この記事は参考文献 [1] 第 2 章 Fundamental groups in topology を参考にさせていただきました。
以下、$X$ を局所連結位相空間、$Y,\ Z$ を連結位相空間とします。
$(Y,\ p)$ を $X$ 上の被覆とする。$(Z,\ q)$ が $Y/X$ の中間被覆であるとは、次の条件 $(1),\ (2)$ を満たすことをいう：
$(1)$ $(Z,\ q)$ は $X$ 上の被覆である。
$(2)$ $q\circ f = p$ となるような連続写像 $f:Y\to Z$ が存在する。
$$ \xymatrix{ \large{Y} \ar[rr]^-{\Large{f}} \ar[rrdd]_-{\Large{p}} & & \large{Z} \ar[dd]^-{\Large{q}} \\ & \ar@{}[r]^{\LARGE\circlearrowright} & \\ & & \large{X} } $$
$(Y,\ p)$ を $X$ 上の被覆、$(Z,\ q)$ を $Y/X$ の中間被覆、$f:Y\to Z$ を $q\circ f = p$ となるような連続写像とする。このとき $f$ は開写像である。
$U$ を $Y$ の開集合とする。任意の $f(u) \in f(U)$ をとる。$p(u) = q(f(u))$ の $X$ における被覆近傍を $V$、$V$ の $Y$ におけるシートを $\lbrace U_i\rbrace_{i\in I}$、$V$ の $Z$ におけるシートを $\lbrace V_j\rbrace_{j\in J}$ とすると、$u\in U_i,\ f(u)\in V_j$ となる $i\in I,\ j\in J$ が存在する。$f$ は連続であるから $f(T)\subset V_j$ となるような $u$ の $Y$ における開近傍 $T$ が存在する。 $W:= T\cap U$ とおき、次を示す：
$$ f(W) = q^{-1}(p(W))\cap V_j \ \ \ \cdots (*)$$
$(\subset)$
まず $f(W)\subset V_j$ である。次に、任意の $f(w)\in f(W)$ に対して $q(f(w)) = p(w)\in p(W)$ であるから $f(w)\in q^{-1}(p(W))$ である。
$(\supset)$
任意の $z\in q^{-1}(p(W))\cap V_j$ をとる。$q(z)\in p(W)$ より、ある $w\in W$ が存在して $q(z) = p(w) = q(f(w))$ となる。$q$ の $V_j$ への制限は $V$ への単射であるから $z = f(w)$ となる。よって $z\in f(W)$ である。
$(*)$ より $f(W)$ は $f(u)$ の $Z$ における開近傍であり、$f(W)\subset f(U)$ となるから $f(U)$ は $Z$ の開集合である。
中間被覆では次の補題 2 が重要です。補題 2 と補題 3 はいずれも参考文献 [1] Lemma 2.2.11 を参考にさせていただきました。
$(Y,\ p)$ を $X$ 上の被覆、$(Z,\ q)$ を $Y/X$ の中間被覆、$f:Y\to Z$ を $q\circ f = p$ となるような連続写像とする。このとき、次が成り立つ：
$(\bigstar)$ 任意の $z\in Z$ に対して、$q(z)$ の $X$ における連結な被覆近傍 $V$ と、$V$ の $Y$ におけるシートの族 $\lbrace U_i\rbrace_{i\in I}$ と、$V$ の $Z$ におけるシートの族 $\lbrace V_j\rbrace_{j\in J}$ が存在して、$\lbrace f(U_i)\rbrace_{i\in I}\subset \lbrace V_j\rbrace_{j\in J}$ となる。
$x := q(z)$ とおく。$(Y,\ p)$ と $(Z,\ q)$ は $X$ 上の被覆であるから、$x$ の $X$ における連結な被覆近傍 $V$ と $V$ の $Y$ におけるシートの族 $\lbrace U_i\rbrace_{i\in I}$ 、および $V$ の $Z$ におけるシートの族 $\lbrace V_j\rbrace_{j\in J}$ が存在する。任意の $i\in I$ に対して $q(f(U_i)) = V$ より
$$ f(U_i)\subset \displaystyle \bigcup_{j\in J}V_j$$ となる。各 $j\in J$ に対して $W_j:= f(U_i)\cap V_j$ とおき、$J':=\lbrace j\in J \mid W_j\neq \emptyset \rbrace$ とおくと、補題 1 より $q(W_j)$ は $X$ の開集合であり
$$ V = \displaystyle \bigcup_{j\in J'}q(W_j),\ q(W_j) \cap q(W_k) = \emptyset\ (j, k\in J',\ j\neq k)$$ となるから、$V$ の連結性よりただ一つの $j\in J'$ が存在して $V = q(W_j)$ となる。よって $f(U_i)\supset V_j$ である。一方、任意の $k\in J,\ k\neq j$ に対して $W_k = \emptyset$ であるから $f(U_i)\subset V_j$ となる。したがって $f(U_i) = V_j$ である。
$(Y,\ p)$ を $X$ 上の被覆、$(Z,\ q)$ を $Y/X$ の中間被覆、$f:Y\to Z$ を $q\circ f = p$ となるような連続写像とする。このとき、$f$ は全射である。
$Z$ の連結性を使って示す。補題 1 より $f(Y)$ は $Z$ の開集合である。任意の $z\in Z\setminus f(Y)$ をとる。$q(z)$ の被覆近傍とシートについて、$(\bigstar)$ にあるような $V$ と $\lbrace U_i\rbrace_{i\in I}$ と $\lbrace V_j\rbrace_{j\in J}$ を考える。$z\in V_j$ とすると $f(Y)\cap V_j = \emptyset$ である。そうでないと仮定すると $f(y)\in V_j$ となるような $y\in Y$ が存在する。$y\in U_i$ とすると $f(U_i) = V_j$ となり $z\not\in f(Y)$ に矛盾する。したがって $Z\setminus f(Y)$ は $Z$ の開集合である。
補題 3 より $f$ は全射であるから、補題 2 の $(\bigstar)$ は次の $(\blacklozenge)$ のようにもう少し強い形で述べることができる：
$(\blacklozenge)$ 任意の $z\in Z$ に対して、$q(z)$ の $X$ における連結な被覆近傍 $V$ と、$V$ の $Y$ におけるシートの族 $\lbrace U_i\rbrace_{i\in I}$ と、$V$ の $Z$ におけるシートの族 $\lbrace V_j\rbrace_{j\in J}$ が存在して、$\lbrace f(U_i)\rbrace_{i\in I} = \lbrace V_j\rbrace_{j\in J}$ となる。
簡単に言うと $Y$ のシートで $Z$ のシートを覆うことができる。これは次の命題 4 で厳密な形で述べられる。
次の命題 4 は参考文献 [1] Theorem 2.2.10 を参考にさせていただきました。この命題はガロア拡大 $L/K$ の中間体 $M$ に対して $L/M$ もガロア拡大であることとの類似です。
$(Y,\ p)$ を $X$ 上の被覆、$(Z,\ q)$ を $Y/X$ の中間被覆、$f:Y\to Z$ を $q\circ f = p$ となるような連続写像とする。このとき、次が成り立つ：
$(1)$ $(Y,\ f)$ は $Z$ 上の被覆である。
$(2)$ $(Y,\ p)$ が $X$ 上のガロア被覆ならば、$(Y,\ f)$ は $Z$ 上のガロア被覆である。
$(1)$
任意の $z\in Z$ をとる。$q(z)$ の被覆近傍とシートについて、$(\bigstar)$ にあるような $V$ と $\lbrace U_i\rbrace_{i\in I}$ と $\lbrace V_j\rbrace_{j\in J}$ を考える。$z\in V_j$ とし
$$ I':=\lbrace i\in I\mid f^{-1}(V_j)\cap U_i\neq\emptyset\rbrace = \lbrace i\in I\mid f(U_i) = V_j\rbrace$$
とおくと $f^{-1}(V_j) = \displaystyle \bigcup_{i\in I'} U_i$ となる。さて、任意の $i\in I'$ に対して $f$ の $U_i$ への制限は $U_i$ から $V_j$ への同相写像であることを示す。まず $f(U_i) = V_j$ より $f$ の $U_i$ への制限は $V_j$ への全射である。次に $q\circ f$ が $U_i$ から $V$ への単射であることより $f$ の $U_i$ への制限は単射である。最後に $W$ を $U_i$ の開集合とすると $p(W) = q(f(W))$ は $V$ の開集合であり、よって $f(W)$ は $V_j$ の開集合であるから $f$ の $U_i$ への制限は開写像である。
$(2)$
$z\in Z$ とし、任意の $y_1,\ y_2\in f^{-1}(z)$ に対して $\sigma(y_1) = y_2$ となるような $\sigma\in \text{Aut}(Y/Z)$ が存在することを示す（
ガロア被覆について
の命題 1）。$y_1,\ y_2\in p^{-1}(q(z))$ であり、$(Y,\ p)$ は $X$ 上のガロア被覆であるから $\sigma(y_1) = y_2$ となるような $\sigma\in \text{Aut}(Y/X)$ が存在する。$f(\sigma(y_1)) = f(y_2) = f(y_1)$ であるから、
被覆の自己同型について
の命題 3 より $f\circ \sigma = f$ となる。よって $\sigma\in \text{Aut}(Y/Z)$ である。
$Y/X$ をガロア被覆、$G:=\text{Aut}(Y/X)$、$(Z,\ q)$ を $Y/X$ の中間被覆、$f:Y\to Z$ を $p = q\circ f$ となる連続写像とする。可換図式中の $\pi_Z,\ \pi_X$ はそれぞれ $Y$ から各軌道空間への標準全射である。命題 4 (2) より $f$ は軌道空間（商位相空間）から $Z$ への同相写像
$$\overline{f}:Y/\text{Aut}(Y/Z)\to Z$$ を誘導するが、この $\overline{f}$ によって $G$ の部分群 $\text{Aut}(Y/Z)$ から中間被覆 $Z$ への対応が生じている。被覆から群へ、そして群から同じ被覆へと戻っている。
$$ \xymatrix{ \lbrace\ \text{id}_Y \ \rbrace \ar@{-}[dd] \ar@{.}[rr] & & \large{Y} \ar[ldd]_-{\Large{\pi_Z}} \ar[dd]^-{\Large{f}} \ar@/^20pt/[dddd]^{\Large{p}} \ar[ddddrr]^-{\Large{\pi_X}} & & \\ & & & & \\ \text{Aut}(Y/Z) \ar@{-}[dd] \ar@{.}[r] & Y/\text{Aut}(Y/Z) \ar[rdd]_-{\Large{q\ \circ\ \overline{f}}} \ar[r]^-{\Large{\overline{f}} \ \ \simeq} & \large{Z} \ar[dd]^-{\Large{q}} & & \\ & & \\ G \ar@{.}[rr] & & \large{X} & & Y/G \ar[ll]^-{\Large{\overline{p}} \ \ \simeq} \\ } $$