モジュラー形式のL値で表される9F8の予想まとめ
\begin{align}
T_n(a,b,c):=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(4k+1)\left(\frac 12,\frac 12,a,1-a,b,1-b,c,1-c\right)_k}{k!^2\left(\frac 12+a,\frac32-a,\frac 12+b,\frac 32-b,\frac 12+c,\frac 32-c\right)_k}
\end{align}
とする. 前の記事(
9F8のsupercongruenceの予想まとめ
)で$T_p(a,b,c)$のsupercongruenceの予想をまとめた. 前の記事の記法を引き続き用いるとして, カスプ形式の$q$展開を
\begin{align}
f(\tau)=\sum_{0< n}a_n(f)q^n
\end{align}
としたとき, その$L$関数を
\begin{align}
L(f,s):=\sum_{0< n}\frac{a_n}{n^s}
\end{align}
を解析接続することによって定義されるものとする. 今回は
\begin{align}
T(a,b,c)&:=\lim_{n\to\infty}T_n(a,b,c)=\F98{\frac 12,\frac 54,\frac 12,a,1-a,b,1-b,c,1-c}{\frac 14,1,\frac 12+a,\frac 32-a,\frac 12+b,\frac 32-b,\frac 12+c,\frac 32-c}1
\end{align}
とそのMellin-Barnes積分類似を
\begin{align}
I(a,b,c)&:=\frac{\Gamma\left(\frac 12+a\right)\Gamma\left(\frac 32-a\right)\Gamma\left(\frac 12+b\right)\Gamma\left(\frac 32-b\right)\Gamma\left(\frac 12+c\right)\Gamma\left(\frac 32-c\right)}{\pi\Gamma(a)\Gamma(1-a)\Gamma(b)\Gamma(1-b)\Gamma(c)\Gamma(1-c)}\\
&\qquad\cdot\frac 1{2\pi i}\int_{C}\frac{(4s+1)\Gamma\left(\frac 12+s\right)^2\Gamma(a+s)\Gamma(1-a+s)\Gamma(b+s)\Gamma(1-b+s)\Gamma(c+s)\Gamma(1-c+s)\Gamma(-s)^2}{\Gamma\left(\frac 12+a+s\right)\Gamma\left(\frac 32-a+s\right)\Gamma\left(\frac 12+b+s\right)\Gamma\left(\frac 32-b+s\right)\Gamma\left(\frac 12+c+s\right)\Gamma\left(\frac 32-c+s\right)}\,ds\\
J\left(\frac 12,b,c\right)&:=\frac{\Gamma\left(\frac 12+b\right)\Gamma\left(\frac 32-b\right)\Gamma\left(\frac 12+c\right)\Gamma\left(\frac 32-c\right)}{\pi^2\Gamma(b)\Gamma(1-b)\Gamma(c)\Gamma(1-c)}\\
&\qquad\cdot\frac 1{2\pi i}\int_{C}\frac{(4s+1)\Gamma\left(\frac 12+s\right)^4\Gamma(b+s)\Gamma(1-b+s)\Gamma(c+s)\Gamma(1-c+s)\Gamma(-s)^3\cos\pi s}{\Gamma\left(1+s\right)\Gamma\left(\frac 12+b+s\right)\Gamma\left(\frac 32-b+s\right)\Gamma\left(\frac 12+c+s\right)\Gamma\left(\frac 32-c+s\right)}ds
\end{align}
として, それと$L$値の関係についての予想をまとめたいと思う. 次は
non-terminating Dougallの${}_7F_6$和公式
の特別な場合である.
$b+c=\frac 12$のとき,
\begin{align}
I(a,b,c)&=\frac{2\pi(1-2a)\Gamma(b)\Gamma(1+b)\Gamma(c)\Gamma(1+c)}{\sin(2\pi a)\Gamma(a+b)\Gamma(a+c)\Gamma(1-a+b)\Gamma(1-a+c)}
\end{align}
が成り立つ. 特に, $a=\frac 12$のとき
\begin{align}
I\left(\frac 12,b,c\right)&=\frac{2\Gamma(b)\Gamma(1+b)\Gamma(c)\Gamma(1+c)}{\Gamma\left(\frac 12+b\right)^2\Gamma\left(\frac 12+c\right)^2}
\end{align}
が成り立つ.
予想
定理1
\begin{align}
T\left(\frac 12,\frac 12,\frac 12\right)&=\frac{128}{\pi^4}L(f_{4.6.a.a},3)\\
I\left(\frac 12,\frac 12,\frac 12\right)&=\frac{128}{\pi^2}L(f_{4.6.a.a},2)\\
J\left(\frac 12,\frac 12,\frac 12\right)&=128L(f_{4.6.a.a},1)
\end{align}
1つ目の等式は本質的に
Auの論文
で示されている. また, 2つ目, 3つ目の等式についても証明できている. それらについてはいずれまとめたいと思う.
予想2
\begin{align} I\left(\frac 12,\frac 12,\frac 13\right)&=32L(f_{4.6.a.a},1)\\ J\left(\frac 12,\frac 12,\frac 13\right)&=64L(f_{4.6.a.a},2) \end{align}
予想3
\begin{align} I\left(\frac 12,\frac 12,\frac 14\right)&=8L(f_{8.6.a.a},1)\\ J\left(\frac 12,\frac 12,\frac 14\right)&=32L(f_{8.6.a.a},2) \end{align}
予想4
\begin{align} I\left(\frac 12,\frac 12,\frac 16\right)&=\frac{128}{3}L(f_{4.6.a.a},1)\\ J\left(\frac 12,\frac 12,\frac 16\right)&=128L(f_{4.6.a.a},2) \end{align}
予想5
\begin{align} T\left(\frac 12,\frac 13,\frac 13\right)&=\frac{18}{\pi^2}L(f_{3.6.a.a},3)\\ I\left(\frac 12,\frac 13,\frac 13\right)&=24L(f_{3.6.a.a},2)\\ J\left(\frac 12,\frac 13,\frac 13\right)&=72L(f_{3.6.a.a},3) \end{align}
予想6
\begin{align} I\left(\frac 12,\frac 13,\frac 14\right)&=16L(f_{4.6.a.a},2)\\ J\left(\frac 12,\frac 13,\frac 14\right)&=64L(f_{4.6.a.a},3) \end{align}
予想7
\begin{align} I\left(\frac 12,\frac 13,\frac 16\right)&=8L(f_{12.5.c.a},2)\\ J\left(\frac 12,\frac 13,\frac 16\right)&=64L(f_{12.5.c.a},3) \end{align}
補題1から
\begin{align}
I\left(\frac 12,\frac 13,\frac 16\right)&=\frac{3\cdot4^{\frac 13}\Gamma\left(\frac 13\right)^{12}}{64\pi^6}
\end{align}
となることが分かる.
予想8
\begin{align}
T\left(\frac 12,\frac 14,\frac 14\right)&=\frac{8}{\pi}L(f_{4.5.b.a},2)\\
I\left(\frac 12,\frac 14,\frac 14\right)&=24L(f_{4.5.b.a},2)\\
J\left(\frac 12,\frac 14,\frac 14\right)&=96L(f_{4.5.b.a},3)
\end{align}
前の記事(
ガンマ関数で表せる二項係数の4乗が付いた級数
)の結果から
\begin{align}
T\left(\frac 12,\frac 14,\frac 14\right)&=\frac{\Gamma\left(\frac 14\right)^8}{96\pi^5}
\end{align}
補題1から
\begin{align}
I\left(\frac 12,\frac 14,\frac 14\right)&=\frac{\Gamma\left(\frac 14\right)^8}{32\pi^4}
\end{align}
となることが分かる. Rogers-Wan-Zuckerによって,
\begin{align}
L(f_{4.5.b.a},2)&=\frac{\Gamma\left(\frac 14\right)^8}{768\pi^4}\\
L(f_{4.5.b.a},3)&=\frac{\Gamma\left(\frac 14\right)^8}{1536\pi^3}
\end{align}
が与えられており, これを用いることで$T,I$についての等式は示される.
予想9
\begin{align} I\left(\frac 12,\frac 14,\frac 16\right)&=32L(f_{8.4.a.a},1)\\ J\left(\frac 12,\frac 14,\frac 16\right)&=128L(f_{8.4.a.a},2) \end{align}
予想10
\begin{align} T\left(\frac 12,\frac 16,\frac 16\right)&=\frac{32}{3\pi^2}L(f_{12.4.a.a},2)\\ I\left(\frac 12,\frac 16,\frac 16\right)&=\frac{64}3L(f_{12.4.a.a},1)\\ J\left(\frac 12,\frac 16,\frac 16\right)&=128L(f_{12.4.a.a},2) \end{align}
予想11
\begin{align} I\left(\frac 12,\frac 15,\frac 25\right)&=12L(f_{5.6.a.a},2)\\ J\left(\frac 12,\frac 15,\frac 25\right)&=60L(f_{5.6.a.a},3) \end{align}
予想12
\begin{align} I\left(\frac 12,\frac 18,\frac 38\right)&=12L(f_{8.5.d.a},2)\\ J\left(\frac 12,\frac 18,\frac 38\right)&=96L(f_{8.5.d.a},3) \end{align}
補題1から
\begin{align}
I\left(\frac 12,\frac 18,\frac 38\right)&=\frac{3\Gamma\left(\frac 18\right)^4\Gamma\left(\frac 38\right)^4}{256\pi^4}
\end{align}
が成り立つことが分かる.
予想13
\begin{align} I\left(\frac 12,\frac 1{10},\frac 3{10}\right)&=\frac{64}5L(f_{20.4.a.a},1)\\ J\left(\frac 12,\frac 1{10},\frac 3{10}\right)&=128L(f_{20.4.a.a},2) \end{align}
予想14
\begin{align}
I\left(\frac 12,\frac 1{12},\frac 5{12}\right)&=40L(f_{4.5.b.a},2)\\
J\left(\frac 12,\frac 1{12},\frac 5{12}\right)&=320L(f_{4.5.b.a},3)
\end{align}
補題1から
\begin{align}
I\left(\frac 12,\frac 1{12},\frac 5{12}\right)&=\frac{5\Gamma\left(\frac 14\right)^8}{96\pi^4}
\end{align}
が成り立つことが分かる. よって, Rogers-Wan-Zuckerによる評価を用いると, $I$についての等式は示される.
予想15
\begin{align}
T\left(\frac 13,\frac 13,\frac 16\right)&=\frac 43L(f_{9.4.a.a},2)\\
I\left(\frac 13,\frac 13,\frac 16\right)&=12L(f_{9.4.a.a},3)
\end{align}
補題1から
\begin{align}
I\left(\frac 13,\frac 13,\frac 16\right)&=\frac{3^{\frac 12}\Gamma\left(\frac 13\right)^9}{36\pi^3}
\end{align}
が成り立つことが分かる.
定理16
\begin{align}
I\left(\frac 13,\frac 14,\frac 14\right)=16L(f_{4.5.b.a},3)
\end{align}
補題1から
\begin{align}
I\left(\frac 13,\frac 14,\frac 14\right)&=\frac{\Gamma\left(\frac 14\right)^8}{96\pi^3}
\end{align}
が成り立つことが分かる. よって, Rogers-Wan-Zuckerによる評価を用いること等式が示される.
予想17
\begin{align}
I\left(\frac 13,\frac 14,\frac 16\right)=16L(f_{12.3.c.a},2)
\end{align}
補題1を用いると
\begin{align}
I\left(\frac 13,\frac 14,\frac 16\right)&=\frac{2^{\frac 13}\Gamma\left(\frac 13\right)^6}{4\pi^2}
\end{align}
が成り立つことが分かる.
定理18
\begin{align} I\left(\frac 14,\frac 14,\frac 14\right)=4\pi L(f_{16.3.c.a},2) \end{align}
補題1から
\begin{align}
I\left(\frac 14,\frac 14,\frac 14\right)&=\frac{\Gamma\left(\frac 14\right)^4}{16}
\end{align}
が成り立つことが分かる. Rogers-Wan-Zuckerによって
\begin{align}
L(f_{16.3.c.a},2)&=\frac{\Gamma\left(\frac 14\right)^4}{64\pi}
\end{align}
が示されているので, これらを合わせることで示される.
$J$については$a=\frac 12$の以外にも値が$L$値と関係するような良い定義があるかは気になるところである. $(a,b,c)=\left(\frac 19,\frac 29,\frac 49\right)$の場合については, 対応する$L$値は
\begin{align}
L(f_{162.4.a.d},2)=0
\end{align}
となっており, $T,I,J$と$L$値の間の関係についての予想はまだ見つかっていない.
