高校数学解説

絡分の性質とその比較【絡分3】

総乗,微積分

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前回まで

こんにちは

こんにちは、Nappleです。
前回までは、絡分という連続な総乗に相当する変換を定義して、 $x$ の絡分がほぼ $x!$ であることなどを調べてきました。

今回は絡分の基本的な性質を調べて、総乗や他の演算との比較をおこないます。
すると、嬉しい性質が見つかります。

と、その前に記号の整理と定義を行っておきます。

定義

絡分 (不定絡分)

総乗に対応する連続な変換である絡分とは、
実数関数 $f (x)$ に対して次の関数 $F (x)$ を得る変換である。
ここで、 $T^{- 1}$ は絡分を意味する作用素(絡分作用素)である
$T^{- 1} f (x) = F (x) = \exp (\int \ln f (x) d x)$

定絡分

定絡分とは、実数関数 $f (x)$ が正の範囲 $(a, b)$ について、 $f (x)$ を絡分する操作であり、以下の式が成り立つ。
$F (x) = \exp (\int_{a}^{b} \ln f (x) d x)$

解分

絡分の逆演算である解分とは、
実数関数 $F (x)$ に対して次の関数 $f (x)$ を得る変換である。
ここで、 $T$ は解分を意味する作用素(解分作用素)である。
$T F (x) = f (x) = \exp (\frac{d}{d x} \ln F (x))$

これまで $f (x)$ と $F (x)$ という言い方しかできなかったので、演算子を使って簡単に表せるようにしました。

性質

絡分・解分の第一基本定理

$T T^{- 1} f (x) = f (x)$

$\begin{aligned} T T^{- 1} f (x) & = \exp (\frac{d}{d x} \ln \exp (\int \ln f (x) d x)) \\ = \exp (\frac{d}{d x} \int \ln f (x) d x) \\ 微分積分学の第一基本定理より \\ = \exp (\ln f (x)) \\ = f (x) \end{aligned}$

絡分・解分の第二基本定理

$\exp (\int_{a}^{b} \ln f (x) d x) = \frac{T^{- 1} f (b)}{T^{- 1} f (a)}$

$\begin{aligned} 微分積分学の第二基本定理より \\ \exp (\int_{a}^{b} \ln f (x) d x) & = \exp (\int \ln f (b) d x - \int \ln f (a) d x) \\ = \frac{\exp (\int \ln f (b) d x)}{e x p (\int \ln f (a) d x)} \\ = \frac{T^{- 1} f (b)}{T^{- 1} f (a)} \end{aligned}$

積の絡分

$f, g$ は実数関数
$T^{- 1} (f g) = T^{- 1} f \cdot T^{- 1} g$

$\begin{aligned} T^{- 1} (f g) & = \exp (\int \ln (f g) d x) \\ = \exp (\int (\ln f + \ln g) d x) \\ = \exp (\int \ln f d x + \int \ln g d x) \\ = \exp (\int \ln f d x) \cdot \exp (\int \ln g d x) \\ = T^{- 1} f \cdot T^{- 1} g \end{aligned}$

冪乗の絡分

$n$ ：整数
$T^{- 1} ((f)^{n}) = (T^{- 1} f)^{n}$

$\begin{aligned} T^{- 1} ((f)^{n}) & = \exp (\int \ln ((f)^{n}) d x) \\ = \exp (n \int \ln (f) d x) \\ = (\exp (\int \ln (f) d x))^{n} \\ = (T^{- 1} f)^{n} \end{aligned}$

※公式1からも導出できます。

公式2から特に
$T^{- 1} \frac{1}{f} = \frac{1}{T^{- 1} f}$
であることがわかります。

定数倍の絡分

$λ$ ：実数, $A$ ：絡分定数(正の実数)
$T^{- 1} (λ f) = A λ^{x} T^{- 1} f$

$\begin{aligned} T^{- 1} (λ f) & = \exp (\int \ln (λ f) d x) \\ = \exp (\int \ln λ d x) \cdot \exp (\int \ln f d x) \\ = \exp (x l n λ + C) \cdot \exp (\int \ln f d x) (C は実数) \\ = A λ^{x} T^{- 1} f \end{aligned}$

微積分・総乗との比較

微積分と比較すると嬉しい

微積分	絡分
$D D^{- 1} f (x) = f (x)$	$T T^{- 1} f (x) = f (x)$
$\int_{a}^{b} f (x) d x = D^{- 1} f (b) - D^{- 1} f (a)$	$\exp (\int_{a}^{b} \ln f (x) d x) = \frac{T^{- 1} f (b)}{T^{- 1} f (a)}$

総乗と比較するとすごく嬉しい

総乗	絡分
$\prod_{i} a_{i} b_{i} = \prod_{i} a_{i} \cdot \prod_{i} b_{i}$	$T^{- 1} (f g) = T^{- 1} f \cdot T^{- 1} g$
$\prod_{i} \frac{1}{a_{i}} = \frac{1}{\prod_{i} a_{i}}$	$T^{- 1} \frac{1}{f} = \frac{1}{T^{- 1} f}$
$\prod_{i = 1}^{n} λ a_{i} = λ^{n} \prod_{i = 1}^{n} a_{i}$	$T^{- 1} (λ f) = A λ^{x} T^{- 1} f$