核とイコライザと直積の普遍性パズル
はじめに
アサイチさんの
記事
を眺めながら圏論的に面白い性質を見つけたので書きました.
この記事の内容は零射の存在を仮定すれば一般の圏で成り立つと思います.
いつも以上に, つっこみどころがあれば教えてください.
ちなみに, この記事では「、。」のかわりに「, . 」を使う記法で作ってみました.
主張
族$\set{p_i:G\to P_i}_{i\in I}$を固定する.
このとき,
$(\pi_G)_{i\in I}:G\times\prod_{i\in I}\mathrm{Ker}(p_i)\to\prod_{i\in I} G$と
$(\ker(p_i)\circ\pi_i)_{i\in I} : G\times\prod_{i\in I}\mathrm{Ker}(p_i)\to\prod_{i\in I} G$
のイコライザー$\mathrm{eq}:\mathrm{Eq}\to G\times\prod_{i\in I}\mathrm{Ker}(p_i)$は,
$p=(p_i)_{i\in I}:G\to \prod_{i\in I}P_i$の核$\mathrm{Ker}(p)$と同型である.
群で考えると$H_i=\mathrm{Ker}(p_i)~(\trianglelefteq G)$とおいたとき$\mathrm{Eq}$は$\bigcap_{i\in I}H_i$,
$\mathrm{Ker}(p)$は$G\twoheadrightarrow \prod_{i\in I}G/H_i$の核とみなせます. (モノ射を左から合成しても核は変わらない.)
証明
まず同型射となる二つの射$\mathrm{Eq}\leftrightarrow \mathrm{Ker}(p)$を構成する.
各$i$について,
$\begin{eqnarray}
(\xymatrix@=15pt {\mathrm{Eq}\ar[r]^-{\mathrm{eq}}&G \times \prod_{i\in I}\mathrm{Ker}(p_i) \ar[rrrr]^-{\pi_G} & & & & G \ar[r]^-{p_i} & P_i})\end{eqnarray}
$
$=\begin{eqnarray}(
\xymatrix@=15pt{\mathrm{Eq}\ar[r]^-{\mathrm{eq}}&G \times \prod_{i\in I}\mathrm{Ker}(p_i) \ar[r]^-{\pi_i} & \mathrm{Ker}(p_i)\ar[r]^-{\ker(p_i)} & G\ar[r]^-{p_i} & P_i})
\end{eqnarray}$
$=0$
つまり,
$\begin{eqnarray}
(\xymatrix@=15pt {\mathrm{Eq}\ar[r]^-{\mathrm{eq}}&G \times \prod_{i\in I}\mathrm{Ker}(p_i) \ar[r]^-{\pi_G} & G \ar[r]^-{p} & \prod_{i\in I} P_i})\end{eqnarray}
=0$
よって普遍性より,
$\begin{eqnarray}
\xymatrix@=15pt {\mathrm{Eq}\ar[r]^-{\mathrm{eq}} \ar[d]^-{{}^{\exists!} a}&G \times \prod_{i\in I}\mathrm{Ker}(p_i) \ar[rd]^-{\pi_G} \\
\mathrm{Ker}(p) \ar[rr]^-{\ker(p)}& & G \ar[r]^-{p} & \prod_{i\in I} P_i}\end{eqnarray}
$
が得られる.
逆に各$i$について,
$\begin{eqnarray}
\xymatrix@=15pt{G \ar[r]^-{p} & \prod_{i\in I}P_i \ar[r]^-{\pi_i} & P_i}
=\xymatrix@=15pt{G \ar[r]^-{p_i} & P_i}
\end{eqnarray}$
であるから,
$\xymatrix@=15pt{{\mathrm{Ker}(p)} \ar[r]^-{\ker(p)} &G \ar[r]^-{p_i} & P_i}$
$=\xymatrix@=15pt{{\mathrm{Ker}(p)} \ar[r]^-{\ker(p)} &G\ar[r]^-{p} & \prod_{i\in I}P_i \ar[r]^-{\pi_i} & P_i}$
$=0$
よって普遍性から,
$\xymatrix@=20pt{{\mathrm{Ker}(p)} \ar@{.>}[d]_-{{}^{\exists!}k_i}\ar[rd]^-{\ker(p)}\\{\mathrm{Ker}(p_i)} \ar[r]_-{\ker(p_i)} &G \ar[r]_-{p_i} & P_i}$
このとき,$k=(\ker(p),(k_i)_{i\in I}):\mathrm{Ker}(p)\to G\times\prod_{i\in I}P_i$とおくと,
$\pi_G\circ k=\ker(p)$
$\ker(p_i)\circ\pi_i\circ k=\ker(p_i)\circ k_i=\ker(p)$
よって普遍性から,
$\xymatrix@=20pt{{\mathrm{Ker}(p)} \ar@{.>}[d]_-{{}^{\exists!}b} \ar[rd]^-{k}\\
{\mathrm{Eq}} \ar[r]_-{\mathrm{eq}} &{G\times\prod_{i\in I}\mathrm{Ker}(p_i)} \ar@<-0.5ex>[rr]_-{(\ker(p_i)\circ \pi_i)_{i\in I}} \ar@<0.5ex>[rr]^-{(\pi_G)_{i\in I}} & & \prod_{i\in I}G}$
が得られる.
このとき$a\circ b=\mathrm{id}_{\mathrm{Ker}(p)}, b\circ a=\mathrm{id}_\mathrm{Eq}$を示せばよい.
定義から,
$\begin{eqnarray}
\xymatrix@=20pt {
\mathrm{Ker}(p) \ar[d]^-b \ar[rd]^-k\\
\mathrm{Eq}\ar[r]^-{\mathrm{eq}} \ar[d]^-{a}&G \times \prod_{i\in I}\mathrm{Ker}(p_i) \ar[rd]^-{\pi_G} \\
\mathrm{Ker}(p) \ar[rr]^-{\ker(p)}& & G }
\end{eqnarray}
$
は可換.
$\ker(p)\circ a\circ b=\pi_G\circ k=\ker(p)$および一意性から,$a\circ b=\mathrm{id}_{\mathrm{Ker}(p)}$
また定義から,
$\begin{eqnarray}
\xymatrix@=20pt {
\mathrm{Eq} \ar[d]^-a \ar[r]^-{\mathrm{eq}} & G \times \prod_{i\in I}\mathrm{Ker}(p_i)\ar[d]^-{\pi_G} \\
\mathrm{Ker}(p)\ar[r]^-{\ker(p)} \ar[d]^-{b}\ar[rd]^-{k}&G \\
\mathrm{Eq} \ar[r]^-{\mathrm{eq}}& G \times \prod_{i\in I}\mathrm{Ker}(p_i)\ar[u]_-{\pi_G}}
\end{eqnarray}
$
より$\pi_G\circ \mathrm{eq}\circ b\circ a=\pi_G\circ \mathrm{eq}$
一方, 各$i$について,
$\begin{eqnarray}
\xymatrix@=20pt {
\mathrm{Eq} \ar[dd]^-a \ar[r]^-{\mathrm{eq}} & G \times \prod_{i\in I}\mathrm{Ker}(p_i)\ar[d]^-{\pi_i} \\
&{\mathrm{Ker}(p)}\ar[d]^-{p}\\
\mathrm{Ker}(p)\ar[r]^-{\ker(p)} \ar[dd]^-{b}\ar[rdd]^-{k} \ar[rd]^-{k_i}&G \\
& \mathrm{Ker}(p)\ar[u]_-{\ker(p_i)} \\
\mathrm{Eq} \ar[r]^-{\mathrm{eq}}& G \times \prod_{i\in I}\mathrm{Ker}(p_i)\ar[u]_-{\pi_i}}
\end{eqnarray}
$
より$\ker(p)\circ\pi_i\circ \mathrm{eq}\circ b\circ a=\ker(p)\circ\pi_i\circ \mathrm{eq}$
$\ker(p)$の普遍性から$\pi_i\circ \mathrm{eq}\circ b\circ a=\pi_i\circ \mathrm{eq}$
よって, 任意の射影で等しいから$\mathrm{eq}\circ b\circ a=\mathrm{eq}$
$\mathrm{eq}$の普遍性から$b\circ a=\mathrm{id}_{\mathrm{Eq}}$
したがって$\mathrm{Eq}$と$\mathrm{Ker}(p)$は同型.$\square$
