中間被覆について

　$U$ を $Y$ の開集合とする。任意の $f(u) \in f(U)$ をとる。$p(u) = q(f(u))$ の $X$ における被覆近傍を $V$、$V$ の $Y$ におけるシートを $\lbrace U_i\rbrace_{i\in I}$、$V$ の $Z$ におけるシートを $\lbrace V_j\rbrace_{j\in J}$ とすると、$u\in U_i,\ f(u)\in V_j$ となる $i\in I,\ j\in J$ が存在する。$f$ は連続であるから $f(T)\subset V_j$ となるような $u$ の $Y$ における開近傍 $T$ が存在する。 $W:= T\cap U$ とおき、次を示す：
$$ f(W) = q^{-1}(p(W))\cap V_j \ \ \ \cdots (*)$$
$(\subset)$
　まず $f(W)\subset V_j$ である。次に、任意の $f(w)\in f(W)$ に対して $q(f(w)) = p(w)\in p(W)$ であるから $f(w)\in q^{-1}(p(W))$ である。
$(\supset)$
　任意の $z\in q^{-1}(p(W))\cap V_j$ をとる。$q(z)\in p(W)$ より、ある $w\in W$ が存在して $q(z) = p(w) = q(f(w))$ となる。$q$ の $V_j$ への制限は $V$ への単射であるから $z = f(w)$ となる。よって $z\in f(W)$ である。

　$(*)$ より $f(W)$ は $f(u)$ の $Z$ における開近傍であり、$f(W)\subset f(U)$ となるから $f(U)$ は $Z$ の開集合である。

　$x := q(z)$ とおく。$(Y,\ p)$ と $(Z,\ q)$ は $X$ 上の被覆であるから、$x$ の $X$ における連結な被覆近傍 $V$ と $V$ の $Y$ におけるシートの族 $\lbrace U_i\rbrace_{i\in I}$ 、および $V$ の $Z$ におけるシートの族 $\lbrace V_j\rbrace_{j\in J}$ が存在する。任意の $i\in I$ に対して $q(f(U_i)) = V$ より
$$ f(U_i)\subset \displaystyle \bigcup_{j\in J}V_j$$ となる。各 $j\in J$ に対して $W_j:= f(U_i)\cap V_j$ とおき、$J':=\lbrace j\in J \mid W_j\neq \emptyset \rbrace$ とおくと、補題 1 より $q(W_j)$ は $X$ の開集合であり
$$ V = \displaystyle \bigcup_{j\in J'}q(W_j),\ q(W_j) \cap q(W_k) = \emptyset\ (j, k\in J',\ j\neq k)$$ となるから、$V$ の連結性よりただ一つの $j\in J'$ が存在して $V = q(W_j)$ となる。よって $f(U_i)\supset V_j$ である。一方、任意の $k\in J,\ k\neq j$ に対して $W_k = \emptyset$ であるから $f(U_i)\subset V_j$ となる。したがって $f(U_i) = V_j$ である。

　$Z$ の連結性を使って示す。補題 1 より $f(Y)$ は $Z$ の開集合である。任意の $z\in Z\setminus f(Y)$ をとる。$q(z)$ の被覆近傍とシートについて、$(\bigstar)$ にあるような $V$ と $\lbrace U_i\rbrace_{i\in I}$ と $\lbrace V_j\rbrace_{j\in J}$ を考える。$z\in V_j$ とすると $f(Y)\cap V_j = \emptyset$ である。そうでないと仮定すると $f(y)\in V_j$ となるような $y\in Y$ が存在する。$y\in U_i$ とすると $f(U_i) = V_j$ となり $z\not\in f(Y)$ に矛盾する。したがって $Z\setminus f(Y)$ は $Z$ の開集合である。

$(1)$
　任意の $z\in Z$ をとる。$q(z)$ の被覆近傍とシートについて、$(\bigstar)$ にあるような $V$ と $\lbrace U_i\rbrace_{i\in I}$ と $\lbrace V_j\rbrace_{j\in J}$ を考える。$z\in V_j$ とし
$$ I':=\lbrace i\in I\mid f^{-1}(V_j)\cap U_i\neq\emptyset\rbrace = \lbrace i\in I\mid f(U_i) = V_j\rbrace$$
とおくと $f^{-1}(V_j) = \displaystyle \bigcup_{i\in I'} U_i$ となる。さて、任意の $i\in I'$ に対して $f$ の $U_i$ への制限は $U_i$ から $V_j$ への同相写像であることを示す。まず $f(U_i) = V_j$ より $f$ の $U_i$ への制限は $V_j$ への全射である。次に $q\circ f$ が $U_i$ から $V$ への単射であることより $f$ の $U_i$ への制限は単射である。最後に $W$ を $U_i$ の開集合とすると $p(W) = q(f(W))$ は $V$ の開集合であり、よって $f(W)$ は $V_j$ の開集合であるから $f$ の $U_i$ への制限は開写像である。

$(2)$
　$z\in Z$ とし、任意の $y_1,\ y_2\in f^{-1}(z)$ に対して $\sigma(y_1) = y_2$ となるような $\sigma\in \text{Aut}(Y/Z)$ が存在することを示す（ ガロア被覆について の命題 1）。$y_1,\ y_2\in p^{-1}(q(z))$ であり、$(Y,\ p)$ は $X$ 上のガロア被覆であるから $\sigma(y_1) = y_2$ となるような $\sigma\in \text{Aut}(Y/X)$ が存在する。$f(\sigma(y_1)) = f(y_2) = f(y_1)$ であるから、 被覆の自己同型について の命題 3 より $f\circ \sigma = f$ となる。よって $\sigma\in \text{Aut}(Y/Z)$ である。