作用の定義からSylowの定理まで

群の作用
左作用
右作用
誘導される作用
固定する元，される元
Galois接続
安定部分集合
群作用の基本定理
軌道と安定化群
同変写像
Orbit-Stabilizer Theorem
附：Zagier's One-Sentence Proof
Orbit-Counting Theorem
共軛作用
正規部分群
準同型定理
正規化群と共軛部分群
Sylowの定理
Sylow $p$ 部分群の存在
Sylow $p$ 部分群の個数および共軛類
他の $p$ 部分群との関係
更新履歴
参考文献

大学数学基礎解説

文献あり

作用の定義からSylowの定理まで

群作用,群論,Sylowの定理

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群，準同型，部分群の定義と簡単な性質については知っているものとします．

群の作用

左作用

$X$ を集合とする．集合
$Sym (X) := {f : X \to X ∣ f は全単射}$
は写像の合成 $(f, g) \mapsto f \circ g$ を積として群をなす．これを $X$ 上の対称群という．とくに正整数 $n \in Z_{> 0}$ に対して， $S_{n} := Sym ({1, \dots, n})$ を $n$ 次対称群という．

$G$ を群， $X$ を集合とする．準同型 $α : G \to Sym (X)$ を $G$ による $X$ への（左）作用という．組 $(X, α)$ または単に $X$ を $G$ 集合という． $α (g) (x)$ をしばしば $g \cdot x$ と略記する．

$α : G \to Sym (X)$ を作用とする．このとき写像 $\overset{ˇ}{α} : G \times X \to X$ を
$\overset{ˇ}{α} (g, x) = α (g) (x)$
で定めると，次が成り立つ：

$\overset{ˇ}{α} (g g^{'}, x) = \overset{ˇ}{α} (g, \overset{ˇ}{α} (g^{'}, x))$ ;
$\overset{ˇ}{α} (e, x) = x$ .

逆に写像 $\overset{ˇ}{α} : G \times X \to X$ が上の2条件を満たすとき，各 $g \in G$ に対して写像
${\overset{ˇ}{α}}_{g} : X \to X; x \mapsto \overset{ˇ}{α} (g, x)$
は全単射であり，写像
$α : G \to Sym (X); g \mapsto {\overset{ˇ}{α}}_{g}$
は準同型となる．

$X$ を集合とする．このとき恒等写像 $Sym (X) \to Sym (X)$ は群 $Sym (X)$ による集合 $X$ への作用を定める．

$X$ を集合とする． $f \in Sym (X)$ に対して，冪集合の間の写像 $P (f) : P (X) \to P (X)$ を
$P (f) (A) = f (A)$
で定めると，これは全単射であり，写像
$Sym (X) \to Sym (P (X)); f \mapsto P (f)$
は準同型となる．

作用 $α : G \to Sym (X)$ に対して，合成 $G \overset{α}{\to} Sym (X) \to Sym (P (X))$ を $P_{*} α$ で表わす：
$(P_{*} α) (g) = P (α (g)) .$

自明な作用

準同型 $G \to {{id}_{X}} \subset Sym (X)$ を自明な作用という．

左正則作用

$G$ を群とする．各 $g \in G$ に対して写像 $λ_{g} : G \to G$ を $λ_{g} (h) = g h$ で定めると， $λ_{g} \circ λ_{g^{- 1}} = {id}_{G} = λ_{g^{- 1}} \circ λ_{g}$ より $λ_{g}$ は全単射である．そこで写像 $λ : G \to Sym (G)$ を $λ (g) = λ_{g}$ で定めると，これは準同型である．実際
$λ (g g^{'}) (h) = g g^{'} h = (λ (g) \circ λ (g^{'})) (h)$
より $λ (g g^{'}) = λ (g) \circ λ (g^{'})$ が成り立つ．準同型 $λ$ を左正則作用という．さらに
$λ (g) = λ (g^{'}) ⟹ g = λ_{g} (e) = λ_{g^{'}} (e) = g^{'}$
より $λ$ は単射である．

共軛作用

$G$ を群とする．各 $g \in G$ に対して写像 ${Inn}_{g} : G \to G$ を
${Inn}_{g} (h) = g h g^{- 1}$
で定めると，これは同型写像である．実際， ${Inn}_{g} \circ {Inn}_{g^{- 1}} = {id}_{G} = {Inn}_{g^{- 1}} \circ {Inn}_{g}$ より ${Inn}_{g}$ は全単射であり，
${Inn}_{g} (h h^{'}) = g (h h^{'}) g^{- 1} = (g h g^{- 1}) (g h^{'} g^{- 1}) = {Inn}_{g} (h) \cdot {Inn}_{g} (h^{'})$
より ${Inn}_{g}$ は準同型である．そこで写像 $Inn : G \to Sym (G)$ を $Inn (g) = {Inn}_{g}$ で定めると，これは準同型である．実際
$Inn (g g^{'}) (h) = (g g^{'}) h (g g^{'})^{- 1} = g (g^{'} h g^{' - 1}) g^{- 1} = (Inn (g) \circ Inn (g^{'})) (h)$
より $Inn (g g^{'}) = Inn (g) \circ Inn (g^{'})$ が成り立つ．準同型 $Inn$ を共軛作用という．

右作用

反準同型 $β : G \to Sym (X)$ を $G$ による $X$ への右作用という：
$β (g g^{'}) = β (g^{'}) \circ β (g) .$

右作用は，写像 $\overset{ˇ}{β} : X \times G \to X$ であって

$\overset{ˇ}{β} (x, g g^{'}) = \overset{ˇ}{β} (\overset{ˇ}{β} (x, g), g^{'})$ ;
$\overset{ˇ}{β} (x, e) = x$

を満たすものと同等である．

$α : G \to Sym (X)$ を左作用とする．このとき写像
$β : G \to Sym (X); g \mapsto α (g^{- 1})$
は右作用である．実際
$β (g g^{'}) = α ((g g^{'})^{- 1}) = α (g^{' - 1} g^{- 1}) = α (g^{' - 1}) \circ α (g^{- 1}) = β (g^{'}) \circ β (g)$
が成り立つ．逆も然り．

$G$ を群とする．各 $g \in G$ に対して写像 $ρ_{g} : G \to G$ を $ρ_{g} (h) = h g$ で定めると， $ρ_{g} \circ ρ_{g^{- 1}} = {id}_{G} = ρ_{g^{- 1}} \circ ρ_{g}$ より $ρ_{g}$ は全単射である．そこで写像 $ρ : G \to Sym (G)$ を $ρ (g) = ρ_{g}$ で定めると，これは反準同型である．実際
$ρ (g g^{'}) (h) = h g g^{'} = (ρ (g^{'}) \circ ρ (g)) (h)$
より $ρ (g g^{'}) = ρ (g^{'}) \circ ρ (g)$ が成り立つ．さらに
$ρ (g) = ρ (g^{'}) ⟹ g = ρ_{g} (e) = ρ_{g^{'}} (e) = g^{'}$
より $ρ$ は単射である．

以下，おもに左作用について考えることとし，右作用に関する並行した議論は割愛する．

誘導される作用

$α : G \to Sym (X)$ を作用とする．準同型 $φ : H \to G$ に対して，合成 $φ^{*} α := α \circ φ : H \to G \to Sym (X)$ は $H$ による $X$ への作用を定める．

$α : G \to Sym (X)$ を作用とし， $θ : X \to Y$ を全単射とする．このとき，
$θ_{*} α (g) := θ \circ α (g) \circ θ^{- 1} : Y \to Y$
により $Y$ は $G$ 集合となる：
$X α (g) θ X θ Y θ_{*} α (g) Y$

$X, Y$ を $G$ 集合とする．このとき
$g \cdot (x, y) := (g \cdot x, g \cdot y)$
により， $X \times Y$ は $G$ 集合となる．

$X, Y$ を $G$ 集合とする．このとき
$(g \cdot f) (x) := g \cdot f (g^{- 1} \cdot x)$
により， $Map (X, Y)$ は $G$ 集合となる．実際
$\begin{aligned} ((g g^{'}) \cdot f) (x) & = g g^{'} \cdot f ((g g^{'})^{- 1} \cdot x) \\ = g g^{'} \cdot f (g^{' - 1} g^{- 1} \cdot x) \\ = g \cdot (g^{'} \cdot f (g^{' - 1} \cdot (g^{- 1} \cdot x))) \\ = g \cdot (g^{'} \cdot f) (g^{- 1} \cdot x) \\ = (g \cdot (g^{'} \cdot f)) (x) \end{aligned}$
より， $g g^{'} \cdot f = g \cdot (g^{'} \cdot f)$ が成り立つ．また明らかに $e \cdot f = f$ が成り立つ．

$X$ を集合とする．このとき
$g \cdot (x_{1}, \dots, x_{n}) := (x_{g^{- 1} (1)}, \dots, x_{g^{- 1} (n)})$
により， $X^{n}$ は $S_{n}$ 集合となる．実際， $y_{i} = x_{g^{' - 1} (i)}$ とおくことで，
$\begin{aligned} g g^{'} \cdot (x_{1}, \dots, x_{n}) & = (x_{(g g^{'})^{- 1} (1)}, \dots, x_{(g g^{'})^{- 1} (n)}) \\ = (x_{g^{' - 1} (g^{- 1} (1))}, \dots, x_{g^{' - 1} (g^{- 1} (n))}) \\ = (y_{g^{- 1} (1)}, \dots, y_{g^{- 1} (n)}) \\ = g \cdot (y_{1}, \dots, y_{n}) \\ = g \cdot (x_{g^{' - 1} (1)}, \dots, x_{g^{' - 1} (n)}) \\ = g \cdot (g^{'} \cdot (x_{1}, \dots, x_{n})) \end{aligned}$
が成り立つことがわかる．また明らかに $e \cdot (x_{1}, \dots, x_{n}) = (x_{1}, \dots, x_{n})$ が成り立つ．

$(X, α)$ を $G$ 集合とし， $R \subset X \times X$ を同値関係とする．
$(x, y) \in R ⟹ (g \cdot x, g \cdot y) \in R$
が成り立つとき， $R$ は $α$ と両立するという．このとき，各 $g \in G$ に対して全単射 $α_{R} (g) : X / R \to X / R$ であって
$α_{R} (g) \circ π = π \circ α (g)$
を満たすものがただひとつ存在する：
$X α (g) π X π X / R α_{R} (g) X / R$
写像 $α_{R} : G \to Sym (X / R)$ は準同型である．実際，
$\begin{aligned} α_{R} (g g^{'}) \circ π & = π \circ α (g g^{'}) \\ = π \circ α (g) \circ α (g^{'}) \\ = α_{R} (g) \circ π \circ α (g^{'}) \\ = α_{R} (g) \circ α_{R} (g^{'}) \circ π \end{aligned}$
より， $α_{R} (g g^{'}) = α_{R} (g) \circ α_{R} (g^{'})$ が成り立つ．よって $(X / R, α_{R})$ は $G$ 集合である．

固定する元，される元

Galois接続

$α : G \to Sym (X)$ を作用とする．

部分集合 $S \subset G$ に対して， $X$ の部分集合
$X^{α, S} := X^{S} := {x \in X ∣ \forall s \in S, s \cdot x = x}$
の元を $S$ による不動点，固定点などという．また $g \in G$ に対して $X^{{g}}$ を $X^{g}$ と略記する．

部分集合 $A \subset X$ に対して， $G$ の部分群
${g \in G ∣ \forall a \in A, g \cdot a = a}$
を ${Fix}_{α} (A), {Fix}_{G} (A), Fix (A)$ などで表わす．

写像 $γ : P (G) \to P (X), δ : P (X) \to P (G)$ をそれぞれ
$γ (S) = X^{S}; δ (A) = Fix (A)$
で定める．このとき次が成り立つ：

$S \subset S^{'} ⟹ γ (S) \supset γ (S^{'})$ ;
$A \subset A^{'} ⟹ δ (A) \supset δ (A^{'})$ ;
$S \subset δ (A) ⟺ A \subset γ (S)$ ;
$γ (S) = γ (δ (γ (S)))$ ;
$δ (A) = δ (γ (δ (A)))$ .

$x \in γ (S^{'}) ⟹ \forall s \in S \subset S^{'}, s \cdot x = x ⟹ x \in γ (S)$ .
$g \in δ (A^{'}) ⟹ \forall a \in A \subset A^{'}, g \cdot a = a ⟹ g \in δ (A)$ .
$S \subset δ (A) ⟺ \forall (s, a) \in S \times A, s \cdot a = a ⟺ A \subset γ (S)$ .
$γ (S) \subset γ (S)$ より $S \subset δ (γ (S))$ となるので，(i)より $γ (S) \supset γ (δ (γ (S)))$ を得る．逆に $δ (γ (S)) \subset δ (γ (S))$ より $γ (S) \subset γ (δ (γ (S)))$ を得る．
$δ (A) \subset δ (A)$ より $A \subset γ (δ (A))$ となるので，(ii)より $δ (A) \supset δ (γ (δ (A)))$ を得る．逆に $γ (δ (A)) \subset γ (δ (A))$ より $δ (A) \subset δ (γ (δ (A)))$ を得る．

任意の部分集合 $S \subset G$ に対して
$X^{S} = X^{⟨ S ⟩}$
が成り立つ．

$S \subset ⟨ S ⟩$ より $X^{S} \supset X^{⟨ S ⟩}$ が成り立つ．
$x \in X^{S}$ とする．
- $g \in ⟨ S ⟩$ とする．
- 有限個の $s_{i} \in S \cup S^{- 1}$ を用いて $g = s_{1} \dots s_{n}$ と書ける．
- $s_{i} \cdot x = x$ より $g \cdot x = x$ が成り立つ．
よって $x \in X^{⟨ S ⟩}$ を得る．

安定部分集合

$α : G \to Sym (X)$ を作用とする．

作用 $P_{*} α$ の不動点，すなわち部分集合 $Y \subset X$ であって
$\forall g \in G, α (g) (Y) = Y$
を満たすものを $α$ 安定部分集合という．

$Y \subset X$ を $α$ 安定部分集合とする．このとき各 $g \in G$ に対して全単射
$α (g)^{Y} : Y \to Y; y \mapsto g \cdot y$
が定まり，
$G \to Sym (Y); g \mapsto α (g)^{Y}$
は $G$ による $Y$ への作用を定める．これを $α^{Y}$ で表わす．

$Y \subset X$ とする．このとき次は同値である：

$Y \subset X$ は $α$ 安定部分集合である；
$\forall g \in G, α (g) (Y) \subset Y$ が成り立つ．

(i) $⟹$ (ii)

明らか．

(ii) $⟹$ (i)

$g \in G$ とする．仮定より $α (g^{\pm 1}) (Y) \subset Y$ が成り立つ．したがって
$α (g) (Y) \subset Y = α (g) (α (g^{- 1}) (Y)) \subset α (g) (Y)$
が成り立つ．

群作用の基本定理

軌道と安定化群

$α : G \to Sym (X)$ を作用とする．

各 $x \in X$ に対して，
${Orb}_{α} (x) := G \cdot x := {g \cdot x \in X ∣ g \in G}$
を $x$ の $α$ 軌道， $G$ 軌道などといい，
${Stab}_{α} (x) := G_{x} := {Fix}_{α} ({x}) = {g \in G ∣ g \cdot x = x}$
を $x$ の安定化群という．

任意の $x \in X$ に対して，その $α$ 軌道 ${Orb}_{α} (x) \subset X$ は $α$ 安定部分集合である．

任意の部分集合 $S \subset G$ に対して
$X^{S} = {x \in X ∣ S \subset G_{x}}$
が成り立つ．したがって任意の $x \in X$ に対して
$x \in X^{G} ⟺ G_{x} = G$
が成り立つ．

任意の $(g, x) \in G \times X$ に対して
${Stab}_{α} (g \cdot x) = {Inn}_{g} ({Stab}_{α} (x))$
が成り立つ．実際，
$\begin{aligned} h \in {Stab}_{α} (g \cdot x) & ⟺ h \cdot (g \cdot x) = g \cdot x \\ ⟺ g^{- 1} h g \cdot x = x \\ ⟺ {Inn}_{g^{- 1}} (h) = g^{- 1} h g \in {Stab}_{α} (x) \\ ⟺ h \in {Inn}_{g} ({Stab}_{α} (x)) \end{aligned}$
が成り立つ．

任意の部分集合 $A \subset X$ に対して
${Fix}_{α} (A) = ⋂_{a \in A} {Stab}_{α} (a)$
が成り立つ．また
$Ker (α) = ⋂_{x \in X} {Stab}_{α} (x)$
が成り立つ．実際，
$\begin{aligned} g \in Ker (α) & ⟺ α (g) = {id}_{X} \\ ⟺ \forall x \in X, g \cdot x = x \\ ⟺ \forall x \in X, g \in {Stab}_{α} (x) \\ ⟺ g \in ⋂_{x \in X} {Stab}_{α} (x) \end{aligned}$
が成り立つ．

$x \in X$ であって $X = {Orb}_{α} (x)$ なるものが存在するとき， $α$ を推移的作用という；
群 $G$ が推移的に作用している集合を推移的 $G$ 集合， $G$ 等質集合などという；
$\forall x \in X, {Stab}_{α} (x) = {e}$ が成り立つとき， $α$ を自由な作用という；
$Ker (α) = {e}$ なるとき， $α$ を効果的作用という．

自由な作用は効果的作用である．

$X$ を $G$ 集合とする．このとき次は同値である：

$X$ は推移的 $G$ 集合である；
$X \neq \emptyset$ であり，任意の $x \in X$ に対して $X = G \cdot x$ が成り立つ．

(i) $⟹$ (ii)

仮定より $x_{0} \in X$ であって $X = G \cdot x_{0}$ となるものが存在する．このとき，任意の $x \in X$ に対して， $x \in G \cdot x_{0}$ より $G \cdot x = G \cdot x_{0} = X$ が成り立つ（cf. 補題6）．

(ii) $⟹$ (i)

$\exists x \in X \neq \emptyset$ ゆえ $X = G \cdot x$ が成り立つ．

$X$ を推移的 $G$ 集合とする．このとき，ある1点 $x_{0}$ における安定化群が自明ならば，作用は自由である．実際，任意の $x \in X = G \cdot x_{0}$ に対して
$G_{x} = G_{{}^{\exists}g \cdot x_{0}} = {Inn}_{g} (G_{x_{0}}) = {Inn}_{g} ({e}) = {e}$
が成り立つ．

同変写像

$X, Y$ を $G$ 集合とし， $f : X \to Y$ を写像とする．任意の $(g, x) \in G \times X$ に対して
$f (g \cdot x) = g \cdot f (x)$
が成り立つとき， $f$ を $G$ 同変写像という：
$X α_{X} (g) f X f Y α_{Y} (g) Y$
$G$ 同変写像 $f : X \to Y$ に対して， $G$ 同変写像 $f^{'} : Y \to X$ であって
$f^{'} \circ f = {id}_{X}, f \circ f^{'} = {id}_{Y}$
を満たすものが存在するとき， $f$ を $G$ 同型（写像）という． $G$ 集合 $X, Y$ の間に $G$ 同型写像が存在するとき， $X$ と $Y$ とは $G$ 同型であるといい $X ≅_{G} Y$ で表わす．

$X$ を $G$ 空間， $R \subset X \times X$ を作用と両立する同値関係とする．このとき，標準射影 $π : X \to X / R$ は $G$ 同変写像である．

$f : X \to Y$ を $G$ 同変写像とする．このとき次は同値である：

$f$ は $G$ 同型写像である；
$f$ は全単射である．

(i) $⟹$ (ii)

明らか．

(ii) $⟹$ (i)

$f$ の逆写像 $f^{- 1} : Y \to X$ が $G$ 同変写像であることを示せばよい．ところで任意の $(g, y) \in G \times Y$ に対して
$f^{- 1} (g \cdot y) = f^{- 1} (g \cdot f (f^{- 1} (y))) = f^{- 1} (f (g \cdot f^{- 1} (y))) = g \cdot f^{- 1} (y)$
が成り立つ．

$f : X \to Y$ を $G$ 同変写像とする．このとき， $f$ は $G$ 同型
$X / R (f) ≅_{G} f (X)$
を誘導する．

$\begin{aligned} (x, x^{'}) \in R (f) & ⟹ f (x) = f (x^{'}) \\ ⟹ f (g \cdot x) = g \cdot f (x) = g \cdot f (x^{'}) = f (g \cdot x^{'}) \\ ⟹ (g \cdot x, g \cdot x^{'}) \in R (f) \end{aligned}$
より， $R (f)$ は作用と両立する．

標準射影を $π : X \to X / R (f)$ とおく． $f$ が誘導する全単射
$\overset{―}{f} : X / R (f) \to f (X); π (x) \mapsto f (x)$
が $G$ 同変写像であることを示せばよい．ところで，任意の $(g, x) \in G \times X$ に対して
$\overset{―}{f} (g \cdot π (x)) = \overset{―}{f} (π (g \cdot x)) = f (g \cdot x) = g \cdot f (x) = g \cdot \overset{―}{f} (π (x))$
が成り立つ．

Orbit-Stabilizer Theorem

$α : G \to Sym (X)$ を作用とする． $X$ 上の関係 $\sim_{α}$ を
$x \sim_{α} y : ⟺ y \in {Orb}_{α} (x)$
と定めると，以下の補題よりこれは $X$ 上の同値関係であることがわかる：

次は同値である：

$x \sim_{α} y$ ;
${Orb}_{α} (x) = {Orb}_{α} (y)$ .

(i) $⟹$ (ii)

$y \in G \cdot x$ より $g \in G$ であって $y = g \cdot x$ なるものが存在する．したがって，任意の $h \in G$ に対して
$h \cdot y = h \cdot (g \cdot x) = (h g) \cdot x \in G \cdot x$
が成り立つので， $G \cdot y \subset G \cdot x$ を得る．同様にして， $x = g^{- 1} \cdot y$ より $G \cdot x \subset G \cdot y$ を得る．

(ii) $⟹$ (i)

$y = e \cdot y \in G \cdot y = G \cdot x$ が成り立つ．

同値関係 $\sim_{α}$ による商集合を $α$ による軌道空間といい， $X / α, G ∖ X$ などで表わす．

$G$ を群とし $H < G$ をその部分群とする．このとき右作用 $ρ | H$ による軌道空間 $G / H$ は推移的 $G$ 集合である．実際，
$y = x h ⟹ g y = (g x) h$
より同値関係 $\sim_{ρ | H}$ は左正則作用 $λ : G \to Sym (G)$ と両立するので $(G / H, λ_{\sim_{ρ | H}})$ は $G$ 集合であり，
$\forall g \in G, {Orb}_{ρ | H} (g) = {g h ∣ h \in H} = λ_{\sim_{ρ | H}} (g) (H)$
より $G / H = {Orb}_{λ_{\sim_{ρ | H}}} (H)$ が成り立つ．

定理5の

$X$ を $G$ 集合とする．このとき，任意の $x \in X$ に対して
$G / G_{x} \to G \cdot x; g G_{x} \mapsto g \cdot x$
は $G$ 同型である．

任意の $g, g^{'} \in G$ に対して
$g \cdot x = g^{'} \cdot x ⟺ g^{- 1} g^{'} \in G_{x} ⟺ g \sim_{ρ | G_{x}} g^{'}$
が成り立つ．よって $G$ 同変写像
$G \to X; g \mapsto g \cdot x$
は $G$ 同型 $G / G_{x} \to G \cdot x$ を誘導する．

$X$ を推移的 $G$ 集合とする．このとき任意の $x \in X$ に対して
$G / G_{x} ≅_{G} X$
が成り立つ．

$X$ を $G$ 集合とする．このとき，任意の $x \in X$ に対して
$# G = # (G \cdot x) \cdot # G_{x}$
が成り立つ．

全単射 $G \to (G \cdot x) \times G_{x}$ が存在することを示せばよい．

任意の $y \in G \cdot x$ に対して ${g \in G ∣ g \cdot x = y} \neq \emptyset$ であるから，写像 $ψ : G \cdot x \to G$ であって
$\forall y \in G \cdot x, ψ (y) \cdot x = y$
を満たすものが存在する．
$g \in G$ とすると， $ψ (g \cdot x) \cdot x = g \cdot x$ より， $ψ (g \cdot x)^{- 1} g \in G_{x}$ が成り立つ．

そこで，写像 $Φ : G \to (G \cdot x) \times G_{x}, Ψ : (G \cdot x) \times G_{x} \to G$ をそれぞれ
$Φ (g) = (g \cdot x, ψ (g \cdot x)^{- 1} g); Ψ (y, g) = ψ (y) g$
で定めると，これらは互いの逆写像である．実際，
$(Ψ \circ Φ) (g) = Ψ (g \cdot x, ψ (g \cdot x)^{- 1} g) = ψ (g \cdot x) ψ (g \cdot x)^{- 1} g = g$
および
$\begin{aligned} (Φ \circ Ψ) (y, g) & = Φ (ψ (y) g) \\ = (ψ (y) g \cdot x, ψ (ψ (y) g \cdot x)^{- 1} ψ (y) g) \\ = (ψ (y) \cdot (g \cdot x), ψ (ψ (y) \cdot (g \cdot x))^{- 1} ψ (y) g) \\ = (ψ (y) \cdot x, ψ (ψ (y) \cdot x) ψ (y)^{- 1} g) \\ = (y, ψ (y) ψ (y)^{- 1} g) \\ = (y, g) \end{aligned}$
が成り立つ．

( Lagrange )

$G$ を群， $H < G$ を部分群とする．このとき
$# G = # (G / H) \cdot # H$
が成り立つ．

$G$ の $P (G)$ への作用 $P_{*} λ$ を考える．このとき
${Stab}_{P_{*} λ} (H) = {g \in G ∣ g H = H} = {g \in G ∣ g \in H} = H$
となるので，
${Orb}_{P_{*} λ} (H) ≅_{G} G / {Stab}_{P_{*} λ} (H) = G / H$
と合わせて結論を得る．

附：Zagier's One-Sentence Proof

$X$ を有限 $G$ 集合とし， $X = ⨆_{i \in I} G \cdot x_{i}$ をその軌道分解とする．このとき
$\begin{aligned} # X & = \sum_{x_{i} \notin X^{G}} # (G \cdot x_{i}) + \sum_{x_{i} \in X^{G}} # (G \cdot x_{i}) \\ = \sum_{x_{i} \notin X^{G}} # (G \cdot x_{i}) + \sum_{x_{i} \in X^{G}} 1 \\ = \sum_{x_{i} \notin X^{G}} # (G \cdot x_{i}) + # X^{G} \end{aligned}$
が成り立つ．したがって， $G$ の位数が $p$ 冪であるとき
$\forall x_{i} \notin X^{G}, # (G \cdot x_{i}) = # G / # G_{x_{i}} \equiv 0 (\mod p)$
であるから
$# X \equiv # X^{G} (\mod p)$
が成り立つ．

追記（2024/05/05）

$X$ を有限集合とする．写像 $g : X \to X$ について $g \circ g = {id}_{X}$ が成り立つとする．このとき $g \in Sym (X)$ であるが，さらに
$# X \equiv # X^{g} (\mod 2)$
が成り立つ．実際， $g = {id}_{X}$ のときは $X = X^{g}$ が， $g \neq {id}_{X}$ のときは $# ⟨ g ⟩ = 2$ が成り立つので，いづれにしろ
$# X \equiv # X^{g} (\mod 2)$
を得る（cf. 定理1 系1）．

Fermat

$p$ を奇素数とする．このとき次は同値である：

$\exists x, y \in Z, p = x^{2} + y^{2}$ ;
$p \equiv 1 (\mod 4)$ .

(i) $⟹$ (ii)

$p$ が奇数であることから $x, y$ の偶奇は一致しないので， $x = 2 u, y = 2 v + 1$ と書けるとしてよい．このとき
$p = (2 u)^{2} + (2 v + 1)^{2} = 4 (u^{2} + v^{2} + v) + 1 \equiv 1 (\mod 4)$
が成り立つ．

(ii) $⟹$ (i) [ 原論文（pdf） ]

$p = 4 n + 1$ とおく．

有限集合 $X \subset (Z_{> 0})^{3}$ を
$X = {(x, y, z) \in (Z_{> 0})^{3} ∣ x^{2} + 4 y z = p}$
で定める．任意の $(x, y, z) \in X$ に対して
$\begin{aligned} y - z & < 2 y, \\ (y - z)^{2} + 4 y z = (y + z)^{2} & \neq p ⇝ x \neq y - z, \\ (2 y)^{2} + 4 y z = 4 y (y + z) & \neq p ⇝ x \neq 2 y, \\ (x + 2 z)^{2} + 4 z (y - z - x) & = x^{2} + 4 y z = p, \\ (2 y - x)^{2} + 4 y (x - y + z) & = x^{2} + 4 y z = p, \end{aligned}$
が成り立つので，写像 $g : X \to X$ を次で定めることができる：
$g (x, y, z) = {\begin{cases} (x + 2 z, z, y - z - x), & x < y - z \\ (2 y - x, y, x - y + z), & y - z < x < 2 y \\ (x - 2 y, x - y + z, y), & 2 y < x \end{cases} .$

$x < y - z$ のとき， $2 z < x + 2 z$ より
$\begin{aligned} (g \circ g) (x, y, z) & = g (x + 2 z, z, y - z - x) \\ = ((x + 2 z) - 2 z, (x + 2 z) - z + (y - z - x), z) \\ = (x, y, z) \end{aligned}$
が成り立つ．
$y - z < x < 2 y$ のとき， $y - (x - y + z) < 2 y - x < 2 y$ より
$\begin{aligned} (g \circ g) (x, y, z) & = g (2 y - x, y, x - y + z) \\ = (2 y - (2 y - x), y, (2 y - x) - y + (x - y + z)) \\ = (x, y, z) \end{aligned}$
が成り立つ．
$2 y < x$ のとき， $x - 2 y < (x - y + z) - y$ より
$\begin{aligned} (g \circ g) (x, y, z) & = g (x - 2 y, x - y + z, y) \\ = ((x - 2 y) + 2 y, y, (x - y + z) - (x - 2 y) - y) \\ = (x, y, z) \end{aligned}$
が成り立つ．

したがって $g \circ g = {id}_{X}$ を得るので
$# X \equiv # X^{g} (\mod 2)$
が成り立つ．

Claim. $X^{g} = {(1, 1, n)}$ が成り立つ

$(1, 1, n) \in X$ であり， $1 - n < 1 < 2$ であるから
$g (1, 1, n) = (2 - 1, 1, 1 - 1 + n) = (1, 1, n)$
が成り立つ．したがって $(1, 1, n) \in X^{g}$ を得る．
$(x, y, z) \in X^{g}$ とする．上の考察より $y - z < x < 2 y$ でないといけないので， $g (x, y, z) = (x, y, z)$ より $x = y$ を得る．このとき $p = x (x + 4 z)$ より $x = 1$ を得，したがって $4 z + 1 = p = 4 n + 1$ より $z = n$ を得る． $◻$

以上より
$# X \equiv 1 (\mod 2)$
が成り立つ．そこで全単射 $g^{'} : X \to X$ を
$g^{'} (x, y, z) = (x, z, y)$
で定めると， $g^{'} \circ g^{'} = {id}_{X}$ より $# X^{g^{'}} \equiv # X \equiv 1 (\mod 2)$ が成り立つ．したがって不動点 $(x, y, z) \in X^{g^{'}}$ が存在する．このとき $y = z$ であるから
$p = x^{2} + 4 y y = x^{2} + (2 y)^{2}$
と書ける．

Orbit-Counting Theorem

$X$ を $G$ 集合とする．このとき
$# (G ∖ X) \cdot # G = \sum_{g \in G} # X^{g}$
が成り立つ．

集合 ${(g, x) \in G \times X ∣ g \cdot x = x}$ を2通りに“数える”ことで
$\sum_{x \in X} # G_{x} = # {(g, x) \in G \times X ∣ g \cdot x = x} = \sum_{g \in G} # X^{g}$
が成り立つことがわかる．あとは全単射 $(G ∖ X) \times G \to \underset{x \in X}{∐} G_{x}$ が存在することを示せばよい．

標準射影 $π : X \to G ∖ X$ の切断を $σ : G ∖ X \to X$ とおく．
各 $A \in G ∖ X$ に対して，写像 $ψ_{A} : A \to G$ であって
$\forall a \in A, ψ_{A} (a) \cdot σ (A) = a$
を満たすものが存在する．

そこで，写像 $Φ : (G ∖ X) \times G \to \underset{x \in X}{∐} G_{x}, Ψ : \underset{x \in X}{∐} G_{x} \to (G ∖ X) \times G$ をそれぞれ
$\begin{aligned} Φ (A, g) & = (g \cdot σ (A), g ψ_{A} (g \cdot σ (A))^{- 1}), \\ Ψ (x, g) & = (π (x), g ψ_{π (x)} (x)) \end{aligned}$
で定めると，これらは互いの逆写像である．実際
$\begin{aligned} (Ψ \circ Φ) (A, g) & = Ψ (g \cdot σ (A), g ψ_{A} (g \cdot σ (A))^{- 1}) \\ = (π (g \cdot σ (A)), g ψ_{A} (g \cdot σ (A))^{- 1} ψ_{π (g \cdot σ (A))} (g \cdot σ (A))) \\ = (A, g ψ_{A} (g \cdot σ (A))^{- 1} ψ_{A} (g \cdot σ (A))) \\ = (A, g) \end{aligned}$
および
$\begin{aligned} (Φ \circ Ψ) (x, g) & = Φ (π (x), g ψ_{π (x)} (x)) \\ = (g ψ_{π (x)} (x) \cdot σ π (x), g ψ_{π (x)} (x) ψ_{π (x)} (g ψ_{π (x)} (x) \cdot σ π (x))^{- 1}) \\ = (g \cdot (ψ_{π (x)} (x) \cdot σ π (x)), g ψ_{π (x)} (x) ψ_{π (x)} (g \cdot (ψ_{π (x)} (x) \cdot σ π (x)))^{- 1}) \\ = (g \cdot x, g ψ_{π (x)} (x) ψ_{π (x)} (g \cdot x)^{- 1}) \\ = (x, g ψ_{π (x)} (x) ψ_{π (x)} (x)^{- 1}) \\ = (x, g) \end{aligned}$
が成り立つ．

共軛作用

正規部分群

$G$ を群とする．部分群 $N < G$ が作用 $P_{*} Inn$ の不動点であるとき，すなわち
$\forall g \in G, g N g^{- 1} = N$
が成り立つとき， $N$ を $G$ の正規部分群といい $N ◃ G$ で表わす．

${e}, G ◃ G$ である．

部分群 $N < G$ について，次は同値である：

$N ◃ G$ ;
$\forall g \in G, g N g^{- 1} \subset N$ .

$φ : G \to G^{'}$ を準同型とする．このとき次が成り立つ：

$N ◃ G ⟹ φ (N) ◃ φ (G)$ ;
$N^{'} ◃ G^{'} ⟹ φ^{- 1} (N^{'}) ◃ G$ .

それぞれが部分群であることはよい．

任意の $g \in G, n \in N$ に対して
$φ (g) φ (n) φ (g)^{- 1} = φ (g n g^{- 1}) \in φ (N)$
が成り立つ．
任意の $g \in G, n \in φ^{- 1} (N^{'})$ に対して
$φ (g n g^{- 1}) = φ (g) φ (n) φ (g)^{- 1} \in N^{'}$
より， $g n g^{- 1} \in φ^{- 1} (N^{'})$ が成り立つ．

$φ : G \to G^{'}$ を準同型とする．このとき ${e^{'}} ◃ G^{'}$ より $Ker (φ) = φ^{- 1} (e^{'}) ◃ G$ である．

$(X, α)$ を推移的 $G$ 集合とする．また， $x_{0} \in X$ とし $H = {Stab}_{α} (x_{0})$ とおく．このとき
$\begin{aligned} G ▹ Ker (α) & = ⋂_{x \in X} {Stab}_{α} (x) \\ = ⋂_{g \in G} {Stab}_{α} (g \cdot x_{0}) \\ = ⋂_{g \in G} {Inn}_{g} ({Stab}_{α} (x_{0})) \\ = ⋂_{g \in G} g H g^{- 1} \subset H \end{aligned}$
は $H$ に含まれる最大の $G$ の正規部分群である．実際， $N ◃ G$ が $H$ に含まれれば，
$\forall g \in G, N = g N g^{- 1} \subset g H g^{- 1}$
より $N \subset Ker (α)$ が成り立つ．したがって， $α$ が効果的作用であるためには，ある1点の安定化群に含まれる $G$ の正規部分群が ${e}$ のみであることが必要かつ十分である．

部分群 $N < G$ について，次は同値である：

$N ◃ G$ ;
軌道空間 $G / N$ 上の群構造であって，標準射影 $π : G \to G / N$ が準同型となるようなものが（ただひとつ）存在する．

(i) $⟹$ (ii)

$g, g^{'}, h, h^{'} \in G$ とし， $g \sim_{ρ | N} g^{'}, h \sim_{ρ | N} h^{'}$ とする．このとき $h^{- 1} h^{'} \in N$ より
$h^{'} h^{- 1} = h (h^{- 1} h^{'}) h^{- 1} \in h N h^{- 1} = N$
となるので， $g^{- 1} g^{'} \in N$ と合わせて
$(g h)^{- 1} (g^{'} h^{'}) = h^{- 1} (g^{- 1} g^{'} h^{'} h^{- 1}) h \in h^{- 1} N h = N$
を得る．したがって $g h \sim_{ρ | N} g^{'} h^{'}$ が成り立つ．よって写像 $μ_{G / N} : G / N \times G / N \to G / N$ であって $π \circ μ_{G} = μ_{G / N} \circ (π \times π)$ を満たすものがただひとつ存在する：
$G \times G μ_{G} π \times π G π G / N \times G / N μ_{G / N} G / N .$
この $μ_{G / N}$ を積とし， $π (e) \in G / N$ を単位元， $ι_{G / N} : G / N \to G / N; π (g) \mapsto π (g^{- 1})$ を逆元として， $G / N$ は群をなす（ことが容易に確かめられる）．この群構造に関して $π$ が準同型となることは積の定義より明らか．

群 $(G / N, μ_{G / N}, π (e), ι_{G / N})$ を正規部分群 $N ◃ G$ による剰余群という．

(ii) $⟹$ (i)

仮定より $π (e) \in G / N$ は単位元であり，任意の $g \in G$ に対して
$g \in Ker (π) ⟺ π (g) = π (e) ⟺ g \in N$
が成り立つので， $N = Ker (π) ◃ G$ を得る．

準同型定理

準同型 $φ : G \to G^{'}$ は群同型
$G / Ker (φ) ≅ φ (G)$
を誘導する．

標準射影を $π : G \to G / Ker (φ)$ とおく． $Ker (φ) ◃ G$ より $G / Ker (φ)$ は群であり，
$\begin{aligned} π (g) = π (g^{'}) & ⟺ g^{- 1} g^{'} \in Ker (φ) \\ ⟺ φ (g)^{- 1} φ (g^{'}) = e^{'} \\ ⟺ φ (g) = φ (g^{'}) \end{aligned}$
より，単射 $\overset{―}{φ} : G / Ker (φ) \to G^{'}$ が誘導される：
$G φ π G^{'} . G / Ker (φ) \overset{―}{φ}$
さらに
$\overset{―}{φ} (π (g) π (g^{'})) = \overset{―}{φ} (π (g g^{'})) = φ (g g^{'}) = φ (g) φ (g^{'}) = \overset{―}{φ} (π (g)) \overset{―}{φ} (π (g^{'}))$
より $\overset{―}{φ}$ は準同型である．

$α : G \to Sym (X)$ を作用とする．このとき $\overset{―}{α} : G / Ker (α) \to Sym (X)$ は効果的作用である．

（第2同型定理）

$G$ を群とし， $H < G, N ◃ G$ とする．このとき $H \cap N ◃ H, H N < G$ であり，群同型
$H / (H \cap N) ≅ H N / N$
が成り立つ．

標準射影を $π : G \to G / N$ とおく．

$H \cap N = Ker (π | H) ◃ H$ より
$H / (H \cap N) ≅ π (H)$
が成り立つ．
$H N = π^{- 1} (π (H)) < G$ であり， $N = H N \cap N = Ker (π | H N) ◃ H N$ であるから
$H N / N ≅ π (H N) = π (H)$
が成り立つ．

$G$ を群とする．共軛作用 $Inn : G \to Sym (G)$ の核
$Z (G) := Ker (Inn) = ⋂_{g^{'} \in G} {Stab}_{Inn} (g^{'}) = {g \in G ∣ \forall g^{'} \in G, g g^{'} = g^{'} g}$
を $G$ の中心という．準同型定理より $G / Z (G) ≅ Inn (G)$ が成り立つ． $G = Z (G)$ なるとき $G$ を可換群という．このとき $Inn (G) = {{id}_{G}}$ であるから， $G$ の任意の部分群は正規部分群である．

$G / Z (G)$ が巡回群ならば $G$ は可換群である．実際， $G / Z (G) = ⟨ π (g_{0}) ⟩$ とすると，任意の $g \in G$ に対して， $π (g) = π (g_{0}^{{}^{\exists}n})$ より $g_{0}^{- n} g = {}^{\exists}z \in Z (G)$ となるので，
$\forall g^{'} \in G, g g^{'} = (g_{0}^{n} z) (g_{0}^{n^{'}} z^{'}) = (g_{0}^{n^{'}} z^{'}) (g_{0}^{n} z) = g^{'} g$
より $g \in Z (G)$ が成り立つ．

$G$ を有限群とし， $G = ⨆_{i \in I} {Orb}_{Inn} (g_{i})$ を共軛作用による軌道分解とする．このとき
$Z (G) = {g \in G ∣ \forall g^{'} \in G, g^{'} g g^{' - 1} = g} = G^{Inn, G}$
が成り立つので，例23より
$# G = \sum_{g_{i} \notin Z (G)} # {g g_{i} g^{- 1} ∣ g \in G} + # Z (G)$
が成り立つ．これを $G$ の類等式という．

位数が $p$ 冪の非自明な群は非自明な中心を持つ．

正規化群と共軛部分群

群 $G$ の部分集合 $S \subset G$ に対して
$N_{G} (S) := {Stab}_{P_{*} Inn} (S) = {g \in G ∣ g S g^{- 1} = S}$
を $G$ における $S$ の正規化群という．

任意の $s \in G$ に対して $N_{G} ({s}) = {Stab}_{Inn} (s)$ が成り立つ．

任意の部分集合 $S \subset G$ に対して， $G$ 同型
$G / N_{G} (S) ≅_{G} {g S g^{- 1} \in P (G) ∣ g \in G}$
が存在する．

部分集合 $S (G) := {H \in P (G) ∣ H < G}$ は $P_{*} Inn$ 安定部分集合である．実際， $(g, H) \in G \times S (G)$ とすると，任意の $h, h^{'} \in H$ に対して
$(g h g^{- 1})^{- 1} (g h^{'} g^{- 1}) = g (h^{- 1} h^{'}) g^{- 1} \in g H g^{- 1}$
が成り立つので， $g H g^{- 1} \in S (G)$ を得る．このとき，作用 $α := (P_{*} Inn)^{S (G)}$ について
${Stab}_{α} (H) = {g \in G ∣ g H g^{- 1} = H} = N_{G} (H)$
が成り立つ．よって $G$ 同型
$G / N_{G} (H) ≅_{G} {g H g^{- 1} \in S (G) ∣ g \in G}$
を得る．

部分群 $H < G$ について，次が成り立つ：

$H ◃ N_{G} (H)$ ;
$H ◃ G ⟺ N_{G} (H) = G$ .

正規化群の定義より明らか．
正規部分群の定義より $⟹$ が，(i)より $⟸$ がしたがう．

$α : G \to Sym (X)$ を作用とする．任意の部分群 $H < G$ に対して， $X^{H}$ は $α | N_{G} (H)$ 安定部分集合であり，したがって $N_{G} (H)$ による $X^{H}$ への作用が定まる．とくに $H ◃ G$ ならば $X^{H}$ は $α$ 安定部分集合である．

任意の $(g, x) \in N_{G} (H) \times X^{H}$ に対して $g \cdot x \in X^{H}$ が成り立つことを示せばよい．そこで $h \in H$ とする．このとき $g^{- 1} \in N_{G} (H)$ より $g^{- 1} h g \in g^{- 1} H g = H$ であるから， $h^{'} \in H$ であって $g^{- 1} h g = h^{'}$ なるものが存在する．したがって
$h \cdot (g \cdot x) = h g \cdot x = g h^{'} \cdot x = g \cdot (h^{'} \cdot x) = g \cdot x$
が成り立つ．

$G$ を群とし $H, K < G$ をその部分群とする．このとき次は同値である：

$G$ 同変写像 $f : G / H \to G / K$ が存在する；
$\exists a \in G, a H a^{- 1} \subset K$ .

(i) $⟹$ (ii)

$f (H) = {}^{\exists}a^{- 1} K$ とおく．このとき，任意の $h \in H$ に対して
$h a^{- 1} K = h \cdot (a^{- 1} K) = h \cdot f (H) = f (h \cdot H) = f (H) = a^{- 1} K$
より $a h a^{- 1} \in K$ が成り立つ．よって $a H a^{- 1} \subset K$ を得る．

(ii) $⟹$ (i)

$\begin{aligned} π_{H} (g) = π_{H} (g^{'}) & ⟹ g^{- 1} g^{'} \in H \\ ⟹ a \cdot g^{- 1} g^{'} \cdot a^{- 1} \in a H a^{- 1} \subset K \\ ⟹ g^{'} a^{- 1} \in g a^{- 1} K \\ ⟹ π_{K} (g a^{- 1}) = π_{K} (g^{'} a^{- 1}) \end{aligned}$
より，写像 $f : G / H \to G / K$ が誘導される：
$G ρ_{a^{- 1}} π_{H} G π_{K} G / H f G / K .$
$π_{H} : G \to G / H$ および $π_{K} \circ ρ_{a^{- 1}} : G \to G / K$ が $G$ 同変写像であることから， $f$ が $G$ 同変であることがわかる．

$G$ を群とし $H, K < G$ をその部分群とする．このとき次は同値である：

軌道空間 $G / H$ と $G / K$ とは $G$ 同型である；
部分群 $H$ と $K$ とは互いに共軛である．

(i) $⟹$ (ii)

$f : G / H \to G / K$ を $G$ 同型とし， $f (H) = a^{- 1} K$ とおく．このとき $a H a^{- 1} \subset K$ が成り立つ．一方， $f^{- 1} (K) = a H$ より $a^{- 1} K a \subset H$ ，したがって $K \subset a H a^{- 1}$ が成り立つ．

(ii) $⟹$ (i)

$a H a^{- 1} = K$ とすると，
$f : G / H \to G / K; g H \mapsto g a^{- 1} K$
は $G$ 同型である．

Sylowの定理

$p$ を素数とする．

位数が $p$ 冪の（部分）群を $p$ （部分）群という．
有限群 $G$ の位数が $p^{r} m$ （ $p, m$ は互いに素）であるとき，位数 $p^{r}$ の部分群を $G$ のSylow $p$ 部分群という．

不動点定理（例23の再掲）

$G$ を $p$ 群とする．このとき，任意の有限 $G$ 集合 $X$ に対して
$# X \equiv # X^{G} (\mod p)$
が成り立つ．

Sylow $p$ 部分群の存在

$p$ を素数とする．このとき任意の $(r, m) \in Z_{\geq 0} \times Z_{> 0}$ に対して
$(\binom{p^{r} m}{p^{r}}) \equiv m (\mod p)$
が成り立つ．

準同型 $π : Z \to Z / p^{r} m Z =: G^{'}$ を考え， $G = π (m Z) ◃ G^{'}$ とおくと，
$Z / m Z ≅ G^{'} / G, # G^{'} = # (G^{'} / G) \cdot # G$
より $# G = p^{r}$ を得る．

ここで，
$X = {S \in P (G^{'}) ∣ # S = p^{r}}$
とおくと，これは $P_{*} λ$ 安定部分集合であるから作用 $(P_{*} λ)^{X} | G$ を考えることができる．いま $G$ は $p$ 群であり $# X = (\binom{p^{r} m}{p^{r}})$ であるから，あとは $# X^{G} = m$ を示せばよい．

任意の $a G \in G^{'} / G$ に対して
$\forall g \in G, g (a G) = (g a) G = (a g) G = a (g G) = a G$
より $a G \in X^{G}$ が成り立つ．一方， $S \in X^{G}$ とし $s_{0} \in S$ を取ると，
$s_{0} G = G s_{0} \subset S, # s_{0} G = p^{r} = # S$
より $S = s_{0} G \in G^{'} / G$ が成り立つ．よって $X^{G} = G^{'} / G$ となるので $# X^{G} = m$ を得る．

Sylow (1)

$G$ を有限群とする．このとき，任意の素数 $p$ に対して $G$ のSylow $p$ 部分群が存在する．

$# G = p^{r} m$ （ $p, m$ は互いに素）とする．

$X = {S \in P (G) ∣ # S = p^{r}}$ とおくと，これは $P_{*} λ$ 安定部分集合である．作用 $α := (P_{*} λ)^{X}$ による軌道分解を考えると，補題より $# X = (\binom{p^{r} m}{p^{r}})$ は $p$ で割り切れないので， $S \in X$ であって $p ∤ # {Orb}_{α} (S)$ なるものが存在することがわかる．そこで $S_{p} = {Stab}_{α} (S) < G$ とおく．このとき，
$p^{r} m = # G = # {Orb}_{α} (S) \cdot # S_{p}$
より $p^{r} ∣ # S_{p}$ ，したがって $p^{r} \leq # S_{p}$ が成り立つ．一方， $s \in S$ を固定すると，
$\forall g \in S_{p}, g s \in g S = S$
より，単射 $ρ_{s} |_{S_{p}}^{S} : S_{p} \to S$ が定まるので， $# S_{p} \leq # S = p^{r}$ が成り立つ．よって $# S_{p} = p^{r}$ となるので $S_{p}$ は $G$ のSylow $p$ 部分群である．

Cauchy

$G$ を有限群とし $p$ を素数とする．このとき $p ∣ # G$ ならば， $g \in G$ であって $# ⟨ g ⟩ = p$ なるものが存在する．実際， $G$ のSylow $p$ 部分群 $S_{p}$ の元 $s \in S_{p} ∖ {e}$ を取ると， $# ⟨ s ⟩ ∣ # S_{p}$ より $# ⟨ s ⟩ = p^{{}^{\exists}n}$ であるから， $g = s^{p^{n - 1}} \in G$ とおくと $# ⟨ g ⟩ = p$ が成り立つ．

$G$ を有限群とし $p$ を素数とする．このとき，Lagrangeの定理より， $G$ が $p$ 群ならば任意の $g \in G$ に対して $⟨ g ⟩ < G$ は $p$ 部分群である．逆に， $G$ が $p$ 群でないとすると， $p$ と異なる素数 $q$ であって $q ∣ # G$ なるものが存在するので， $g \in G$ であって $⟨ g ⟩ < G$ が $p$ 部分群でないものが存在する．

以上より次は同値である：

$G$ は $p$ 群である；
任意の $g \in G$ に対して $⟨ g ⟩ < G$ は $p$ 部分群である．

Sylow $p$ 部分群の個数および共軛類

$G$ を有限群， $p$ を素数とし， $S_{p} < G$ をSylow $p$ 部分群とする．このとき $N_{G} (S_{p})$ の任意の $p$ 部分群は $S_{p}$ に含まれる．

$P < N_{G} (S_{p})$ を $p$ 部分群とする． $S_{p} ◃ N_{G} (S_{p})$ であるから，第2同型定理より
$P S_{p} / S_{p} ≅ P / (P \cap S_{p})$
が成り立つ．したがって $# (P S_{p} / S_{p})$ は $p$ 冪であるから，
$# P S_{p} = # (P S_{p} / S_{p}) \cdot # S_{p}$
より $P S_{p} < G$ は $S_{p}$ を含む $p$ 部分群である．よって $P S_{p} = S_{p}$ が成り立つので， $P \subset S_{p}$ を得る．

Sylow (2)

$G$ を有限群とし $p$ を素数とする．このとき $G$ のSylow $p$ 部分群の個数 $σ_{p}$ について次が成り立つ：

$σ_{p} ∣ # G$ ;
$σ_{p} \equiv 1 (\mod p)$ .

さらに， $G$ のSylow $p$ 部分群は互いに共軛である．

$# G = p^{r} m$ （ $p, m$ は互いに素）とし， $S_{p} < G$ をSylow $p$ 部分群とする．

共軛作用 $α := (P_{*} Inn)^{S (G)} : G \to Sym (S (G))$ を考える．このとき例34より
$G / N_{G} (S_{p}) ≅_{G} {Orb}_{α} (S_{p}) = {g S_{p} g^{- 1} \in S (G) ∣ g \in G} =: X$
であるから，
$# X ∣ # G$
が成り立つ．

いま $α$ 軌道 $X$ は $α$ 安定部分集合であるから，作用 $α^{X} | S_{p}$ を考えることができる．明らかに $S_{p} \in X^{S_{p}}$ が成り立つ．逆に， $S \in X^{S_{p}}$ とすると
$\forall g \in S_{p}, g S g^{- 1} = S$
より $S_{p} \subset N_{G} (S)$ となるが， $S < G$ はSylow $p$ 部分群なので，補題より $S_{p} \subset S$ ，したがって $S_{p} = S$ が成り立つ．よって $X^{S_{p}} = {S_{p}}$ であるから
$# X \equiv 1 (\mod p)$
が成り立つ．

$G$ のSylow $p$ 部分群全体のなす集合を
$S_{p} = {S_{p}^{'} \in S (G) ∣ # S_{p}^{'} = p^{r}}$
とおく． $X \subset S_{p}$ であるから，あとは $S_{p} \subset X$ を示せばよい．ところで， $S_{p}^{'} \in S_{p} ∖ X$ なるSylow $p$ 部分群が存在したとすると，上と同様の考察により作用 $α^{X} | S_{p}^{'}$ について $X^{S_{p}^{'}} = \emptyset$ が成り立つことがわかるが，このとき
$# X \equiv 0 (\mod p)$
となり不合理である．

$# G = p^{r} m$ （ $p, m$ は互いに素）のとき， $σ_{p} \equiv 1 (\mod p), σ_{p} ∣ p^{r} m$ より $σ_{p} ∣ m$ が成り立つ．

有限群 $G$ のSylow $p$ 部分群 $S_{p} < G$ について，
$G / N_{G} (S_{p}) ≅_{G} S_{p}$
より，
$S_{p} ◃ G ⟺ N_{G} (S_{p}) = G ⟺ σ_{p} = 1$
が成り立つ．

$p, q$ を相異なる素数とし $G$ を位数 $p^{r} q$ の群とする．このとき
$q ≢ 1 (\mod p) ⟹ σ_{p} = 1$
が成り立つ．実際， $σ_{p} ∣ q$ より $σ_{p} \in {1, q}$ であるが， $q ≢ 1 \equiv σ_{p} (\mod p)$ より $σ_{p} = 1$ を得る．

$G$ を有限群とし $N ◃ G$ をその正規部分群とする．このとき $# (G / N)$ が素数 $p$ と互いに素ならば， $G$ の任意のSylow $p$ 部分群は $N$ に含まれる．実際， $# G = p^{r} m$ とすると $# G = # (G / N) \cdot # N$ より $# N = p^{r} m^{'}$ と書けるので $N$ のSylow $p$ 部分群 $P$ は $G$ のSylow $p$ 部分群でもあり，したがって
$\forall S_{p} \in S_{p}, S_{p} = {}^{\exists}g P g^{- 1} \subset g N g^{- 1} = N$
が成り立つ．

$G$ を有限群， $S_{p} < G$ をそのSylow $p$ 部分群とし， $N_{G} (S_{p}) < K < G$ する．このとき， $K$ を含む任意の部分群 $H < G$ に対して
$# (H / K) \equiv 1 (\mod p)$
が成り立つ．

$H$ における左正則作用 $λ : H \to Sym (H)$ により誘導される作用 $λ_{\sim_{ρ | K}} | S_{p}$ について
$# (H / K) \equiv # (H / K)^{S_{p}} (\mod p)$
が成り立つ． $S_{p} \subset K$ より $K \in (H / K)^{S_{p}}$ である．逆に， $h K \in (H / K)^{S_{p}}$ とすると，任意の $g \in S_{p}$ に対して $g h K = h K$ より $h^{- 1} g h \in K$ となるので， $h^{- 1} S_{p} h \subset K$ が成り立つ．いま $S_{p}, h^{- 1} S_{p} h$ はともに $K$ のSylow $p$ 部分群なので， $k \in K$ であって $k S_{p} k^{- 1} = h^{- 1} S_{p} h$ なるものが存在する．よって
$h k \in N_{G} (S_{p}) \subset K$
より $h = (h k) k^{- 1} \in K$ が成り立つので， $h K = K$ を得る．以上より $(H / K)^{S_{p}} = {K}$ であるから，
$# (H / K) \equiv 1 (\mod p)$
が成り立つ．

( Frattini's argument )

$G$ を群， $N ◃ G$ を有限正規部分群， $p$ を素数， $S_{p} < N$ をSylow $p$ 部分群とする．このとき
$G = N N_{G} (S_{p})$
が成り立つ．

$g \in G$ とする．このとき
$g S_{p} g^{- 1} < g N g^{- 1} = N$
は $N$ のSylow $p$ 部分群であるから， $n \in N$ であって
$g S_{p} g^{- 1} = n S_{p} n^{- 1}$
を満たすものが存在する．したがって $n^{- 1} g \in N_{G} (S_{p})$ であるから
$g = n (n^{- 1} g) \in N N_{G} (S_{p})$
が成り立つ．

Frattini's argument の

$G$ を有限群， $p$ を素数とし， $S_{p} < G$ をSylow $p$ 部分群とする．このとき $N_{G} (S_{p})$ を含む任意の部分群 $H < G$ に対して
$N_{G} (H) = H$
が成り立つ．とくに
$N_{G} (N_{G} (S_{p})) = N_{G} (S_{p})$
が成り立つ．

$S_{p} < H$ はSylow $p$ 部分群であるから $H ◃ N_{G} (H)$ と合わせて
$H \subset N_{G} (H) = H N_{N_{G} (H)} (S_{p}) \subset H N_{G} (S_{p}) \subset H H = H$
が成り立つ．

他の $p$ 部分群との関係

Sylow (3)

$G$ を有限群とし $p$ を素数とする．このとき任意の $p$ 部分群に対して，それを含むSylow $p$ 部分群が存在する．

$P < G$ を $p$ 部分群とし，共軛作用 $(P_{*} Inn)^{S_{p}} | P$ を考える．このとき
$# (S_{p})^{P} \equiv # S_{p} \equiv 1 (\mod p)$
より，不動点 $S_{p} \in (S_{p})^{P}$ が存在する．したがって
$\forall g \in P, g S_{p} g^{- 1} = S_{p}$
より $P \subset N_{G} (S_{p})$ であるから，補題20より $P \subset S_{p}$ を得る．

$G$ を有限群とし $N ◃ G$ をその正規部分群とする．このとき $N$ が $p$ 部分群ならば， $G$ の任意のSylow $p$ 部分群は $N$ を含む．実際，Sylow $p$ 部分群 $P < G$ であって $P \supset N$ なるものが存在するので，
$\forall S_{p} \in S_{p}, S_{p} = {}^{\exists}g P g^{- 1} \supset g N g^{- 1} = N$
が成り立つ．

$S$ を $p$ 群とする．このとき任意の部分群 $P < S$ に対して
$P ⊊ S ⟹ P ⊊ N_{S} (P)$
が成り立つ．

$P ◃ S$ のときは $P ⊊ S = N_{S} (P)$ となるので， $P ◃̸ S$ としてよい．そこで
$X = {g P g^{- 1} \in S (S) ∣ g \in S} ∖ {P} \neq \emptyset$
とおくと， $X$ は $(P_{*} Inn)^{S (S)} | P$ 安定部分集合である．したがって， $P < S$ が $p$ 群であることから
$# X^{P} \equiv # X = # (S / N_{S} (P)) - 1 \equiv - 1 (\mod p)$
となるので，不動点 $g P g^{- 1} \in X^{P}$ が存在する．このとき任意の $h \in P$ に対して
$h (g P g^{- 1}) h^{- 1} = g P g^{- 1}$
より $g^{- 1} h g \in N_{S} (P)$ が成り立つので， $g^{- 1} P g \subset N_{S} (P)$ を得る． $P \neq g^{- 1} P g$ であるから $P ⊊ N_{S} (P)$ がしたがう．

$G$ を有限群とし $P < G$ を $p$ 部分群とする．このとき次は同値である：

$P < G$ はSylow $p$ 部分群である；
$P ◃ N_{G} (P)$ は（ただひとつの）Sylow $p$ 部分群である．

(i) $⟹$ (ii)

明らか．

(ii) $⟹$ (i)

対偶を示す．そこで $P < G$ がSylow $p$ 部分群ではないとする． $P$ を含む $G$ のSylow $p$ 部分群 $S_{p}$ を取ると $P ⊊ S_{p}$ であるから，補題より $P ⊊ N_{S_{p}} (P)$ が成り立つ．いま $N_{S_{p}} (P) = N_{G} (P) \cap S_{p} < S_{p}$ より $N_{S_{p}} (P)$ は $N_{G} (P)$ の $p$ 部分群であるから， $# P < # N_{S_{p}} (P)$ より $P < N_{G} (P)$ はSylow $p$ 部分群にはなりえない．

$G$ を $# G = p^{r} m$ （ $p, m$ は互いに素）なる有限群とする．このとき， $G$ の $p$ 部分群の増大列 $(P_{i})_{0 \leq i \leq r}$ であって
$\forall i \in {0, \dots, r}, # P_{i} = p^{i}$
を満たすものが存在する．

$P_{0} = {e} < G$ とおく．

以下， $i \in {0, \dots, r - 1}$ に対して $P_{i} < G$ の存在を仮定して，条件を満たす $p$ 部分群 $P_{i + 1} < G$ が存在することを示す．

いま $i < r$ より $P_{i} < G$ はSylow $p$ 部分群ではないので， $P_{i} ◃ N_{G} (P_{i})$ はSylow $p$ 部分群ではない．したがって剰余群 $N_{G} (P_{i}) / P_{i}$ について $p ∣ # (N_{G} (P_{i}) / P_{i})$ が成り立つので，例36より $g \in N_{G} (P_{i})$ であって $# ⟨ π (g) ⟩ = p$ を満たすものが存在する（ただし $π : N_{G} (P_{i}) \to N_{G} (P_{i}) / P_{i}$ は標準射影である）．そこで
$P_{i + 1} = π^{- 1} (⟨ π (g) ⟩) < N_{G} (P_{i})$
とおくと， $P_{i} = Ker (π | P_{i + 1}) ◃ P_{i + 1} < G$ であり， $P_{i + 1} / P_{i} ≅ ⟨ π (g) ⟩$ より
$# P_{i + 1} = # (P_{i + 1} / P_{i}) \cdot # P_{i} = p \cdot p^{i} = p^{i + 1}$
が成り立つ．

Lagrangeの定理の逆が部分的に成り立つ：

Sylow (1')

$G$ を有限群とし $p$ を素数とする．このとき $p^{i} ∣ # G$ ならば， $G$ は位数 $p^{i}$ の部分群を持つ．

追記（2024/05/01）： The number of p-subgroups of a group によると位数 $p^{i}$ の部分群の個数も $mod p$ で $1$ になるらしい．

更新履歴

2024/04/30： $n$ 次対称群の記号がSylow $p$ 部分群の記号とぶつかっていることに気付いたので，前者を変更しました．いくつか加筆および語句等の修正をしました．
2024/05/02：~~定理8の証明を修正しました（追記：修正の必要はなかったことに気づきましたが（参照），面倒なのでそのままにしておきます）．~~ 例41を加筆しました．
2024/05/05：定理8の証明を書き直しました．
2024/08/10：多少加筆修正しました．

参考文献

[1]

S. MacLane, G. Birkhoff, Algebra, Third Edition

[2]

彌永昌吉，小平邦彦, 現代数学概説　I, 岩波書店

[3]

堀田良之, 代数入門, 裳華房

投稿日：2024年4月29日

更新日：1月26日

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うすい

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うすい

作用の定義からSylowの定理まで

群の作用
左作用
右作用
誘導される作用
固定する元，される元
Galois接続
安定部分集合
群作用の基本定理
軌道と安定化群
同変写像
Orbit-Stabilizer Theorem
附：Zagier's One-Sentence Proof
Orbit-Counting Theorem
共軛作用
正規部分群
準同型定理
正規化群と共軛部分群
Sylowの定理
Sylow $p$ 部分群の存在
Sylow $p$ 部分群の個数および共軛類
他の $p$ 部分群との関係
更新履歴
参考文献

作用の定義からSylowの定理まで

群の作用

左作用

右作用

誘導される作用

固定する元，される元

Galois接続

安定部分集合

(i)⟹(ii)

(ii)⟹(i)

群作用の基本定理

軌道と安定化群

(i)⟹(ii)

(ii)⟹(i)

同変写像

(i)⟹(ii)

(ii)⟹(i)

Orbit-Stabilizer Theorem

(i)⟹(ii)

(ii)⟹(i)

附：Zagier's One-Sentence Proof

(i)⟹(ii)

(ii)⟹(i) [ 原論文（pdf） ]

Claim. Xg={(1,1,n)}が成り立つ

Orbit-Counting Theorem

共軛作用

正規部分群

(i)⟹(ii)

(ii)⟹(i)

準同型定理

正規化群と共軛部分群

(i)⟹(ii)

(ii)⟹(i)

(i)⟹(ii)

(ii)⟹(i)

Sylowの定理

Sylowp部分群の存在

Sylowp部分群の個数および共軛類

他のp部分群との関係

(i)⟹(ii)

(ii)⟹(i)

更新履歴

参考文献

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(i) $⟹$ (ii)

(ii) $⟹$ (i)

(i) $⟹$ (ii)

(ii) $⟹$ (i)

(i) $⟹$ (ii)

(ii) $⟹$ (i)

(i) $⟹$ (ii)

(ii) $⟹$ (i)

(i) $⟹$ (ii)

(ii) $⟹$ (i) [ 原論文（pdf） ]

Claim. $X^{g} = {(1, 1, n)}$ が成り立つ

(i) $⟹$ (ii)

(ii) $⟹$ (i)

(i) $⟹$ (ii)

(ii) $⟹$ (i)

(i) $⟹$ (ii)

(ii) $⟹$ (i)

Sylow $p$ 部分群の存在

Sylow $p$ 部分群の個数および共軛類

他の $p$ 部分群との関係

(i) $⟹$ (ii)

(ii) $⟹$ (i)