimHr(M)とすると、これはBetti数br(M)に等しいです:

br(M):=dimHr(M)=dimHr(M)=br(M)

Laplacianと調和形式

多様体M上のr-形式の集合Ωr(M)の元
ω:=1r!ωμ1μrdxμ1dxμr
を考えます。Laplacian Δ:Ωr(M)Ωr(M)は、外微分およびその随伴d,dを用いて
Δ:=(d+d)2=dd+dd
で定義されます。

r-形式ω
Δω=0
を満たすとき、ωは調和形式と呼ばれます。

M上の調和r-形式全体の集合をHarmr(M)で表します。この時Hodgeの定理は以下です:

Hodgeの定理

コンパクトで向き付け可能なRiemann多様体(M,g)上でHr(M)Harmr(M)に同型:
Hr(M)Harmr(M)

また次の事実が成立します。

brをBetti数とすると
dimHarmr(M)=dimHr(M)=br
が成立する。Euler標数は
χ(M)=(1)rbr=(1)rdimHarmr(M)
で与えられる。(※定理2も参照のこと)

関係する定理の導入は以上です。

Witten指数と近似的ゼロモードおよび真のゼロモードとの関係

前回の記事 で示したように、Witten指数は超対称変換の生成子のゼロモードにより定まります。ゼロモードは超ポテンシャルの微分がゼロとなる点(=臨界点)の付近に局在します。そのモードがboonicかfermionicかは、臨界点における超ポテンシャルの2階微分の係数の正負で定まります。ただしこれらは厳密なゼロエネルギーを持つモードではないことがあります。実際には各臨界点の「近似的ゼロモード」は他の臨界点に漏れ出し、トンネル効果によりエネルギーが持ち上がることで厳密なゼロモードではなくなる場合があります。しかしながら、近似的ゼロモードにより計算したWitten指数は、厳密なゼロモードにより計算したWitten指数と一致します。これはWitten指数が超ポテンシャルの微分の漸近的な振る舞いを固定した変形に対して不変であり、その意味でトポロジカルな不変量であることによります。

以下この事実を概観します。

Witten指数の計算

Witten模型のWitten指数ΔWを計算します。それには 前回の記事 にあるように、次の方程式

   Qψ(x)=0, Qψ(x)=0,Q:=12σ+{1iddxidW(x)dx},Q:=12σ{1iddx+idW(x)dx},σ3:=(1001), σ+:=(0100), σ:=(0010)

を満たす解を求めればよいです。

ψ=(ϕfϕb)

とすれば(前回の記事ではϕ+,ϕと記していました。また本記事では演算子のHermite共役もで表します)、上の式は

{1iddxidW(x)dx}ϕb(x)=0,{1iddx+idW(x)dx}ϕf(x)=0

となり、解は

ϕb(x)=exp(W(x)),   ϕf(x)=exp(+W(x))

のように簡単に求まります。Wは超ポテンシャルと呼ばれます。

ただし解はnormalizableでなければならないので、dx|ϕb(x)|2<, dx|ϕf(x)|2<を満たす必要があり、解が必ず存在するとは限りません。解のnormalizabilityは|x|におけるW(x)の振る舞いで決まります:

Witten模型におけるWitten指数

W(x)=λxnとすると

  • nが偶数:λ>0ならϕbのみがnormalizable、λ<0ならϕfのみがnormalizable。ゆえにΔW=(1)F=sign(λ)
  • nが奇数:このときnormalizableな解は存在しない。ゆえにΔW=0

解のnormalizabilityを調べます。Witten模型のHamiltonianは

H=12{d2dx2+(dWdx)2}+12σ3d2Wdx2

ですが、ここでWλ(xx0)とし、WW/ϵとしてϵが小さい極限を考えると(Wのスケールアップ)、ψ

λ<0のとき ψ(e12|λ/ϵ|(xx0)20)λ>0のとき ψ(0e12|λ/ϵ|(xx0)2)

となります。よってϵが小さいとき、波動関数はx=x0付近に局在します(図1)。この場合、(dW/dx)2は調和振動子のポテンシャルであり、1/ϵのリーディングではゼロ点振動部分がσ3を含む項と打ち消し合い、基底状態のエネルギーがゼロになります。そしてこの場合、基底状態は任意のϵのオーダー(WKB近似)でゼロになります。すなわちW=0に局在した状態は真のゼロエネルギー状態であり、SUSYは保たれます。

!FORMULA[131][1112217757][0]に局所化する波動関数。このとき!FORMULA[132][1134182615][0] W=0に局所化する波動関数。このときΔW=sign(λ)

一方、例えばWλ(xx0)2の場合を考えます。このとき公式1よりnormalizableな解は存在しないのでΔW=0です。このときW=0の場所が2つあり、グラフは図2のようになります。

!FORMULA[136][638478533][0]の図 Wλ(xx0)2の図

このとき局所化した波動関数はbosonとfermionがひとつずつ存在するのでΔW=0です。ところがこの2つの局所化した波動関数は、完全なゼロエネルギー状態ではないです。実際先程述べたようにこのときnormalizableな波動関数は存在しません。この場合、W=0に局在する2つの波動関数に重なりが存在します。このときトンネル効果により、2つの近似的なゼロエネルギー状態は混ざり、エネルギーはゼロからシフトします。(※トンネル効果を考慮した二重井戸型ポテンシャルにおけるWKB近似の計算は この記事 から続く3つの記事をご参照ください)

それにも関わらず、Witten指数は、W=0の解の数を、そのゼロを切るときの傾きの正負で分類し符号をつけて足し合わせれば正確に計算できます。これは以下に見るように一般的な事情です。

図2のWを、その|x|の振る舞いを変えずに上に移動させます。極小がゼロより大きくなるまで移動させれば、ϕfϕbは打ち消し合って消えます。この操作によりΔWの値は変化しません。

!FORMULA[145][1157328][0]を上にもちあげる。 Wを上にもちあげる。

無限遠でのWの振る舞いを変えないでWの形を変形した場合、近似的ゼロモードは増えたとしても必ずfermionとbosonがペアで生じるため、ΔWの値は変わりません(図4)。

!FORMULA[149][1877500504][0]の例。無限遠の振舞いを固定した!FORMULA[150][1157328][0]の変形で!FORMULA[151][-663967380][0]は変化しない。 ΔW=1の例。無限遠の振舞いを固定したWの変形でΔWは変化しない。

この意味でWitten指数はトポロジカルな不変量です。

超対称量子力学とMorse理論との関係

曲がった空間における超対称量子力学は、理論が定義される多様体におけるde Rham cohomologyと直接の対応を持ちます。この対応から、超対称変換の生成子のゼロモードは、この理論上に定義される調和形式と関係します。これらの事実から、Morseの不等式や前記定理5を、超対称量子力学とWitten指数を通して理解することができます。

以下この事実を概観します。

n次元空間における多様体Mを考えます。その座標をxi   (i=1,,n)とします。超ポテンシャルWとして多様体Mの高さを表す関数を採用します。これをh(x)とします。

今までbosonとfermionの空間は、上成分・下成分により表示していました。ここからは、これをfermionの生成・消滅演算子ψi,ψi (i=1,,n)により表すことにします。空間n次元に対応しこれらの演算子もnコ存在します。このとき超対称電荷は以下のようになります:

Q=12ψj{1ixjih(x)xj},Q=12ψj{1ixj+ih(x)xj}

このときHamiltonianは

H=QQ+QQ=12(gij2xixj+gijhxihxj)+12(ψiψjψiψj)D2hDxiDxj

と書けます。ここでD2h/DxiDxjとは

D2hDxiDxj=xihxj+Γkijhxk

であり、h/xjに共変微分が作用したものです (Γkijはクリストッフェル記号)。

Morseの補題より、臨界点付近で適当な座標を採ると
h(x)12j=1nλ(j)(xjx0j)2
のように書けます。よって臨界点付近で
hxj=λ(j)(xjx0j)
です。この時Hamiltonianは対角化されていて
H=12j=1n(2xj2+λ(j)2(xjx0j)2+12λ(j)(ψjψjψjψj))
です。上で見たように、この臨界点にはλ(j)が正ならbosonicなモードが局在化し、負ならfermionicなモードが局在化します。すなわち、多次元の多様体の場合にも、1次元の話が適用できます。

微分形式との対応

この系は微分形式と対応づけることができます。以下これを見ていきます。

前に行ったように、h(x)th(x)のようにスケールし、Q,Q
Qt=12ψj{1ixjith(x)xj},Qt=12ψj{1ixj+ith(x)xj}
のように定義しなおします。

fermionがnコある状態は、生成演算子で書くと

Φ(x)=Φi1,i2,,ip(x)ψi1ψin|0

となります。ここでΦi1,,ipは添字に関し完全反対称です。こうすれば、各臨界点に局在する波動関数は

Φ(x)exp{12j=1n|λ(j)|(xjx0j)2}ψi1ψip|0

となります。ここでpは臨界点におけるλ(j)が負になるようなjの数であり、Morse指数と呼ばれます。ここで近似的ゼロモードの波動関数のfermion数がpである臨界点の個数をkpとします。これはすなわちMorse指数がpであるような臨界点の数です。fermion数がevenの場合はbosonになるので、kpを使うとWitten指数は以下のように書けます:

tr(1)F=p=0n(1)pkp

これらのモードのすべてがゼロエネルギーというわけではないですが、bosonicな近似的なゼロモードを引いておけば、前に述べたように正しくWitten指数を与えます。

さて、超対称量子力学と調和形式との対応を見ることにします。簡単のため、Qtにおいてt=0とし

Q0=12ψj{1ixj},Q0=12ψj{1ixj}

を考えます。これらのΦi1,,ipψi1ψip|0への作用を考えます。Q0

Q0Φ(x)=jΦi1,,ip(x)ψjψi1ψip|0
となります。ψdxと同一視すれば、これは外微分dの作用と同じです。同様にQ0の作用は

Q0Φ(x)=(1)k1ikΦi1,,ik,ip(x)ψi1ψik^ψip|0

となります。ここでψ^は「ψを除く」という意味です。これもまた外微分の随伴作用素dの作用と同じです。

ここでQt,Qtは以下のように書き換えられます:

Qt=eth(x)(ψj1ixj)eth(x),Qt=eth(x)(ψj1ixj)eth(x)

これはQ0,Q0eth(x)でconjugateしたものです。t=0としたHamiltonianは

H=Q0Q0+Q0Q0=dd+dd=Δ

となり、これはLaplacianになります。実際のHamiltonianはQ0,Q0ではなくこれらのconjugationをとった演算子により構成されますが、conjugationにより調和形式は調和形式にうつりますEguchi1998。よって真のゼロモードとは、多様体M上のLaplacianのゼロモード、すなわち調和形式になります。p次調和形式の数はBetti数bpです(定理5参照)。これらの事実から、bpとはfermion数がpであるような真のゼロモードの数です。よって

tr(1)F=bp(1)p
が成立します(fermion数がevenの場合はbosonの数に対応することに注意)。ゆえに定理2よりWitten指数はEuler標数χ(M)に等しいです:

χ(M)=tr(1)F

kpはfermion数pの近似的ゼロモードの数、bpはfermion数pの真のゼロモードの数であり、当然kpのほうが大きいか又は等しいので

kpbp

が成立します。これは弱いMorse不等式と呼ばれるものです。

このように、超対称量子力学はEuler標数、Betti数、Morse指数に直感的な解釈を与えます。

まとめ

以下今回の記事のまとめです:

  • ゼロモードの波動関数は超ポテンシャルの微分がゼロになる点(=臨界点)に局在する。モードがbosonicかfermionicかは、臨界点での波動関数の傾きの正負に依存する。高次元の多様体Mでも事情は同じ。

  • 臨界点に局在するモードが必ずしも厳密なゼロモードとは限らない。トンネル効果で他の臨界点に局在するモードと混ざることでゼロエネルギーから変化するため、各臨界点に局在するモードは「近似的ゼロモード」である。

  • 超対称量子力学は微分形式と対応する。厳密な真のゼロモードは調和形式であり、p次微分形式の数はBetti数bpであるが、超対称量子力学ではこれは「fermionがpコ詰まった真のゼロモードの数」に対応する。Witten指数は「真のゼロモード」により定義されるから
    tr(1)F=pbp(1)p
    である。これより、Euler-Poincareの定理を用いると、多様体MのEuler標数をχ(M)として
    χ(M)=tr(1)F
    が成立する。

  • 各臨界点におけるHessianの指数(=Morse指数)は近似的ゼロモードのfermion数に対応する。多様体Mにおいて、Morse指数がpの近似的ゼロモードの数をkpとする。「pコfermionが詰まった近似的ゼロモードの数pコfermionが詰まった真のゼロモードの数」であるから
    kpbp
    が成立する。これはMorseの不等式である。

  • Witten指数はトポロジカルな不変量であり、遠方のW(x)の振る舞いを固定したポテンシャルの連続変形に対し不変である。この事実より「真のfermionicゼロモードの数真のbosonicゼロモードの数」はこの変形で不変あり、「近似的fermionicゼロモードの数近似的bosonicゼロモードの数」と等しくなる。以上から
    tr(1)F=pkp(1)p=χ(M)
    である。後者の等式はMorseの基本定理として知られる。

最近、量子アノマリー・指数定理に関わる記事をいくつか書きましたが(例えばinfinite_hotelDirac_zeromode)、本記事の話もLaplacianのゼロモードに関する指数(Witten指数)に関する定理であることを付記しておきます。

たわいない余談なのですが、最近若者言葉(ネットスラング?)で「〜からしか摂取できない栄養」なる言い回しがあります。「〜」の部分には自身の好きな事柄を入れます。自身の好きな事が持つ何らかの特徴が唯一無二であり、他では得られない面白さ・深遠さをもたらす事を表す言葉です。この言葉を使うなら、超対称量子力学とMorse理論の関係は、「物理学からしか摂取できない栄養」という言い回しがしっくりくるように個人的に思います。

以上です。おしまい。

参考文献

[1]
江口 徹 (述) 、浜中真志(記), 位相的場の理論とその周辺, 文科省科学研究費特定領域研究(B)707 「超対称理論」講義録シリーズ, 1998
[2]
江口 徹, E.Witten氏の業績 I, 数学/日本数学会編, 1991, 51-58
[3]
Witten, E, Constraints on supersymmetry breaking, Nucl. Phys. B, 1982, 253-316
[4]
Witten, E, Supersymmetry and Morse theory, J. Differential Geometry, 1982, 661-692
[5]
中原 幹雄, 理論物理学のための トポロジーと幾何学 I, ピアソン・エデュケーション, 2000
[6]
松本幸夫, Morse理論の基礎, 岩波講座 現代数学の基礎 27, 岩波書店, 1997
投稿日:2023118
更新日:20231110
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  2. Hesse行列
  3. Morseの補題
  4. Betti数
  5. Euler-Poincareの定理
  6. Morseの不等式
  7. de Rham cohomology群とhomology群の同型性
  8. Laplacianと調和形式
  9. Witten指数と近似的ゼロモードおよび真のゼロモードとの関係
  10. Witten指数の計算
  11. 超対称量子力学とMorse理論との関係
  12. 微分形式との対応
  13. まとめ
  14. 参考文献