直積集合 ⑦

Prop & Proof

1. まず $(\Rightarrow)$ を示す。
   $$ A\times B=B\times A $$
   と仮定する。このとき、場合分けを行う。
   $ $
   (i) もし
   $$ A\times B=\varnothing $$
   であれば、既知の命題( 証明はコチラ )
   $$ A\times B=\varnothing\ \Leftrightarrow\ (A=\varnothing\lor B=\varnothing) $$
   より
   $$ A=\varnothing\ \lor\ B=\varnothing $$
   が従う。したがって、この場合には
   $$ A=B\ \lor\ A=\varnothing\ \lor\ B=\varnothing $$
   が成り立つ。
   $ $
   (ii) 次に
   $$ A\times B\neq\varnothing $$
   の場合を考える。このとき、上の既知の命題( 証明はコチラ )の対偶より
   $$ A\neq\varnothing\ \land\ B\neq\varnothing $$
   が成り立つ。
   $ $
   ■ ここで、$A\subseteq B$ を示す。
   　　任意の $a\in A$ をとる。$B\neq\varnothing$ であるから、ある $b\in B$ が存在する。
   　　このとき、直積集合の定義より
   $$ (a,b)\in A\times B $$
   　　が成り立つ。
   　　仮定
   $$ A\times B=B\times A $$
   　　より
   $$ (a,b)\in B\times A $$
   　　である。
   　　再び直積集合の定義より
   $$ a\in B\ \land\ b\in A $$
   　　が成り立つ。したがって、特に
   $$ a\in B $$
   　　を得る。
   　　$a\in A$ は任意であったから
   $$ A\subseteq B $$
   　　が成り立つ。
   $ $
   ■ 同様に、$B\subseteq A$ を示す。
   　　任意の $b\in B$ をとる。$A\neq\varnothing$ であるから、ある $a\in A$ が存在する。
   　　このとき、直積集合の定義より
   $$ (a,b)\in A\times B $$
   　　が成り立つ。
   　　仮定
   $$ A\times B=B\times A $$
   　　より
   $$ (a,b)\in B\times A $$
   　　である。
   　　再び直積集合の定義より
   $$ a\in B\ \land\ b\in A $$
   　　が成り立つ。したがって、特に
   $$ b\in A $$
   　　を得る。
   　　$b\in B$ は任意であったから
   $$ B\subseteq A $$
   　　が成り立つ。
   $ $
   以上より
   $$ A\subseteq B\ \land\ B\subseteq A $$
   であるから、集合の外延性より
   $$ A=B $$
   が従う。したがって、この場合にも
   $$ A=B\ \lor\ A=\varnothing\ \lor\ B=\varnothing $$
   が成り立つ。
   ゆえに
   $$ A\times B=B\times A \ \Rightarrow\ A=B\ \lor\ A=\varnothing\ \lor\ B=\varnothing $$
   が成り立つ。
   $ $
2. 次に $(\Leftarrow)$ を示す。
   $$ A=B\ \lor\ A=\varnothing\ \lor\ B=\varnothing $$
   と仮定する。再び場合分けを行う。
   $ $
   (i) まず、$A=B$ の場合には
   $$ A\times B=A\times A=B\times A $$
   であるから
   $$ A\times B=B\times A $$
   が成り立つ。
   $ $
   (ii) 次に、$A=\varnothing$ の場合を考える。
   既知の命題( 証明はコチラ )
   $$ X\times Y=\varnothing\ \Leftrightarrow\ (X=\varnothing\lor Y=\varnothing) $$
   において、$X=A,\ Y=B$ とおけば
   $$ A\times B=\varnothing $$
   を得る。また、同じ命題において $X=B,\ Y=A$ とおけば、やはり $A=\varnothing$ であるから
   $$ B\times A=\varnothing $$
   を得る。
   したがって
   $$ A\times B=B\times A $$
   が成り立つ。
   $ $
   (iii) 最後に、$B=\varnothing$ の場合も同様にして
   $$ A\times B=\varnothing,\qquad B\times A=\varnothing $$
   となるから
   $$ A\times B=B\times A $$
   が成り立つ。
   $ $
   以上より
   $$ A=B\ \lor\ A=\varnothing\ \lor\ B=\varnothing \ \Rightarrow\ A\times B=B\times A $$
   が成り立つ。
   $ $

-以上より
$$ A\times B=B\times A \ \Leftrightarrow\ A=B\ \lor\ A=\varnothing\ \lor\ B=\varnothing $$
が成り立つ。
$$ \Box$$

集合 $A,B,C$ について、
$$ B\neq\varnothing,\qquad A\times B=C\times B $$
を仮定する。$A=C$ を示すために、$A\subseteq C$ かつ $C\subseteq A$ を示す。
$ $

1. まず、$A\subseteq C$ を示す。
   任意の $a\in A$ をとる。仮定 $B\neq\varnothing$ より、ある $b\in B$ が存在する。
   このとき、直積集合の定義より
   $$ (a,b)\in A\times B $$
   が成り立つ。
   いま、仮定 $A\times B=C\times B$ より
   $$ (a,b)\in C\times B $$
   が成り立つ。
   したがって、再び直積集合の定義より
   $$ a\in C\ \land\ b\in B $$
   が成り立つ。特に
   $$ a\in C $$
   を得る。
   $a\in A$ は任意であったから
   $$ A\subseteq C $$
   が成り立つ。
   $ $
2. 次に、$C\subseteq A$ を示す。
   任意の $c\in C$ をとる。仮定 $B\neq\varnothing$ より、ある $b\in B$ が存在する。
   このとき、直積集合の定義より
   $$ (c,b)\in C\times B $$
   が成り立つ。
   いま、仮定 $A\times B=C\times B$ より
   $$ (c,b)\in A\times B $$
   が成り立つ。
   したがって、再び直積集合の定義より
   $$ c\in A\ \land\ b\in B $$
   が成り立つ。特に
   $$ c\in A $$
   を得る。
   $c\in C$ は任意であったから
   $$ C\subseteq A $$
   が成り立つ。
   $ $

-以上より
$$ A\subseteq C\ \land\ C\subseteq A $$
であるから、集合の相等の定義より
$$ A=C $$
が成り立つ。
$$ \Box$$

集合 $A,B,C$ について、
$$ A\neq\varnothing,\qquad A\times B=A\times C $$
を仮定する。$B=C$ を示すために、$B\subseteq C$ かつ $C\subseteq B$ を示す。
$ $

1. まず、$B\subseteq C$ を示す。
   任意の $b\in B$ をとる。仮定 $A\neq\varnothing$ より、ある $a\in A$ が存在する。
   このとき、直積集合の定義より
   $$ (a,b)\in A\times B $$
   が成り立つ。いま、仮定 $A\times B=A\times C$ より
   $$ (a,b)\in A\times C $$
   が成り立つ。
   したがって、再び直積集合の定義より
   $$ a\in A\ \land\ b\in C $$
   が成り立つ。特に
   $$ b\in C $$
   を得る。
   $b\in B$ は任意であったから
   $$ B\subseteq C $$
   が成り立つ。
   $ $
2. 次に、$C\subseteq B$ を示す。
   任意の $c\in C$ をとる。仮定 $A\neq\varnothing$ より、ある $a\in A$ が存在する。
   このとき、直積集合の定義より
   $$ (a,c)\in A\times C $$
   が成り立つ。
   いま、仮定 $A\times B=A\times C$ より
   $$ (a,c)\in A\times B $$
   が成り立つ。
   したがって、再び直積集合の定義より
   $$ a\in A\ \land\ c\in B $$
   が成り立つ。特に
   $$ c\in B $$
   を得る。
   $c\in C$ は任意であったから
   $$ C\subseteq B $$
   が成り立つ。
   $ $

-以上より
$$ B\subseteq C\ \land\ C\subseteq B $$
であるから、集合の相等の定義より
$$ B=C $$
が成り立つ。
$$ \Box$$