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大学数学基礎解説
文献あり

局所有限閉被覆と写像の貼り合わせ

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$$\newcommand{id}[0]{\mathrm{id}} \newcommand{supp}[1]{\mathrm{supp}(#1)} $$

$X$を位相空間とし,$(F_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}$をその局所有限な閉被覆とする.このとき,任意の部分集合$A \subset X$に対して,次は同値である:

  1. $A \subset X:\text{closed}$;
  2. $\forall \lambda \in \Lambda,\, A_{\lambda} := A \cap F_{\lambda} \subset F_{\lambda}:\text{closed}$.

(i)$\Rightarrow$(ii)

明らか.

(ii)$\Rightarrow$(i)

$(A_{\lambda})_{\lambda}$は局所有限な$X$の閉集合族なので
$$ A = A \cap \bigcup_{\lambda} F_{\lambda} = \bigcup_{\lambda} A_{\lambda} \subset X$$
は閉集合である.

$X,Y$を位相空間,$(F_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}$$X$の局所有限閉被覆,$(\varphi_{\lambda} \colon F_{\lambda} \to Y)_{\lambda \in \Lambda}$を連続写像族とする.このとき,任意の$\lambda,\mu \in \Lambda$に対して
$$ \varphi_{\lambda} | F_{\lambda} \cap F_{\mu} = \varphi_{\mu} | F_{\lambda} \cap F_{\mu}$$
が成り立つならば,連続写像$\varphi \colon X \to Y$であって
$$ \forall \lambda \in \Lambda,\, \varphi | F_{\lambda} = \varphi_{\lambda}$$
となるものがただひとつ存在する.

任意の$x \in X$に対して,$\Lambda(x) = \{\lambda \in \Lambda\ |\ x \in F_{\lambda}\}$とおくと,仮定より$\{\varphi_{\lambda}(x) \in Y\ |\ \lambda \in \Lambda(x)\}$は単集合なので,写像$\varphi \colon X \to Y$
$$ \{\varphi(x)\} = \{\varphi_{\lambda}(x)\ |\ \lambda \in \Lambda(x)\}$$
により定まる.あとはこの$\varphi$が連続であることを示せばよい.そこで$C \subset Y$を閉集合とする.このとき,任意の$\lambda \in \Lambda$に対して
$$ \varphi^{-1}(C) \cap F_{\lambda} = \varphi_{\lambda}^{-1}(C) \subset F_{\lambda}$$
は閉集合なので,補題1より$\varphi^{-1}(C) \subset X$は閉集合である.

$X,Y$を位相空間,$(F_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}$$X$の局所有限閉被覆とし,$\varphi \colon X \to Y$を写像とする.このとき,任意の$\lambda \in \Lambda$に対して$\varphi | F_{\lambda}$が連続ならば,$\varphi$も連続である.

参考文献

投稿日:20231029

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うすい
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