幾何問題(2)の解説

はじめに

こちらの記事 で rieaaddlreiuuさん が僕の出した 幾何問題(2) を解かれたので、この記事で想定解を書きたいと思います。
まだ問題を見ていない方は一度 問題 を見てみてください！

解説

問題の図をもう一度載せます。

問題
（円に$\alpha ,\beta ,\gamma$と名前を振りました。）
ここで、$\mathrm{\Gamma }$を反転円としてこの図を反転させることを考えます。

$O,A,A^{\prime }$が一直線上にある事の証明

まず円$\alpha$は直線$AB$,円$\beta$は直線$BC$,円$\gamma$は直線$AC$,となることがわかり、また逆に直線$AB$は円$\alpha$,直線$BC$は円$\beta$,直線$AC$は円$\gamma$,となることがわかる。
また$A$は直線$AB$と直線$AC$の交点なので、$A$を反転させた点は円$\alpha$,円$\gamma$の交点の$A^{\prime }$となることがわかる。
よって反転の定義より、$O,A,A^{\prime }$は一直線上にある。

$A{A}^{\prime }\perp BC$の証明

$A{A}^{\prime }$と$BC$の交点を$H$とおく。
$OA:OC=O{C}^{\prime }:O{A}^{\prime }$より
$\mathrm{△}OAC\backsim \mathrm{△}O{C}^{\prime }{A}^{\prime }$であり
同様に$\mathrm{△}OCB\backsim \mathrm{△}O{B}^{\prime }{C}^{\prime }$
よって
${\displaystyle \mathrm{\angle }{A}^{\prime }H{C}^{\prime }}$
${\displaystyle ={180}^{\circ }-\mathrm{\angle }H{A}^{\prime }{C}^{\prime }-\mathrm{\angle }H{C}^{\prime }{A}^{\prime }}$
${\displaystyle ={180}^{\circ }-\mathrm{\angle }O{A}^{\prime }{C}^{\prime }-\mathrm{\angle }O{C}^{\prime }{A}^{\prime }-\mathrm{\angle }O{C}^{\prime }{B}^{\prime }}$
${\displaystyle ={180}^{\circ }-\mathrm{\angle }OCA-\mathrm{\angle }OAC-\mathrm{\angle }OBC}$　（相似より）
${\displaystyle ={180}^{\circ }-\frac{{180}^{\circ }}{2} （\mathrm{△}ABCの内角の\frac{1}{2}なので）}$
${\displaystyle ={90}^{\circ }}$
となり示された。

おわりに

反転（$+$ちょっと）で直交を示せるのはすごいなーと思ったので問題に出してみました！