群,準同型,部分群の定義と簡単な性質については知っているものとします.
群の作用
左作用
を集合とする.集合
は写像の合成を積として群をなす.これを上の対称群という.とくに正整数に対して,を次対称群という.
を群,を集合とする.準同型をによるへの(左)作用という.組または単にを集合という.をしばしばと略記する.
を作用とする.このとき写像を
で定めると,次が成り立つ:
- ;
- .
逆に写像が上の2条件を満たすとき,各に対して写像
は全単射であり,写像
は準同型となる.
を集合とする.このとき恒等写像は群による集合への作用を定める.
を集合とする.に対して,冪集合の間の写像を
で定めると,これは全単射であり,写像
は準同型となる.
作用に対して,合成をで表わす:
左正則作用
を群とする.各に対して写像をで定めると,よりは全単射である.そこで写像をで定めると,これは準同型である.実際
よりが成り立つ.準同型を左正則作用という.さらに
よりは単射である.
共軛作用
を群とする.各に対して写像を
で定めると,これは同型写像である.実際,よりは全単射であり,
よりは準同型である.そこで写像をで定めると,これは準同型である.実際
よりが成り立つ.準同型を共軛作用という.
右作用
右作用は,写像であって
- ;
を満たすものと同等である.
を左作用とする.このとき写像
は右作用である.実際
が成り立つ.逆も然り.
を群とする.各に対して写像をで定めると,よりは全単射である.そこで写像をで定めると,これは反準同型である.実際
よりが成り立つ.さらに
よりは単射である.
以下,おもに左作用について考えることとし,右作用に関する並行した議論は割愛する.
誘導される作用
を作用とする.準同型に対して,合成はによるへの作用を定める.
を作用とし,を全単射とする.このとき,
によりは集合となる:
を集合とする.このとき
により,は集合となる.実際
より,が成り立つ.また明らかにが成り立つ.
を集合とする.このとき
により,は集合となる.実際,とおくことで,
が成り立つことがわかる.また明らかにが成り立つ.
を集合とし,を同値関係とする.
が成り立つとき,はと両立するという.このとき,各に対して全単射であって
を満たすものがただひとつ存在する:
写像は準同型である.実際,
より,が成り立つ.よっては集合である.
固定する元,される元
Galois接続
を作用とする.
部分集合に対して,の部分集合
の元をによる不動点,固定点などという.またに対してをと略記する.
写像をそれぞれ
で定める.このとき次が成り立つ:
- ;
- ;
- ;
- ;
- .
- .
- .
- .
- よりとなるので,(i)よりを得る.逆によりを得る.
- よりとなるので,(ii)よりを得る.逆によりを得る.
- よりが成り立つ.
- とする.
- とする.
- 有限個のを用いてと書ける.
- よりが成り立つ.
- よってを得る.
安定部分集合
を作用とする.
作用の不動点,すなわち部分集合であって
を満たすものを安定部分集合という.
を安定部分集合とする.このとき各に対して全単射
が定まり,
はによるへの作用を定める.これをで表わす.
とする.このとき次は同値である:
- は安定部分集合である;
- が成り立つ.
(i)(ii)
明らか.
(ii)(i)
とする.仮定よりが成り立つ.したがって
が成り立つ.
群作用の基本定理
軌道と安定化群
を作用とする.
各に対して,
をの軌道,軌道などといい,
をの安定化群という.
任意の部分集合に対して
が成り立つ.したがって任意のに対して
が成り立つ.
任意の部分集合に対して
が成り立つ.また
が成り立つ.実際,
が成り立つ.
- であってなるものが存在するとき,を推移的作用という;
- 群が推移的に作用している集合を推移的集合,等質集合などという;
- が成り立つとき,を自由な作用という;
- なるとき,を効果的作用という.
を集合とする.このとき次は同値である:
- は推移的集合である;
- であり,任意のに対してが成り立つ.
(i)(ii)
仮定よりであってとなるものが存在する.このとき,任意のに対して,よりが成り立つ(cf. 補題6).
(ii)(i)
ゆえが成り立つ.
を推移的集合とする.このとき,ある1点における安定化群が自明ならば,作用は自由である.実際,任意のに対して
が成り立つ.
同変写像
を集合とし,を写像とする.任意のに対して
が成り立つとき,を同変写像という:
同変写像に対して,同変写像であって
を満たすものが存在するとき,を同型(写像)という.集合の間に同型写像が存在するとき,ととは同型であるといいで表わす.
を空間,を作用と両立する同値関係とする.このとき,標準射影は同変写像である.
を同変写像とする.このとき次は同値である:
- は同型写像である;
- は全単射である.
(i)(ii)
明らか.
(ii)(i)
の逆写像が同変写像であることを示せばよい.ところで任意のに対して
が成り立つ.
より,は作用と両立する.
標準射影をとおく.が誘導する全単射
が同変写像であることを示せばよい.ところで,任意のに対して
が成り立つ.
Orbit-Stabilizer Theorem
を作用とする.上の関係を
と定めると,以下の補題よりこれは上の同値関係であることがわかる:
(i)(ii)
よりであってなるものが存在する.したがって,任意のに対して
が成り立つので,を得る.同様にして,よりを得る.
(ii)(i)
が成り立つ.
同値関係による商集合をによる軌道空間といい,などで表わす.
を群としをその部分群とする.このとき右作用による軌道空間は推移的集合である.実際,
より同値関係は左正則作用と両立するのでは集合であり,
よりが成り立つ.
定理5の
を集合とする.このとき,任意のに対して
は同型である.
任意のに対して
が成り立つ.よって同変写像
は同型を誘導する.
を推移的集合とする.このとき任意のに対して
が成り立つ.
を集合とする.このとき,任意のに対して
が成り立つ.
全単射が存在することを示せばよい.
- 任意のに対してであるから,写像であって
を満たすものが存在する. - とすると,より,が成り立つ.
そこで,写像をそれぞれ
で定めると,これらは互いの逆写像である.実際,
および
が成り立つ.
のへの作用を考える.このとき
となるので,
と合わせて結論を得る.
附:Zagier's One-Sentence Proof
を有限集合とし,をその軌道分解とする.このとき
が成り立つ.したがって,の位数が冪であるとき
であるから
が成り立つ.
追記(2024/05/05)
を有限集合とする.写像についてが成り立つとする.このときであるが,さらに
が成り立つ.実際,のときはが,のときはが成り立つので,いづれにしろ
を得る(cf. 定理1 系1).
(i)(ii)
が奇数であることからの偶奇は一致しないので,と書けるとしてよい.このとき
が成り立つ.
とおく.
有限集合を
で定める.任意のに対して
が成り立つので,写像を次で定めることができる:
- のとき,より
が成り立つ. - のとき,より
が成り立つ. - のとき,より
が成り立つ.
したがってを得るので
が成り立つ.
Claim. が成り立つ
- であり,であるから
が成り立つ.したがってを得る. - とする.上の考察よりでないといけないので,よりを得る.このときよりを得,したがってよりを得る.
以上より
が成り立つ.そこで全単射を
で定めると,よりが成り立つ.したがって不動点が存在する.このときであるから
と書ける.
Orbit-Counting Theorem
集合を2通りに“数える”ことで
が成り立つことがわかる.あとは全単射が存在することを示せばよい.
- 標準射影の切断をとおく.
- 各に対して,写像であって
を満たすものが存在する.
そこで,写像をそれぞれ
で定めると,これらは互いの逆写像である.実際
および
が成り立つ.
共軛作用
正規部分群
を群とする.部分群が作用の不動点であるとき,すなわち
が成り立つとき,をの正規部分群といいで表わす.
それぞれが部分群であることはよい.
- 任意のに対して
が成り立つ. - 任意のに対して
より,が成り立つ.
を推移的集合とする.また,としとおく.このとき
はに含まれる最大のの正規部分群である.実際,がに含まれれば,
よりが成り立つ.したがって,が効果的作用であるためには,ある1点の安定化群に含まれるの正規部分群がのみであることが必要かつ十分である.
部分群について,次は同値である:
- ;
- 軌道空間上の群構造であって,標準射影が準同型となるようなものが(ただひとつ)存在する.
(i)(ii)
とし,とする.このときより
となるので,と合わせて
を得る.したがってが成り立つ.よって写像であってを満たすものがただひとつ存在する:
このを積とし,を単位元,を逆元として,は群をなす(ことが容易に確かめられる).この群構造に関してが準同型となることは積の定義より明らか.
群を正規部分群による剰余群という.
(ii)(i)
仮定よりは単位元であり,任意のに対して
が成り立つので,を得る.
準同型定理
標準射影をとおく.よりは群であり,
より,単射が誘導される:
さらに
よりは準同型である.
(第2同型定理)
を群とし,とする.このときであり,群同型
が成り立つ.
を群とする.共軛作用の核
をの中心という.準同型定理よりが成り立つ.なるときを可換群という.このときであるから,の任意の部分群は正規部分群である.
が巡回群ならばは可換群である.実際,とすると,任意のに対して,よりとなるので,
よりが成り立つ.
を有限群とし,を共軛作用による軌道分解とする.このとき
が成り立つので,例23より
が成り立つ.これをの類等式という.
正規化群と共軛部分群
部分集合は安定部分集合である.実際,とすると,任意のに対して
が成り立つので,を得る.このとき,作用について
が成り立つ.よって同型
を得る.
- 正規化群の定義より明らか.
- 正規部分群の定義よりが,(i)よりがしたがう.
を作用とする.任意の部分群に対して,は安定部分集合であり,したがってによるへの作用が定まる.とくにならばは安定部分集合である.
任意のに対してが成り立つことを示せばよい.そこでとする.このときよりであるから,であってなるものが存在する.したがって
が成り立つ.
を群としをその部分群とする.このとき次は同値である:
- 同変写像が存在する;
- .
(i)(ii)
とおく.このとき,任意のに対して
よりが成り立つ.よってを得る.
(ii)(i)
より,写像が誘導される:
およびが同変写像であることから,が同変であることがわかる.
を群としをその部分群とする.このとき次は同値である:
- 軌道空間ととは同型である;
- 部分群ととは互いに共軛である.
(i)(ii)
を同型とし,とおく.このときが成り立つ.一方,より,したがってが成り立つ.
(ii)(i)
とすると,
は同型である.
Sylowの定理
を素数とする.
- 位数が冪の(部分)群を(部分)群という.
- 有限群の位数が(は互いに素)であるとき,位数の部分群をのSylow部分群という.
不動点定理(例23の再掲)
を群とする.このとき,任意の有限集合に対して
が成り立つ.
Sylow部分群の存在
準同型を考え,とおくと,
よりを得る.
ここで,
とおくと,これは安定部分集合であるから作用を考えることができる.いまは群でありであるから,あとはを示せばよい.
任意のに対して
よりが成り立つ.一方,としを取ると,
よりが成り立つ.よってとなるのでを得る.
Sylow (1)
を有限群とする.このとき,任意の素数に対してのSylow部分群が存在する.
(は互いに素)とする.
とおくと,これは安定部分集合である.作用による軌道分解を考えると,補題よりはで割り切れないので,であってなるものが存在することがわかる.そこでとおく.このとき,
より,したがってが成り立つ.一方,を固定すると,
より,単射が定まるので,が成り立つ.よってとなるのではのSylow部分群である.
Cauchy
を有限群としを素数とする.このときならば,であってなるものが存在する.実際,のSylow部分群の元を取ると,よりであるから,とおくとが成り立つ.
を有限群としを素数とする.このとき,Lagrangeの定理より,が群ならば任意のに対しては部分群である.逆に,が群でないとすると,と異なる素数であってなるものが存在するので,であってが部分群でないものが存在する.
以上より次は同値である:
- は群である;
- 任意のに対しては部分群である.
Sylow部分群の個数および共軛類
を有限群,を素数とし,をSylow部分群とする.このときの任意の部分群はに含まれる.
を部分群とする.であるから,第2同型定理より
が成り立つ.したがっては冪であるから,
よりはを含む部分群である.よってが成り立つので,を得る.
Sylow (2)
を有限群としを素数とする.このときのSylow部分群の個数について次が成り立つ:
- ;
- .
さらに,のSylow部分群は互いに共軛である.
(は互いに素)とし,をSylow部分群とする.
共軛作用を考える.このとき例34より
であるから,
が成り立つ.
いま軌道は安定部分集合であるから,作用を考えることができる.明らかにが成り立つ.逆に,とすると
よりとなるが,はSylow部分群なので,補題より,したがってが成り立つ.よってであるから
が成り立つ.
のSylow部分群全体のなす集合を
とおく.であるから,あとはを示せばよい.ところで,なるSylow部分群が存在したとすると,上と同様の考察により作用についてが成り立つことがわかるが,このとき
となり不合理である.
有限群のSylow部分群について,
より,
が成り立つ.
を相異なる素数としを位数の群とする.このとき
が成り立つ.実際,よりであるが,よりを得る.
を有限群としをその正規部分群とする.このときが素数と互いに素ならば,の任意のSylow部分群はに含まれる.実際,とするとよりと書けるのでのSylow部分群はのSylow部分群でもあり,したがって
が成り立つ.
を有限群,をそのSylow部分群とし,する.このとき,を含む任意の部分群に対して
が成り立つ.
における左正則作用により誘導される作用について
が成り立つ.よりである.逆に,とすると,任意のに対してよりとなるので,が成り立つ.いまはともにのSylow部分群なので,であってなるものが存在する.よって
よりが成り立つので,を得る.以上よりであるから,
が成り立つ.
( Frattini's argument )
を群,を有限正規部分群,を素数,をSylow部分群とする.このとき
が成り立つ.
とする.このとき
はのSylow部分群であるから,であって
を満たすものが存在する.したがってであるから
が成り立つ.
Frattini's argument の
を有限群,を素数とし,をSylow部分群とする.このときを含む任意の部分群に対して
が成り立つ.とくに
が成り立つ.
はSylow部分群であるからと合わせて
が成り立つ.
他の部分群との関係
Sylow (3)
を有限群としを素数とする.このとき任意の部分群に対して,それを含むSylow部分群が存在する.
を部分群とし,共軛作用を考える.このとき
より,不動点が存在する.したがって
よりであるから,補題20よりを得る.
を有限群としをその正規部分群とする.このときが部分群ならば,の任意のSylow部分群はを含む.実際,Sylow部分群であってなるものが存在するので,
が成り立つ.
を群とする.このとき任意の部分群に対して
が成り立つ.
のときはとなるので,としてよい.そこで
とおくと,は安定部分集合である.したがって,が群であることから
となるので,不動点が存在する.このとき任意のに対して
よりが成り立つので,を得る.であるからがしたがう.
を有限群としを部分群とする.このとき次は同値である:
- はSylow部分群である;
- は(ただひとつの)Sylow部分群である.
(i)(ii)
明らか.
(ii)(i)
対偶を示す.そこでがSylow部分群ではないとする.を含むのSylow部分群を取るとであるから,補題よりが成り立つ.いまよりはの部分群であるから,よりはSylow部分群にはなりえない.
を(は互いに素)なる有限群とする.このとき,の部分群の増大列であって
を満たすものが存在する.
とおく.
以下,に対しての存在を仮定して,条件を満たす部分群が存在することを示す.
いまよりはSylow部分群ではないので,はSylow部分群ではない.したがって剰余群についてが成り立つので,例36よりであってを満たすものが存在する(ただしは標準射影である).そこで
とおくと,であり,より
が成り立つ.
Lagrangeの定理の逆が部分的に成り立つ:
Sylow (1')
を有限群としを素数とする.このときならば,は位数の部分群を持つ.
追記(2024/05/01):
The number of p-subgroups of a group
によると位数の部分群の個数もでになるらしい.
更新履歴
- 2024/04/30:次対称群の記号がSylow部分群の記号とぶつかっていることに気付いたので,前者を変更しました.いくつか加筆および語句等の修正をしました.
- 2024/05/02:
定理8の証明を修正しました(追記:修正の必要はなかったことに気づきましたが(
参照
),面倒なのでそのままにしておきます). 例41を加筆しました. - 2024/05/05:定理8の証明を書き直しました.
- 2024/08/10:多少加筆修正しました.