Henriciの三重積公式
前の記事( 超幾何級数の積 , 超幾何級数の積2 )において, 超幾何級数の積を再び超幾何級数で表すタイプの公式を示したが, それらは全て2つの積に関するものだった. 今回は超幾何級数の3つの積が再び超幾何級数になる以下のような公式を示す.
$\omega:=e^{\frac{2\pi i}3}$とするとき,
\begin{align}
&\F01{-}{a}x\F01{-}{a}{\omega x}\F01{-}{a}{\omega^2x}\\
&=\F27{\frac{a}2-\frac 14,\frac{a}2+\frac 14}{a,\frac a3,\frac{a+1}3,\frac{a+2}3,\frac{2a-1}3,\frac{2a}3,\frac{2a+1}3}{\left(\frac 49x\right)^3}
\end{align}
が成り立つ.
${}_0F_1$はBessel関数として古くから研究されてきたが, 上の等式が示されたのは1987年と比較的最近である. 超幾何級数が何らかの累乗になっている場合や指数関数で書ける場合を除いて, パラメータが入った超幾何級数の3つの積が再び超幾何級数で表されるというタイプの結果は他に見たことが無い.
超幾何級数が何らかの累乗になっている場合として, 例えば${}_1F_0$の場合,
\begin{align}
\F10{a}{-}x=(1-x)^{-a}
\end{align}
であるので,
\begin{align}
\F10{a}{-}{x}\F10{a}{-}{\omega x}\F10{a}{-}{\omega^2 x}&=(1-x^3)^{-a}\\
&=\F10{a}{-}{x^3}
\end{align}
と表される.
定理の証明の前にいくつか補題を用意する. Appellの超幾何関数を
\begin{align}
\F{}2{a,b,c}{d,e}{x,y}:=\sum_{0\leq n,m}\frac{(a)_{n+m}(b)_n(c)_m}{n!m!(d)_n(e)_m}x^ny^m\\
\F{}4{a,b}{c,d}{x,y}:=\sum_{0\leq n,m}\frac{(a,b)_{n+m}}{n!m!(c)_n(d)_m}x^ny^m
\end{align}
とする.
\begin{align} \F{}4{a,a+\frac 12-b}{c,b+\frac 12}{x,y^2}&=(1+y)^{-2a}\F{}2{a,a+\frac 12-b,b}{c,2b}{\frac{x}{(1+y)^2},\frac{4y}{(1+y)^2}} \end{align}
\begin{align}
\F{}4{a,a+\frac 12-b}{c,b+\frac 12}{x,y^2}&=\sum_{0\leq n,m}\frac{\left(a,a+\frac 12-b\right)_{n+m}}{n!m!(c)_n\left(b+\frac 12\right)_m}x^ny^{2m}\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{\left(a,a+\frac 12-b\right)_{n}}{n!(c)_n}x^n\F21{a+n,a+\frac 12-b+n}{b+\frac 12}{y^2}
\end{align}
ここで, ${}_2F_1$の二次変換公式
\begin{align}
\F21{a,a+\frac 12-b}{b+\frac 12}{y^2}&=\frac 1{(1+y)^{2a}}\F21{a,b}{2b}{\frac{4y}{(1+y)^2}}
\end{align}
において, $a\mapsto a+n$として,
\begin{align}
\F21{a+n,a+\frac 12-b+n}{b+\frac 12}{y^2}&=\frac 1{(1+y)^{2a+2n}}\F21{a+n,b}{2b}{\frac{4y}{(1+y)^2}}
\end{align}
を得る. よって,
\begin{align}
\F{}4{a,a+\frac 12-b}{c,b+\frac 12}{x,y^2}&=(1+y)^{-2a}\sum_{0\leq n}\frac{\left(a,a+\frac 12-b\right)_{n}}{n!(c)_n}\left(\frac{x}{(1+y)^2}\right)^n\F21{a+n,b}{2b}{\frac{4y}{(1+y)^2}}\\
&=(1+y)^{-2a}\sum_{0\leq n}\frac{(a)_{n+m}\left(a+\frac 12-b\right)_{n}(b)_m}{n!m!(c)_n(2b)_m}\left(\frac{x}{(1+y)^2}\right)^n\left(\frac{4y}{(1+y)^2}\right)^m
\end{align}
が得られる.
$a=-n$が負整数のとき,
\begin{align}
\F{}2{a,b,c}{d,e}{1,x}&=\frac{(d-b)_n}{(d)_n}\sum_{0\leq m}\frac{(a,c,1+a-d)_m}{m!(e,1+a+b-d)_m}x^m
\end{align}
Gaussの超幾何定理より,
\begin{align}
\F{}2{a,b,c}{d,e}{1,x}&=\sum_{0\leq n,m}\frac{(a)_{n+m}(b)_n(c)_m}{n!m!(d)_n(e)_m}x^m\\
&=\sum_{0\leq m}\frac{(a)_{n+m}(b)_n(c)_m}{n!m!(d)_n(e)_m}x^m\F21{a+m,b}{e}1\\
&=\sum_{0\leq m}\frac{(a,c)_m}{m!(e)_m}x^m\F21{a+m,b}{d}1\\
&=\sum_{0\leq m}\frac{(a,c)_m}{m!(e)_m}x^m\frac{\Gamma(d)\Gamma(d-a-b-m)}{\Gamma(d-a-m)\Gamma(d-b)}\\
&=\frac{(d-b)_n}{(d)_n}\sum_{0\leq m}\frac{(a,c,1+a-d)_m}{m!(e,1+a+b-d)_m}x^m
\end{align}
となって示される.
$n=3k$のとき,
\begin{align}
\F32{-n,a-\frac 12,1-n-a}{2a-1,2-2a-2n}{4}&=\frac{(3k)!\left(a-\frac 12\right)_{2k}}{4^kk!(a)_k\left(a-\frac 12\right)_{3k}}
\end{align}
が成り立つ.
Baileyによる3次変換公式
\begin{align}
\F32{3a,b,3a-b+\frac 12}{2b,6a-2b+1}{4x}&=(1-x)^{-3a}\F32{a,a+\frac 13,a+\frac 23}{b+\frac 12,3a-b+1}{\frac{27x^2}{4(1-x)^3}}
\end{align}
において, $a=-n$とすると, 右辺は
\begin{align}
(1-x)^{3n}\F32{-n,-n+\frac 13,-n+\frac 23}{b+\frac 12,1-3n-b}{\frac{27x^2}{4(1-x)^3}}
\end{align}
となる. ここで, $x\to 1$とすると, 超幾何級数の定数項だけが残り, それは
\begin{align}
\frac{(3n)!(b)_{2n}}{4^nn!\left(b+\frac 12\right)_n(b)_{3n}}
\end{align}
に一致する. よって,
\begin{align}
\F32{-3n, b, -3n-b+\frac 12}{2b,1-6n-2b}{4}&=\frac{(3n)!(b)_{2n}}{4^nn!\left(b+\frac 12\right)_n(b)_{3n}}
\end{align}
を得る. $b\mapsto a-\frac 12, n\mapsto k$とすれば, 示すべき等式になる.
以下は, Karlsson-Srivastavaによる1990年の証明である.
まず, 左辺の$3k+1,3k+2$次の係数は$0$である. 左辺を展開すると,
\begin{align}
&\F01{-}{a}x\F01{-}{a}{\omega x}\F01{-}{a}{\omega^2x}\\
&=\sum_{0\leq n}x^n\sum_{0\leq i,j}\frac{\omega^i\omega^{2j}}{i!(a)_ij!(a)_j(n-i-j)!(a)_{n-i-j}}\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{x^n}{n!(a)_n}\sum_{0\leq i,j}\frac{(-n,1-n-a)_{i+j}}{i!(a)_ij!(a)_j}\omega^i\omega^{2j}\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{x^n}{n!(a)_n}\F{}4{-n,1-n-a}{a,a}{\omega,\omega^2}
\end{align}
となる. ここで, 補題2, 補題3, 補題4を用いると, $n=3k$のとき,
\begin{align}
\F{}4{-n,1-n-a}{a,a}{\omega,\omega^2}&=\omega^n\F{}2{-n,1-n-a,a-\frac 12}{a,2a-1}{1,4}\\
&=\frac{4^n\left(a-\frac 12\right)_n}{(2a-1)_n}\F32{-n,a-\frac 12,1-n-a}{2a-1,2-2a-2n}{4}\\
&=\frac{2^{4k}(3k)!\left(a-\frac 12\right)_{2k}}{(2a-1)_{3k}k!(a)_k}
\end{align}
であるから, これを代入して定理を得る.
この等式は
\begin{align}
\F01{-}{a}x\F01{-}{a}{\omega x}\F01{-}{a}{\omega^2x}&=\sum_{0\leq n}\frac{\left(2a-1\right)_{2n}}{n!(a)_n(a)_{2n}(a,2a-1)_{3n}}x^{3n}
\end{align}
と書くこともできる. 例として, $a=1$の場合,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{x^n}{n!^2}\sum_{0\leq m}\frac{(\omega x)^m}{m!^2}\sum_{0\leq l}\frac{(\omega^2x)^l}{l!^2}&=\sum_{0\leq n}\frac{(4n)!}{n!^2(2n)!(3n)!^2}x^{3n}
\end{align}
が成り立つ.
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