文献あり

有限群に関するCauchyの定理

395

準備

$G$ を $p$ 群とし $X$ を有限 $G$ 集合とする．このとき
$# X \equiv # X^{G} (\mod p)$
が成り立つ．

$G$ を有限群とし $g \in G$ とする．準同型
$g^{∙} : Z \to G; k \mapsto g^{k}$
の核を $n Z, n \in Z_{> 0},$ とおくと，準同型定理より $Z / n Z ≅ ⟨ g ⟩$ であるから， $n = # ⟨ g ⟩$ となる．したがって，任意の $m \in Z$ に対して
$g^{m} = e ⟺ m \in Ker (g^{∙}) ⟺ # ⟨ g ⟩ ∣ m$
が成り立つ．

$X$ を有限集合， $f : X \to X$ を写像とし， $p$ を素数とする．このとき $f^{p} = {id}_{X}$ が成り立つならば，
$# X \equiv # X^{f} (\mod p)$
が成り立つ．

$Sym (X)$ は有限群であることに注意する．仮定 $f^{p} = {id}_{X}$ より $f \in Sym (X)$ および $# ⟨ f ⟩ ∣ p$ が成り立つので， $⟨ f ⟩ < Sym (X)$ は $p$ 部分群である．よって
$# X \equiv # X^{⟨ f ⟩} = # X^{f} (\mod p)$
が成り立つ．

Cauchyの定理とその系

Cauchy

$G$ を有限群とし $p$ を素数とする．このとき $p ∣ # G$ ならば
$# {g \in G ∣ g^{p} = e} \equiv 0 (\mod p)$
が成り立つ．とくに（ $e \in {g \in G ∣ g^{p} = e} \neq \emptyset$ ゆえ） $g \in G$ であって $# ⟨ g ⟩ = p$ なるものが存在する．

前回の記事では，後半の主張をSylowの定理から導いたのだった．

有限集合 $X$ を
$X = {(g_{1}, \dots, g_{p}) \in G^{p} ∣ g_{1} \dots g_{p} = e}$
で定める． $# X = (# G)^{p - 1}$ に注意する．

任意の $(g_{1}, g_{2}, \dots, g_{p}) \in X$ に対して
$g_{2} \dots g_{p} g_{1} = g_{1}^{- 1} (g_{1} g_{2} \dots g_{p}) g_{1} = g_{1}^{- 1} e g_{1} = e$
より $(g_{2}, \dots, g_{p}, g_{1}) \in X$ が成り立つので，写像 $f : X \to X$ を
$f (g_{1}, g_{2}, \dots, g_{p}) = (g_{2}, \dots, g_{p}, g_{1})$
で定めることができる．明らかに $f^{p} = {id}_{X}$ が成り立つので， $p ∣ # G$ より
$# X^{f} \equiv # X \equiv 0 (\mod p)$
が成り立つ．

ここで， $(g_{1}, g_{2}, \dots, g_{p}) \in X^{f}$ とすると
$(g_{1}, g_{2}, \dots, g_{p}) = f (g_{1}, g_{2}, \dots, g_{p}) = (g_{2}, \dots, g_{p}, g_{1})$
より
$g_{1} = g_{2} = \dots = g_{p} =: g$
となるので， $g^{p} = e$ が成り立つ．逆に $g^{p} = e$ ならば $(g, \dots, g) \in X^{f}$ が成り立つ．よって
$# {g \in G ∣ g^{p} = e} = # X^{f} \equiv 0 (\mod p)$
が成り立つ．

上の証明において $G = Z / n Z$ を考えると， $p ∤ n$ のとき $X^{f} = {(e, \dots, e)}$ であるから
$n^{p - 1} = # X \equiv # X^{f} = 1 (\mod p)$
が成り立つことがわかる．（Fermatの小定理）

$G$ を有限群， $p$ を素数とし， $p ∣ # G$ とする．このとき位数 $p$ の部分群 $H < G$ の数は $mod p$ で $1$ に等しい．

$k = # {H < G ∣ # H = p}$ とおくと，
$k (p - 1) + 1 = # {g \in G ∣ g^{p} = e} \equiv 0 (\mod p)$
より
$k \equiv 1 (\mod p)$
を得る．

任意の素数 $p$ に対して
$(p - 1)! \equiv - 1 (\mod p)$
が成り立つ．（Wilsonの定理）

$G = S_{p}$ とおくと， $p ∣ p! = # G$ より
$# {g \in G ∣ g^{p} = e} \equiv 0 (\mod p)$
が成り立つ．ところで
${g \in G ∣ g^{p} = e} = {e} ⊔ {p -cycles}$
より
$# {g \in G ∣ g^{p} = e} = 1 + \frac{p!}{p} = 1 + (p - 1)!$
が成り立つので，結論を得る．