Askey-RoyによるBarnesの第1補題のq類似
Barnesの第1補題
は
\begin{align}
\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\Gamma(a+s)\Gamma(b+s)\Gamma(c-s)\Gamma(d-s)\,ds&=\frac{\Gamma(a+c)\Gamma(a+d)\Gamma(b+c)\Gamma(b+d)}{\Gamma(a+b+c+d)}
\end{align}
と表される公式である.
$|a|,|b|,|c|,|d|<1$とするとき,
\begin{align}
&\frac 1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{(wce^{-i\theta},e^{i\theta}q/wc,we^{i\theta}/d,de^{-i\theta}q/w;q)_{\infty}}{(ae^{i\theta},be^{i\theta},ce^{-i\theta},de^{-i\theta};q)_{\infty}}\,d\theta\\
&=\frac{(w,q/w,wc/d,dq/wc,abcd;q)_{\infty}}{(q,ac,ad,bc,bd;q)_{\infty}}
\end{align}
が成り立つ.
前の記事
における議論より, $|c_1|,|c_2|,|d_1|,|d_2|<1$のとき,
\begin{align}
&\frac 1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{(a_1e^{i\theta},a_2e^{i\theta},b_1e^{-i\theta},b_2e^{-i\theta};q)_{\infty}}{(c_1e^{i\theta},c_2e^{i\theta},d_1e^{-i\theta},d_2e^{-i\theta};q)_{\infty}}\,d\theta\\
&=\frac{(a_1d_1,a_2d_1,b_1/d_1,b_2/d_1;q)_{\infty}}{(c_1d_1,c_2d_1,d_2/d_1,q;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(c_1d_1,c_2d_1,d_1q/b_1,d_1q/b_2;q)_n}{(q,a_1d_1,a_2d_1,d_1q/d_2;q)_n}\left(\frac{b_1b_2}{d_1d_2}\right)^n\\
&\qquad+\frac{(a_1d_2,a_2d_2,b_1/d_2,b_2/d_2;q)_{\infty}}{(c_1d_2,c_2d_2,d_1/d_2,q;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(c_1d_2,c_2d_2,d_2q/b_1,d_2q/b_1;q)_n}{(q,a_1d_2,a_2d_2,d_2q/d_1;q)_n}\left(\frac{b_1b_2}{d_1d_2}\right)^n
\end{align}
であるから, 特に
\begin{align}
&\frac 1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{(wce^{-i\theta},e^{i\theta}q/wc,we^{i\theta}/d,de^{-i\theta}q/w;q)_{\infty}}{(ae^{i\theta},be^{i\theta},ce^{-i\theta},de^{-i\theta};q)_{\infty}}\,d\theta\\
&=\frac{(q/w,wc/d,w,dq/wc;q)_{\infty}}{(ac,bc,d/c,q;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(ac,bc;q)_n}{(q,cq/d;q)_n}q^n\\
&\qquad+\frac{(dq/wc,w,wc/d,q/w;q)_{\infty}}{(ad,bd,c/d,q;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(ad,bd;q)_n}{(q,dq/c;q)_n}q^n\\
&=\frac{(q/w,wc/d,w,dq/wc;q)_{\infty}}{(ac,bc,d/c,q;q)_{\infty}}\left(\sum_{0\leq n}\frac{(ac,bc;q)_n}{(q,cq/d;q)_n}q^n+\frac{(ac,bc,d/c,q;q)_{\infty}}{(ad,bd,c/d,q;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(ad,bd;q)_n}{(q,dq/c;q)_n}q^n\right)
\end{align}
ここで,
non-terminating $q$-Vandermondeの恒等式
より,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(ac,bc;q)_n}{(q,cq/d;q)_n}q^n+\frac{(ac,bc,d/c,q;q)_{\infty}}{(ad,bd,c/d,q;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(ad,bd;q)_n}{(q,dq/c;q)_n}q^n&=\frac{(d/c,abcd;q)_{\infty}}{(ad,bd;q)_{\infty}}
\end{align}
であるから, これを代入すると,
\begin{align}
&\frac 1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{(wce^{-i\theta},e^{i\theta}q/wc,we^{i\theta}/d,de^{-i\theta}q/w;q)_{\infty}}{(ae^{i\theta},be^{i\theta},ce^{-i\theta},de^{-i\theta};q)_{\infty}}\,d\theta\\
&=\frac{(q/w,wc/d,w,dq/wc;q)_{\infty}}{(ac,bc,d/c,q;q)_{\infty}}\frac{(d/c,abcd;q)_{\infty}}{(ad,bd;q)_{\infty}}\\
&=\frac{(w,q/w,wc/d,dq/wc,abcd;q)_{\infty}}{(q,ac,bc,ad,bd;q)_{\infty}}
\end{align}
を得る.
古典的な場合と比較して, 分子に$w$に依存する項が付いているのが気になるところではあるが, $w\to 0$の極限は存在せず, 単に分子を1とした積分
\begin{align}
&\frac 1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{1}{(ae^{i\theta},be^{i\theta},ce^{-i\theta},de^{-i\theta};q)_{\infty}}\,d\theta
\end{align}
は上手く求まらないと思われる.
