変形Bessel関数の積のMellin変換
第1種, 第2種の変形Bessel関数は
\begin{align}
I_{\nu}(z)&:=\sum_{0\leq n}\frac 1{n!\Gamma(\nu+n+1)}\left(\frac z2\right)^{2n+\nu}\\
K_{\nu}(z)&:=\frac{\pi}2\frac{I_{-\nu}(z)-I_{\nu}(z)}{\sin\nu\pi}
\end{align}
によって定義される.
前の記事
でBessel関数の積のMellin変換を求めたが, 今回は変形Bessel関数の積のMellin変換を求めようと思う. まず, $z\to\infty$における漸近挙動はよく知られているように,
\begin{align}
I_{\nu}(z)&\sim\frac{e^z}{\sqrt{2\pi z}}\\
K_{\nu}(z)&\sim\sqrt{\frac{\pi}{2z}}e^{-z}
\end{align}
であるから, $z\to\infty$において,
\begin{align}
I_{\mu}(z)I_{\nu}(z)&\sim \frac{e^{2z}}{2\pi z}\\
I_{\mu}(z)K_{\nu}(z)&\sim \frac 1{2z}\\
K_{\mu}(z)K_{\nu}(z)&\sim \frac{\pi}{2z}e^{-2z}
\end{align}
であるから, 1つ目を除いてMellin変換を考えることができる.
$\Re(\nu-\mu)<\Re(s)<1$のとき,
\begin{align}
\int_0^{\infty}t^{s-1}I_{\mu}(t)K_{\nu}(t)\,dt&=\frac{2^{s-2}\Gamma\left(\frac{\mu-\nu+s}2\right)\Gamma\left(\frac{\mu+\nu+s}2\right)\Gamma(1-s)}{\Gamma\left(1+\frac{\mu-\nu-s}2\right)\Gamma\left(1+\frac{\mu+\nu-s}2\right)}
\end{align}
が成り立つ.
前の記事
の定理1と
Bessel関数のMellin変換
より,
\begin{align}
&\int_0^{\infty}t^{s-1}I_{\mu}(t)K_{\nu}(t)\,dt\\
&=\int_0^{\infty}t^{s-1}\left(\int_0^{\infty}J_{\mu-\nu}(2t\sinh u)e^{-(\mu+\nu)u}\,du\right)\,dt\\
&=\int_0^{\infty}\left(\int_0^{\infty}t^{s-1}J_{\mu-\nu}(2t\sinh u)\,dt\right)e^{-(\mu+\nu)u}\,du\\
&=\frac{2^{s-1}\Gamma\left(\frac{\mu-\nu+s}2\right)}{\Gamma\left(1+\frac{\mu-\nu-s}2\right)}\int_0^{\infty}\frac{e^{-(\mu+\nu)u}}{(2\sinh u)^{s}}\,du\\
&=\frac{2^{s-2}\Gamma\left(\frac{\mu-\nu+s}2\right)}{\Gamma\left(1+\frac{\mu-\nu-s}2\right)}\int_0^1u^{\frac{\mu+\nu+s}2-1}(1-u)^{-s}\,du\qquad e^{-2u}\mapsto u\\
&=\frac{2^{s-2}\Gamma\left(\frac{\mu-\nu+s}2\right)}{\Gamma\left(1+\frac{\mu-\nu-s}2\right)}\frac{\Gamma\left(\frac{\mu+\nu+s}2\right)\Gamma(1-s)}{\Gamma\left(1+\frac{\mu+\nu-s}2\right)}
\end{align}
と示される.
$\Re(\mu+\nu)<\Re(s)$のとき,
\begin{align}
\int_0^{\infty}t^{s-1}K_{\mu}(t)K_{\nu}(t)\,dt&=\frac{2^{s-3}\Gamma\left(\frac{s+\mu+\nu}2\right)\Gamma\left(\frac{s-\mu-\nu}2\right)\Gamma\left(\frac{s+\mu-\nu}2\right)\Gamma\left(\frac{s-\mu+\nu}2\right)}{\Gamma(s)}
\end{align}
が成り立つ.
前の記事
の定理1と
変形Bessel関数のMellin変換
より,
\begin{align}
&\int_0^{\infty}t^{s-1}K_{\mu}(t)K_{\nu}(t)\,dt\\
&=2\int_0^{\infty}t^{s-1}\left(\int_0^{\infty}K_{\mu+\nu}(2t\cosh u)\cosh(\mu-\nu)u\,du\right)\,dt\\
&=2\int_0^{\infty}\left(\int_0^{\infty}t^{s-1}K_{\mu+\nu}(2t\cosh u)\,dt\right)\cosh(\mu-\nu)u\,du\\
&=2^{s-1}\Gamma\left(\frac{\mu+\nu+s}2\right)\Gamma\left(\frac{s-\mu-\nu}2\right)\int_0^{\infty}\frac{\cosh(\mu-\nu)u}{(2\cosh u)^s}\,du\\
&=2^{s-2}\Gamma\left(\frac{\mu+\nu+s}2\right)\Gamma\left(\frac{s-\mu-\nu}2\right)\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{-(\mu-\nu)u}}{(e^u+e^{-u})^s}\,du\\
&=2^{s-3}\Gamma\left(\frac{\mu+\nu+s}2\right)\Gamma\left(\frac{s-\mu-\nu}2\right)\int_0^{\infty}\frac{u^{\frac{\mu-\nu+s}{2}-1}}{(1+u)^s}\,du\qquad e^{-2u}\mapsto u\\
&=2^{s-3}\Gamma\left(\frac{\mu+\nu+s}2\right)\Gamma\left(\frac{s-\mu-\nu}2\right)\frac{\Gamma\left(\frac{\mu-\nu+s}2\right)\Gamma\left(\frac{\nu-\mu+s}2\right)}{\Gamma(s)}
\end{align}
と示される.
