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有限群に関するCauchyの定理

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準備

$G$を$p$群とし$X$を有限$G$集合とする．このとき
$$ \#X \equiv \#X^{G} \pmod p$$
が成り立つ．

$G$を有限群とし$g \in G$とする．準同型
$$ g^{\bullet} \colon \mathbb{Z} \to G;\ k \mapsto g^{k}$$
の核を$n\mathbb{Z},\, n\in \mathbb{Z}_{>0},$とおくと，準同型定理より$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \cong \langle g \rangle$であるから，$n = \#\langle g \rangle$となる．したがって，任意の$m \in \mathbb{Z}$に対して
$$ g^{m} = e \iff m \in \Ker(g^{\bullet}) \iff \#\langle g \rangle \mid m$$
が成り立つ．

$X$を有限集合，$f \colon X \to X$を写像とし，$p$を素数とする．このとき$f^{p} = \id_{X}$が成り立つならば，
$$ \#X \equiv \#X^{f} \pmod p$$
が成り立つ．

$\Sym(X)$は有限群であることに注意する．仮定$f^{p} = \id_{X}$より$f \in \Sym(X)$および$\#\langle f \rangle \mid p$が成り立つので，$\langle f \rangle < \Sym(X)$は$p$部分群である．よって
$$ \#X \equiv \#X^{\langle f \rangle} = \#X^{f} \pmod p$$
が成り立つ．

Cauchyの定理とその系

Cauchy

$G$を有限群とし$p$を素数とする．このとき$p \mid \#G$ならば
$$ \#\{g \in G \mid g^{p} = e\} \equiv 0 \pmod p$$
が成り立つ．とくに（$e \in \{g \in G \mid g^{p} = e\} \neq \varnothing$ゆえ）$g \in G$であって$\#\langle g \rangle = p$なるものが存在する．

前回の記事では，後半の主張をSylowの定理から導いたのだった．

有限集合$X$を
$$ X = \{(g_{1},\ldots,g_{p}) \in G^{p} \mid g_{1} \cdots g_{p} = e\}$$
で定める．$\#X = (\#G)^{p-1}$に注意する．

任意の$(g_{1},g_{2},\ldots,g_{p}) \in X$に対して
$$ g_{2}\cdots g_{p}g_{1} = g_{1}^{-1}(g_{1}g_{2} \cdots g_{p})g_{1} = g_{1}^{-1}eg_{1} = e$$
より$(g_{2},\ldots,g_{p},g_{1}) \in X$が成り立つので，写像$f \colon X \to X$を
$$ f(g_{1},g_{2},\ldots,g_{p}) = (g_{2},\ldots,g_{p},g_{1})$$
で定めることができる．明らかに$f^{p} = \id_{X}$が成り立つので，$p \mid \#G$より
$$ \#X^{f} \equiv \#X \equiv 0 \pmod p$$
が成り立つ．

ここで，$(g_{1},g_{2},\ldots,g_{p}) \in X^{f}$とすると
$$ (g_{1},g_{2},\ldots,g_{p}) = f(g_{1},g_{2},\ldots,g_{p}) = (g_{2},\ldots,g_{p},g_{1})$$
より
$$ g_{1} = g_{2} = \cdots = g_{p} =: g$$
となるので，$g^{p} = e$が成り立つ．逆に$g^{p} = e$ならば$(g,\ldots,g) \in X^{f}$が成り立つ．よって
$$ \#\{g \in G \mid g^{p} = e\} = \#X^{f} \equiv 0 \pmod p$$
が成り立つ．

上の証明において$G = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$を考えると，$p \nmid n$のとき$X^{f} = \{(e,\ldots,e)\}$であるから
$$ n^{p-1} = \#X \equiv \#X^{f} = 1 \pmod p$$
が成り立つことがわかる．（Fermatの小定理）

$G$を有限群，$p$を素数とし，$p \mid \#G$とする．このとき位数$p$の部分群$H < G$の数は$\bmod p$で$1$に等しい．

$k = \#\{H < G \mid \#H = p\}$とおくと，
$$ k(p-1) + 1 = \#\{g \in G \mid g^{p} = e\} \equiv 0 \pmod p$$
より
$$ k \equiv 1 \pmod p$$
を得る．

任意の素数$p$に対して
$$ (p-1)! \equiv -1 \pmod p$$
が成り立つ．（Wilsonの定理）

$G = \mathfrak{S}_{p}$とおくと，$p \mid p! = \#G$より
$$ \#\{g \in G \mid g^{p} = e\} \equiv 0 \pmod p$$
が成り立つ．ところで
$$ \{g \in G \mid g^{p} = e\} = \{e\} \sqcup \{\text{$p$-cycles}\}$$
より
$$ \#\{g \in G \mid g^{p} = e\} = 1 + \frac{p!}{p} = 1 + (p-1)!$$
が成り立つので，結論を得る．

定理2に関して，つぎの一般化が知られている：

Frobenius

$G$を有限群とし$n \in \mathbb{Z}_{> 0}$とする．このとき$n \mid \#G$ならば
$$ \#\{g \in G \mid g^{n} = e\} \equiv 0 \pmod n$$
が成り立つ．

証明は，たとえば