作用の定義からSylowの定理まで

1. $x \in \gamma(S') \implies \forall s \in S \subset S',\, s \cdot x = x \implies x \in \gamma(S)$.
2. $g \in \delta(A') \implies \forall a \in A \subset A',\,g \cdot a = a \implies g \in \delta(A)$.
3. $S \subset \delta(A) \iff \forall (s,a) \in S \times A,\, s \cdot a = a \iff A \subset \gamma(S)$.
4. $\textcolor{orange}{\gamma(S)} \subset \gamma(S)$より$S \subset \delta(\textcolor{orange}{\gamma(S)})$となるので，(i)より$\gamma(S) \supset \gamma(\delta(\gamma(S)))$を得る．逆に$\textcolor{orange}{\delta(\gamma(S))} \subset \delta(\gamma(S))$より$\gamma(S) \subset \gamma(\textcolor{orange}{\delta(\gamma(S))})$を得る．
5. $\textcolor{orange}{\delta(A)} \subset \delta(A)$より$A \subset \gamma(\textcolor{orange}{\delta(A)})$となるので，(ii)より$\delta(A) \supset \delta(\gamma(\delta(A)))$を得る．逆に$\textcolor{orange}{\gamma(\delta(A))} \subset \gamma(\delta(A))$より$\delta(A) \subset \delta(\textcolor{orange}{\gamma(\delta(A))})$を得る．

• $S \subset \langle S \rangle$より$X^{S} \supset X^{\langle S \rangle}$が成り立つ．
• $x \in X^{S}$とする．
  • $g \in \langle S \rangle$とする．
  • 有限個の$s_{i} \in S \cup S^{-1}$を用いて$g = s_{1} \cdots s_{n}$と書ける．
  • $s_{i} \cdot x = x$より$g \cdot x = x$が成り立つ．
• よって$x \in X^{\langle S \rangle}$を得る．

(i)$\implies$(ii)

明らか．

(ii)$\implies$(i)

$g \in G$とする．仮定より$\alpha(g^{\pm 1})(Y) \subset Y$が成り立つ．したがって
$$ \alpha(g)(Y) \subset Y = \alpha(g)(\alpha(g^{-1})(Y)) \subset \alpha(g)(Y)$$
が成り立つ．

(i)$\implies$(ii)

仮定より$x_{0} \in X$であって$X = G \cdot x_{0}$となるものが存在する．このとき，任意の$x \in X$に対して，$x \in G \cdot x_{0}$より$G \cdot x = G \cdot x_{0} = X$が成り立つ（cf. 補題6）．

(ii)$\implies$(i)

$\exists x \in X \neq \varnothing$ゆえ$X = G \cdot x$が成り立つ．

(i)$\implies$(ii)

明らか．

(ii)$\implies$(i)

$f$の逆写像$f^{-1} \colon Y \to X$が$G$同変写像であることを示せばよい．ところで任意の$(g,y) \in G \times Y$に対して
$$ f^{-1}(g \cdot y) = f^{-1}(g \cdot f(f^{-1}(y))) = f^{-1}(f(g \cdot f^{-1}(y))) = g \cdot f^{-1}(y)$$
が成り立つ．

\begin{align} (x,x') \in R(f) &\implies f(x) = f(x')\\ &\implies f(g \cdot x) = g \cdot f(x) = g \cdot f(x') = f(g \cdot x')\\ &\implies (g \cdot x, g \cdot x') \in R(f) \end{align}
より，$R(f)$は作用と両立する．

標準射影を$\pi \colon X \to X/R(f)$とおく．$f$が誘導する全単射
$$ \overline{f} \colon X/R(f) \to f(X);\ \pi(x) \mapsto f(x)$$
が$G$同変写像であることを示せばよい．ところで，任意の$(g,x) \in G \times X$に対して
$$ \overline{f}(g \cdot \pi(x)) = \overline{f}(\pi(g \cdot x)) = f(g \cdot x) = g \cdot f(x) = g \cdot \overline{f}(\pi(x))$$
が成り立つ．

(i)$\implies$(ii)

$y \in G \cdot x$より$g \in G$であって$y = g \cdot x$なるものが存在する．したがって，任意の$h \in G$に対して
$$ h \cdot y = h \cdot (g \cdot x) = (hg) \cdot x \in G \cdot x$$
が成り立つので，$G \cdot y \subset G \cdot x$を得る．同様にして，$x = g^{-1} \cdot y$より$G \cdot x \subset G \cdot y$を得る．

(ii)$\implies$(i)

$y = e \cdot y \in G \cdot y = G \cdot x$が成り立つ．

任意の$g,g' \in G$に対して
$$ g \cdot x = g' \cdot x \iff g^{-1}g' \in G_{x} \iff g \sim_{\rho|G_{x}} g'$$
が成り立つ．よって$G$同変写像
$$ G \to X;\ g \mapsto g \cdot x$$
は$G$同型$G/G_{x} \to G \cdot x$を誘導する．

全単射$G \to (G \cdot x) \times G_{x}$が存在することを示せばよい．

• 任意の$y \in G \cdot x$に対して$\{g \in G \mid g \cdot x = y\} \neq \varnothing$であるから，写像$\psi \colon G \cdot x \to G$であって
  $$ \forall y \in G \cdot x,\ \psi(y) \cdot x = y$$
  を満たすものが存在する．
• $g \in G$とすると，$\psi(g \cdot x) \cdot x = g \cdot x$より，$\psi(g \cdot x)^{-1}g \in G_{x}$が成り立つ．

そこで，写像$\Phi \colon G \to (G \cdot x) \times G_{x},\, \Psi \colon (G \cdot x) \times G_{x} \to G$をそれぞれ
$$ \Phi(g) = (g \cdot x, \psi(g \cdot x)^{-1}g);\ \Psi(y,g) = \psi(y)g$$
で定めると，これらは互いの逆写像である．実際，
$$ (\Psi \circ \Phi)(g) = \Psi(g \cdot x, \psi(g \cdot x)^{-1}g) = \psi(g \cdot x) \psi(g \cdot x)^{-1}g = g$$
および
\begin{align} (\Phi \circ \Psi)(y,g) &= \Phi(\psi(y)g)\\ &= (\psi(y)g \cdot x,\, \psi(\psi(y)g \cdot x)^{-1}\psi(y)g)\\ &= (\psi(y) \cdot (g \cdot x),\, \psi(\psi(y) \cdot (g \cdot x))^{-1}\psi(y)g)\\ &= (\psi(y) \cdot x,\, \psi(\psi(y) \cdot x) \psi(y)^{-1}g)\\ &= (y, \psi(y)\psi(y)^{-1}g)\\ &= (y,g) \end{align}
が成り立つ．

$G$の$\mathcal{P}(G)$への作用$\mathcal{P}_{*}\lambda$を考える．このとき
$$ \Stab_{\mathcal{P}_{*}\lambda}(H) = \{g \in G \mid g H = H\} = \{g \in G \mid g \in H\} = H$$
となるので，
$$ \Orb_{\mathcal{P}_{*}\lambda}(H) \cong_{G} G/\Stab_{\mathcal{P}_{*}\lambda}(H) = G/H$$
と合わせて結論を得る．

(i)$\implies$(ii)

$p$が奇数であることから$x,y$の偶奇は一致しないので，$x = 2u, y = 2v+1$と書けるとしてよい．このとき
$$ p = (2u)^{2} + (2v+1)^{2} = 4(u^{2}+v^{2}+v) + 1 \equiv 1 \pmod 4$$
が成り立つ．

(ii)$\implies$(i) [ 原論文（pdf） ]

$p = 4n+1$とおく．

有限集合$X \subset (\mathbb{Z}_{>0})^{3}$を
$$ X = \{(x,y,z) \in (\mathbb{Z}_{>0})^{3} \mid x^{2} + 4yz = p\}$$
で定める．任意の$(x,y,z) \in X$に対して
\begin{align} y-z &< 2y,\\ (y-z)^{2} + 4yz = (y+z)^{2} &\neq p \leadsto x \neq y-z,\\ (2y)^{2} + 4yz = 4y(y+z) &\neq p \leadsto x \neq 2y,\\ (x+2z)^{2} + 4z(y-z-x) &= x^{2} + 4yz = p,\\ (2y-x)^{2} + 4y(x-y+z) &= x^{2} + 4yz = p, \end{align}
が成り立つので，写像$g \colon X \to X$を次で定めることができる：
$$ g(x,y,z) = \begin{cases} (x+2z,z,y-z-x),& x < y-z\\ (2y-x,y,x-y+z),& y-z < x < 2y\\ (x-2y,x-y+z,y),& 2y < x \end{cases}.$$

• $x < y-z$のとき，$2z < x + 2z$より
  \begin{align} (g \circ g)(x,y,z) &= g(x+2z,z,y-z-x)\\ &= ((x+2z) -2z, (x+2z)-z+(y-z-x),z)\\ &= (x,y,z) \end{align}
  が成り立つ．
• $y-z < x < 2y$のとき，$y - (x-y+z) < 2y -x < 2y$より
  \begin{align} (g \circ g)(x,y,z) &= g(2y-x,y,x-y+z)\\ &= (2y-(2y-x),y,(2y-x)-y+(x-y+z))\\ &= (x,y,z) \end{align}
  が成り立つ．
• $2y < x$のとき，$x-2y < (x-y+z) -y$より
  \begin{align} (g \circ g)(x,y,z) &= g(x-2y,x-y+z,y)\\ &= ((x-2y)+2y,y,(x-y+z) -(x-2y)-y)\\ &= (x,y,z) \end{align}
  が成り立つ．

したがって$g \circ g = \id_{X}$を得るので
$$ \#X \equiv \#X^{g} \pmod 2$$
が成り立つ．

Claim. $X^{g} = \{(1,1,n)\}$が成り立つ

• $(1,1,n) \in X$であり，$1-n<1<2$であるから
  $$ g(1,1,n) = (2-1,1,1-1+n) = (1,1,n)$$
  が成り立つ．したがって$(1,1,n) \in X^{g}$を得る．
• $(x,y,z) \in X^{g}$とする．上の考察より$y-z < x < 2y$でないといけないので，$g(x,y,z) = (x,y,z)$より$x=y$を得る．このとき$p = x(x+4z)$より$x = 1$を得，したがって$4z+1 = p = 4n+1$より$z=n$を得る．$\square$

以上より
$$ \#X \equiv 1 \pmod 2$$
が成り立つ．そこで全単射$g' \colon X \to X$を
$$ g'(x,y,z) = (x,z,y)$$
で定めると，$g' \circ g' = \id_{X}$より$\#X^{g'} \equiv \#X \equiv 1 \pmod 2$が成り立つ．したがって不動点$(x,y,z) \in X^{g'}$が存在する．このとき$y =z$であるから
$$ p = x^{2} + 4yy = x^{2} + (2y)^{2}$$
と書ける．

集合$\{(g,x) \in G \times X \mid g \cdot x = x\}$を2通りに“数える”ことで
$$ \sum_{x \in X} \# G_{x} = \# \{(g,x) \in G \times X \mid g \cdot x = x\} = \sum_{g \in G} \# X^{g}$$
が成り立つことがわかる．あとは全単射$(G \backslash X) \times G \to \coprod_{x \in X} G_{x}$が存在することを示せばよい．

• 標準射影$\pi \colon X \to G \backslash X$の切断を$\sigma \colon G \backslash X \to X$とおく．
• 各$A \in G \backslash X$に対して，写像$\psi_{A} \colon A \to G$であって
  $$ \forall a \in A,\ \psi_{A}(a) \cdot \sigma(A) = a$$
  を満たすものが存在する．

そこで，写像$\Phi \colon (G \backslash X) \times G \to \coprod_{x \in X} G_{x},\, \Psi \colon \coprod_{x \in X} G_{x} \to (G \backslash X) \times G$をそれぞれ
\begin{align} \Phi(A,g) &= (g \cdot \sigma(A),g\psi_{A}(g \cdot \sigma(A))^{-1}),\\ \Psi(x,g) &= (\pi(x), g \psi_{\pi(x)}(x)) \end{align}
で定めると，これらは互いの逆写像である．実際
\begin{align} (\Psi \circ \Phi)(A,g) &= \Psi(g \cdot \sigma(A),\,g \psi_{A}(g \cdot \sigma(A))^{-1})\\ &= (\pi(g \cdot \sigma(A)),\,g \psi_{A}(g \cdot \sigma(A))^{-1} \psi_{\pi(g \cdot \sigma(A))}(g \cdot \sigma(A)))\\ &= (A,\, g \psi_{A}(g \cdot \sigma(A))^{-1}\psi_{A}(g \cdot \sigma(A)))\\ &= (A,g) \end{align}
および
\begin{align} (\Phi \circ \Psi)(x,g) &= \Phi(\pi(x), g \psi_{\pi(x)}(x))\\ &= (g \psi_{\pi(x)}(x) \cdot \sigma\pi(x),\, g \psi_{\pi(x)}(x) \psi_{\pi(x)}(g \psi_{\pi(x)}(x) \cdot \sigma\pi(x))^{-1})\\ &= (g \cdot (\psi_{\pi(x)}(x) \cdot \sigma\pi(x)),\,g \psi_{\pi(x)}(x) \psi_{\pi(x)}(g \cdot (\psi_{\pi(x)}(x) \cdot \sigma\pi(x)))^{-1})\\ &= (g \cdot x,\,g \psi_{\pi(x)}(x)\psi_{\pi(x)}(g \cdot x)^{-1})\\ &= (x,\, g \psi_{\pi(x)}(x) \psi_{\pi(x)}(x)^{-1})\\ &= (x,g) \end{align}
が成り立つ．

それぞれが部分群であることはよい．

1. 任意の$g \in G,\,n \in N$に対して
   $$ \varphi(g) \varphi(n) \varphi(g)^{-1} = \varphi(gng^{-1}) \in \varphi(N)$$
   が成り立つ．
2. 任意の$g \in G,\,n \in \varphi^{-1}(N')$に対して
   $$ \varphi(gng^{-1}) = \varphi(g) \varphi(n) \varphi(g)^{-1} \in N'$$
   より，$gng^{-1} \in \varphi^{-1}(N')$が成り立つ．

(i)$\implies$(ii)

$g,g',h,h' \in G$とし，$g \sim_{\rho|N} g',\,h \sim_{\rho|N} h'$とする．このとき$h^{-1}h' \in N$より
$$ h'h^{-1} = h (h^{-1}h') h^{-1} \in hNh^{-1} = N$$
となるので，$g^{-1}g' \in N$と合わせて
$$ (gh)^{-1}(g'h') = h^{-1} (g^{-1}g'h'h^{-1}) h \in h^{-1}Nh = N$$
を得る．したがって$gh \sim_{\rho|N} g'h'$が成り立つ．よって写像$\mu_{G/N} \colon G/N \times G/N \to G/N$であって$\pi \circ \mu_{G} = \mu_{G/N} \circ (\pi \times \pi)$を満たすものがただひとつ存在する：
$$ \xymatrix{ {G \times G} \ar[r]^{\mu_{G}} \ar[d]_{\pi \times \pi} & {G} \ar[d]^{\pi}\\ {G/N \times G/N} \ar@{.>}[r]_{\mu_{G/N}} & {G/N.} }$$
この$\mu_{G/N}$を積とし，$\pi(e) \in G/N$を単位元，$\iota_{G/N} \colon G/N \to G/N; \pi(g) \mapsto \pi(g^{-1})$を逆元として，$G/N$は群をなす（ことが容易に確かめられる）．この群構造に関して$\pi$が準同型となることは積の定義より明らか．

群$(G/N,\mu_{G/N},\pi(e),\iota_{G/N})$を正規部分群$N \triangleleft G$による剰余群という．

(ii)$\implies$(i)

仮定より$\pi(e) \in G/N$は単位元であり，任意の$g \in G$に対して
$$ g \in \Ker(\pi) \iff \pi(g) = \pi(e) \iff g \in N$$
が成り立つので，$N = \Ker(\pi) \triangleleft G$を得る．

標準射影を$\pi \colon G \to G/\Ker(\varphi)$とおく．$\Ker(\varphi) \triangleleft G$より$G/\Ker(\varphi)$は群であり，
\begin{align} \pi(g) = \pi(g') &\iff g^{-1}g' \in \Ker(\varphi)\\ &\iff \varphi(g)^{-1}\varphi(g') = e'\\ &\iff \varphi(g) = \varphi(g') \end{align}
より，単射$\overline{\varphi} \colon G/\Ker(\varphi) \to G'$が誘導される：
$$ \xymatrix{ {G} \ar[r]^{\varphi} \ar[d]_{\pi} & {G'.}\\ {G/\Ker(\varphi)} \ar@{.>}[ur]_{\overline{\varphi}} }$$
さらに
$$ \overline{\varphi}(\pi(g)\pi(g')) = \overline{\varphi}(\pi(gg')) = \varphi(gg') = \varphi(g)\varphi(g') = \overline{\varphi}(\pi(g)) \overline{\varphi}(\pi(g'))$$
より$\overline{\varphi}$は準同型である．

標準射影を$\pi \colon G \to G/N$とおく．

• $\Ker(\pi|H) = H \cap N \triangleleft H$より
  $$ H/(H \cap N) \cong \pi(H)$$
  が成り立つ．
• $\pi^{-1}(\pi(H)) = HN < G$であり，$\Ker(\pi|HN) = HN \cap N = N \triangleleft HN$であるから
  $$ HN/N \cong \pi(HN) = \pi(H)$$
  が成り立つ．

1. 正規化群の定義より明らか．
2. 正規部分群の定義より$\implies$が，(i)より$\impliedby$がしたがう．

任意の$(g,x) \in N_{G}(H) \times X^{H}$に対して$g \cdot x \in X^{H}$が成り立つことを示せばよい．そこで$h \in H$とする．このとき$g^{-1} \in N_{G}(H)$より$g^{-1}hg \in g^{-1}Hg = H$であるから，$h' \in H$であって$g^{-1}hg = h'$なるものが存在する．したがって
$$ h \cdot (g \cdot x) = hg \cdot x = gh' \cdot x = g \cdot (h' \cdot x) = g \cdot x$$
が成り立つ．

(i)$\implies$(ii)

$f(H) = \prescript{\exists}{}a^{-1} K$とおく．このとき，任意の$h \in H$に対して
$$ ha^{-1} K = h \cdot (a^{-1} K) = h \cdot f(H) = f(h \cdot H) = f(H) = a^{-1} K$$
より$aha^{-1} \in K$が成り立つ．よって$aHa^{-1} \subset K$を得る．

(ii)$\implies$(i)

\begin{align} \pi_{H}(g) = \pi_{H}(g') &\implies g^{-1}g' \in H\\ &\implies a \cdot g^{-1}g' \cdot a^{-1} \in aHa^{-1} \subset K\\ &\implies g'a^{-1} \in ga^{-1} K\\ &\implies \pi_{K}(ga^{-1}) = \pi_{K}(g'a^{-1}) \end{align}
より，写像$f \colon G/H \to G/K$が誘導される：
$$ \xymatrix{ {G} \ar[r]^{\rho_{a^{-1}}} \ar[d]_{\pi_{H}} & {G} \ar[d]^{\pi_{K}}\\ {G/H} \ar@{.>}[r]_{f} & {G/K.} }$$
$\pi_{H} \colon G \to G/H$および$\pi_{K} \circ \rho_{a^{-1}} \colon G \to G/K$が$G$同変写像であることから，$f$が$G$同変であることがわかる．

(i)$\implies$(ii)

$f \colon G/H \to G/K$を$G$同型とし，$f(H) = a^{-1} K$とおく．このとき$aHa^{-1} \subset K$が成り立つ．一方，$f^{-1}(K) = a H$より$a^{-1}Ka \subset H$，したがって$K \subset aHa^{-1}$が成り立つ．

(ii)$\implies$(i)

$aHa^{-1} = K$とすると，
$$ f \colon G/H \to G/K;\ g H \mapsto ga^{-1} K$$
は$G$同型である．

準同型$\pi \colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/p^{r}m\mathbb{Z} =: G'$を考え，$G = \pi(m\mathbb{Z}) \triangleleft G'$とおくと，
$$ \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \cong G'/G,\ \#G' = \#(G'/G) \cdot \#G$$
より$\#G = p^{r}$を得る．

ここで，
$$ X = \{S \in \mathcal{P}(G') \mid \#S = p^{r}\}$$
とおくと，これは$\mathcal{P}_{*}\lambda$安定部分集合であるから作用$(\mathcal{P}_{*}\lambda)^{X}|G$を考えることができる．いま$G$は$p$群であり$\#X = \binom{p^{r}m}{p^{r}}$であるから，あとは$\#X^{G} = m$を示せばよい．

任意の$aG \in G'/G$に対して
$$ \forall g \in G,\ g(aG)= (ga)G = (ag)G = a(gG) = aG$$
より$aG \in X^{G}$が成り立つ．一方，$S \in X^{G}$とし$s_{0} \in S$を取ると，
$$ s_{0}G = Gs_{0} \subset S,\ \#s_{0}G = p^{r} = \#S$$
より$S = s_{0}G \in G'/G$が成り立つ．よって$X^{G} = G'/G$となるので$\#X^{G} = m$を得る．

$\#G = p^{r}m$（$p,m$は互いに素）とする．

$X = \{S \in \mathcal{P}(G) \mid \#S = p^{r}\}$とおくと，これは$\mathcal{P}_{*}\lambda$安定部分集合である．作用$\alpha := (\mathcal{P}_{*}\lambda)^{X}$による軌道分解を考えると，補題より$\#X = \binom{p^{r}m}{p^{r}}$は$p$で割り切れないので，$S \in X$であって$p \nmid \#\Orb_{\alpha}(S)$なるものが存在することがわかる．そこで$S_{p} = \Stab_{\alpha}(S) < G$とおく．このとき，
$$ p^{r}m = \#G = \#\Orb_{\alpha}(S) \cdot \#S_{p}$$
より$p^{r} \mid \#S_{p}$，したがって$p^{r} \leq \#S_{p}$が成り立つ．一方，$s \in S$を固定すると，
$$ \forall g \in S_{p},\ gs \in gS = S$$
より，単射$\rho_{s}|_{S_{p}}^{S} \colon S_{p} \to S$が定まるので，$\#S_{p} \leq \#S = p^{r}$が成り立つ．よって$\#S_{p} = p^{r}$となるので$S_{p}$は$G$のSylow$p$部分群である．

$P < N_{G}(S_{p})$を$p$部分群とする．$S_{p} \triangleleft N_{G}(S_{p})$であるから，第2同型定理より
$$ PS_{p}/S_{p} \cong P/(P \cap S_{p})$$
が成り立つ．したがって$\#(PS_{p}/S_{p})$は$p$冪であるから，
$$ \#PS_{p} = \#(PS_{p}/S_{p}) \cdot \#S_{p}$$
より$PS_{p} < G$は$S_{p}$を含む$p$部分群である．よって$PS_{p} = S_{p}$が成り立つので，$P \subset S_{p}$を得る．

$\#G = p^{r}m$（$p,m$は互いに素）とし，$S_{p} < G$をSylow$p$部分群とする．

共軛作用$\alpha := (\mathcal{P}_{*}\Inn)^{\mathcal{S}(G)} \colon G \to \Sym(\mathcal{S}(G))$を考える．このとき例34より
$$ G/N_{G}(S_{p}) \cong_{G} \Orb_{\alpha}(S_{p}) = \{gS_{p}g^{-1} \in \mathcal{S}(G) \mid g \in G\} =: X$$
であるから，
$$ \#X \mid \#G$$
が成り立つ．

いま$\alpha$軌道$X$は$\alpha$安定部分集合であるから，作用$\alpha^{X}|S_{p}$を考えることができる．明らかに$S_{p} \in X^{S_{p}}$が成り立つ．逆に，$S \in X^{S_{p}}$とすると
$$ \forall g \in S_{p},\ gSg^{-1} = S$$
より$S_{p} \subset N_{G}(S)$となるが，$S < G$はSylow$p$部分群なので，補題より$S_{p} \subset S$，したがって$S_{p} = S$が成り立つ．よって$X^{S_{p}} = \{S_{p}\}$であるから
$$ \#X \equiv 1 \pmod p$$
が成り立つ．

$G$のSylow$p$部分群全体のなす集合を
$$ \mathcal{S}_{p} = \{S'_{p} \in \mathcal{S}(G) \mid \#S'_{p} = p^{r}\}$$
とおく．$X \subset \mathcal{S}_{p}$であるから，あとは$\mathcal{S}_{p} \subset X$を示せばよい．ところで，$S'_{p} \in \mathcal{S}_{p} \smallsetminus X$なるSylow$p$部分群が存在したとすると，上と同様の考察により作用$\alpha^{X}|S'_{p}$について$X^{S'_{p}} = \varnothing$が成り立つことがわかるが，このとき
$$ \#X \equiv 0 \pmod p$$
となり不合理である．

$H$における左正則作用$\lambda \colon H \to \Sym(H)$により誘導される作用$\lambda_{\sim_{\rho|K}}|S_{p}$について
$$ \#(H/K) \equiv \#(H/K)^{S_{p}} \pmod p$$
が成り立つ．$S_{p} \subset K$より$K \in (H/K)^{S_{p}}$である．逆に，$hK \in (H/K)^{S_{p}}$とすると，任意の$g \in S_{p}$に対して$ghK = hK$より$h^{-1}gh \in K$となるので，$h^{-1}S_{p}h \subset K$が成り立つ．いま$S_{p}, h^{-1}S_{p}h$はともに$K$のSylow$p$部分群なので，$k \in K$であって$kS_{p}k^{-1} = h^{-1}S_{p}h$なるものが存在する．よって
$$ hk \in N_{G}(S_{p}) \subset K$$
より$h = (hk)k^{-1} \in K$が成り立つので，$hK = K$を得る．以上より$(H/K)^{S_{p}} = \{K\}$であるから，
$$ \#(H/K) \equiv 1 \pmod p$$
が成り立つ．

$g \in G$とする．このとき
$$ gS_{p}g^{-1} < gNg^{-1} = N$$
は$N$のSylow$p$部分群であるから，$n \in N$であって
$$ gS_{p}g^{-1} = nS_{p}n^{-1}$$
を満たすものが存在する．したがって$n^{-1}g \in N_{G}(S_{p})$であるから
$$ g = n(n^{-1}g) \in NN_{G}(S_{p})$$
が成り立つ．

$S_{p} < H$はSylow$p$部分群であるから$H \triangleleft N_{G}(H)$と合わせて
$$ H \subset N_{G}(H) = HN_{N_{G}(H)}(S_{p}) \subset HN_{G}(S_{p}) \subset HH = H$$
が成り立つ．

$P < G$を$p$部分群とし，共軛作用$(\mathcal{P}_{*}\Inn)^{\mathcal{S}_{p}}|P$を考える．このとき
$$ \#(\mathcal{S}_{p})^{P} \equiv \#\mathcal{S}_{p} \equiv 1 \pmod p$$
より，不動点$S_{p} \in (\mathcal{S}_{p})^{P}$が存在する．したがって
$$ \forall g \in P,\ gS_{p}g^{-1} = S_{p}$$
より$P \subset N_{G}(S_{p})$であるから，補題20より$P \subset S_{p}$を得る．

$P \triangleleft S$のときは$P \subsetneq S = N_{S}(P)$となるので，$P \not\triangleleft S$としてよい．そこで
$$ X = \{gPg^{-1} \in \mathcal{S}(S)\mid g \in S\} \smallsetminus \{P\} \neq \varnothing$$
とおくと，$X$は$(\mathcal{P}_{*}\Inn)^{\mathcal{S}(S)}|P$安定部分集合である．したがって，$P < S$が$p$群であることから
$$ \#X^{P} \equiv \#X = \#(S/N_{S}(P)) - 1 \equiv -1 \pmod p$$
となるので，不動点$gPg^{-1} \in X^{P}$が存在する．このとき任意の$h \in P$に対して
$$ h(gPg^{-1})h^{-1} = gPg^{-1}$$
より$g^{-1}hg \in N_{S}(P)$が成り立つので，$g^{-1}Pg \subset N_{S}(P)$を得る．$P \neq g^{-1}Pg$であるから$P \subsetneq N_{S}(P)$がしたがう．

(i)$\implies$(ii)

明らか．

(ii)$\implies$(i)

対偶を示す．そこで$P < G$がSylow$p$部分群ではないとする．$P$を含む$G$のSylow$p$部分群$S_{p}$を取ると$P \subsetneq S_{p}$であるから，補題より$P \subsetneq N_{S_{p}}(P)$が成り立つ．いま$N_{S_{p}}(P) = N_{G}(P) \cap S_{p} < S_{p}$より$N_{S_{p}}(P)$は$N_{G}(P)$の$p$部分群であるから，$\#P < \#N_{S_{p}}(P)$より$P < N_{G}(P)$はSylow$p$部分群にはなりえない．

$P_{0} = \{e\} < G$とおく．

以下，$i \in \{0,\ldots,r-1\}$に対して$P_{i} < G$の存在を仮定して，条件を満たす$p$部分群$P_{i+1} < G$が存在することを示す．

いま$i < r$より$P_{i} < G$はSylow$p$部分群ではないので，$P_{i} \triangleleft N_{G}(P_{i})$はSylow$p$部分群ではない．したがって剰余群$N_{G}(P_{i})/P_{i}$について$p \mid \#(N_{G}(P_{i})/P_{i})$が成り立つので，例36より$g \in N_{G}(P_{i})$であって$\#\langle \pi(g) \rangle = p$を満たすものが存在する（ただし$\pi \colon N_{G}(P_{i}) \to N_{G}(P_{i})/P_{i}$は標準射影である）．そこで
$$ P_{i+1} = \pi^{-1}(\langle \pi(g) \rangle) < N_{G}(P_{i})$$
とおくと，$P_{i} = \Ker(\pi|P_{i+1}) \triangleleft P_{i+1} < G$であり，$P_{i+1}/P_{i} \cong \langle \pi(g) \rangle$より
$$ \#P_{i+1} = \#(P_{i+1}/P_{i}) \cdot \#P_{i} = p \cdot p^{i} = p^{i+1}$$
が成り立つ．