対応 ⑩

Prop&Proof

任意に $S\subseteq A$ と $b\in B$ をとる。

1. 集合の像の定義より、
   $$ \Gamma(S) = \{y\in B\mid \exists a\in S\ ((a,y)\in R)\} $$
   である。したがって、
   $$ b\in\Gamma(S) \Longleftrightarrow \exists a\in S\ ((a,b)\in R) $$
   が成り立つ。
   $ $
2. 一方、逆対応の値による表示より、
   $$ \Gamma^{-1}(b) = \{a\in A\mid (a,b)\in R\} $$
   である。
   したがって、任意の $a\in A$ に対して、
   $$ a\in\Gamma^{-1}(b) \Longleftrightarrow (a,b)\in R $$
   が成り立つ。
   また、$S\subseteq A$ であるから、任意の $a\in S$ に対して $a\in A$ である。

-ゆえに、
$$ \exists a\in S\ ((a,b)\in R) \Longleftrightarrow \exists a\in S\ (a\in\Gamma^{-1}(b)) $$
が成り立つ。ここで、
$$ \exists a\in S\ (a\in\Gamma^{-1}(b)) $$
であることは、
$$ \Gamma^{-1}(b)\cap S\ne\varnothing $$
であることと同値である( 詳しくはコチラ )。
したがって、
$$ \begin{align} \exists a\in S\ (a\in\Gamma^{-1}(b)) &\Longleftrightarrow \exists a\ (a\in S\land a\in\Gamma^{-1}(b))\\ &\Longleftrightarrow S\cap\Gamma^{-1}(b)\ne\varnothing\\ &\Longleftrightarrow \Gamma^{-1}(b)\cap S\ne\varnothing \end{align} $$
が成り立つ。
$S\subseteq A$ と $b\in B$ は任意であったから、任意の $S\subseteq A$ と任意の $b\in B$ に対して、
$$ b\in\Gamma(S) \Longleftrightarrow \Gamma^{-1}(b)\cap S\ne\varnothing $$
が成り立つ。
$$ \Box$$

任意に $b\in B$ をとる。
制限の定義より、
$$ \Gamma|_S=(S,B,R|_S) $$
であり、
$$ R|_S=R\cap(S\times B) $$
である。
したがって、逆対応の値の定義より、
$$ (\Gamma|_S)^{-1}(b) = \{a\in S\mid (a,b)\in R|_S\} $$
である。ゆえに、
$$ \begin{align} (\Gamma|_S)^{-1}(b) &= \{a\in S\mid (a,b)\in R|_S\}\\ &= \{a\in S\mid (a,b)\in R\cap(S\times B)\} \end{align} $$
である。
ここで、$a\in S$ かつ $b\in B$ であるから、
$$ (a,b)\in S\times B $$
である。
したがって、$a\in S$ のもとでは、
$$ (a,b)\in R\cap(S\times B) \Longleftrightarrow (a,b)\in R $$
が成り立つ。
よって、
$$ \begin{align} (\Gamma|_S)^{-1}(b) &= \{a\in S\mid (a,b)\in R\}\\ &= \{a\in A\mid (a,b)\in R\}\cap S\\ &= \Gamma^{-1}(b)\cap S \end{align} $$
である。
$b\in B$ は任意であったから、任意の $b\in B$ に対して、
$$ (\Gamma|_S)^{-1}(b)=\Gamma^{-1}(b)\cap S $$
が成り立つ。
$$ \Box$$

任意に $b\in B$ をとる。
外延性により、任意の $a$ に対して、
$$ a\in\widetilde{\Gamma}^{-1}(b)\cap A \Longleftrightarrow a\in\Gamma^{-1}(b) $$
が成り立つことを示せば十分である。

1. 任意に $a$ をとる。逆対応の値の定義より、
   $$ \widetilde{\Gamma}^{-1}(b) = \{a\in A'\mid (a,b)\in\widetilde R\} $$
   である。
   したがって、共通部分の定義より、
   $$ \begin{align} a\in\widetilde{\Gamma}^{-1}(b)\cap A &\Longleftrightarrow a\in A\land a\in\widetilde{\Gamma}^{-1}(b)\\ &\Longleftrightarrow a\in A\land a\in A'\land (a,b)\in\widetilde R \end{align} $$
   である。
   ここで、$A\subseteq A'$ であるから、$a\in A$ ならば $a\in A'$ である。
   ゆえに、
   $$ a\in A\land a\in A'\land (a,b)\in\widetilde R \Longleftrightarrow a\in A\land (a,b)\in\widetilde R $$
   である。
   また、$b\in B$ であるから、$a\in A$ のもとでは、
   $$ (a,b)\in A\times B $$
   である。
   したがって、$a\in A$ のもとで、
   $$ (a,b)\in\widetilde R \Longleftrightarrow (a,b)\in\widetilde R\cap(A\times B) $$
   が成り立つ。
   拡張の定義より、
   $$ \widetilde R\cap(A\times B)=R $$
   であるから、
   $$ a\in A\land(a,b)\in\widetilde R \Longleftrightarrow a\in A\land(a,b)\in R $$
   である。
   $ $
2. 一方、逆対応の値の定義より、
   $$ \Gamma^{-1}(b)=\{a\in A\mid (a,b)\in R\} $$
   である。したがって、
   $$ a\in\Gamma^{-1}(b) \Longleftrightarrow a\in A\land(a,b)\in R $$
   である。

-以上より、
$$ a\in\widetilde{\Gamma}^{-1}(b)\cap A \Longleftrightarrow a\in\Gamma^{-1}(b) $$
が成り立つ。
$a$ は任意であったから、外延性により、
$$ \widetilde{\Gamma}^{-1}(b)\cap A=\Gamma^{-1}(b) $$
を得る。
$b\in B$ は任意であったから、任意の $b\in B$ に対して、
$$ \widetilde{\Gamma}^{-1}(b)\cap A=\Gamma^{-1}(b) $$
が成り立つ。
$$ \Box$$

任意に $b\in B$ をとる。

1. まず、既に示した命題より、$S\subseteq A$ であるから、
   $$ (\Gamma|_S)^{-1}(b) = \Gamma^{-1}(b)\cap S $$
   が成り立つ($2$つ目の命題)。
   したがって、共通部分の性質( 証明はコチラ )より
   $$ \begin{align} (\Gamma|_S)^{-1}(b) &= \Gamma^{-1}(b)\cap S\\ &\subseteq \Gamma^{-1}(b) \end{align} $$
   が成り立つ。
   また、$\widetilde{\Gamma}$ は $\Gamma$ の $A'$ への拡張であるから、既に示した命題より、
   $$ \Gamma^{-1}(b) = \widetilde{\Gamma}^{-1}(b)\cap A $$
   が成り立つ($3$つ目の命題)。
   したがって、共通部分の性質( 証明はコチラ )より
   $$ \begin{align} \Gamma^{-1}(b) &= \widetilde{\Gamma}^{-1}(b)\cap A\\ &\subseteq \widetilde{\Gamma}^{-1}(b) \end{align} $$
   が成り立つ。
   以上より、
   $$ (\Gamma|_S)^{-1}(b) \subseteq \Gamma^{-1}(b) \subseteq \widetilde{\Gamma}^{-1}(b) $$
   が成り立つ。
   $ $
2. 次に、
   $$ (\Gamma|_S)^{-1}(b) = \widetilde{\Gamma}^{-1}(b)\cap S $$
   を示す。
   既に本記事内で示した等式より、
   $$ (\Gamma|_S)^{-1}(b) = \Gamma^{-1}(b)\cap S $$
   である。また、
   $$ \Gamma^{-1}(b) = \widetilde{\Gamma}^{-1}(b)\cap A $$
   であるから、
   $$ \begin{align} (\Gamma|_S)^{-1}(b) &= \Gamma^{-1}(b)\cap S\\ &= (\widetilde{\Gamma}^{-1}(b)\cap A)\cap S\\ &= \widetilde{\Gamma}^{-1}(b)\cap(A\cap S) \end{align} $$
   である。
   ここで、$S\subseteq A$ より、
   $$ A\cap S=S $$
   である( 証明はコチラ )。
   したがって、
   $$ (\Gamma|_S)^{-1}(b) = \widetilde{\Gamma}^{-1}(b)\cap S $$
   である。
   $b\in B$ は任意であったから、任意の $b\in B$ に対して、
   $$ (\Gamma|_S)^{-1}(b) = \Gamma^{-1}(b)\cap S $$
   が成り立つ。

-したがって、任意の $b\in B$ に対して、
$$ (\Gamma|_S)^{-1}(b) \subseteq \Gamma^{-1}(b) \subseteq \widetilde{\Gamma}^{-1}(b) $$
が成り立つ。
さらに、任意の $b\in B$ に対して、
$$ (\Gamma|_S)^{-1}(b) = \widetilde{\Gamma}^{-1}(b)\cap S $$
が成り立つ。
$$ \Box$$