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大学数学基礎解説
文献あり

保型形式入門:保型形式

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はじめに

 この記事では 前回の記事 に引き続き保型形式の基礎理論について要所を掻い摘んで解説していきます。

保型形式

 H上の関数fに対しγSL2(R)の作用を
(f|[γ]k)(z)=j(γ,z)kf(γz)
によって定める。ただしj 前の記事 で定めた保型因子とした。

準保型形式

 Fuchs群Γと整数kに対し、H上の有理型関数fであって任意のγΓに対してf|[γ]k=fつまり
f(az+bcz+d)=(cz+d)kf(z)(γ=(abcd))
を満たすもの全体をΩk(Γ)とおく。

 IΓのときはf|[I]k=(1)kfが成り立つので奇数kに対してΩk(Γ)={0}が成り立つことに注意する。

尖点における挙動

 いま
f|[γγ]k=(f|[γ]k)[γ]k
が成り立つことに注意するとfΩk(Γ),γSL2(R)に対し
f|[γ]kΩk(γ1Γγ)
がわかる。
 またΓの尖点xに対しσx=なるσSL2(R)を取ると、あるh>0によって
σΓxσ1{±I}={±(1nh01)nZ}
が成り立つので、kが偶数のときfΩk(Γ)に対し
f|[σ1]k(z+h)=f|[σ1]k(z)
と周期的になる、つまりある0<|w|<1における有理型関数g(w)によって
f|[σ1]k(z)=g(e2πiz/h)(g(w)=f|[σ1]k(h2πilogw))
と表せる。
 このgw=0における挙動によってfの尖点における挙動を次のように定める。

 fΩk(Γ)尖点xにおいて有理型であるとは、kが偶数のとき上のgw=0において有理型であることを言う。kが奇数のときはf2Ω2k(Γ)xにおいて有理型であることを言う。また尖点xにおける正則性や零点/極の位数についても同様に定める。

 第一種のFuchs群Γに対し
Ak(Γ)={fΩk(Γ)fΓ}
Mk(Γ)={fΩk(Γ)fHΓ}
Sk(Γ)={fΩk(Γ)fHΓ}
とおく。これらの元のことをそれぞれ重さk有理型保型形式正則保形形式カスプ形式と言う(有理型/正則保形形式を単に保型形式と言うことも多い)。
 特にA0(Γ)のことを保型関数体、その元のことを保型関数という。

フーリエ展開

 fΩk(Γ)が尖点xにおいて有理型であるとき、kが偶数ならgのローラン展開を考えることで
f|[σ1]k(z)=n=mcne2πinz/h
と展開することができる。
 またkが奇数でIΓならf|[σ1]k(z+2h)=f|[σ1]k(z)が成り立つので同様に
f|[σ1]k(z)=n=mcneπinz/h
と展開することができる(xが正則な尖点か非正則な尖点かによってnの偶奇が変わる)。
 これらの展開をfxにおけるフーリエ展開と言う。この展開は十分大きいlに対しIm(z)>lで絶対一様収束し、特にfH上正則ならこの展開もH上で成り立つこととなる。
 ちなみに以下の命題よりfのフーリエ展開はある程度σに依らない、例えば展開係数の比の比cncn+2cn+12などはσの取り方に依らず一定となることがわかる。

 fの尖点における零点/極の位数はσの取り方に依らずに定まる。

 σx=ρx=なるσ,ρSL2(R)に対し、σρ1を固定するのであるa,bRによって
γ=σρ1=(ab0a1)
と表せる。このときγz=a2z+abより
f|[ρ1]k(z)=(f|[σ1]k)[γ]k(z)=akg(e2πiab/he2πiz/(h/a2))
が成り立つことから主張を得る。

保型関数

 HからΓHへの自然な写像をπ:zΓzとおく。
 保型関数fは任意のγΓに対してf(γz)=f(z)を満たすのであるΓH上の有理型関数gがあって
f=gπ
が成り立つ。特にfが尖点において有理型であることはgΓHの尖点において有理型であることと言い換えられる。すなわちこれによって保型関数fΓH上の有理型関数gを同一視することができる。
 そしてこの対応から次のような重要な事実を導出することができる(Γは第一種のFuchs群としていたことに注意する)。

 正則な保型関数は定数関数に限る。

 この事実は保型形式の等式を示すのに非常に有用な定理となる。例えば重さkの保型形式f,gについての等式f=gを示したいとき
fの極はgの極となること
gの零点はfの零点となること
・ある点z0においてf(z0)=g(z0)が成り立つこと
を示せば十分となる。実際f/gは極を持たない保型関数となるので定数であり、またz=z0において1となることからf=gが得られる。

保型形式と微分形式

 上のように保型関数はΓH上の有理型関数と同一視することができたが、より一般に重さ2k(k0)の保型関数はΓH上の微分k-形式と同一視することができる。
 微分k-形式とはある座標近傍系{(Uλ,φλ)}に対して
fα(z)=f(φβφα1(z))(d(φβφα1)dz)k
を満たす関数の族(fλ(z))あるいは微分k-形式の族ω=(fλ(z)dzk)のことを言う。
 重さ2kの保型形式fΓHの座標変換zγz(γΓ)に対して
f(γz)(d(γz)dz)k=(cz+d)2kf(z)1(cz+d)2k=f(z)
を満たすのでω=(f(z)dzk)は微分k-形式となる。
 この対応を考えることでM2k(Γ)S2k(Γ)C-線形空間としての次元を求めることなどができるが、少し込み入った話となるのでこの記事では扱わない。興味があれば このPDF のp.24-などを参照されたい。

参考文献

[1]
土井公二, 三宅敏恒, 保型形式と整数論, 紀伊國屋書店, 1973
投稿日:2023724
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投稿者

子葉
子葉
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主に複素解析、代数学、数論を学んでおります。 私の経験上、その証明が簡単に探しても見つからない、英語の文献を漁らないと載ってない、なんて定理の解説を主にやっていきます。 同じ経験をしている人の助けになれば。最近は自分用のノートになっている節があります。

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