Krattenthalerの反転公式
Gould-Hsuの反転公式
は
\begin{align}
f(n)&=\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom nk\left(\prod_{i=0}^{n-1}(a_i+kb_i)\right)g(k)
\end{align}
としたとき,
\begin{align}
g(n)&=\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom nk\left(\frac{a_k+kb_k}{\prod_{i=0}^k(a_i+nb_i)}\right)f(k)
\end{align}
が成り立つという定理である. これは係数に関する関係
\begin{align}
\sum_{k=0}^n(-1)^{k-l}\binom nk\binom kl(a_l+lb_l)\prod_{j=l+1}^{n-1}(a_j+kb_j)=\delta_{n,l}
\end{align}
とKroneckerのデルタを用いて書き表される式と同値であり, それは
\begin{align}
A_{n,k}&=\frac{\prod_{i=k}^{n-1}(a_i+kb_i)}{(n-k)!}\\
B_{k,l}&=(-1)^{k-l}\frac{a_l+lb_l}{a_k+kb_k}\frac{\prod_{j=l+1}^k(a_j+kb_j)}{(k-l)!}
\end{align}
が無限次元下三角行列として逆行列の関係にある(以下, 単に逆行列の関係にあるという)ことと同値である(ただし, 空積は$1$とみなすとする). その$q$類似である
Carlitzの反転公式
も全く同様に整理すると
\begin{align}
A_{n,k}&=q^{\binom{n-k}2}\frac{\prod_{j=k}^{n-1}(a_j+q^kb_j)}{(q;q)_{n-k}}\\
B_{k,l}&=(-1)^{k-l}\frac{a_l+q^lb_l}{a_k+q^kb_k}\frac{\prod_{j=l+1}^k(a_j+q^kb_j)}{(q;q)_{k-l}}
\end{align}
が逆行列の関係にあることと同値であることが分かる.
Krattenthalerの反転公式
これらを一般化する反転公式として, 以下の反転公式が知られている.
数列$(a_i)_{i\geq 0},(b_i)_{i\geq 0},(c_i)_{i\geq 0}$で相異なる$i,j$に対して$c_i\neq c_j$なものに対し, 無限次元下三角行列
\begin{align}
A_{n,k}&:=\frac{\prod_{j=k}^{n-1}(a_j+c_kb_j)}{\prod_{j=k+1}^n(c_j-c_k)}\\
B_{k,l}&:=\frac{a_l+c_lb_l}{a_k+c_kb_k}\frac{\prod_{j=l+1}^k(a_j+c_kb_j)}{\prod_{j=l}^{k-1}(c_j-c_k)}
\end{align}
は逆行列の関係にある.
$l\leq n$とすると,
\begin{align}
\sum_{k=l}^nA_{n,k}B_{k,l}&=\sum_{k=l}^n\frac{\prod_{j=k}^{n-1}(a_j+c_kb_j)}{\prod_{j=k+1}^n(c_j-c_k)}\cdot \frac{a_l+c_lb_l}{a_k+c_kb_k}\frac{\prod_{j=l+1}^k(a_j+c_kb_j)}{\prod_{j=l}^{k-1}(c_j-c_k)}\\
&=(a_l+c_lb_l)\sum_{k=l}^n\frac{\prod_{j=l+1}^{n-1}(a_j+c_kb_j)}{\prod_{\substack{l\leq j\leq n\\j\neq k}}(c_j-c_k)}
\end{align}
となる. ここで, $0\leq m\leq n-l-1$に対し,
\begin{align}
\sum_{k=l}^n\frac{c_k^{m}}{\prod_{\substack{l\leq j\leq n\\j\neq k}}(c_j-c_k)}=0
\end{align}
である. これは部分分数分解の等式
\begin{align}
\prod_{l\leq j\leq n}\frac 1{c_j-t}=\sum_{k=l}^n\frac 1{c_k-t}\frac{1}{\prod_{\substack{l\leq j\leq n\\j\neq k}}(c_j-c_k)}
\end{align}
において, $t=1/x$として
\begin{align}
-x^{n-l}\prod_{l\leq j\leq n}\frac 1{c_jx-1}=\sum_{k=l}^n\frac 1{1-c_kx}\frac{1}{\prod_{\substack{l\leq j\leq n\\j\neq k}}(c_j-c_k)}
\end{align}
となるので, 両辺の$x^{m},0\leq m\leq n-l-1$の係数を比較することによって示される. これを用いると, $l< n$に対し,
\begin{align}
\prod_{j=l+1}^{n-1}(a_j+c_kb_j)
\end{align}
は$c_k$に関する$n-l-1$次の多項式であるから,
\begin{align}
\sum_{k=l}^nA_{n,k}B_{k,l}=0
\end{align}
を得る. 一方$l=n$の場合は
\begin{align}
\sum_{k=l}^nA_{n,k}B_{k,l}=A_{n,n}B_{n,n}=1
\end{align}
である. よって,
\begin{align}
\sum_{k=l}^nA_{n,k}B_{k,l}=\delta_{n,l}
\end{align}
であるから, $A_{n,k}$と$B_{k,l}$は無限次元下三角行列として逆行列の関係になることが分かり, 示すべきことが得られた.
Bressoudの反転公式の導出
Krattenthalerの反転公式の証明はかなりシンプルだったが, 驚くべきことに, Krattenthalerの反転公式から Bressoudの反転公式 を導くことができる.
$0\leq n,k$に対し,
\begin{align}
D_{n,k}(a,b)&:=\frac{1-aq^{2k}}{1-a}\frac{(b;q)_{n+k}(b/a;q)_{n-k}}{(aq;q)_{n+k}(q;q)_{n-k}}\left(\frac ba\right)^k
\end{align}
とするとき, $(D_{n,k}(a,b))_{n,k\geq 0}$の逆行列は$(D_{n,k}(b,a))_{n,k\geq 0}$で与えられる.
定理1において, $a_j=-aq^{-j}/b-bq^j, b_j=1, c_j=q^{-j}+aq^{-j}$とすると,
\begin{align}
a_j+c_k&=-\frac{aq^{-j}}{b}(1-bq^{j-k}/a)(1-bq^{j+k})\\
c_j-c_k&=-q^{-j}(1-q^{j-k})(1-aq^{j+k})
\end{align}
となるから,
\begin{align}
A_{n,k}&=\frac{\prod_{j=k}^{n-1}\left(-\frac{aq^{-j}}{b}(1-bq^{j-k}/a)(1-bq^{j+k})\right)}{\prod_{j=k+1}^n(-q^{-j}(1-q^{j-k})(1-aq^{j+k}))}\\
&=\frac{\prod_{j=k}^{n-1}(1-bq^{j-k}/a)(1-bq^{j+k})}{\prod_{j=k+1}^n(1-q^{j-k})(1-aq^{j+k})}\left(\frac{aq}b\right)^{n-k}\\
&=\frac{(b/a;q)_{n-k}(b;q)_{n+k}(aq;q)_{2k}}{(q;q)_{n-k}(aq;q)_{n+k}(b;q)_{2k}}\left(\frac{aq}b\right)^{n-k}\\
&=\left(\frac{aq}{b}\right)^nD_{n,k}(a,b)\frac{(a;q)_{2k}}{(b;q)_{2k}}q^{-k}
\end{align}
となる. 一方
\begin{align}
a_j+c_k&=q^{-k}(1-aq^{k-j}/b)(1-bq^{j+k})\\
c_j-c_k&=q^{-k}(1-q^{k-j})(1-aq^{j+k})
\end{align}
と書き換えられるので,
\begin{align}
B_{k,l}&=\frac{q^{-l}(1-bq^{2l})}{q^{-k}(1-bq^{2k})}\frac{\prod_{j=l+1}^kq^{-k}(1-aq^{k-j}/b)(1-bq^{j+k})}{\prod_{j=l}^{k-1}q^{-k}(1-q^{k-j})(1-aq^{j+k})}\\
&=\frac{q^{k-l}(1-bq^{2l})}{1-bq^{2k}}\frac{(a/b;q)_{k-l}(a;q)_{k+l}(bq;q)_{2k}}{(q;q)_{k-l}(bq;q)_{k+l}(a;q)_{2k}}\\
&=\frac{(b;q)_{2k}}{(a;q)_{2k}}q^kD_{k,l}(b,a)\left(\frac{b}{aq}\right)^l
\end{align}
となる. よって,
\begin{align}
\left(\frac{aq}b\right)^n\sum_{k=l}^nD_{n,k}(a,b)D_{k,l}(b,a)\left(\frac{b}{aq}\right)^l=\delta_{n,l}
\end{align}
を得る. つまり,
\begin{align}
\sum_{k=l}^nD_{n,k}(a,b)D_{k,l}(b,a)=\delta_{n,l}
\end{align}
が成り立つことが分かり, 示すべき等式が得られた.
