$X$を位相空間とし，$(F_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}$をその局所有限な閉被覆とする．このとき，任意の部分集合$A \subset X$に対して，次は同値である：
明らか．
$(A_{\lambda})_{\lambda}$は局所有限な$X$の閉集合族なので
$$
A = A \cap \bigcup_{\lambda} F_{\lambda} = \bigcup_{\lambda} A_{\lambda} \subset X$$
は閉集合である．
$X,Y$を位相空間，$(F_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}$を$X$の局所有限閉被覆，$(\varphi_{\lambda} \colon F_{\lambda} \to Y)_{\lambda \in \Lambda}$を連続写像族とする．このとき，任意の$\lambda,\mu \in \Lambda$に対して
$$
\varphi_{\lambda} | F_{\lambda} \cap F_{\mu} = \varphi_{\mu} | F_{\lambda} \cap F_{\mu}$$
が成り立つならば，連続写像$\varphi \colon X \to Y$であって
$$
\forall \lambda \in \Lambda,\, \varphi | F_{\lambda} = \varphi_{\lambda}$$
となるものがただひとつ存在する．
任意の$x \in X$に対して，$\Lambda(x) = \{\lambda \in \Lambda\ |\ x \in F_{\lambda}\}$とおくと，仮定より$\{\varphi_{\lambda}(x) \in Y\ |\ \lambda \in \Lambda(x)\}$は単集合なので，写像$\varphi \colon X \to Y$が
$$
\{\varphi(x)\} = \{\varphi_{\lambda}(x)\ |\ \lambda \in \Lambda(x)\}$$
により定まる．あとはこの$\varphi$が連続であることを示せばよい．そこで$C \subset Y$を閉集合とする．このとき，任意の$\lambda \in \Lambda$に対して
$$
\varphi^{-1}(C) \cap F_{\lambda} = \varphi_{\lambda}^{-1}(C) \subset F_{\lambda}$$
は閉集合なので，補題1より$\varphi^{-1}(C) \subset X$は閉集合である．
$X,Y$を位相空間，$(F_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}$を$X$の局所有限閉被覆とし，$\varphi \colon X \to Y$を写像とする．このとき，任意の$\lambda \in \Lambda$に対して$\varphi | F_{\lambda}$が連続ならば，$\varphi$も連続である．