群，準同型，部分群の定義と簡単な性質については知っているものとします．
$X$を集合とする．集合
$$
\Sym(X) := \{f \colon X \to X \mid f\,\text{は全単射}\}$$
は写像の合成$(f,g) \mapsto f \circ g$を積として群をなす．これを$X$上の対称群という．とくに正整数$n \in \mathbb{Z}_{> 0}$に対して，$\mathfrak{S}_{n} := \Sym(\{1,\ldots,n\})$を$n$次対称群という．
$G$を群，$X$を集合とする．準同型$\alpha \colon G \to \Sym(X)$を$G$による$X$への（左）作用という．組$(X,\alpha)$または単に$X$を$G$集合という．$\alpha(g)(x)$をしばしば$g \cdot x$と略記する．
$\alpha \colon G \to \Sym(X)$を作用とする．このとき写像$\check{\alpha} \colon G \times X \to X$を
$$
\check{\alpha}(g,x) = \alpha(g)(x)$$
で定めると，次が成り立つ：
逆に写像$\check{\alpha} \colon G \times X \to X$が上の2条件を満たすとき，各$g \in G$に対して写像
$$
\check\alpha_{g} \colon X \to X;\ x \mapsto \check{\alpha}(g,x)$$
は全単射であり，写像
$$
\alpha \colon G \to \Sym(X);\ g \mapsto \check\alpha_{g}$$
は準同型となる．
$X$を集合とする．このとき恒等写像$\Sym(X) \to \Sym(X)$は群$\Sym(X)$による集合$X$への作用を定める．
$X$を集合とする．$f \in \Sym(X)$に対して，冪集合の間の写像$\mathcal{P}(f) \colon \mathcal{P}(X) \to \mathcal{P}(X)$を
$$
\mathcal{P}(f)(A) = f(A)$$
で定めると，これは全単射であり，写像
$$
\Sym(X) \to \Sym(\mathcal{P}(X));\ f \mapsto \mathcal{P}(f)$$
は準同型となる．
作用$\alpha \colon G \to \Sym(X)$に対して，合成$G \xrightarrow{\alpha} \Sym(X) \to \Sym(\mathcal{P}(X))$を$\mathcal{P}_{*}\alpha$で表わす：
$$
(\mathcal{P}_{*}\alpha)(g) = \mathcal{P}(\alpha(g)).$$
準同型$G \to \{\id_{X}\} \subset \Sym(X)$を自明な作用という．
$G$を群とする．各$g \in G$に対して写像$\lambda_{g} \colon G \to G$を$\lambda_{g}(h) = gh$で定めると，$\lambda_{g} \circ \lambda_{g^{-1}} = \id_{G} = \lambda_{g^{-1}} \circ \lambda_{g}$より$\lambda_{g}$は全単射である．そこで写像$\lambda \colon G \to \Sym(G)$を$\lambda(g) = \lambda_{g}$で定めると，これは準同型である．実際
$$
\lambda(gg')(h) = gg'h = (\lambda(g) \circ \lambda(g'))(h)$$
より$\lambda(gg') = \lambda(g) \circ \lambda(g')$が成り立つ．準同型$\lambda$を左正則作用という．さらに
$$
\lambda(g) = \lambda(g') \implies g = \lambda_{g}(e) = \lambda_{g'}(e) = g'$$
より$\lambda$は単射である．
$G$を群とする．各$g \in G$に対して写像$\Inn_{g} \colon G \to G$を
$$
\Inn_{g}(h) = ghg^{-1}$$
で定めると，これは同型写像である．実際，$\Inn_{g} \circ \Inn_{g^{-1}} = \id_{G} = \Inn_{g^{-1}} \circ \Inn_{g}$より$\Inn_{g}$は全単射であり，
$$
\Inn_{g}(hh') = g(hh')g^{-1} = (ghg^{-1})(gh'g^{-1}) = \Inn_{g}(h) \cdot \Inn_{g}(h')$$
より$\Inn_{g}$は準同型である．そこで写像$\Inn \colon G \to \Sym(G)$を$\Inn(g) = \Inn_{g}$で定めると，これは準同型である．実際
$$
\Inn(gg')(h) = (gg')h(gg')^{-1} = g(g'hg'^{-1})g^{-1} = (\Inn(g) \circ \Inn(g'))(h)$$
より$\Inn(gg') = \Inn(g) \circ \Inn(g')$が成り立つ．準同型$\Inn$を共軛作用という．
反準同型$\beta \colon G \to \Sym(X)$を$G$による$X$への右作用という：
$$
\beta(gg') = \beta(g') \circ \beta(g).$$
右作用は，写像$\check{\beta} \colon X \times G \to X$であって
を満たすものと同等である．
$\alpha \colon G \to \Sym(X)$を左作用とする．このとき写像
$$
\beta \colon G \to \Sym(X);\ g \mapsto \alpha(g^{-1})$$
は右作用である．実際
$$
\beta(gg') = \alpha((gg')^{-1}) = \alpha(g'^{-1}g^{-1}) = \alpha(g'^{-1}) \circ \alpha(g^{-1}) = \beta(g') \circ \beta(g)$$
が成り立つ．逆も然り．
$G$を群とする．各$g \in G$に対して写像$\rho_{g} \colon G \to G$を$\rho_{g}(h) = hg$で定めると，$\rho_{g} \circ \rho_{g^{-1}} = \id_{G} = \rho_{g^{-1}} \circ \rho_{g}$より$\rho_{g}$は全単射である．そこで写像$\rho \colon G \to \Sym(G)$を$\rho(g) = \rho_{g}$で定めると，これは反準同型である．実際
$$
\rho(gg')(h) = hgg' = (\rho(g') \circ \rho(g))(h)$$
より$\rho(gg') = \rho(g') \circ \rho(g)$が成り立つ．さらに
$$
\rho(g) = \rho(g') \implies g = \rho_{g}(e) = \rho_{g'}(e) =g'$$
より$\rho$は単射である．
以下，おもに左作用について考えることとし，右作用に関する並行した議論は割愛する．
$\alpha \colon G \to \Sym(X)$を作用とする．準同型$\varphi \colon H \to G$に対して，合成$\varphi^{*}\alpha := \alpha \circ \varphi \colon H \to G \to \Sym(X)$は$H$による$X$への作用を定める．
$\alpha \colon G \to \Sym(X)$を作用とし，$\theta \colon X \to Y$を全単射とする．このとき，
$$
g \cdot y := (\theta \circ \alpha(g) \circ \theta^{-1})(y)$$
により$Y$は$G$集合となる：
$$
\xymatrix{
{X} \ar[r]^{\alpha(g)} \ar[d]_{\theta} & {X} \ar[d]^{\theta}\\
{Y} \ar[r]_{g \cdot} & {Y.}
}$$
$X,Y$を$G$集合とする．このとき
$$
g \cdot (x,y) := (g \cdot x, g \cdot y)$$
により，$X \times Y$は$G$集合となる．
$X,Y$を$G$集合とする．このとき
$$
(g \cdot f)(x) := g \cdot f(g^{-1} \cdot x)$$
により，$\Map(X,Y)$は$G$集合となる．実際
\begin{align}
((gg') \cdot f)(x)
&= gg' \cdot f((gg')^{-1} \cdot x)\\
&= gg' \cdot f(g'^{-1}g^{-1} \cdot x)\\
&= g \cdot (g' \cdot f(g'^{-1} \cdot (g^{-1} \cdot x)))\\
&= g \cdot (g' \cdot f)(g^{-1} \cdot x)\\
&= (g \cdot (g' \cdot f))(x)
\end{align}
より，$gg' \cdot f = g \cdot (g' \cdot f)$が成り立つ．また明らかに$e \cdot f = f$が成り立つ．
$X$を集合とする．このとき
$$
g \cdot (x_{1},\ldots,x_{n}) := (x_{g^{-1}(1)},\ldots,x_{g^{-1}(n)})$$
により，$X^{n}$は$\mathfrak{S}_{n}$集合となる．実際，$y_{i} = x_{g'^{-1}(i)}$とおくことで，
\begin{align}
gg' \cdot (x_{1},\ldots,x_{n})
&= (x_{(gg')^{-1}(1)},\ldots,x_{(gg')^{-1}(n)})\\
&= (x_{g'^{-1}(g^{-1}(1))},\ldots, x_{g'^{-1}(g^{-1}(n))})\\
&= (y_{g^{-1}(1)}, \ldots, y_{g^{-1}(n)})\\
&= g \cdot (y_{1}, \ldots, y_{n})\\
&= g \cdot (x_{g'^{-1}(1)}, \ldots, x_{g'^{-1}(n)})\\
&= g \cdot (g' \cdot (x_{1}, \ldots, x_{n}))
\end{align}
が成り立つことがわかる．また明らかに$e \cdot (x_{1},\ldots,x_{n}) = (x_{1},\ldots,x_{n})$が成り立つ．
$(X,\alpha)$を$G$集合とし，$R \subset X \times X$を同値関係とする．
$$
(x,y) \in R \implies (g \cdot x, g \cdot y) \in R$$
が成り立つとき，$R$は$\alpha$と両立するという．このとき，各$g \in G$に対して全単射$\alpha_{R}(g) \colon X/R \to X/R$であって
$$
\alpha_{R}(g) \circ \pi = \pi \circ \alpha(g)$$
を満たすものがただひとつ存在する：
$$
\xymatrix{
{X} \ar[r]^{\alpha(g)} \ar[d]_{\pi} & {X} \ar[d]^{\pi}\\
{X/R} \ar@{.>}[r]_{\alpha_{R}(g)} & {X/R.}
}$$
写像$\alpha_{R} \colon G \to \Sym(X/R)$は準同型である．実際，
\begin{align}
\alpha_{R}(gg') \circ \pi
&= \pi \circ \alpha(gg')\\
&= \pi \circ \alpha(g) \circ \alpha(g')\\
&= \alpha_{R}(g) \circ \pi \circ \alpha(g')\\
&= \alpha_{R}(g) \circ \alpha_{R}(g') \circ \pi
\end{align}
より，$\alpha_{R}(gg') = \alpha_{R}(g) \circ \alpha_{R}(g')$が成り立つ．よって$(X/R,\alpha_{R})$は$G$集合である．
$\alpha \colon G \to \Sym(X)$を作用とする．
部分集合$S \subset G$に対して，$X$の部分集合
$$
X^{\alpha,S} := X^{S} := \{x \in X \mid \forall s \in S,\ s \cdot x = x\}$$
の元を$S$による不動点，固定点などという．また$g \in G$に対して$X^{\{g\}}$を$X^{g}$と略記する．
部分集合$A \subset X$に対して，$G$の部分群
$$
\{g \in G \mid \forall a \in A,\ g \cdot a = a\}$$
を$\Fix_{\alpha}(A),\,\Fix_{G}(A),\,\Fix(A)$などで表わす．
写像$\gamma \colon \mathcal{P}(G) \to \mathcal{P}(X),\,\delta \colon \mathcal{P}(X) \to \mathcal{P}(G)$をそれぞれ
$$
\gamma(S) = X^{S};\ \delta(A) = \Fix(A)$$
で定める．このとき次が成り立つ：
任意の部分集合$S \subset G$に対して
$$
X^{S} = X^{\langle S \rangle}$$
が成り立つ．
$\alpha \colon G \to \Sym(X)$を作用とする．
作用$\mathcal{P}_{*}\alpha$の不動点，すなわち部分集合$Y \subset X$であって
$$
\forall g \in G,\ \alpha(g)(Y) = Y$$
を満たすものを$\alpha$安定部分集合という．
$Y \subset X$を$\alpha$安定部分集合とする．このとき各$g \in G$に対して全単射
$$
\alpha(g)^{Y} \colon Y \to Y;\ y \mapsto g \cdot y$$
が定まり，
$$
G \to \Sym(Y);\ g \mapsto \alpha(g)^{Y}$$
は$G$による$Y$への作用を定める．これを$\alpha^{Y}$で表わす．
$Y \subset X$とする．このとき次は同値である：
明らか．
$g \in G$とする．仮定より$\alpha(g^{\pm 1})(Y) \subset Y$が成り立つ．したがって
$$
\alpha(g)(Y) \subset Y = \alpha(g)(\alpha(g^{-1})(Y)) \subset \alpha(g)(Y)$$
が成り立つ．
$\alpha \colon G \to \Sym(X)$を作用とする．
各$x \in X$に対して，
$$
\Orb_{\alpha}(x) := G \cdot x := \{g \cdot x \in X \mid g \in G\}$$
を$x$の$\alpha$軌道，$G$軌道などといい，
$$
\Stab_{\alpha}(x) := G_{x} := \Fix_{\alpha}(\{x\}) = \{g \in G \mid g \cdot x = x\}$$
を$x$の安定化群という．
任意の$x \in X$に対して，その$\alpha$軌道$\Orb_{\alpha}(x) \subset X$は$\alpha$安定部分集合である．
任意の部分集合$S \subset G$に対して
$$
X^{S} = \{x \in X \mid S \subset G_{x}\}$$
が成り立つ．したがって任意の$x \in X$に対して
$$
x \in X^{G} \iff G_{x} = G$$
が成り立つ．
任意の$(g,x) \in G \times X$に対して
$$
\Stab_{\alpha}(g \cdot x) = \Inn_{g}(\Stab_{\alpha}(x))$$
が成り立つ．実際，
\begin{align}
h \in \Stab_{\alpha}(g \cdot x)
&\iff h \cdot (g \cdot x) = g \cdot x\\
&\iff g^{-1}hg \cdot x = x\\
&\iff \Inn_{g^{-1}}(h) = g^{-1}hg \in \Stab_{\alpha}(x)\\
&\iff h \in \Inn_{g}(\Stab_{\alpha}(x))
\end{align}
が成り立つ．
任意の部分集合$A \subset X$に対して
$$
\Fix_{\alpha}(A) = \bigcap_{a \in A} \Stab_{\alpha}(a)$$
が成り立つ．また
$$
\Ker(\alpha) = \bigcap_{x \in X} \Stab_{\alpha}(x)$$
が成り立つ．実際，
\begin{align}
g \in \Ker(\alpha)
&\iff \alpha(g) = \id_{X}\\
&\iff \forall x \in X,\ g \cdot x = x\\
&\iff \forall x \in X,\ g \in \Stab_{\alpha}(x)\\
&\iff g \in \bigcap_{x \in X} \Stab_{\alpha}(x)
\end{align}
が成り立つ．
自由な作用は効果的作用である．
$X$を$G$集合とする．このとき次は同値である：
仮定より$x_{0} \in X$であって$X = G \cdot x_{0}$となるものが存在する．このとき，任意の$x \in X$に対して，$x \in G \cdot x_{0}$より$G \cdot x = G \cdot x_{0} = X$が成り立つ（cf. 補題6）．
$\exists x \in X \neq \varnothing$ゆえ$X = G \cdot x$が成り立つ．
$X$を推移的$G$集合とする．このとき，ある1点$x_{0}$における安定化群が自明ならば，作用は自由である．実際，任意の$x \in X = G \cdot x_{0}$に対して
$$
G_{x} = G_{\prescript{\exists}{}g \cdot x_{0}} = \Inn_{g}(G_{x_{0}}) = \Inn_{g}(\{e\}) = \{e\}$$
が成り立つ．
$X,Y$を$G$集合とし，$f \colon X \to Y$を写像とする．任意の$(g,x) \in G \times X$に対して
$$
f(g \cdot x) = g \cdot f(x)$$
が成り立つとき，$f$を$G$同変写像という：
$$
\xymatrix{
{X} \ar[r]^{\alpha_{X}(g)} \ar[d]_{f} & {X} \ar[d]^{f}\\
{Y} \ar[r]_{\alpha_{Y}(g)} & {Y.}
}$$
$G$同変写像$f \colon X \to Y$に対して，$G$同変写像$f' \colon Y \to X$であって
$$
f' \circ f = \id_{X},\ f \circ f' = \id_{Y}$$
を満たすものが存在するとき，$f$を$G$同型（写像）という．$G$集合$X,Y$の間に$G$同型写像が存在するとき，$X$と$Y$とは$G$同型であるといい$X \cong_{G} Y$で表わす．
$X$を$G$空間，$R \subset X \times X$を作用と両立する同値関係とする．このとき，標準射影$\pi \colon X \to X/R$は$G$同変写像である．
$f \colon X \to Y$を$G$同変写像とする．このとき次は同値である：
明らか．
$f$の逆写像$f^{-1} \colon Y \to X$が$G$同変写像であることを示せばよい．ところで任意の$(g,y) \in G \times Y$に対して
$$
f^{-1}(g \cdot y) = f^{-1}(g \cdot f(f^{-1}(y))) = f^{-1}(f(g \cdot f^{-1}(y))) = g \cdot f^{-1}(y)$$
が成り立つ．
$f \colon X \to Y$を$G$同変写像とする．このとき，$f$は$G$同型
$$
X/R(f) \cong_{G} f(X)$$
を誘導する．
\begin{align}
(x,x') \in R(f)
&\implies f(x) = f(x')\\
&\implies f(g \cdot x) = g \cdot f(x) = g \cdot f(x') = f(g \cdot x')\\
&\implies (g \cdot x, g \cdot x') \in R(f)
\end{align}
より，$R(f)$は作用と両立する．
標準射影を$\pi \colon X \to X/R(f)$とおく．$f$が誘導する全単射
$$
\overline{f} \colon X/R(f) \to f(X);\ \pi(x) \mapsto f(x)$$
が$G$同変写像であることを示せばよい．ところで，任意の$(g,x) \in G \times X$に対して
$$
\overline{f}(g \cdot \pi(x)) = \overline{f}(\pi(g \cdot x)) = f(g \cdot x) = g \cdot f(x) = g \cdot \overline{f}(\pi(x))$$
が成り立つ．
$\alpha \colon G \to \Sym(X)$を作用とする．$X$上の関係$\sim_{\alpha}$を
$$
x \sim_{\alpha} y :\iff y \in \Orb_{\alpha}(x)$$
と定めると，以下の補題よりこれは$X$上の同値関係であることがわかる：
次は同値である：
$y \in G \cdot x$より$g \in G$であって$y = g \cdot x$なるものが存在する．したがって，任意の$h \in G$に対して
$$
h \cdot y = h \cdot (g \cdot x) = (hg) \cdot x \in G \cdot x$$
が成り立つので，$G \cdot y \subset G \cdot x$を得る．同様にして，$x = g^{-1} \cdot y$より$G \cdot x \subset G \cdot y$を得る．
$y = e \cdot y \in G \cdot y = G \cdot x$が成り立つ．
同値関係$\sim_{\alpha}$による商集合を$\alpha$による軌道空間といい，$X/\alpha,G \backslash X$などで表わす．
$G$を群とし$H < G$をその部分群とする．このとき右作用$\rho|H$による軌道空間$G/H$は推移的$G$集合である．実際，
$$
y = xh \implies gy = (gx)h$$
より同値関係$\sim_{\rho|H}$は左正則作用$\lambda \colon G \to \Sym(G)$と両立するので$(G/H,\lambda_{\sim_{\rho|H}})$は$G$集合であり，
$$
\forall g \in G,\ \Orb_{\rho|H}(g) = \{gh \mid h \in H\} = \lambda_{\sim_{\rho|H}}(g)(H)$$
より$G/H = \Orb_{\lambda_{\sim_{\rho|H}}}(H)$が成り立つ．
$X$を$G$集合とする．このとき，任意の$x \in X$に対して
$$
G/G_{x} \to G \cdot x;\ g G_{x} \mapsto g \cdot x$$
は$G$同型である．
任意の$g,g' \in G$に対して
$$
g \cdot x = g' \cdot x \iff g^{-1}g' \in G_{x} \iff g \sim_{\rho|G_{x}} g'$$
が成り立つ．よって$G$同変写像
$$
G \to X;\ g \mapsto g \cdot x$$
は$G$同型$G/G_{x} \to G \cdot x$を誘導する．
$X$を推移的$G$集合とする．このとき任意の$x \in X$に対して
$$
G/G_{x} \cong_{G} X$$
が成り立つ．
$X$を$G$集合とする．このとき，任意の$x \in X$に対して
$$
\# G = \# (G \cdot x) \cdot \# G_{x}$$
が成り立つ．
全単射$G \to (G \cdot x) \times G_{x}$が存在することを示せばよい．
そこで，写像$\Phi \colon G \to (G \cdot x) \times G_{x},\, \Psi \colon (G \cdot x) \times G_{x} \to G$をそれぞれ
$$
\Phi(g) = (g \cdot x, \psi(g \cdot x)^{-1}g);\ \Psi(y,g) = \psi(y)g$$
で定めると，これらは互いの逆写像である．実際，
$$
(\Psi \circ \Phi)(g) = \Psi(g \cdot x, \psi(g \cdot x)^{-1}g) = \psi(g \cdot x) \psi(g \cdot x)^{-1}g = g$$
および
\begin{align}
(\Phi \circ \Psi)(y,g)
&= \Phi(\psi(y)g)\\
&= (\psi(y)g \cdot x,\, \psi(\psi(y)g \cdot x)^{-1}\psi(y)g)\\
&= (\psi(y) \cdot (g \cdot x),\, \psi(\psi(y) \cdot (g \cdot x))^{-1}\psi(y)g)\\
&= (\psi(y) \cdot x,\, \psi(\psi(y) \cdot x) \psi(y)^{-1}g)\\
&= (y, \psi(y)\psi(y)^{-1}g)\\
&= (y,g)
\end{align}
が成り立つ．
$G$を群，$H < G$を部分群とする．このとき
$$
\#G = \#(G/H) \cdot \#H$$
が成り立つ．
$G$の$\mathcal{P}(G)$への作用$\mathcal{P}_{*}\lambda$を考える．このとき
$$
\Stab_{\mathcal{P}_{*}\lambda}(H) = \{g \in G \mid g H = H\} = \{g \in G \mid g \in H\} = H$$
となるので，
$$
\Orb_{\mathcal{P}_{*}\lambda}(H) \cong_{G} G/\Stab_{\mathcal{P}_{*}\lambda}(H) = G/H$$
と合わせて結論を得る．
$X$を有限$G$集合とし，$X = \bigsqcup_{i \in I} G \cdot x_{i}$をその軌道分解とする．このとき
\begin{align}
\# X &= \sum_{x_{i} \notin X^{G}} \#(G \cdot x_{i}) + \sum_{x_{i} \in X^{G}} \#(G \cdot x_{i})\\
&= \sum_{x_{i} \notin X^{G}} \#(G \cdot x_{i}) + \sum_{x_{i} \in X^{G}} 1\\
&= \sum_{x_{i} \notin X^{G}} \#(G \cdot x_{i}) + \# X^{G}
\end{align}
が成り立つ．したがって，$G$の位数が$p$冪であるとき
$$
\forall x_{i} \notin X^{G},\ \#(G \cdot x_{i}) = \#G/\#G_{x_{i}} \equiv 0 \pmod p$$
であるから
$$
\#X \equiv \#X^{G} \pmod p$$
が成り立つ．
$X$を有限集合とする．写像$g \colon X \to X$について$g \circ g = \id_{X}$が成り立つとする．このとき$g \in \Sym(X)$であるが，さらに
$$
\#X \equiv \#X^{g} \pmod 2$$
が成り立つ．実際，$g = \id_{X}$のときは$X = X^{g}$が，$g \neq \id_{X}$のときは$\#\langle g \rangle = 2$が成り立つので，いづれにしろ
$$
\#X \equiv \#X^{g} \pmod 2$$
を得る（cf. 定理1 系1）．
$p$を奇素数とする．このとき次は同値である：
$p$が奇数であることから$x,y$の偶奇は一致しないので，$x = 2u, y = 2v+1$と書けるとしてよい．このとき
$$
p = (2u)^{2} + (2v+1)^{2} = 4(u^{2}+v^{2}+v) + 1 \equiv 1 \pmod 4$$
が成り立つ．
$p = 4n+1$とおく．
有限集合$X \subset (\mathbb{Z}_{>0})^{3}$を
$$
X = \{(x,y,z) \in (\mathbb{Z}_{>0})^{3} \mid x^{2} + 4yz = p\}$$
で定める．任意の$(x,y,z) \in X$に対して
\begin{align}
y-z &< 2y,\\
(y-z)^{2} + 4yz = (y+z)^{2} &\neq p \leadsto x \neq y-z,\\
(2y)^{2} + 4yz = 4y(y+z) &\neq p \leadsto x \neq 2y,\\
(x+2z)^{2} + 4z(y-z-x) &= x^{2} + 4yz = p,\\
(2y-x)^{2} + 4y(x-y+z) &= x^{2} + 4yz = p,
\end{align}
が成り立つので，写像$g \colon X \to X$を次で定めることができる：
$$
g(x,y,z) = \begin{cases}
(x+2z,z,y-z-x),& x < y-z\\
(2y-x,y,x-y+z),& y-z < x < 2y\\
(x-2y,x-y+z,y),& 2y < x
\end{cases}.$$
したがって$g \circ g = \id_{X}$を得るので
$$
\#X \equiv \#X^{g} \pmod 2$$
が成り立つ．
以上より
$$
\#X \equiv 1 \pmod 2$$
が成り立つ．そこで全単射$g' \colon X \to X$を
$$
g'(x,y,z) = (x,z,y)$$
で定めると，$g' \circ g' = \id_{X}$より$\#X^{g'} \equiv \#X \equiv 1 \pmod 2$が成り立つ．したがって不動点$(x,y,z) \in X^{g'}$が存在する．このとき$y =z$であるから
$$
p = x^{2} + 4yy = x^{2} + (2y)^{2}$$
と書ける．
$X$を$G$集合とする．このとき
$$
\# (G \backslash X) \cdot \# G = \sum_{g \in G} \# X^{g}$$
が成り立つ．
集合$\{(g,x) \in G \times X \mid g \cdot x = x\}$を2通りに“数える”ことで
$$
\sum_{x \in X} \# G_{x} = \# \{(g,x) \in G \times X \mid g \cdot x = x\} = \sum_{g \in G} \# X^{g}$$
が成り立つことがわかる．あとは全単射$(G \backslash X) \times G \to \coprod_{x \in X} G_{x}$が存在することを示せばよい．
そこで，写像$\Phi \colon (G \backslash X) \times G \to \coprod_{x \in X} G_{x},\, \Psi \colon \coprod_{x \in X} G_{x} \to (G \backslash X) \times G$をそれぞれ
\begin{align}
\Phi(A,g) &= (g \cdot \sigma(A),g\psi_{A}(g \cdot \sigma(A))^{-1}),\\
\Psi(x,g) &= (\pi(x), g \psi_{\pi(x)}(x))
\end{align}
で定めると，これらは互いの逆写像である．実際
\begin{align}
(\Psi \circ \Phi)(A,g)
&= \Psi(g \cdot \sigma(A),\,g \psi_{A}(g \cdot \sigma(A))^{-1})\\
&= (\pi(g \cdot \sigma(A)),\,g \psi_{A}(g \cdot \sigma(A))^{-1} \psi_{\pi(g \cdot \sigma(A))}(g \cdot \sigma(A)))\\
&= (A,\, g \psi_{A}(g \cdot \sigma(A))^{-1}\psi_{A}(g \cdot \sigma(A)))\\
&= (A,g)
\end{align}
および
\begin{align}
(\Phi \circ \Psi)(x,g)
&= \Phi(\pi(x), g \psi_{\pi(x)}(x))\\
&= (g \psi_{\pi(x)}(x) \cdot \sigma\pi(x),\, g \psi_{\pi(x)}(x) \psi_{\pi(x)}(g \psi_{\pi(x)}(x) \cdot \sigma\pi(x))^{-1})\\
&= (g \cdot (\psi_{\pi(x)}(x) \cdot \sigma\pi(x)),\,g \psi_{\pi(x)}(x) \psi_{\pi(x)}(g \cdot (\psi_{\pi(x)}(x) \cdot \sigma\pi(x)))^{-1})\\
&= (g \cdot x,\,g \psi_{\pi(x)}(x)\psi_{\pi(x)}(g \cdot x)^{-1})\\
&= (x,\, g \psi_{\pi(x)}(x) \psi_{\pi(x)}(x)^{-1})\\
&= (x,g)
\end{align}
が成り立つ．
$G$を群とする．部分群$N < G$が作用$\mathcal{P}_{*}\Inn$の不動点であるとき，すなわち
$$
\forall g \in G,\ gNg^{-1} = N$$
が成り立つとき，$N$を$G$の正規部分群といい$N \triangleleft G$で表わす．
$\{e\}, G \triangleleft G$である．
部分群$N < G$について，次は同値である：
$\varphi \colon G \to G'$を準同型とする．このとき次が成り立つ：
それぞれが部分群であることはよい．
$\varphi \colon G \to G'$を準同型とする．このとき$\{e'\} \triangleleft G'$より$\Ker(\varphi) = \varphi^{-1}(e') \triangleleft G$である．
$(X,\alpha)$を推移的$G$集合とする．また，$x_{0} \in X$とし$H = \Stab_{\alpha}(x_{0})$とおく．このとき
\begin{align}
G \triangleright \Ker(\alpha)
&= \bigcap_{x \in X} \Stab_{\alpha}(x)\\
&= \bigcap_{g \in G} \Stab_{\alpha}(g \cdot x_{0})\\
&= \bigcap_{g \in G} \Inn_{g}(\Stab_{\alpha}(x_{0}))\\
&= \bigcap_{g \in G} gHg^{-1} \subset H
\end{align}
は$H$に含まれる最大の$G$の正規部分群である．実際，$N \triangleleft G$が$H$に含まれれば，
$$
\forall g \in G,\ N = gNg^{-1} \subset gHg^{-1}$$
より$N \subset \Ker(\alpha)$が成り立つ．したがって，$\alpha$が効果的作用であるためには，ある1点の安定化群に含まれる$G$の正規部分群が$\{e\}$のみであることが必要かつ十分である．
部分群$N < G$について，次は同値である：
$g,g',h,h' \in G$とし，$g \sim_{\rho|N} g',\,h \sim_{\rho|N} h'$とする．このとき$h^{-1}h' \in N$より
$$
h'h^{-1} = h (h^{-1}h') h^{-1} \in hNh^{-1} = N$$
となるので，$g^{-1}g' \in N$と合わせて
$$
(gh)^{-1}(g'h') = h^{-1} (g^{-1}g'h'h^{-1}) h \in h^{-1}Nh = N$$
を得る．したがって$gh \sim_{\rho|N} g'h'$が成り立つ．よって写像$\mu_{G/N} \colon G/N \times G/N \to G/N$であって$\pi \circ \mu_{G} = \mu_{G/N} \circ (\pi \times \pi)$を満たすものがただひとつ存在する：
$$
\xymatrix{
{G \times G} \ar[r]^{\mu_{G}} \ar[d]_{\pi \times \pi} & {G} \ar[d]^{\pi}\\
{G/N \times G/N} \ar@{.>}[r]_{\mu_{G/N}} & {G/N.}
}$$
この$\mu_{G/N}$を積とし，$\pi(e) \in G/N$を単位元，$\iota_{G/N} \colon G/N \to G/N; \pi(g) \mapsto \pi(g^{-1})$を逆元として，$G/N$は群をなす（ことが容易に確かめられる）．この群構造に関して$\pi$が準同型となることは積の定義より明らか．
群$(G/N,\mu_{G/N},\pi(e),\iota_{G/N})$を正規部分群$N \triangleleft G$による剰余群という．
仮定より$\pi(e) \in G/N$は単位元であり，任意の$g \in G$に対して
$$
g \in \Ker(\pi) \iff \pi(g) = \pi(e) \iff g \in N$$
が成り立つので，$N = \Ker(\pi) \triangleleft G$を得る．
準同型$\varphi \colon G \to G'$は群同型
$$
G/\Ker(\varphi) \cong \varphi(G)$$
を誘導する．
標準射影を$\pi \colon G \to G/\Ker(\varphi)$とおく．$\Ker(\varphi) \triangleleft G$より$G/\Ker(\varphi)$は群であり，
\begin{align}
\pi(g) = \pi(g')
&\iff g^{-1}g' \in \Ker(\varphi)\\
&\iff \varphi(g)^{-1}\varphi(g') = e'\\
&\iff \varphi(g) = \varphi(g')
\end{align}
より，単射$\overline{\varphi} \colon G/\Ker(\varphi) \to G'$が誘導される：
$$
\xymatrix{
{G} \ar[r]^{\varphi} \ar[d]_{\pi} & {G'.}\\
{G/\Ker(\varphi)} \ar@{.>}[ur]_{\overline{\varphi}}
}$$
さらに
$$
\overline{\varphi}(\pi(g)\pi(g')) = \overline{\varphi}(\pi(gg')) = \varphi(gg') = \varphi(g)\varphi(g') = \overline{\varphi}(\pi(g)) \overline{\varphi}(\pi(g'))$$
より$\overline{\varphi}$は準同型である．
$\alpha \colon G \to \Sym(X)$を作用とする．このとき$\overline{\alpha} \colon G/\Ker(\alpha) \to \Sym(X)$は効果的作用である．
$G$を群とし，$H < G,\,N \triangleleft G$とする．このとき$H \cap N \triangleleft H,\,HN < G$であり，群同型
$$
H/(H \cap N) \cong HN/N$$
が成り立つ．
標準射影を$\pi \colon G \to G/N$とおく．
$G$を群とする．共軛作用$\Inn \colon G \to \Sym(G)$の核
$$
Z(G) := \Ker(\Inn) = \bigcap_{g' \in G} \Stab_{\Inn}(g') = \{g \in G \mid \forall g' \in G,\ gg' = g'g\}$$
を$G$の中心という．準同型定理より$G/Z(G) \cong \Inn(G)$が成り立つ．$G = Z(G)$なるとき$G$を可換群という．このとき$\Inn(G) = \{\id_{G}\}$であるから，$G$の任意の部分群は正規部分群である．
$G/Z(G)$が巡回群ならば$G$は可換群である．実際，$G/Z(G) = \langle \pi(g_{0}) \rangle$とすると，任意の$g \in G$に対して，$\pi(g) = \pi(g_{0}^{\prescript{\exists}{}n})$より$g_{0}^{-n}g = \prescript{\exists}{}z \in Z(G)$となるので，
$$
\forall g' \in G,\ gg' = (g_{0}^{n}z)(g_{0}^{n'}z') = (g_{0}^{n'}z')(g_{0}^{n}z) = g'g$$
より$g \in Z(G)$が成り立つ．
$G$を有限群とし，$G = \bigsqcup_{i \in I} \Orb_{\Inn}(g_{i})$を共軛作用による軌道分解とする．このとき
$$
Z(G) = \{g \in G \mid \forall g' \in G,\ g'gg'^{-1} = g\} = G^{\Inn,G}
$$
が成り立つので，例23より
$$
\#G = \sum_{g_{i} \notin Z(G)} \#\{gg_{i}g^{-1} \mid g \in G\} + \#Z(G)$$
が成り立つ．これを$G$の類等式という．
位数が$p$冪の非自明な群は非自明な中心を持つ．
群$G$の部分集合$S \subset G$に対して
$$
N_{G}(S) := \Stab_{\mathcal{P}_{*}\Inn}(S) = \{g \in G \mid gSg^{-1} = S\}$$
を$G$における$S$の正規化群という．
任意の$s \in G$に対して$N_{G}(\{s\}) = \Stab_{\Inn}(s)$が成り立つ．
任意の部分集合$S \subset G$に対して，$G$同型
$$
G/N_{G}(S) \cong_{G} \{gSg^{-1} \in \mathcal{P}(G) \mid g \in G\}$$
が存在する．
部分集合$\mathcal{S}(G) := \{H \in \mathcal{P}(G) \mid H < G\}$は$\mathcal{P}_{*}\Inn$安定部分集合である．実際，$(g,H) \in G \times \mathcal{S}(G)$とすると，任意の$h,h' \in H$に対して
$$
(ghg^{-1})^{-1} (gh'g^{-1}) = g (h^{-1}h') g^{-1} \in gHg^{-1}$$
が成り立つので，$gHg^{-1} \in \mathcal{S}(G)$を得る．このとき，作用$\alpha := (\mathcal{P}_{*}\Inn)^{\mathcal{S}(G)}$について
$$
\Stab_{\alpha}(H) = \{g \in G \mid gHg^{-1} = H\} = N_{G}(H)$$
が成り立つ．よって$G$同型
$$
G/N_{G}(H) \cong_{G} \{gHg^{-1} \in \mathcal{S}(G) \mid g \in G\}$$
を得る．
部分群$H < G$について，次が成り立つ：
$\alpha \colon G \to \Sym(X)$を作用とする．任意の部分群$H < G$に対して，$X^{H}$は$\alpha|N_{G}(H)$安定部分集合であり，したがって$N_{G}(H)$による$X^{H}$への作用が定まる．とくに$H \triangleleft G$ならば$X^{H}$は$\alpha$安定部分集合である．
任意の$(g,x) \in N_{G}(H) \times X^{H}$に対して$g \cdot x \in X^{H}$が成り立つことを示せばよい．そこで$h \in H$とする．このとき$g^{-1} \in N_{G}(H)$より$g^{-1}hg \in g^{-1}Hg = H$であるから，$h' \in H$であって$g^{-1}hg = h'$なるものが存在する．したがって
$$
h \cdot (g \cdot x) = hg \cdot x = gh' \cdot x = g \cdot (h' \cdot x) = g \cdot x$$
が成り立つ．
$G$を群とし$H,K < G$をその部分群とする．このとき次は同値である：
$f(H) = \prescript{\exists}{}a^{-1} K$とおく．このとき，任意の$h \in H$に対して
$$
ha^{-1} K = h \cdot (a^{-1} K) = h \cdot f(H) = f(h \cdot H) = f(H) = a^{-1} K$$
より$aha^{-1} \in K$が成り立つ．よって$aHa^{-1} \subset K$を得る．
\begin{align}
\pi_{H}(g) = \pi_{H}(g')
&\implies g^{-1}g' \in H\\
&\implies a \cdot g^{-1}g' \cdot a^{-1} \in aHa^{-1} \subset K\\
&\implies g'a^{-1} \in ga^{-1} K\\
&\implies \pi_{K}(ga^{-1}) = \pi_{K}(g'a^{-1})
\end{align}
より，写像$f \colon G/H \to G/K$が誘導される：
$$
\xymatrix{
{G} \ar[r]^{\rho_{a^{-1}}} \ar[d]_{\pi_{H}} & {G} \ar[d]^{\pi_{K}}\\
{G/H} \ar@{.>}[r]_{f} & {G/K.}
}$$
$\pi_{H} \colon G \to G/H$および$\pi_{K} \circ \rho_{a^{-1}} \colon G \to G/K$が$G$同変写像であることから，$f$が$G$同変であることがわかる．
$G$を群とし$H,K < G$をその部分群とする．このとき次は同値である：
$f \colon G/H \to G/K$を$G$同型とし，$f(H) = a^{-1} K$とおく．このとき$aHa^{-1} \subset K$が成り立つ．一方，$f^{-1}(K) = a H$より$a^{-1}Ka \subset H$，したがって$K \subset aHa^{-1}$が成り立つ．
$aHa^{-1} = K$とすると，
$$
f \colon G/H \to G/K;\ g H \mapsto ga^{-1} K$$
は$G$同型である．
$p$を素数とする．
$G$を$p$群とする．このとき，任意の有限$G$集合$X$に対して
$$
\#X \equiv \#X^{G} \pmod p$$
が成り立つ．
$p$を素数とする．このとき任意の$(r,m) \in \mathbb{Z}_{\geq 0} \times \mathbb{Z}_{>0}$に対して
$$
\binom{p^{r}m}{p^{r}} \equiv m \pmod p$$
が成り立つ．
準同型$\pi \colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/p^{r}m\mathbb{Z} =: G'$を考え，$G = \pi(m\mathbb{Z}) \triangleleft G'$とおくと，
$$
\mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \cong G'/G,\ \#G' = \#(G'/G) \cdot \#G$$
より$\#G = p^{r}$を得る．
ここで，
$$
X = \{S \in \mathcal{P}(G') \mid \#S = p^{r}\}$$
とおくと，これは$\mathcal{P}_{*}\lambda$安定部分集合であるから作用$(\mathcal{P}_{*}\lambda)^{X}|G$を考えることができる．いま$G$は$p$群であり$\#X = \binom{p^{r}m}{p^{r}}$であるから，あとは$\#X^{G} = m$を示せばよい．
任意の$aG \in G'/G$に対して
$$
\forall g \in G,\ g(aG)= (ga)G = (ag)G = a(gG) = aG$$
より$aG \in X^{G}$が成り立つ．一方，$S \in X^{G}$とし$s_{0} \in S$を取ると，
$$
s_{0}G = Gs_{0} \subset S,\ \#s_{0}G = p^{r} = \#S$$
より$S = s_{0}G \in G'/G$が成り立つ．よって$X^{G} = G'/G$となるので$\#X^{G} = m$を得る．
$G$を有限群とする．このとき，任意の素数$p$に対して$G$のSylow$p$部分群が存在する．
$\#G = p^{r}m$（$p,m$は互いに素）とする．
$X = \{S \in \mathcal{P}(G) \mid \#S = p^{r}\}$とおくと，これは$\mathcal{P}_{*}\lambda$安定部分集合である．作用$\alpha := (\mathcal{P}_{*}\lambda)^{X}$による軌道分解を考えると，補題より$\#X = \binom{p^{r}m}{p^{r}}$は$p$で割り切れないので，$S \in X$であって$p \nmid \#\Orb_{\alpha}(S)$なるものが存在することがわかる．そこで$S_{p} = \Stab_{\alpha}(S) < G$とおく．このとき，
$$
p^{r}m = \#G = \#\Orb_{\alpha}(S) \cdot \#S_{p}$$
より$p^{r} \mid \#S_{p}$，したがって$p^{r} \leq \#S_{p}$が成り立つ．一方，$s \in S$を固定すると，
$$
\forall g \in S_{p},\ gs \in gS = S$$
より，単射$\rho_{s}|_{S_{p}}^{S} \colon S_{p} \to S$が定まるので，$\#S_{p} \leq \#S = p^{r}$が成り立つ．よって$\#S_{p} = p^{r}$となるので$S_{p}$は$G$のSylow$p$部分群である．
$G$を有限群とし$p$を素数とする．このとき$p \mid \#G$ならば，$g \in G$であって$\#\langle g \rangle = p$なるものが存在する．実際，$G$のSylow$p$部分群$S_{p}$の元$s \in S_{p} \smallsetminus \{e\}$を取ると，$\#\langle s \rangle \mid \#S_{p}$より$\#\langle s \rangle = p^{\prescript{\exists}{}n}$であるから，$g = s^{p^{n-1}} \in G$とおくと$\#\langle g \rangle = p$が成り立つ．
$G$を有限群とし$p$を素数とする．このとき，Lagrangeの定理より，$G$が$p$群ならば任意の$g \in G$に対して$\langle g \rangle < G$は$p$部分群である．逆に，$G$が$p$群でないとすると，$p$と異なる素数$q$であって$q \mid \#G$なるものが存在するので，$g \in G$であって$\langle g \rangle < G$が$p$部分群でないものが存在する．
以上より次は同値である：
$G$を有限群，$p$を素数とし，$S_{p} < G$をSylow$p$部分群とする．このとき$N_{G}(S_{p})$の任意の$p$部分群は$S_{p}$に含まれる．
$P < N_{G}(S_{p})$を$p$部分群とする．$S_{p} \triangleleft N_{G}(S_{p})$であるから，第2同型定理より
$$
PS_{p}/S_{p} \cong P/(P \cap S_{p})$$
が成り立つ．したがって$\#(PS_{p}/S_{p})$は$p$冪であるから，
$$
\#PS_{p} = \#(PS_{p}/S_{p}) \cdot \#S_{p}$$
より$PS_{p} < G$は$S_{p}$を含む$p$部分群である．よって$PS_{p} = S_{p}$が成り立つので，$P \subset S_{p}$を得る．
$G$を有限群とし$p$を素数とする．このとき$G$のSylow$p$部分群の個数$\sigma_{p}$について次が成り立つ：
さらに，$G$のSylow$p$部分群は互いに共軛である．
$\#G = p^{r}m$（$p,m$は互いに素）とし，$S_{p} < G$をSylow$p$部分群とする．
共軛作用$\alpha := (\mathcal{P}_{*}\Inn)^{\mathcal{S}(G)} \colon G \to \Sym(\mathcal{S}(G))$を考える．このとき例34より
$$
G/N_{G}(S_{p}) \cong_{G} \Orb_{\alpha}(S_{p}) = \{gS_{p}g^{-1} \in \mathcal{S}(G) \mid g \in G\} =: X$$
であるから，
$$
\#X \mid \#G$$
が成り立つ．
いま$\alpha$軌道$X$は$\alpha$安定部分集合であるから，作用$\alpha^{X}|S_{p}$を考えることができる．明らかに$S_{p} \in X^{S_{p}}$が成り立つ．逆に，$S \in X^{S_{p}}$とすると
$$
\forall g \in S_{p},\ gSg^{-1} = S$$
より$S_{p} \subset N_{G}(S)$となるが，$S < G$はSylow$p$部分群なので，補題より$S_{p} \subset S$，したがって$S_{p} = S$が成り立つ．よって$X^{S_{p}} = \{S_{p}\}$であるから
$$
\#X \equiv 1 \pmod p$$
が成り立つ．
$G$のSylow$p$部分群全体のなす集合を
$$
\mathcal{S}_{p} = \{S'_{p} \in \mathcal{S}(G) \mid \#S'_{p} = p^{r}\}$$
とおく．$X \subset \mathcal{S}_{p}$であるから，あとは$\mathcal{S}_{p} \subset X$を示せばよい．ところで，$S'_{p} \in \mathcal{S}_{p} \smallsetminus X$なるSylow$p$部分群が存在したとすると，上と同様の考察により作用$\alpha^{X}|S'_{p}$について$X^{S'_{p}} = \varnothing$が成り立つことがわかるが，このとき
$$
\#X \equiv 0 \pmod p$$
となり不合理である．
$\#G = p^{r}m$（$p,m$は互いに素）のとき，$\sigma_{p} \equiv 1 \pmod p,\,\sigma_{p} \mid p^{r}m$より$\sigma_{p} \mid m$が成り立つ．
有限群$G$のSylow$p$部分群$S_{p} < G$について，
$$
G/N_{G}(S_{p}) \cong_{G} \mathcal{S}_{p}$$
より，
$$
S_{p} \triangleleft G \iff N_{G}(S_{p}) = G \iff \sigma_{p} = 1$$
が成り立つ．
$p,q$を相異なる素数とし$G$を位数$p^{r}q$の群とする．このとき
$$
q \not\equiv 1 \!\!\!\pmod p \implies \sigma_{p} = 1$$
が成り立つ．実際，$\sigma_{p} \mid q$より$\sigma_{p} \in \{1,q\}$であるが，$q \not\equiv 1 \equiv \sigma_{p} \pmod p$より$\sigma_{p} = 1$を得る．
$G$を有限群とし$N \triangleleft G$をその正規部分群とする．このとき$\#(G/N)$が素数$p$と互いに素ならば，$G$の任意のSylow$p$部分群は$N$に含まれる．実際，$\#G = p^{r}m$とすると$\#G = \#(G/N)\cdot\#N$より$\#N = p^{r}m'$と書けるので$N$のSylow$p$部分群$P$は$G$のSylow$p$部分群でもあり，したがって
$$
\forall S_{p} \in \mathcal{S}_{p},\ S_{p} = \prescript{\exists}{}gPg^{-1} \subset gNg^{-1} = N$$
が成り立つ．
$G$を有限群，$S_{p} < G$をそのSylow$p$部分群とし，$N_{G}(S_{p}) < K < G$する．このとき，$K$を含む任意の部分群$H < G$に対して
$$
\#(H/K) \equiv 1 \pmod p$$
が成り立つ．
$H$における左正則作用$\lambda \colon H \to \Sym(H)$により誘導される作用$\lambda_{\sim_{\rho|K}}|S_{p}$について
$$
\#(H/K) \equiv \#(H/K)^{S_{p}} \pmod p$$
が成り立つ．$S_{p} \subset K$より$K \in (H/K)^{S_{p}}$である．逆に，$hK \in (H/K)^{S_{p}}$とすると，任意の$g \in S_{p}$に対して$ghK = hK$より$h^{-1}gh \in K$となるので，$h^{-1}S_{p}h \subset K$が成り立つ．いま$S_{p}, h^{-1}S_{p}h$はともに$K$のSylow$p$部分群なので，$k \in K$であって$kS_{p}k^{-1} = h^{-1}S_{p}h$なるものが存在する．よって
$$
hk \in N_{G}(S_{p}) \subset K$$
より$h = (hk)k^{-1} \in K$が成り立つので，$hK = K$を得る．以上より$(H/K)^{S_{p}} = \{K\}$であるから，
$$
\#(H/K) \equiv 1 \pmod p$$
が成り立つ．
$G$を群，$N \triangleleft G$を有限正規部分群，$p$を素数，$S_{p} < N$をSylow$p$部分群とする．このとき
$$
G = NN_{G}(S_{p})$$
が成り立つ．
$g \in G$とする．このとき
$$
gS_{p}g^{-1} < gNg^{-1} = N$$
は$N$のSylow$p$部分群であるから，$n \in N$であって
$$
gS_{p}g^{-1} = nS_{p}n^{-1}$$
を満たすものが存在する．したがって$n^{-1}g \in N_{G}(S_{p})$であるから
$$
g = n(n^{-1}g) \in NN_{G}(S_{p})$$
が成り立つ．
$G$を有限群，$p$を素数とし，$S_{p} < G$をSylow$p$部分群とする．このとき$N_{G}(S_{p})$を含む任意の部分群$H < G$に対して
$$
N_{G}(H) = H$$
が成り立つ．とくに
$$
N_{G}(N_{G}(S_{p})) = N_{G}(S_{p})$$
が成り立つ．
$S_{p} < H$はSylow$p$部分群であるから$H \triangleleft N_{G}(H)$と合わせて
$$
H \subset N_{G}(H) = HN_{N_{G}(H)}(S_{p}) \subset HN_{G}(S_{p}) \subset HH = H$$
が成り立つ．
$G$を有限群とし$p$を素数とする．このとき任意の$p$部分群に対して，それを含むSylow$p$部分群が存在する．
$P < G$を$p$部分群とし，共軛作用$(\mathcal{P}_{*}\Inn)^{\mathcal{S}_{p}}|P$を考える．このとき
$$
\#(\mathcal{S}_{p})^{P} \equiv \#\mathcal{S}_{p} \equiv 1 \pmod p$$
より，不動点$S_{p} \in (\mathcal{S}_{p})^{P}$が存在する．したがって
$$
\forall g \in P,\ gS_{p}g^{-1} = S_{p}$$
より$P \subset N_{G}(S_{p})$であるから，補題20より$P \subset S_{p}$を得る．
$G$を有限群とし$N \triangleleft G$をその正規部分群とする．このとき$N$が$p$部分群ならば，$G$の任意のSylow$p$部分群は$N$を含む．実際，Sylow$p$部分群$P < G$であって$P \supset N$なるものが存在するので，
$$
\forall S_{p} \in \mathcal{S}_{p},\ S_{p} = \prescript{\exists}{}gPg^{-1} \supset gNg^{-1} = N$$
が成り立つ．
$S$を$p$群とする．このとき任意の部分群$P < S$に対して
$$
P \subsetneq S \implies P \subsetneq N_{S}(P)$$
が成り立つ．
$P \triangleleft S$のときは$P \subsetneq S = N_{S}(P)$となるので，$P \not\triangleleft S$としてよい．そこで
$$
X = \{gPg^{-1} \in \mathcal{S}(S)\mid g \in S\} \smallsetminus \{P\} \neq \varnothing$$
とおくと，$X$は$(\mathcal{P}_{*}\Inn)^{\mathcal{S}(S)}|P$安定部分集合である．したがって，$P < S$が$p$群であることから
$$
\#X^{P} \equiv \#X = \#(S/N_{S}(P)) - 1 \equiv -1 \pmod p$$
となるので，不動点$gPg^{-1} \in X^{P}$が存在する．このとき任意の$h \in P$に対して
$$
h(gPg^{-1})h^{-1} = gPg^{-1}$$
より$g^{-1}hg \in N_{S}(P)$が成り立つので，$g^{-1}Pg \subset N_{S}(P)$を得る．$P \neq g^{-1}Pg$であるから$P \subsetneq N_{S}(P)$がしたがう．
$G$を有限群とし$P < G$を$p$部分群とする．このとき次は同値である：
明らか．
対偶を示す．そこで$P < G$がSylow$p$部分群ではないとする．$P$を含む$G$のSylow$p$部分群$S_{p}$を取ると$P \subsetneq S_{p}$であるから，補題より$P \subsetneq N_{S_{p}}(P)$が成り立つ．いま$N_{S_{p}}(P) = N_{G}(P) \cap S_{p} < S_{p}$より$N_{S_{p}}(P)$は$N_{G}(P)$の$p$部分群であるから，$\#P < \#N_{S_{p}}(P)$より$P < N_{G}(P)$はSylow$p$部分群にはなりえない．
$G$を$\#G = p^{r}m$（$p,m$は互いに素）なる有限群とする．このとき，$G$の$p$部分群の増大列$(P_{i})_{0 \leq i \leq r}$であって
$$
\forall i \in \{0,\ldots,r\},\ \#P_{i} = p^{i}$$
を満たすものが存在する．
$P_{0} = \{e\} < G$とおく．
以下，$i \in \{0,\ldots,r-1\}$に対して$P_{i} < G$の存在を仮定して，条件を満たす$p$部分群$P_{i+1} < G$が存在することを示す．
いま$i < r$より$P_{i} < G$はSylow$p$部分群ではないので，$P_{i} \triangleleft N_{G}(P_{i})$はSylow$p$部分群ではない．したがって剰余群$N_{G}(P_{i})/P_{i}$について$p \mid \#(N_{G}(P_{i})/P_{i})$が成り立つので，例36より$g \in N_{G}(P_{i})$であって$\#\langle \pi(g) \rangle = p$を満たすものが存在する（ただし$\pi \colon N_{G}(P_{i}) \to N_{G}(P_{i})/P_{i}$は標準射影である）．そこで
$$
P_{i+1} = \pi^{-1}(\langle \pi(g) \rangle) < N_{G}(P_{i})$$
とおくと，$P_{i} = \Ker(\pi|P_{i+1}) \triangleleft P_{i+1} < G$であり，$P_{i+1}/P_{i} \cong \langle \pi(g) \rangle$より
$$
\#P_{i+1} = \#(P_{i+1}/P_{i}) \cdot \#P_{i} = p \cdot p^{i} = p^{i+1}$$
が成り立つ．
Lagrangeの定理の逆が部分的に成り立つ：
$G$を有限群とし$p$を素数とする．このとき$p^{i} \mid \#G$ならば，$G$は位数$p^{i}$の部分群を持つ．
追記（2024/05/01）： The number of p-subgroups of a group によると位数$p^{i}$の部分群の個数も$\bmod p$で$1$になるらしい．