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大学数学基礎解説
文献あり

作用の定義からSylowの定理まで

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群,準同型,部分群の定義と簡単な性質については知っているものとします.

群の作用

左作用

Xを集合とする.集合
Sym(X):={f:XXfは全単射}
は写像の合成(f,g)fgを積として群をなす.これをX上の対称群という.とくに正整数nZ>0に対して,Sn:=Sym({1,,n})n次対称群という.

Gを群,Xを集合とする.準同型α:GSym(X)GによるXへの(左)作用という.組(X,α)または単にXG集合という.α(g)(x)をしばしばgxと略記する.

α:GSym(X)を作用とする.このとき写像αˇ:G×XX
αˇ(g,x)=α(g)(x)
で定めると,次が成り立つ:

  1. αˇ(gg,x)=αˇ(g,αˇ(g,x));
  2. αˇ(e,x)=x.

逆に写像αˇ:G×XXが上の2条件を満たすとき,各gGに対して写像
αˇg:XX; xαˇ(g,x)
は全単射であり,写像
α:GSym(X); gαˇg
は準同型となる.

Xを集合とする.このとき恒等写像Sym(X)Sym(X)は群Sym(X)による集合Xへの作用を定める.

Xを集合とする.fSym(X)に対して,冪集合の間の写像P(f):P(X)P(X)
P(f)(A)=f(A)
で定めると,これは全単射であり,写像
Sym(X)Sym(P(X)); fP(f)
は準同型となる.

作用α:GSym(X)に対して,合成GαSym(X)Sym(P(X))Pαで表わす:
(Pα)(g)=P(α(g)).

自明な作用

準同型G{idX}Sym(X)自明な作用という.

左正則作用

Gを群とする.各gGに対して写像λg:GGλg(h)=ghで定めると,λgλg1=idG=λg1λgよりλgは全単射である.そこで写像λ:GSym(G)λ(g)=λgで定めると,これは準同型である.実際
λ(gg)(h)=ggh=(λ(g)λ(g))(h)
よりλ(gg)=λ(g)λ(g)が成り立つ.準同型λ左正則作用という.さらに
λ(g)=λ(g)g=λg(e)=λg(e)=g
よりλは単射である.

共軛作用

Gを群とする.各gGに対して写像Inng:GG
Inng(h)=ghg1
で定めると,これは同型写像である.実際,InngInng1=idG=Inng1InngよりInngは全単射であり,
Inng(hh)=g(hh)g1=(ghg1)(ghg1)=Inng(h)Inng(h)
よりInngは準同型である.そこで写像Inn:GSym(G)Inn(g)=Inngで定めると,これは準同型である.実際
Inn(gg)(h)=(gg)h(gg)1=g(ghg1)g1=(Inn(g)Inn(g))(h)
よりInn(gg)=Inn(g)Inn(g)が成り立つ.準同型Inn共軛作用という.

右作用

反準同型β:GSym(X)GによるXへの右作用という:
β(gg)=β(g)β(g).

右作用は,写像βˇ:X×GXであって

  1. βˇ(x,gg)=βˇ(βˇ(x,g),g);
  2. βˇ(x,e)=x

を満たすものと同等である.

α:GSym(X)を左作用とする.このとき写像
β:GSym(X); gα(g1)
は右作用である.実際
β(gg)=α((gg)1)=α(g1g1)=α(g1)α(g1)=β(g)β(g)
が成り立つ.逆も然り.

Gを群とする.各gGに対して写像ρg:GGρg(h)=hgで定めると,ρgρg1=idG=ρg1ρgよりρgは全単射である.そこで写像ρ:GSym(G)ρ(g)=ρgで定めると,これは反準同型である.実際
ρ(gg)(h)=hgg=(ρ(g)ρ(g))(h)
よりρ(gg)=ρ(g)ρ(g)が成り立つ.さらに
ρ(g)=ρ(g)g=ρg(e)=ρg(e)=g
よりρは単射である.

以下,おもに左作用について考えることとし,右作用に関する並行した議論は割愛する.

誘導される作用

α:GSym(X)を作用とする.準同型φ:HGに対して,合成φα:=αφ:HGSym(X)HによるXへの作用を定める.

α:GSym(X)を作用とし,θ:XYを全単射とする.このとき,
θα(g):=θα(g)θ1:YY
によりYG集合となる:
Xα(g)θXθYθα(g)Y

X,YG集合とする.このとき
g(x,y):=(gx,gy)
により,X×YG集合となる.

X,YG集合とする.このとき
(gf)(x):=gf(g1x)
により,Map(X,Y)G集合となる.実際
((gg)f)(x)=ggf((gg)1x)=ggf(g1g1x)=g(gf(g1(g1x)))=g(gf)(g1x)=(g(gf))(x)
より,ggf=g(gf)が成り立つ.また明らかにef=fが成り立つ.

Xを集合とする.このとき
g(x1,,xn):=(xg1(1),,xg1(n))
により,XnSn集合となる.実際,yi=xg1(i)とおくことで,
gg(x1,,xn)=(x(gg)1(1),,x(gg)1(n))=(xg1(g1(1)),,xg1(g1(n)))=(yg1(1),,yg1(n))=g(y1,,yn)=g(xg1(1),,xg1(n))=g(g(x1,,xn))
が成り立つことがわかる.また明らかにe(x1,,xn)=(x1,,xn)が成り立つ.

(X,α)G集合とし,RX×Xを同値関係とする.
(x,y)R(gx,gy)R
が成り立つとき,Rα両立するという.このとき,各gGに対して全単射αR(g):X/RX/Rであって
αR(g)π=πα(g)
を満たすものがただひとつ存在する:
Xα(g)πXπX/RαR(g)X/R
写像αR:GSym(X/R)は準同型である.実際,
αR(gg)π=πα(gg)=πα(g)α(g)=αR(g)πα(g)=αR(g)αR(g)π
より,αR(gg)=αR(g)αR(g)が成り立つ.よって(X/R,αR)G集合である.

固定する元,される元

Galois接続

α:GSym(X)を作用とする.

部分集合SGに対して,Xの部分集合
Xα,S:=XS:={xXsS, sx=x}
の元をSによる不動点,固定点などという.またgGに対してX{g}Xgと略記する.

部分集合AXに対して,Gの部分群
{gGaA, ga=a}
Fixα(A),FixG(A),Fix(A)などで表わす.

写像γ:P(G)P(X),δ:P(X)P(G)をそれぞれ
γ(S)=XS; δ(A)=Fix(A)
で定める.このとき次が成り立つ:

  1. SSγ(S)γ(S);
  2. AAδ(A)δ(A);
  3. Sδ(A)Aγ(S);
  4. γ(S)=γ(δ(γ(S)));
  5. δ(A)=δ(γ(δ(A))).
  1. xγ(S)sSS,sx=xxγ(S).
  2. gδ(A)aAA,ga=agδ(A).
  3. Sδ(A)(s,a)S×A,sa=aAγ(S).
  4. γ(S)γ(S)よりSδ(γ(S))となるので,(i)よりγ(S)γ(δ(γ(S)))を得る.逆にδ(γ(S))δ(γ(S))よりγ(S)γ(δ(γ(S)))を得る.
  5. δ(A)δ(A)よりAγ(δ(A))となるので,(ii)よりδ(A)δ(γ(δ(A)))を得る.逆にγ(δ(A))γ(δ(A))よりδ(A)δ(γ(δ(A)))を得る.

任意の部分集合SGに対して
XS=XS
が成り立つ.

  • SSよりXSXSが成り立つ.
  • xXSとする.
    • gSとする.
    • 有限個のsiSS1を用いてg=s1snと書ける.
    • six=xよりgx=xが成り立つ.
  • よってxXSを得る.

安定部分集合

α:GSym(X)を作用とする.

作用Pαの不動点,すなわち部分集合YXであって
gG, α(g)(Y)=Y
を満たすものをα安定部分集合という.

YXα安定部分集合とする.このとき各gGに対して全単射
α(g)Y:YY; ygy
が定まり,
GSym(Y); gα(g)Y
GによるYへの作用を定める.これをαYで表わす.

YXとする.このとき次は同値である:

  1. YXα安定部分集合である;
  2. gG, α(g)(Y)Yが成り立つ.

(i)(ii)

明らか.

(ii)(i)

gGとする.仮定よりα(g±1)(Y)Yが成り立つ.したがって
α(g)(Y)Y=α(g)(α(g1)(Y))α(g)(Y)
が成り立つ.

群作用の基本定理

軌道と安定化群

α:GSym(X)を作用とする.

xXに対して,
Orbα(x):=Gx:={gxXgG}
xα軌道,G軌道などといい,
Stabα(x):=Gx:=Fixα({x})={gGgx=x}
x安定化群という.

任意のxXに対して,そのα軌道Orbα(x)Xα安定部分集合である.

任意の部分集合SGに対して
XS={xXSGx}
が成り立つ.したがって任意のxXに対して
xXGGx=G
が成り立つ.

任意の(g,x)G×Xに対して
Stabα(gx)=Inng(Stabα(x))
が成り立つ.実際,
hStabα(gx)h(gx)=gxg1hgx=xInng1(h)=g1hgStabα(x)hInng(Stabα(x))
が成り立つ.

任意の部分集合AXに対して
Fixα(A)=aAStabα(a)
が成り立つ.また
Ker(α)=xXStabα(x)
が成り立つ.実際,
gKer(α)α(g)=idXxX, gx=xxX, gStabα(x)gxXStabα(x)
が成り立つ.

  1. xXであってX=Orbα(x)なるものが存在するとき,α推移的作用という;
  2. Gが推移的に作用している集合を推移的G集合,G等質集合などという;
  3. xX, Stabα(x)={e}が成り立つとき,α自由な作用という;
  4. Ker(α)={e}なるとき,α効果的作用という.

自由な作用は効果的作用である.

XG集合とする.このとき次は同値である:

  1. Xは推移的G集合である;
  2. Xであり,任意のxXに対してX=Gxが成り立つ.

(i)(ii)

仮定よりx0XであってX=Gx0となるものが存在する.このとき,任意のxXに対して,xGx0よりGx=Gx0=Xが成り立つ(cf. 補題6).

(ii)(i)

xXゆえX=Gxが成り立つ.

Xを推移的G集合とする.このとき,ある1点x0における安定化群が自明ならば,作用は自由である.実際,任意のxX=Gx0に対して
Gx=Ggx0=Inng(Gx0)=Inng({e})={e}
が成り立つ.

同変写像

X,YG集合とし,f:XYを写像とする.任意の(g,x)G×Xに対して
f(gx)=gf(x)
が成り立つとき,fG同変写像という:
XαX(g)fXfYαY(g)Y
G同変写像f:XYに対して,G同変写像f:YXであって
ff=idX, ff=idY
を満たすものが存在するとき,fG同型(写像)という.G集合X,Yの間にG同型写像が存在するとき,XYとはG同型であるといいXGYで表わす.

XG空間,RX×Xを作用と両立する同値関係とする.このとき,標準射影π:XX/RG同変写像である.

f:XYG同変写像とする.このとき次は同値である:

  1. fG同型写像である;
  2. fは全単射である.

(i)(ii)

明らか.

(ii)(i)

fの逆写像f1:YXG同変写像であることを示せばよい.ところで任意の(g,y)G×Yに対して
f1(gy)=f1(gf(f1(y)))=f1(f(gf1(y)))=gf1(y)
が成り立つ.

f:XYG同変写像とする.このとき,fG同型
X/R(f)Gf(X)
を誘導する.

(x,x)R(f)f(x)=f(x)f(gx)=gf(x)=gf(x)=f(gx)(gx,gx)R(f)
より,R(f)は作用と両立する.

標準射影をπ:XX/R(f)とおく.fが誘導する全単射
f:X/R(f)f(X); π(x)f(x)
G同変写像であることを示せばよい.ところで,任意の(g,x)G×Xに対して
f(gπ(x))=f(π(gx))=f(gx)=gf(x)=gf(π(x))
が成り立つ.

Orbit-Stabilizer Theorem

α:GSym(X)を作用とする.X上の関係α
xαy:yOrbα(x)
と定めると,以下の補題よりこれはX上の同値関係であることがわかる:

次は同値である:

  1. xαy;
  2. Orbα(x)=Orbα(y).

(i)(ii)

yGxよりgGであってy=gxなるものが存在する.したがって,任意のhGに対して
hy=h(gx)=(hg)xGx
が成り立つので,GyGxを得る.同様にして,x=g1yよりGxGyを得る.

(ii)(i)

y=eyGy=Gxが成り立つ.

同値関係αによる商集合をαによる軌道空間といい,X/α,GXなどで表わす.

Gを群としH<Gをその部分群とする.このとき右作用ρ|Hによる軌道空間G/Hは推移的G集合である.実際,
y=xhgy=(gx)h
より同値関係ρ|Hは左正則作用λ:GSym(G)と両立するので(G/H,λρ|H)G集合であり,
gG, Orbρ|H(g)={ghhH}=λρ|H(g)(H)
よりG/H=Orbλρ|H(H)が成り立つ.

定理5の

XG集合とする.このとき,任意のxXに対して
G/GxGx; gGxgx
G同型である.

任意のg,gGに対して
gx=gxg1gGxgρ|Gxg
が成り立つ.よってG同変写像
GX; ggx
G同型G/GxGxを誘導する.

Xを推移的G集合とする.このとき任意のxXに対して
G/GxGX
が成り立つ.

XG集合とする.このとき,任意のxXに対して
#G=#(Gx)#Gx
が成り立つ.

全単射G(Gx)×Gxが存在することを示せばよい.

  • 任意のyGxに対して{gGgx=y}であるから,写像ψ:GxGであって
    yGx, ψ(y)x=y
    を満たすものが存在する.
  • gGとすると,ψ(gx)x=gxより,ψ(gx)1gGxが成り立つ.

そこで,写像Φ:G(Gx)×Gx,Ψ:(Gx)×GxGをそれぞれ
Φ(g)=(gx,ψ(gx)1g); Ψ(y,g)=ψ(y)g
で定めると,これらは互いの逆写像である.実際,
(ΨΦ)(g)=Ψ(gx,ψ(gx)1g)=ψ(gx)ψ(gx)1g=g
および
(ΦΨ)(y,g)=Φ(ψ(y)g)=(ψ(y)gx,ψ(ψ(y)gx)1ψ(y)g)=(ψ(y)(gx),ψ(ψ(y)(gx))1ψ(y)g)=(ψ(y)x,ψ(ψ(y)x)ψ(y)1g)=(y,ψ(y)ψ(y)1g)=(y,g)
が成り立つ.

( Lagrange )

Gを群,H<Gを部分群とする.このとき
#G=#(G/H)#H
が成り立つ.

GP(G)への作用Pλを考える.このとき
StabPλ(H)={gGgH=H}={gGgH}=H
となるので,
OrbPλ(H)GG/StabPλ(H)=G/H
と合わせて結論を得る.

附:Zagier's One-Sentence Proof

Xを有限G集合とし,X=iIGxiをその軌道分解とする.このとき
#X=xiXG#(Gxi)+xiXG#(Gxi)=xiXG#(Gxi)+xiXG1=xiXG#(Gxi)+#XG
が成り立つ.したがって,Gの位数がp冪であるとき
xiXG, #(Gxi)=#G/#Gxi0(modp)
であるから
#X#XG(modp)
が成り立つ.

追記(2024/05/05)

Xを有限集合とする.写像g:XXについてgg=idXが成り立つとする.このときgSym(X)であるが,さらに
#X#Xg(mod2)
が成り立つ.実際,g=idXのときはX=Xgが,gidXのときは#g=2が成り立つので,いづれにしろ
#X#Xg(mod2)
を得る(cf. 定理1 系1).

Fermat

pを奇素数とする.このとき次は同値である:

  1. x,yZ, p=x2+y2;
  2. p1(mod4).

(i)(ii)

pが奇数であることからx,yの偶奇は一致しないので,x=2u,y=2v+1と書けるとしてよい.このとき
p=(2u)2+(2v+1)2=4(u2+v2+v)+11(mod4)
が成り立つ.

(ii)(i) [ 原論文(pdf) ]

p=4n+1とおく.

有限集合X(Z>0)3
X={(x,y,z)(Z>0)3x2+4yz=p}
で定める.任意の(x,y,z)Xに対して
yz<2y,(yz)2+4yz=(y+z)2pxyz,(2y)2+4yz=4y(y+z)px2y,(x+2z)2+4z(yzx)=x2+4yz=p,(2yx)2+4y(xy+z)=x2+4yz=p,
が成り立つので,写像g:XXを次で定めることができる:
g(x,y,z)={(x+2z,z,yzx),x<yz(2yx,y,xy+z),yz<x<2y(x2y,xy+z,y),2y<x.

  • x<yzのとき,2z<x+2zより
    (gg)(x,y,z)=g(x+2z,z,yzx)=((x+2z)2z,(x+2z)z+(yzx),z)=(x,y,z)
    が成り立つ.
  • yz<x<2yのとき,y(xy+z)<2yx<2yより
    (gg)(x,y,z)=g(2yx,y,xy+z)=(2y(2yx),y,(2yx)y+(xy+z))=(x,y,z)
    が成り立つ.
  • 2y<xのとき,x2y<(xy+z)yより
    (gg)(x,y,z)=g(x2y,xy+z,y)=((x2y)+2y,y,(xy+z)(x2y)y)=(x,y,z)
    が成り立つ.

したがってgg=idXを得るので
#X#Xg(mod2)
が成り立つ.

Claim. Xg={(1,1,n)}が成り立つ
  • (1,1,n)Xであり,1n<1<2であるから
    g(1,1,n)=(21,1,11+n)=(1,1,n)
    が成り立つ.したがって(1,1,n)Xgを得る.
  • (x,y,z)Xgとする.上の考察よりyz<x<2yでないといけないので,g(x,y,z)=(x,y,z)よりx=yを得る.このときp=x(x+4z)よりx=1を得,したがって4z+1=p=4n+1よりz=nを得る.

以上より
#X1(mod2)
が成り立つ.そこで全単射g:XX
g(x,y,z)=(x,z,y)
で定めると,gg=idXより#Xg#X1(mod2)が成り立つ.したがって不動点(x,y,z)Xgが存在する.このときy=zであるから
p=x2+4yy=x2+(2y)2
と書ける.

Orbit-Counting Theorem

XG集合とする.このとき
#(GX)#G=gG#Xg
が成り立つ.

集合{(g,x)G×Xgx=x}を2通りに“数える”ことで
xX#Gx=#{(g,x)G×Xgx=x}=gG#Xg
が成り立つことがわかる.あとは全単射(GX)×GxXGxが存在することを示せばよい.

  • 標準射影π:XGXの切断をσ:GXXとおく.
  • AGXに対して,写像ψA:AGであって
    aA, ψA(a)σ(A)=a
    を満たすものが存在する.

そこで,写像Φ:(GX)×GxXGx,Ψ:xXGx(GX)×Gをそれぞれ
Φ(A,g)=(gσ(A),gψA(gσ(A))1),Ψ(x,g)=(π(x),gψπ(x)(x))
で定めると,これらは互いの逆写像である.実際
(ΨΦ)(A,g)=Ψ(gσ(A),gψA(gσ(A))1)=(π(gσ(A)),gψA(gσ(A))1ψπ(gσ(A))(gσ(A)))=(A,gψA(gσ(A))1ψA(gσ(A)))=(A,g)
および
(ΦΨ)(x,g)=Φ(π(x),gψπ(x)(x))=(gψπ(x)(x)σπ(x),gψπ(x)(x)ψπ(x)(gψπ(x)(x)σπ(x))1)=(g(ψπ(x)(x)σπ(x)),gψπ(x)(x)ψπ(x)(g(ψπ(x)(x)σπ(x)))1)=(gx,gψπ(x)(x)ψπ(x)(gx)1)=(x,gψπ(x)(x)ψπ(x)(x)1)=(x,g)
が成り立つ.

共軛作用

正規部分群

Gを群とする.部分群N<Gが作用PInnの不動点であるとき,すなわち
gG, gNg1=N
が成り立つとき,NG正規部分群といいNGで表わす.

{e},GGである.

部分群N<Gについて,次は同値である:

  1. NG;
  2. gG, gNg1N.

φ:GGを準同型とする.このとき次が成り立つ:

  1. NGφ(N)φ(G);
  2. NGφ1(N)G.

それぞれが部分群であることはよい.

  1. 任意のgG,nNに対して
    φ(g)φ(n)φ(g)1=φ(gng1)φ(N)
    が成り立つ.
  2. 任意のgG,nφ1(N)に対して
    φ(gng1)=φ(g)φ(n)φ(g)1N
    より,gng1φ1(N)が成り立つ.

φ:GGを準同型とする.このとき{e}GよりKer(φ)=φ1(e)Gである.

(X,α)を推移的G集合とする.また,x0XとしH=Stabα(x0)とおく.このとき
GKer(α)=xXStabα(x)=gGStabα(gx0)=gGInng(Stabα(x0))=gGgHg1H
Hに含まれる最大のGの正規部分群である.実際,NGHに含まれれば,
gG, N=gNg1gHg1
よりNKer(α)が成り立つ.したがって,αが効果的作用であるためには,ある1点の安定化群に含まれるGの正規部分群が{e}のみであることが必要かつ十分である.

部分群N<Gについて,次は同値である:

  1. NG;
  2. 軌道空間G/N上の群構造であって,標準射影π:GG/Nが準同型となるようなものが(ただひとつ)存在する.

(i)(ii)

g,g,h,hGとし,gρ|Ng,hρ|Nhとする.このときh1hNより
hh1=h(h1h)h1hNh1=N
となるので,g1gNと合わせて
(gh)1(gh)=h1(g1ghh1)hh1Nh=N
を得る.したがってghρ|Nghが成り立つ.よって写像μG/N:G/N×G/NG/NであってπμG=μG/N(π×π)を満たすものがただひとつ存在する:
G×GμGπ×πGπG/N×G/NμG/NG/N.
このμG/Nを積とし,π(e)G/Nを単位元,ιG/N:G/NG/N;π(g)π(g1)を逆元として,G/Nは群をなす(ことが容易に確かめられる).この群構造に関してπが準同型となることは積の定義より明らか.

(G/N,μG/N,π(e),ιG/N)を正規部分群NGによる剰余群という.

(ii)(i)

仮定よりπ(e)G/Nは単位元であり,任意のgGに対して
gKer(π)π(g)=π(e)gN
が成り立つので,N=Ker(π)Gを得る.

準同型定理

準同型φ:GGは群同型
G/Ker(φ)φ(G)
を誘導する.

標準射影をπ:GG/Ker(φ)とおく.Ker(φ)GよりG/Ker(φ)は群であり,
π(g)=π(g)g1gKer(φ)φ(g)1φ(g)=eφ(g)=φ(g)
より,単射φ:G/Ker(φ)Gが誘導される:
GφπG.G/Ker(φ)φ
さらに
φ(π(g)π(g))=φ(π(gg))=φ(gg)=φ(g)φ(g)=φ(π(g))φ(π(g))
よりφは準同型である.

α:GSym(X)を作用とする.このときα:G/Ker(α)Sym(X)は効果的作用である.

(第2同型定理)

Gを群とし,H<G,NGとする.このときHNH,HN<Gであり,群同型
H/(HN)HN/N
が成り立つ.

標準射影をπ:GG/Nとおく.

  • HN=Ker(π|H)Hより
    H/(HN)π(H)
    が成り立つ.
  • HN=π1(π(H))<Gであり,N=HNN=Ker(π|HN)HNであるから
    HN/Nπ(HN)=π(H)
    が成り立つ.

Gを群とする.共軛作用Inn:GSym(G)の核
Z(G):=Ker(Inn)=gGStabInn(g)={gGgG, gg=gg}
G中心という.準同型定理よりG/Z(G)Inn(G)が成り立つ.G=Z(G)なるときG可換群という.このときInn(G)={idG}であるから,Gの任意の部分群は正規部分群である.

G/Z(G)が巡回群ならばGは可換群である.実際,G/Z(G)=π(g0)とすると,任意のgGに対して,π(g)=π(g0n)よりg0ng=zZ(G)となるので,
gG, gg=(g0nz)(g0nz)=(g0nz)(g0nz)=gg
よりgZ(G)が成り立つ.

Gを有限群とし,G=iIOrbInn(gi)を共軛作用による軌道分解とする.このとき
Z(G)={gGgG, ggg1=g}=GInn,G
が成り立つので,例23より
#G=giZ(G)#{ggig1gG}+#Z(G)
が成り立つ.これをG類等式という.

位数がp冪の非自明な群は非自明な中心を持つ.

正規化群と共軛部分群

Gの部分集合SGに対して
NG(S):=StabPInn(S)={gGgSg1=S}
GにおけるS正規化群という.

任意のsGに対してNG({s})=StabInn(s)が成り立つ.

任意の部分集合SGに対して,G同型
G/NG(S)G{gSg1P(G)gG}
が存在する.

部分集合S(G):={HP(G)H<G}PInn安定部分集合である.実際,(g,H)G×S(G)とすると,任意のh,hHに対して
(ghg1)1(ghg1)=g(h1h)g1gHg1
が成り立つので,gHg1S(G)を得る.このとき,作用α:=(PInn)S(G)について
Stabα(H)={gGgHg1=H}=NG(H)
が成り立つ.よってG同型
G/NG(H)G{gHg1S(G)gG}
を得る.

部分群H<Gについて,次が成り立つ:

  1. HNG(H);
  2. HGNG(H)=G.
  1. 正規化群の定義より明らか.
  2. 正規部分群の定義よりが,(i)よりがしたがう.

α:GSym(X)を作用とする.任意の部分群H<Gに対して,XHα|NG(H)安定部分集合であり,したがってNG(H)によるXHへの作用が定まる.とくにHGならばXHα安定部分集合である.

任意の(g,x)NG(H)×XHに対してgxXHが成り立つことを示せばよい.そこでhHとする.このときg1NG(H)よりg1hgg1Hg=Hであるから,hHであってg1hg=hなるものが存在する.したがって
h(gx)=hgx=ghx=g(hx)=gx
が成り立つ.

Gを群としH,K<Gをその部分群とする.このとき次は同値である:

  1. G同変写像f:G/HG/Kが存在する;
  2. aG, aHa1K.

(i)(ii)

f(H)=a1Kとおく.このとき,任意のhHに対して
ha1K=h(a1K)=hf(H)=f(hH)=f(H)=a1K
よりaha1Kが成り立つ.よってaHa1Kを得る.

(ii)(i)

πH(g)=πH(g)g1gHag1ga1aHa1Kga1ga1KπK(ga1)=πK(ga1)
より,写像f:G/HG/Kが誘導される:
Gρa1πHGπKG/HfG/K.
πH:GG/HおよびπKρa1:GG/KG同変写像であることから,fG同変であることがわかる.

Gを群としH,K<Gをその部分群とする.このとき次は同値である:

  1. 軌道空間G/HG/KとはG同型である;
  2. 部分群HKとは互いに共軛である.

(i)(ii)

f:G/HG/KG同型とし,f(H)=a1Kとおく.このときaHa1Kが成り立つ.一方,f1(K)=aHよりa1KaH,したがってKaHa1が成り立つ.

(ii)(i)

aHa1=Kとすると,
f:G/HG/K; gHga1K
G同型である.

Sylowの定理

pを素数とする.

  • 位数がp冪の(部分)群をp(部分)群という.
  • 有限群Gの位数がprmp,mは互いに素)であるとき,位数prの部分群をGSylowp部分群という.
不動点定理(例23の再掲)

Gp群とする.このとき,任意の有限G集合Xに対して
#X#XG(modp)
が成り立つ.

Sylowp部分群の存在

pを素数とする.このとき任意の(r,m)Z0×Z>0に対して
(prmpr)m(modp)
が成り立つ.

準同型π:ZZ/prmZ=:Gを考え,G=π(mZ)Gとおくと,
Z/mZG/G, #G=#(G/G)#G
より#G=prを得る.

ここで,
X={SP(G)#S=pr}
とおくと,これはPλ安定部分集合であるから作用(Pλ)X|Gを考えることができる.いまGp群であり#X=(prmpr)であるから,あとは#XG=mを示せばよい.

任意のaGG/Gに対して
gG, g(aG)=(ga)G=(ag)G=a(gG)=aG
よりaGXGが成り立つ.一方,SXGとしs0Sを取ると,
s0G=Gs0S, #s0G=pr=#S
よりS=s0GG/Gが成り立つ.よってXG=G/Gとなるので#XG=mを得る.

Sylow (1)

Gを有限群とする.このとき,任意の素数pに対してGのSylowp部分群が存在する.

#G=prmp,mは互いに素)とする.

X={SP(G)#S=pr}とおくと,これはPλ安定部分集合である.作用α:=(Pλ)Xによる軌道分解を考えると,補題より#X=(prmpr)pで割り切れないので,SXであってp#Orbα(S)なるものが存在することがわかる.そこでSp=Stabα(S)<Gとおく.このとき,
prm=#G=#Orbα(S)#Sp
よりpr#Sp,したがってpr#Spが成り立つ.一方,sSを固定すると,
gSp, gsgS=S
より,単射ρs|SpS:SpSが定まるので,#Sp#S=prが成り立つ.よって#Sp=prとなるのでSpGのSylowp部分群である.

Cauchy

Gを有限群としpを素数とする.このときp#Gならば,gGであって#g=pなるものが存在する.実際,GのSylowp部分群Spの元sSp{e}を取ると,#s#Spより#s=pnであるから,g=spn1Gとおくと#g=pが成り立つ.

Gを有限群としpを素数とする.このとき,Lagrangeの定理より,Gp群ならば任意のgGに対してg<Gp部分群である.逆に,Gp群でないとすると,pと異なる素数qであってq#Gなるものが存在するので,gGであってg<Gp部分群でないものが存在する.

以上より次は同値である:

  1. Gp群である;
  2. 任意のgGに対してg<Gp部分群である.

Sylowp部分群の個数および共軛類

Gを有限群,pを素数とし,Sp<GをSylowp部分群とする.このときNG(Sp)の任意のp部分群はSpに含まれる.

P<NG(Sp)p部分群とする.SpNG(Sp)であるから,第2同型定理より
PSp/SpP/(PSp)
が成り立つ.したがって#(PSp/Sp)p冪であるから,
#PSp=#(PSp/Sp)#Sp
よりPSp<GSpを含むp部分群である.よってPSp=Spが成り立つので,PSpを得る.

Sylow (2)

Gを有限群としpを素数とする.このときGのSylowp部分群の個数σpについて次が成り立つ:

  1. σp#G;
  2. σp1(modp).

さらに,GのSylowp部分群は互いに共軛である.

#G=prmp,mは互いに素)とし,Sp<GをSylowp部分群とする.

共軛作用α:=(PInn)S(G):GSym(S(G))を考える.このとき例34より
G/NG(Sp)GOrbα(Sp)={gSpg1S(G)gG}=:X
であるから,
#X#G
が成り立つ.

いまα軌道Xα安定部分集合であるから,作用αX|Spを考えることができる.明らかにSpXSpが成り立つ.逆に,SXSpとすると
gSp, gSg1=S
よりSpNG(S)となるが,S<GはSylowp部分群なので,補題よりSpS,したがってSp=Sが成り立つ.よってXSp={Sp}であるから
#X1(modp)
が成り立つ.

GのSylowp部分群全体のなす集合を
Sp={SpS(G)#Sp=pr}
とおく.XSpであるから,あとはSpXを示せばよい.ところで,SpSpXなるSylowp部分群が存在したとすると,上と同様の考察により作用αX|SpについてXSp=が成り立つことがわかるが,このとき
#X0(modp)
となり不合理である.

#G=prmp,mは互いに素)のとき,σp1(modp),σpprmよりσpmが成り立つ.

有限群GのSylowp部分群Sp<Gについて,
G/NG(Sp)GSp
より,
SpGNG(Sp)=Gσp=1
が成り立つ.

p,qを相異なる素数としGを位数prqの群とする.このとき
q1(modp)σp=1
が成り立つ.実際,σpqよりσp{1,q}であるが,q1σp(modp)よりσp=1を得る.

Gを有限群としNGをその正規部分群とする.このとき#(G/N)が素数pと互いに素ならば,Gの任意のSylowp部分群はNに含まれる.実際,#G=prmとすると#G=#(G/N)#Nより#N=prmと書けるのでNのSylowp部分群PGのSylowp部分群でもあり,したがって
SpSp, Sp=gPg1gNg1=N
が成り立つ.

Gを有限群,Sp<GをそのSylowp部分群とし,NG(Sp)<K<Gする.このとき,Kを含む任意の部分群H<Gに対して
#(H/K)1(modp)
が成り立つ.

Hにおける左正則作用λ:HSym(H)により誘導される作用λρ|K|Spについて
#(H/K)#(H/K)Sp(modp)
が成り立つ.SpKよりK(H/K)Spである.逆に,hK(H/K)Spとすると,任意のgSpに対してghK=hKよりh1ghKとなるので,h1SphKが成り立つ.いまSp,h1SphはともにKのSylowp部分群なので,kKであってkSpk1=h1Sphなるものが存在する.よって
hkNG(Sp)K
よりh=(hk)k1Kが成り立つので,hK=Kを得る.以上より(H/K)Sp={K}であるから,
#(H/K)1(modp)
が成り立つ.

( Frattini's argument )

Gを群,NGを有限正規部分群,pを素数,Sp<NをSylowp部分群とする.このとき
G=NNG(Sp)
が成り立つ.

gGとする.このとき
gSpg1<gNg1=N
NのSylowp部分群であるから,nNであって
gSpg1=nSpn1
を満たすものが存在する.したがってn1gNG(Sp)であるから
g=n(n1g)NNG(Sp)
が成り立つ.

Frattini's argument の

Gを有限群,pを素数とし,Sp<GをSylowp部分群とする.このときNG(Sp)を含む任意の部分群H<Gに対して
NG(H)=H
が成り立つ.とくに
NG(NG(Sp))=NG(Sp)
が成り立つ.

Sp<HはSylowp部分群であるからHNG(H)と合わせて
HNG(H)=HNNG(H)(Sp)HNG(Sp)HH=H
が成り立つ.

他のp部分群との関係

Sylow (3)

Gを有限群としpを素数とする.このとき任意のp部分群に対して,それを含むSylowp部分群が存在する.

P<Gp部分群とし,共軛作用(PInn)Sp|Pを考える.このとき
#(Sp)P#Sp1(modp)
より,不動点Sp(Sp)Pが存在する.したがって
gP, gSpg1=Sp
よりPNG(Sp)であるから,補題20よりPSpを得る.

Gを有限群としNGをその正規部分群とする.このときNp部分群ならば,Gの任意のSylowp部分群はNを含む.実際,Sylowp部分群P<GであってPNなるものが存在するので,
SpSp, Sp=gPg1gNg1=N
が成り立つ.

Sp群とする.このとき任意の部分群P<Sに対して
PSPNS(P)
が成り立つ.

PSのときはPS=NS(P)となるので,P◃̸Sとしてよい.そこで
X={gPg1S(S)gS}{P}
とおくと,X(PInn)S(S)|P安定部分集合である.したがって,P<Sp群であることから
#XP#X=#(S/NS(P))11(modp)
となるので,不動点gPg1XPが存在する.このとき任意のhPに対して
h(gPg1)h1=gPg1
よりg1hgNS(P)が成り立つので,g1PgNS(P)を得る.Pg1PgであるからPNS(P)がしたがう.

Gを有限群としP<Gp部分群とする.このとき次は同値である:

  1. P<GはSylowp部分群である;
  2. PNG(P)は(ただひとつの)Sylowp部分群である.

(i)(ii)

明らか.

(ii)(i)

対偶を示す.そこでP<GがSylowp部分群ではないとする.Pを含むGのSylowp部分群Spを取るとPSpであるから,補題よりPNSp(P)が成り立つ.いまNSp(P)=NG(P)Sp<SpよりNSp(P)NG(P)p部分群であるから,#P<#NSp(P)よりP<NG(P)はSylowp部分群にはなりえない.

G#G=prmp,mは互いに素)なる有限群とする.このとき,Gp部分群の増大列(Pi)0irであって
i{0,,r}, #Pi=pi
を満たすものが存在する.

P0={e}<Gとおく.

以下,i{0,,r1}に対してPi<Gの存在を仮定して,条件を満たすp部分群Pi+1<Gが存在することを示す.

いまi<rよりPi<GはSylowp部分群ではないので,PiNG(Pi)はSylowp部分群ではない.したがって剰余群NG(Pi)/Piについてp#(NG(Pi)/Pi)が成り立つので,例36よりgNG(Pi)であって#π(g)=pを満たすものが存在する(ただしπ:NG(Pi)NG(Pi)/Piは標準射影である).そこで
Pi+1=π1(π(g))<NG(Pi)
とおくと,Pi=Ker(π|Pi+1)Pi+1<Gであり,Pi+1/Piπ(g)より
#Pi+1=#(Pi+1/Pi)#Pi=ppi=pi+1
が成り立つ.

Lagrangeの定理の逆が部分的に成り立つ:

Sylow (1')

Gを有限群としpを素数とする.このときpi#Gならば,Gは位数piの部分群を持つ.

追記(2024/05/01): The number of p-subgroups of a group によると位数piの部分群の個数もmodp1になるらしい.

更新履歴

  • 2024/04/30:n次対称群の記号がSylowp部分群の記号とぶつかっていることに気付いたので,前者を変更しました.いくつか加筆および語句等の修正をしました.
  • 2024/05/02:定理8の証明を修正しました(追記:修正の必要はなかったことに気づきましたが( 参照 ),面倒なのでそのままにしておきます). 例41を加筆しました.
  • 2024/05/05:定理8の証明を書き直しました.
  • 2024/08/10:多少加筆修正しました.

参考文献

[1]
S. MacLane, G. Birkhoff, Algebra, Third Edition
[2]
彌永昌吉,小平邦彦, 現代数学概説 I, 岩波書店
[3]
堀田良之, 代数入門, 裳華房
投稿日:2024429
更新日:126
OptHub AI Competition

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投稿者

うすい
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  1. 群の作用
  2. 左作用
  3. 右作用
  4. 誘導される作用
  5. 固定する元,される元
  6. Galois接続
  7. 安定部分集合
  8. 群作用の基本定理
  9. 軌道と安定化群
  10. 同変写像
  11. Orbit-Stabilizer Theorem
  12. 附:Zagier's One-Sentence Proof
  13. Orbit-Counting Theorem
  14. 共軛作用
  15. 正規部分群
  16. 準同型定理
  17. 正規化群と共軛部分群
  18. Sylowの定理
  19. Sylow$p$部分群の存在
  20. Sylow$p$部分群の個数および共軛類
  21. 他の$p$部分群との関係
  22. 更新履歴
  23. 参考文献