実パウリ行列とトレース

パウリ行列から導かれる実パウリ行列が2次正方実行列の基底をなす構造を整理し、トレースとフロベニウス内積による成分抽出を解説します。

概要

パウリ行列は通常複素数を含みますが、$\sigma_2$を$-i\sigma_2$に置き換えることで、すべてが実行列となる組を構成できます。本記事ではこの組$\{\tau_1, \tau_2, \tau_3\}$を実パウリ行列と呼びます。単位行列と実パウリ行列の組$\{I, \tau_1, \tau_2, \tau_3\}$が2次正方実行列空間$M_2(\mathbb{R})$の基底をなすことを確認します。さらに、各基底のトレースが0になる性質を利用して、転置行列との積のトレース$\operatorname{tr}(A^\mathsf{T}B)$が係数ベクトルの標準内積に対応することと、実パウリ行列が直交基底をなすことを示します。

行列の積・転置・トレースと、ベクトル空間の基底を前提とします。量子力学の知識は必要ありません。

パウリ行列

通常のパウリ行列$\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$は以下のように定義されます。7shi-bq

$$ \sigma_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_2 = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} $$

これらは$2 \times 2$の複素行列であり、以下の関係式を満たします。

$$ \begin{aligned} \sigma_1^2 &= \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = I \\ \sigma_1\sigma_2 &= -\sigma_2\sigma_1 = i\sigma_3 \\ \sigma_2\sigma_3 &= -\sigma_3\sigma_2 = i\sigma_1 \\ \sigma_3\sigma_1 &= -\sigma_1\sigma_3 = i\sigma_2 \end{aligned} $$

実パウリ行列の構成

上記の関係式$\sigma_1\sigma_2 = i\sigma_3$を出発点とし、この式を実数のみの行列で表現することを考えます。

両辺に$-i$を掛けます。

$$ -i\sigma_1\sigma_2 = \sigma_3 $$

スカラー$-i$は行列と交換するので、次のように書けます。

$$ \sigma_1(-i\sigma_2) = \sigma_3 $$

$\sigma_1,\sigma_3$は実行列ですが、$-i\sigma_2$も実行列となります。

$$ -i\sigma_2 = -i\begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $$

よってすべて実行列の計算となります。

$$ \underbrace{\pmatrix{0&1\\1&0}}_{\sigma_1}\underbrace{\pmatrix{0&-1\\1&0}}_{-i\sigma_2}=\underbrace{\pmatrix{1&0\\0&-1}}_{\sigma_3} $$

この関係式に着目し、実パウリ行列$\tau_1, \tau_2, \tau_3$を以下のように定義します。

この定義では、$\tau_1, \tau_2, \tau_3$ は全て実行列であり、以下の関係式を満たします。

$$ \begin{aligned} \tau_1^2 = I&,\ \tau_2^2=-I,\ \tau_3^2=I \\ \tau_1\tau_2 &= -\tau_2\tau_1 = \tau_3 \\ \tau_1\tau_3 &= -\tau_3\tau_1 = \tau_2 \\ \tau_2\tau_3 &= -\tau_3\tau_2 = \tau_1 \end{aligned} $$

$\tau_2$の持つ意味

この定義で得られた$\tau_2$は、複素数を実2次元ベクトルとみなしたときの、虚数単位$i$による乗算の表現行列と見なすことができます。実際、$\tau_2$の2乗は$i^2 = -1$に対応します。

$$ \tau_2^2 = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -I $$

また、複素数$x+yi$をベクトル$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$と同一視すれば、$\tau_2$をこのベクトルに作用させることは、複素数に$i$を掛ける操作に対応します。

$$ \tau_2 \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -y \\ x \end{pmatrix} \leftrightarrow i(x+yi) = -y + ix $$

このように、$\tau_2$は虚数単位$i$の性質を表現する行列であると言えます。

2次正方実行列の基底

単位行列$I$と実パウリ行列$\tau_1, \tau_2, \tau_3$を適切に線形結合することで、任意の2次正方実行列を表現できます。

トレース

実パウリ行列のトレースは$0$です。

$$ \begin{aligned} \operatorname{tr}(\tau_1)&=\operatorname{tr}\pmatrix{0&1\\1&0}=0 \\ \operatorname{tr}(\tau_2)&=\operatorname{tr}\pmatrix{0&-1\\1&0}=0 \\ \operatorname{tr}(\tau_3)&=\operatorname{tr}\pmatrix{1&0\\0&-1}=0 \end{aligned} $$

これにより、2次正方実行列$A$を単位行列と実パウリ行列の線形結合で表せば、トレースには単位行列の項しか寄与しないことが分かります。

$$ \begin{aligned} \operatorname{tr}(A) &=\operatorname{tr}(a_0I+a_1\tau_1+a_2\tau_2+a_3\tau_3) \\ &=\operatorname{tr}(a_0I) \\ &=\operatorname{tr}\pmatrix{a_0&0\\0&a_0} \\ &=2a_0 \end{aligned} $$

つまり、トレースには単位行列の項だけが寄与し、その値を2で割ることで係数$a_0$を取り出せます。

内積

2次正方実行列の成分を並べたベクトルの内積は、トレースで書けます。

2次正方実行列$A,B$を単位行列と実パウリ行列の線形結合で表します。係数は実数とします。

$$ \begin{aligned} A&=a_0I+a_1\tau_1+a_2\tau_2+a_3\tau_3=\pmatrix{a_0+a_3&a_1-a_2\\a_1+a_2&a_0-a_3} \\ B&=b_0I+b_1\tau_1+b_2\tau_2+b_3\tau_3=\pmatrix{b_0+b_3&b_1-b_2\\b_1+b_2&b_0-b_3} \end{aligned} $$

$A$を転置すれば、係数$a_2$の符号を反転することになります。

$$ A^\mathsf{T}=\pmatrix{a_0+a_3&a_1+a_2\\a_1-a_2&a_0-a_3}=a_0I+a_1\tau_1-a_2\tau_2+a_3\tau_3 $$

$A^\mathsf{T} B$ のトレースを取ります。異なる実パウリ行列の積は別の実パウリ行列の符号倍になり、単位行列と実パウリ行列の積も実パウリ行列なので、トレースは$0$です。したがって、展開した項のうち、同じ基底行列どうしの積だけがトレースに寄与します。実パウリ行列の2乗により単位行列が現れるのに注意します。

$$ \begin{aligned} \operatorname{tr}(A^\mathsf{T} B) &=\operatorname{tr}\left[(a_0I+a_1\tau_1-a_2\tau_2+a_3\tau_3)(b_0I+b_1\tau_1+b_2\tau_2+b_3\tau_3)\right] \\ &=\operatorname{tr}(a_0b_0I^2+a_1b_1\tau_1^2-a_2b_2\tau_2^2+a_3b_3\tau_3^2) \\ &=\operatorname{tr}(a_0b_0I+a_1b_1I+a_2b_2I+a_3b_3I) \\ &=2(a_0b_0+a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3) \end{aligned} $$

同じ添え字の係数を掛けて、それらを足した値の2倍が得られました。これは基底$\{I,\tau_1,\tau_2,\tau_3\}$に関する係数をベクトルと見なしたときの内積の2倍に相当します。

この基底はフロベニウス内積について直交基底ですが、各基底行列のノルムの2乗は$2$なので、正規直交基底ではありません。各基底行列を$\sqrt2$で割ると、正規直交基底になります。係数の内積が2倍になるのはこのためです。

直交性から、各係数を内積で取り出せます。

まとめ

本記事では、パウリ行列の$\sigma_2$に$-i$を掛けて、すべて実行列となる実パウリ行列$\tau_1,\tau_2,\tau_3$を構成し、単位行列と合わせた$\{I,\tau_1,\tau_2,\tau_3\}$が2次正方実行列の基底をなすことを確認しました。実パウリ行列のトレースはすべて$0$なので、トレースを2で割ると単位行列の係数が得られます。転置との積のトレース$\operatorname{tr}(A^\mathsf TB)$（フロベニウス内積）は、基底$\{I,\tau_1,\tau_2,\tau_3\}$に関する係数ベクトルの標準内積の2倍になり、この基底は直交基底をなします。