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幾何問題(2)の解説

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$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{d}[0]{\displaystyle} \newcommand{kakko}[1]{\left(#1 \right)} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

はじめに

こちらの記事 rieaaddlreiuuさん が僕の出した 幾何問題(2) を解かれたので、この記事で想定解を書きたいと思います。
まだ問題を見ていない方は一度 問題 を見てみてください!

解説

問題の図をもう一度載せます。

問題 問題
(円に$\alpha,\beta,\gamma$と名前を振りました。)
ここで、$\Gamma$を反転円としてこの図を反転させることを考えます。

$O,A,A'$が一直線上にある事の証明

まず円$\alpha$は直線$AB$,円$\beta$は直線$BC$,円$\gamma$は直線$AC$,となることがわかり、また逆に直線$AB$は円$\alpha$,直線$BC$は円$\beta$,直線$AC$は円$\gamma$,となることがわかる。
また$A$は直線$AB$と直線$AC$の交点なので、$A$を反転させた点は円$\alpha$,円$\gamma$の交点の$A'$となることがわかる。
よって反転の定義より、$O,A,A'$は一直線上にある。

$AA'\perp BC$の証明

$AA'$$BC$の交点を$H$とおく。
$OA:OC=OC':OA'$より
$\triangle OAC \backsim \triangle OC'A' $であり
同様に$\triangle OCB \backsim \triangle OB'C' $
よって
$\d \angle A'HC'$
$\d =180^{\circ}-\angle HA'C'-\angle HC'A'$
$\d =180^{\circ}-\angle OA'C'-\angle OC'A'-\angle OC'B'$
$\d =180^{\circ}-\angle OCA-\angle OAC-\angle OBC$ (相似より)
$\d =180^{\circ}-\frac{180^{\circ}}{2} (\triangle ABCの内角の\frac{1}{2}なので)$
$\d =90^{\circ}$
となり示された。

おわりに

反転($+$ちょっと)で直交を示せるのはすごいなーと思ったので問題に出してみました!

投稿日:20201122

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kozy
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