有限化non-terminating q-Vandermondeの和公式

$q$-Saalschuetzの和公式 の添え字をずらすだけでよい。具体的には，$q$-Saalschuetzより
$$ \sum_{j=0}^{m+n}\frac{(aq^{-m},b/az,q^{-m-n})_j}{(q,bq^{-m},q^{1-m-n}/z)_j}q^j =\frac{(b/a,azq^{-m})_{m+n}}{(bq^{-m},z)_{m+n}} $$
となるから，$j=k+m$とすれば，左辺は
\begin{align} \sum_{j=0}^{m+n}\frac{(aq^{-m},b/az,q^{-m-n})_j}{(q,bq^{-m},q^{1-m-n}/z)_j}q^j &= q^m\frac{(aq^{-m},b/az, q^{-m-n})_m}{(q,bq^{-m}, q^{1-m-n}/z)_m}\sum_{k=-m}^n\frac{(aq^{-m},b/az,q^{-m-n})_j}{(q,bq^{-m},q^{1-m-n}/z)_j}q^j \end{align}
となるから，
\begin{align} \sum_{k=-m}^n\frac{(aq^{-m},b/az,q^{-m-n})_k}{(q,bq^{-m},q^{1-m-n}/z)_k}q^k &= q^{-m}\frac{(q,bq^{-m}, q^{1-m-n}/z)_m}{(aq^{-m},b/az, q^{-m-n})_m}\frac{(b/a,azq^{-m})_{m+n}}{(bq^{-m},z)_{m+n}}\\ &= \frac{(q)_m(b/a)_{m+n}(az)_n}{(b,z)_n(b/az)_m}\cdot q^{-m}\frac{(q^{1-m-n}/z, azq^{-m})_m}{(q^{-m-n}, aq^{-m}, zq^n)_m}\\ &= \frac{(q)_m(b/a)_{m+n}(az)_n}{(b,z)_n(b/az)_m}\cdot \frac{(q/az)_m}{(q/a, q^{n+1})_m}\\ &= \frac{(q)_m(q)_n}{(q)_{m+n}}\frac{(b/a)_{m+n}(az)_n(q/az)_m}{(b,z)_n(q/a,b/az)_m} \end{align}
である。

方針としては補題1を正の部分と負の部分で分けた後， Searsの変換公式 を用いて変形すればよい。補題1で$m\mapsto m+1$とし,$a\mapsto c/b, b\mapsto aq, z\mapsto b$とすれば
$$ \sum_{k=-m-1}^n\frac{(c/b,aq^{m+2}/c,q^{-n})_k}{(aq,q^{1-n}/b, q^{2+m})_k}q^k = \frac{(q)_{m+1}(q)_n}{(q)_{m+n+1}}\frac{(abq/c)_{m+n+1}(c)_n(q/c)_{m+1}}{(aq,b)_n(bq/c,aq/c)_{m+1}} $$
である。ここでは定理の形に合わせるために
$$ \frac{(aq,b,q^{m+2})_n}{(c,q,abq^{m+2}/c)_n}\sum_{k=-m-1}^n\frac{(c/b,aq^{m+2}/c,q^{-n})_k}{(aq,q^{1-n}/b, q^{2+m})_k}q^k = \frac{(q/c,abq/c)_{m+1}}{(aq/c, bq/c)_{m+1}} $$
と書いておく。左辺の和の$k\in[0,n]$の部分は，Searsの変換公式と和の順序交換によって
\begin{align} \frac{(aq,b,q^{m+2})_n}{(c,q,abq^{m+2}/c)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(c/b,aq^{m+2}/c,q^{-n})_k}{(aq,q^{1-n}/b, q^{2+m})_k}q^k &= \frac{(aq,b,q^{m+2})_n}{(c,q,abq^{m+2}/c)_n}\frac{(a,q^{-m-n})_n}{(aq,q^{-m-n-1})_n}\sum_{k=0}^n\frac{(q^{1-n}/c, cq^{-m-n-1}/ab, q^{-n})_k}{(q^{1-n}/b,q^{-m-n}, q^{1-n}/a)_k}q^k\\ &= \frac{(aq,b,q^{m+2})_n}{(c,q,abq^{m+2}/c)_n}\frac{(a,q^{-m-n})_n}{(aq,q^{-m-n-1})_n}\frac{(q,c,abq^{m+2}/c)_n}{(a,b,q^{m+1})_n}q^{-n}\sum_{k=0}^n\frac{(a,b,q^{m+1})_k}{(q,c,abq^{m+2}/c)_k}q^k\\ &= \sum_{k=0}^n\frac{(a,b,q^{m+1})_k}{(q,c,abq^{m+2}/c)_k}q^k \end{align}
である。$k\in[-m-1,-1]$の部分は，
\begin{align} (x)_{-n}=\frac{(-q/x)^nq^{\binom n2}}{(q/x)_n} \end{align}
に注意することによって，$r=-k-1$と置くことによって，Searsの変換公式と和の順序の逆転を行うことにより
$$ c_- = q\frac{(1-1/a)(1-bq^n)(1-q^{-m-1})}{(1-bq/c)(1-cq^{-m-1}/a)(1-q^{n+1})} $$
と置けば
\begin{align} \frac{(aq,b,q^{m+2})_n}{(c,q,abq^{m+2}/c)_n}\sum_{k=-m}^{-1}\frac{(c/b,aq^{m+2}/c,q^{-n})_k}{(aq,q^{1-n}/b, q^{2+m})_k}q^k &=c_-\frac{(aq,b,q^{m+2})_n}{(c,q,abq^{m+2}/c)_n}\sum_{r=0}^m\frac{(q/a, bq^{n+1}, q^{-m})_r}{(bq^2/c, cq^{-m}/a, q^{n+2})_r}q^r\\ &= c_-\frac{(aq,b,q^{m+2})_n}{(c,q,abq^{m+2}/c)_n}\frac{(bq/c, q^{-m-n})_m}{(bq^2/c, q^{-m-n-1})_m}\sum_{r=0}^m\frac{(cq^{-m-1}, cq^{-m-n-1}/ab, q^{-m})_r}{(cq^{-m}/a, q^{-m-n}, cq^{-m}/b)_r}q^r\\ &= c_- \frac{(aq,b,q^{m+2})_n}{(c,q,abq^{m+2}/c)_n}\frac{(bq/c, q^{-m-n})_m}{(bq^2/c, q^{-m-n-1})_m}\frac{(q, q^2/c, abq^{n+2}/c)_m}{(aq/c, bq/c, q^{n+1})_m}q^{-m}\sum_{k=0}^m\frac{(aq/c,bq/c, q^{n+1})_k}{(q, q^2/c, abq^{n+2}/c)_k}q^k\\ &= \frac{(a,b)_{n+1}(q/c)_{m+1}(abq^2/c)_m}{(c/q)_{n+1}(aq/c, bq/c)_{m+1}(abq^2/c)_n}\sum_{k=0}^m\frac{(aq/c,bq/c, q^{n+1})_k}{(q, q^2/c, abq^{n+2}/c)_k}q^k \end{align}
となるから，以上まとめて，
\begin{align} &\sum_{k=0}^n\frac{(a,b,q^{m+1})_k}{(q,c,abq^{m+2}/c)_k}q^k + \frac{(a,b)_{n+1}(q/c)_{m+1}(abq^2/c)_m}{(c/q)_{n+1}(aq/c, bq/c)_{m+1}(abq^2/c)_n}\sum_{k=0}^m\frac{(aq/c,bq/c, q^{n+1})_k}{(q, q^2/c, abq^{n+2}/c_k)}q^k\\ &\quad =\frac{(q/c,abq/c)_{m+1}}{(aq/c, bq/c)_{m+1}} \end{align}
が成り立つ。