インスタントンとトンネル効果 (3) : ゼロモードの除去、トンネル効果によるエネルギーシフト

$\psi_0$は$\dot x_I$に比例する。規格化定数を$\alpha$とすると、$\int d\tau\psi_0^2=1$より
\begin{align} \alpha=\frac{1}{\displaystyle\sqrt{\int d\tau \dot x_I^2}} \end{align}
である。ここで$x_I=a\tanh(\omega/2(\tau-\tau_0))$より$\dot x_I^2/2=U(x_I)$が成立するので
\begin{align} \frac{1}{2}\int d\tau \dot x^2_I=\int d\tau U(x_I) \end{align}
を得る。よって
\begin{align} S_0=\frac{1}{g^2}\int d\tau\left[ \frac{1}{2}\dot x_I^2+U(x_I)\right]=\frac{1}{g^2}\int d\tau \dot x_I^2=\left(\frac{1}{g\alpha}\right)^2\tag{5}\label{S0} \end{align}
ゆえに
\begin{align} \alpha=\frac{1}{g\sqrt{S_0}} \end{align}
以上から$\psi_0$は
\begin{align} \psi_0=\frac{\dot x_I}{g\sqrt{S_0}} \end{align}
となる。

Eq.\eqref{x}に$\psi_0$の具体形を代入し、ゼロモード部分を分離すると以下のようになる：
\begin{align} x(\tau)&=x_I(\tau-\tau_0)+g\sum_n\psi_n(\tau-\tau_0)\xi_n\\ &=x_I(\tau-\tau_0)+\frac{1}{\sqrt{S_0}}\dot x_I(\tau-\tau_0)\xi_0 +g\sum_{n\neq 0} \psi_n(\tau-\tau_0)\xi_n \end{align}
ここで$1/\sqrt{S_0}$はEq.\eqref{S0}より${\cal O}(g)$なので、WKB近似すなわち${\cal O}(g)$の範囲では以下が成立する：
\begin{align} x(\tau)=x_I(\tau-\tau_0+\frac{1}{\sqrt{S_0}}\xi_0) +g\sum_{n\neq 0}\psi_n(\tau-\tau_0+\frac{1}{\sqrt{S_0}}\xi_0)\xi_n \end{align}
これはすなわち、この近似の範囲では、$\tau_0$の変化は$\xi_0/\sqrt{S_0}$の変化で置き換えられることを意味する。よって
\begin{align} \frac{d\xi_0}{\sqrt{2\pi}}=\sqrt{\frac{S_0}{2\pi}}d\tau_0 \end{align}
としてよい。${}_\blacksquare$

次のロンスキアンを定義する：
\begin{align} W[f_+(\tau,E_+),f_-(\tau,E_-)] :=f_+(\tau,E_+)\dot f_-(\tau,E_-)-f_-(\tau,E_-)\dot f_+(\tau,E_+) \end{align}
ここでドットは$\tau$微分を表す。Eq.\eqref{SE}を用いて$\dot W$を計算すると
\begin{align} \dot W&=\partial_\tau(f_+\dot f_--f_-\dot f_+)\\ &=f_+\ddot f_--f_-\ddot f_+\\ &=(U_I''-E_-)f_+f_--(U_I''-E_+)f_+f_-\\ &=(E_+-E_-)f_+f_- \end{align}
よって$E_+=E_-=E$とすれば$\dot W(f_+(\tau,E),f_-(\tau,E))=0$。ゆえに$W(f_+(\tau,E),f_-(\tau,E))$は$\tau$-independentなので
\begin{align} W[f_+(\tau,E),f_-(\tau,E)] =\lim_{\tau\to\pm\infty}W[f_+(\tau,E),f_-(\tau,E)] \end{align}
$\lim_{+\infty}$の極限を考えると、Eq.\eqref{asympa},\eqref{asympb}より
\begin{align} \lim_{\tau\to +\infty} W&=\lim_{\tau\to +\infty}[f_+\dot f_--f_-\dot f_+]\\ &=e^{ik\tau}(ik e^{ik\tau}A_--ike^{-ik\tau}F_-) -(e^{ik\tau}A_-+e^{-ik\tau}F_-)(ik)e^{ik\tau}\\ &=-2ikF_-(E) \end{align}
同様に$\lim_{\tau\to-\infty}$の極限を考えると
\begin{align} \lim_{\tau\to -} W&=-2ikF_+(E) \end{align}
これらはどちらも$W$であるから
\begin{align} F_+(E)=F_-(E) \end{align}
を得る。${}_\blacksquare$

$\tau>\tau'$および$\tau<\tau'$のとき、Eq.\eqref{Green}が
\begin{align} (-\partial_\tau^2+U_I''(\tau)-E)G(\tau,\tau';E)=0 \end{align}
を満たすことはすぐに示せる。
$\tau$に関して$(-\partial_\tau^2+U''_I(\tau)-E)G(\tau,\tau';E)$を$\tau'-\epsilon$から$\tau'+\epsilon$まで積分し$\lim_{\epsilon\to +0}$の極限をとる:
\begin{align} \int_{\tau'-\epsilon}^{\tau'+\epsilon}d\tau (-\partial_\tau^2+U''_I(\tau)-E)G(\tau,\tau';E) =-\left[\partial_\tau G\right]_{\tau'-\epsilon}^{\tau'+\epsilon} +\int_{\tau'-\epsilon}^{\tau'+\epsilon}d\tau(U''_I(\tau)-E)G \end{align}
ここで
\begin{align} \partial_\tau G(\tau,\tau';E)|_{\tau=\tau'+\epsilon} &=\frac{if_-(\tau',E)}{2kF(E)}\partial_\tau f_+(\tau,E)|_{\tau=\tau'+\epsilon}\\ &=\frac{if_-(\tau',E)}{2kF(E)}\partial_\tau f_+(\tau,E)|_{\tau=\tau'}+{\cal O}(\epsilon) \end{align}
また
\begin{align} \partial_\tau G(\tau,\tau';E)|_{\tau=\tau'-\epsilon} &=\frac{if_+(\tau',E)}{2kF(E)}\partial_\tau f_-(\tau,E)|_{\tau=\tau'-\epsilon}\\ &=\frac{if_+(\tau',E)}{2kF(E)}\partial_\tau f_-(\tau,E)|_{\tau=\tau'}+{\cal O}(\epsilon) \end{align}
よって$\lim_{\epsilon\to 0}$の極限で
\begin{align} -[\partial_\tau G]^{\tau'+\epsilon}_{\tau'-\epsilon} &=-\frac{if_-(\tau',E)}{2kF(E)}\partial_\tau f_+(\tau,E)|_{\tau=\tau'} +\frac{if_+(\tau',E)}{2kF(E)}\partial_\tau f_-(\tau,E)|_{\tau=\tau'}\\ &=\frac{i}{2kF(E)}(f_+(\tau',E)\dot f_-(\tau',E)-f_-(\tau',E)\dot f_+(\tau',E))\\ &=\frac{i}{2kF(E)}W[f_+(\tau',E),f_-(\tau',E)]\\ &=1 \ \ \ \ (\because \text{公式4の証明より}W[f_+(\tau',E),f_-(\tau',E)]=-2kiF(E)) \end{align}
を得る。$\int_{\tau'-\epsilon}^{\tau'+\epsilon}d\tau(U''_I(\tau)-E)G$は明らかに${\cal O}(\epsilon)$なので、結局
\begin{align} \lim_{\epsilon\to+0}\int_{\tau'-\epsilon}^{\tau'+\epsilon}d\tau (-\partial_\tau^2+U''_I(\tau)-E)G(\tau,\tau';E)=1 \end{align}
以上より
\begin{align} \left(-\partial^2_\tau+U''_I(\tau)-E\right)G(\tau,\tau';E)=\delta(\tau-\tau') \end{align}
が示された。${}_\blacksquare$

\begin{align} \frac{\partial}{\partial E}\ln \Delta(E) &=\frac{\partial}{\partial E}({\rm tr}{\rm Ln}(E-\hat H)-{\rm tr}{\rm Ln}(E-\hat H_0))\\ &={\rm tr}\frac{1}{E-\hat H}-{\rm tr}\frac{1}{E-\hat H_0}\\ &= -\int d\tau\left[ \langle\tau| \frac{1}{\hat H-E} |\tau\rangle - \langle\tau| \frac{1}{\hat H_0-E} |\tau\rangle \right]\\ &=-\int d\tau (G(\tau,\tau;E)-G_0(\tau,\tau;E)) \end{align}
ここで前に示したように
\begin{align} \dot W[f_+(\tau,E_+),f_-(\tau,E_-)]=(E_+-E_-)f_+f_- \end{align}
である。また定理2より
\begin{align} G(\tau,\tau;E)=\frac{if_+(\tau,E)f_-(\tau,E)}{2kF(E)} \end{align}
であるから、
\begin{align} G(\tau,\tau;E)=\lim_{E'\to E}\frac{i}{E-E'}\frac{\dot W[f_+(\tau,E), f_-(\tau,E')]}{2kF(E)} \end{align}
が成立する。また$\hat H_0$は自由粒子のHamiltonianであり（$U''(x=a)=\omega^2$）、$F=1, f_+=e^{ik\tau}, f_-=e^{-ik\tau}$なので
\begin{align} G_0(\tau,\tau;E)=\lim_{E'\to E}\frac{i}{E-E'}\frac{\dot W[e^{ik\tau},e^{-ik\tau}]}{2k} \end{align}
である。以上から
\begin{align} -\int d\tau(G(\tau,\tau;E)-G_0(\tau,\tau;E)) &=-\int d\tau\lim_{E'\to E}\frac{i}{E-E'}\frac{1}{2kF(E)} \left\{ \dot W[f_+(\tau,E),f_-(\tau,E')] -\dot W[e^{ik\tau},e^{-ik\tau}]F(E) \right\}\\ &=-\lim_{E'\to E}\frac{i}{E-E'}\frac{1}{2kF(E)} \left[ W[f_+(\tau,E),f_-(\tau,E')] -W[e^{ik\tau},e^{-ik\tau}]F(E) \right]^{\tau\to \infty}_{\tau\to -\infty}\tag{10}\label{Delta} \end{align}
以降、エネルギーに依存する量で、$E'$に依存する量にはチルダをつける。$E$に依存する量には何もつけないことにする。例えば$f_-(\tau,E), \ f_-(\tau,E')$はそれぞれ$f_-, \tilde f_-$を表す。$W[f_+,\tilde f_-]=f_+\dot{\tilde f_-}-\tilde f_-\dot f_+$を計算すると
\begin{align} &\cdot \tau\to+\infty: W[f_+,\tilde f_-] \to -i(k-\tilde k)e^{i(k+\tilde k)\tau}\tilde A_- -i(k+\tilde k)e^{ i(k-\tilde k)\tau}\tilde F\\ &\cdot \tau\to-\infty: W[f_+,\tilde f_-] \to i(k-\tilde k)e^{-i(k+\tilde k)\tau}A_+ -i(k+\tilde k)e^{ i(k-\tilde k)\tau}F \end{align}
($F_+=F_-=F$)
となる。$\tilde k=k-(E-E')k',\ \tilde F=F-(E-E')F'$を用いれば（$k',F'$のプライムは$E$による微分を表す）、Eq.\eqref{Delta}は
\begin{align} =-\frac{1}{4k^2 F}\lim_{\tau\to \infty} e^{2ik\tau}(A_-+A_+)+F'/F \end{align}
となることがわかる。インスタントンのような束縛状態のエネルギーに対し$k$は純虚数なので$\lim_{\tau\to+\infty}e^{2ik\tau}\to 0$より初項はゼロ。以上まとめると
\begin{align} (\ln\Delta(E))'=F'/F=(\ln F)'\\ \therefore \Delta=\alpha F \ \ \ (\alpha\text{は定数}) \end{align}
$\Delta(E)$は$\Delta(E\to \infty)=1$、$F$は$\tau\to\infty$での$e^{ik\tau}$の係数であり、高エネルギー極限では自由場として振る舞うのでこれも1。よって係数$\alpha$は1であり、結局
\begin{align} \Delta(E)=F(E) \end{align}
である。よって、$\Delta'(0)$は$F'(0)$、すなわち$\tau\to\infty$での波動関数の振る舞いにより表されることがわかる。${}_\blacksquare$

今考察している系における$F(E)$を計算する。公式7の最後の式より
\begin{align} \dot q_I(\tau)/K\xrightarrow{\tau\to\infty}e^{-\omega \tau} \end{align}
である。$\dot q_I(\tau)/K$は$E=0$の解でありEq.\eqref{asympa}\eqref{asympb}の境界条件を満たすので
\begin{align} f_\pm(\tau,E=0)=\frac{\dot q_I}{K} \end{align}
である。ところで
\begin{align} \left.\frac{\partial^2}{\partial E\partial\tau}W(f_+(\tau,E),f_-(0))\right|_{E=0} \end{align}
はEoMを用いると
\begin{align} &=\left.\frac{\partial}{\partial E}\left\{Ef_+(E)f_-(0)\right\}\right|_{E=0}\\ &=f_+(0)f_-(0) \end{align}
となる。
\begin{align} f_+(\tau,0)f_-(\tau,0)=\frac{\dot q_I^2}{K^2} \end{align}
であるから
\begin{align} \left.\frac{\partial^2}{\partial E\partial\tau}W(f_+(\tau,E),f_-(0))\right|_{E=0} =\frac{\dot q_I^2}{K^2} \end{align}
である。$\tau$に関し$-\infty$から$\infty$の範囲で積分する。計算すると左辺は
\begin{align} -2\omega\partial_EF(E)|_{E=0} \end{align}
となる。よって
\begin{align} -2\omega\partial_E F(E)|_{E=0}=\int_{-\infty}^\infty d\tau \frac{\dot q_I^2}{K^2} \end{align}
$\int d\tau \dot q_I^2=S_0$を用いれば
\begin{align} -\Delta'(0)&=\frac{S_0}{2\omega K^2}\\ \therefore (-\Delta'(0))^{-1/2}&=\sqrt{\frac{2\omega}{S_0}}K \end{align}
を得る。${}_\blacksquare$