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Andrews-Warnaarの恒等式2

前の記事でAndrews-Warnaarによる以下の恒等式を示した.

Andrews-Warnaar(2007)

$\begin{aligned} (\sum_{0 \leq n} (- 1)^{n} q^{\frac{n (n - 1)}{2}} a^{n}) (\sum_{0 \leq n} (- 1)^{n} q^{\frac{n (n - 1)}{2}} b^{n}) & = (a, b, q; q)_{\infty} \sum_{0 \leq n} \frac{(a b / q; q)_{2 n} q^{n}}{(a, b, a b / q, q; q)_{n}} \end{aligned}$

今回は, まずこの恒等式が実は以下の Gasper-Rahmanの積公式から従うことを示す.

Gasper-Rahman(1989)

$\begin{aligned} _{2} ϕ_{1} [\begin{array}{c} a, b \\ c \end{array}; x]_{2} ϕ_{1} [\begin{array}{c} a, a q / c \\ a q / b \end{array}; x] \\ = \frac{(a x, a b x / c; q)_{\infty}}{(x, b x / c; q)_{\infty}}_{6} ϕ_{5} [\begin{array}{c} a, c / b, \sqrt{a c / b}, - \sqrt{a c / b}, \sqrt{a c q / b}, - \sqrt{a c q / b} \\ a q / b, c, a c / b, a x, c q / b x \end{array}; q] \\ + \frac{(a, c / b, a x, b x, a x q / c; q)_{\infty}}{(c, a q / b, x, x, c / b x; q)_{\infty}}_{6} ϕ_{5} [\begin{array}{c} x, a b x / c, x \sqrt{a b / c}, - x \sqrt{a b / c}, x \sqrt{a b q / c}, - x \sqrt{a b q / c} \\ a x, b x, a x q / c, b x q / c, a b x^{2} / c \end{array}; q] \end{aligned}$

定理1の証明

定理1において, $b \mapsto a q / y, c \mapsto x, x \mapsto q$ としてから, $a \to 0$ とすると,
$\begin{aligned} _{2} ϕ_{1} [\begin{array}{c} 0, 0 \\ x \end{array}; q]_{2} ϕ_{1} [\begin{array}{c} 0, 0 \\ y \end{array}; q] \\ = \frac{1}{(q; q)_{\infty}}_{4} ϕ_{3} [\begin{array}{c} \sqrt{x y / q}, - \sqrt{x y / q}, \sqrt{x y}, - \sqrt{x y} \\ x, y, x y / q \end{array}; q] \end{aligned}$
を得る. Heineの変換公式より,
$\begin{aligned} (x, q; q)_{\infty}_{2} ϕ_{1} [\begin{array}{c} 0, 0 \\ x \end{array}; q] & = \sum_{0 \leq n} (- 1)^{n} q^{\frac{n (n - 1)}{2}} x^{n} \end{aligned}$
であるから, これを用いて書き換えれば定理を得る.

Schilling-Warnaarの恒等式

前の記事では触れていなかったが, partial theta functionについての差の公式である, 以下の等式も定理1から導出できる.

Schilling-Warnaar(2002)

$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} (- 1)^{n} q^{\frac{n (n - 1)}{2}} \frac{a^{n} - b^{n}}{a - b} & = - (a q, b q, q; q)_{\infty} \sum_{0 \leq n} \frac{(a b; q)_{2 n} q^{n}}{(a q, b q, a b, q; q)_{n}} \end{aligned}$

$\begin{aligned} L (a, b) & := (\sum_{0 \leq n} (- 1)^{n} q^{\frac{n (n - 1)}{2}} a^{n}) (\sum_{0 \leq n} (- 1)^{n} q^{\frac{n (n - 1)}{2}} b^{n}) \\ = (a, b, q; q)_{\infty} \sum_{0 \leq n} \frac{(a b / q; q)_{2 n} q^{n}}{(a, b, a b / q, q; q)_{n}} \end{aligned}$
とすると,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} (- 1)^{n} q^{\frac{n (n - 1)}{2}} a^{n} & = (\sum_{0 \leq n} (- 1)^{n} q^{\frac{n (n - 1)}{2}} a^{n}) (\sum_{0 \leq n} (- 1)^{n} q^{\frac{n (n - 1)}{2}} b^{n} + \sum_{0 \leq n} (- 1)^{n} q^{\frac{n (n + 1)}{2}} b^{n + 1}) \\ = L (a, b) + b L (a, b q) \end{aligned}$
と表されるので,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} (- 1)^{n} q^{\frac{n (n - 1)}{2}} \frac{a^{n} - b^{n}}{a - b} \\ = \frac{1}{a - b} (b L (a, b q) - a L (a q, b)) \\ = \frac{1}{a - b} (b (a, b q, q; q)_{\infty} \sum_{0 \leq n} \frac{(a b; q)_{2 n} q^{n}}{(a, b q, a b, q; q)_{n}} - a (a q, b, q; q)_{\infty} \sum_{0 \leq n} \frac{(a b; q)_{2 n} q^{n}}{(a q, b, a b, q; q)_{n}}) \\ = \frac{1}{a - b} (b (a q, b q, q; q)_{\infty} \sum_{0 \leq n} \frac{(1 - a q^{n}) (a b; q)_{2 n} q^{n}}{(a q, b q, a b, q; q)_{n}} - a (a q, b q, q; q)_{\infty} \sum_{0 \leq n} \frac{(1 - b q^{n}) (a b; q)_{2 n} q^{n}}{(a q, b q, a b, q; q)_{n}}) \\ = - (a q, b q, q; q)_{\infty} \sum_{0 \leq n} \frac{(a b; q)_{2 n} q^{n}}{(a q, b q, a b, q; q)_{n}} \end{aligned}$
と示される.