Baileyによる10φ9の4項変換公式の証明を整理する

前の記事 においては, $q$積分から始めたが, 今回はよりアイデアが分かりやすいように,　 Baileyのterminating${}_{10}\phi_9$を示した記事 と同様に
\begin{align} \frac{(a,c,d,e;q)_n}{(q,aq/c,aq/d,aq/e;q)_n}&=\sum_{k=0}^n\frac{(1-wq^{2k})(w,wc/a,wd/a,we/a;q)_k(a;q)_{n+k}(a/w;q)_{n-k}}{(1-w)(q,aq/c,aq/d,aq/e;q)_k(wq;q)_{n+k}(q;q)_{n-k}}\left(\frac aw\right)^k\qquad w=a^2q/cde \end{align}
から始める. すると terminatingな場合 と同様に,
\begin{align} &W(a;b,c,d,e,f,g,h;q)\\ &=\sum_{0\leq n}\frac{(1-aq^{2n})(b,f,g,h;q)_n}{(1-a)(aq/b,aq/f,aq/g,aq/h;q)_n}q^n\\ &\qquad\cdot\sum_{k=0}^n\frac{(1-wq^{2k})(w,wc/a,wd/a,we/a;q)_k(a;q)_{n+k}(a/w;q)_{n-k}}{(1-w)(q,aq/c,aq/d,aq/e;q)_k(wq;q)_{n+k}(q;q)_{n-k}}\left(\frac aw\right)^k\\ &=\sum_{0\leq k}\frac{(1-wq^{2k})(w,wc/a,wd/a,we/a;q)_k}{(1-w)(q,aq/c,aq/d,aq/e;q)_k}\left(\frac aw\right)^k\\ &\qquad\cdot\sum_{k\leq n}\frac{(1-aq^{2n})(b,f,g,h;q)_n}{(1-a)(aq/b,aq/f,aq/g,aq/h;q)_n}q^n\frac{(a;q)_{n+k}(a/w;q)_{n-k}}{(wq;q)_{n+k}(q;q)_{n-k}}\\ &=\sum_{0\leq k}\frac{(1-wq^{2k})(w,wc/a,wd/a,we/a;q)_k}{(1-w)(q,aq/c,aq/d,aq/e;q)_k}\left(\frac aw\right)^k\\ &\qquad\cdot\frac{(aq;q)_{2k}}{(wq;q)_{2k}}\frac{(b,f,g,h;q)_k}{(aq/b,aq/f,aq/g,aq/h;q)_k}q^k W(aq^{2k};bq^k,fq^k,gq^k,hq^k,a/w;q) \end{align}
を得る. ここで, terminatingな場合には Jacksonの和公式 から
\begin{align} W(aq^{2k};bq^k,fq^k,gq^k,hq^k,a/w;q) \end{align}
がclosed formになってそれを代入すれば計算が終わったわけであるが, 今回はnon-terminatingであるから, 代わりに non-terminating Jacksonの和公式
\begin{align} &W\left(a;b,c,d,e,f;q\right)\\ &=\frac{(aq,aq/cd,aq/ce,aq/cf,aq/de,aq/df,aq/ef,b/a;q)_{\infty}}{(aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,bc/a,bd/a,be/a,bf/a;q)_{\infty}}\\ &\qquad+\frac ba\frac{(aq,bq/a,bq/c,bq/d,bq/e,bq/f,c,d,e,f;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,bc/a,bd/a,be/a,bf/a,b^2q/a;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\,W\left(b^2/a;b,bc/a,bd/a,be/a,bf/a;q\right)\qquad a^2q=bcdef \end{align}
を用いるのである. すると, この$b$に$bq^k$を選んで($b,f,g,h$に関して対称であるからこの中のどれを選んでも本質的に違いはない.)
\begin{align} &W(aq^{2k};bq^k,fq^k,gq^k,hq^k,a/w;q)\\ &=\frac{(aq^{2k+1},aq/fg,aq/fh,aq/gh,wq^{k+1}/f,wq^{k+1}/g,wq^{k+1}/h,bq^{-k}/a;q)_{\infty}}{(aq^{k+1}/f,aq^{k+1}/g,aq^{k+1}/h,wq^{2k+1},bf/a,bg/a,bh/a,bq^{-k}/w;q)_{\infty}}\\ &\qquad+\frac baq^{-k}\frac{(aq^{2k+1},bq^{1-k}/a,bq/f,bq/g,bq/h,bwq^{k+1}/a,fq^k,gq^k,hq^k,a/w;q)_{\infty}}{(aq^{k+1}/b,aq^{k+1}/f,aq^{k+1}/g,aq^{k+1}/h,wq^{2k+1},bf/a,bg/a,bh/a,bq^{-k}/w,b^2q/a;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\,W\left(b^2/a;bq^k,bf/a,bg/a,bh/a,bq^{-k}/w;q\right) \end{align}
を得る. これを代入すると,
\begin{align} &W(a;b,c,d,e,f,g,h;q)\\ &=\sum_{0\leq k}\frac{(1-wq^{2k})(w,wc/a,wd/a,we/a;q)_k}{(1-w)(q,aq/c,aq/d,aq/e;q)_k}\left(\frac aw\right)^k\\ &\qquad\cdot\frac{(aq;q)_{2k}}{(wq;q)_{2k}}\frac{(b,f,g,h;q)_k}{(aq/b,aq/f,aq/g,aq/h;q)_k}q^k \frac{(aq^{2k+1},aq/fg,aq/fh,aq/gh,wq^{k+1}/f,wq^{k+1}/g,wq^{k+1}/h,bq^{-k}/a;q)_{\infty}}{(aq^{k+1}/f,aq^{k+1}/g,aq^{k+1}/h,wq^{2k+1},bf/a,bg/a,bh/a,bq^{-k}/w;q)_{\infty}}\\ &\qquad+\sum_{0\leq k}\frac{(1-wq^{2k})(w,wc/a,wd/a,we/a;q)_k}{(1-w)(q,aq/c,aq/d,aq/e;q)_k}\left(\frac aw\right)^k\\ &\qquad\cdot\frac{(aq;q)_{2k}}{(wq;q)_{2k}}\frac{(b,f,g,h;q)_k}{(aq/b,aq/f,aq/g,aq/h;q)_k}q^k \\ &\qquad\cdot\frac baq^{-k}\frac{(aq^{2k+1},bq^{1-k}/a,bq/f,bq/g,bq/h,bwq^{k+1}/a,fq^k,gq^k,hq^k,a/w;q)_{\infty}}{(aq^{k+1}/b,aq^{k+1}/f,aq^{k+1}/g,aq^{k+1}/h,wq^{2k+1},bf/a,bg/a,bh/a,bq^{-k}/w,b^2q/a;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\,W\left(b^2/a;bq^k,bf/a,bg/a,bh/a,bq^{-k}/w;q\right)\\ &=\frac{(aq,wq/f,wq/g,wq/h,aq/fg,aq/fh,aq/gh,b/a;q)_{\infty}}{(wq,aq/f,aq/g,aq/h,bf/a,bg/a,bh/a,b/w;q)_{\infty}}W(w;b,wc/a,wd/a,we/a,f,g,h;q)\\ &\qquad+\frac ba\frac{(aq,f,g,h,bq/f,bq/g,bq/h,b/a,bwq/a,a/w;q)_{\infty}}{(wq,aq/b,aq/f,aq/g,aq/h,bf/a,bg/a,bh/a,b/w,b^2q/a;q)_{\infty}}\sum_{0\leq k}\frac{(1-wq^{2k})(w,wc/a,wd/a,we/a;q)_k}{(1-w)(q,aq/c,aq/d,aq/e;q)_k}q^k\\ &\qquad\cdot\frac{(b,a/b;q)_k}{(wq/b,bwq/a;q)_k}W\left(b^2/a;bq^k,bf/a,bg/a,bh/a,bq^{-k}/w;q\right) \end{align}
が得られる. ここで, terminatingの場合には出てこなかった2つ目の項をどのように計算するかという問題が出てくるが, これは二重級数になっているので, 足し合わせる順番を入れ替えてみるというのは常套手段である. 実際にそれを行うと
\begin{align} &\sum_{0\leq k}\frac{(1-wq^{2k})(w,b,wc/a,wd/a,we/a,a/b;q)_k}{(1-w)(q,wq/b,aq/c,aq/d,aq/e,bwq/a;q)_k}q^kW\left(b^2/a;bq^k,bf/a,bg/a,bh/a,bq^{-k}/w;q\right)\\ &=\sum_{0\leq k}\frac{(1-wq^{2k})(w,b,wc/a,wd/a,we/a,a/b;q)_k}{(1-w)(q,wq/b,aq/c,aq/d,aq/e,bwq/a;q)_k}q^k\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq j}\frac{(1-b^2q^{2j}/a)(b^2/a,bf/a,bg/a,bh/a,bq^k,bq^{-k}/a;q)_j}{(1-b^2/a)(q,bq/f,bq/g,bq/h,bq^{1-k}/a,bwq^{k+1}/a;q)_j}q^j\\ &=\sum_{0\leq j}\frac{(1-b^2q^{2j}/a)(b^2/a,bf/a,bg/a,bh/a;q)_j}{(1-b^2/a)(q,bq/f,bq/g,bq/h;q)_j}q^j\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq k}\frac{(1-wq^{2k})(w,b,wc/a,wd/a,we/a,a/b;q)_k}{(1-w)(q,wq/b,aq/c,aq/d,aq/e,bwq/a;q)_k}q^k\frac{(bq^k,bq^{-k}/w;q)_j}{(bq^{1-k}/a,bwq^{k+1}/a;q)_j}\\ &=\sum_{0\leq j}\frac{(1-b^2q^{2j}/a)(b^2/a,b,bf/a,bg/a,bh/a,b/w;q)_j}{(1-b^2/a)(q,bq/a,bq/f,bq/g,bq/h,bwq/a;q)_j}q^jW(w;bq^j,wc/a,wd/a,we/a,aq^{-j}/b;q) \end{align}
と書き換えられる.　すると, ここに出てきた二重級数は入れ替える前のものとほぼ同じような形をしていることが分かる. よって最初の議論で, $W(a;b,c,d,e,f,g;q)$を$W(w;b,wc/a,wd/a,we/a,f,g,h;q)$と二重級数の和に書き換えた操作の逆をこの和に対して行えば, 全く同様の計算によって最後に出てきた二重級数は$W(b^2/a;b,bc/a,bd/a,be/a,bf/a,bg/a,bh/a;q)$と$W(b^2/w;b,bc/a,bd/a,be/a,bf/w,bg/w,bh/w;q)$の和に書き表されることが分かる. 具体的な計算は 前の記事 で行ったことと本質的に同じなので省略する.