直積集合 ⑥

Prop & Proof

集合の外延性により、任意の対象 $z$ について
$$ z\in A\times\varnothing\ \Leftrightarrow\ z\in\varnothing $$
を示せば十分である。
$ $
任意の対象 $z$ をとる。直積集合の定義より
$$ z\in A\times\varnothing\ \Leftrightarrow\ \exists a\exists b\ (a\in A\land b\in\varnothing\land z=(a,b)) $$
が成り立つ。ここで、空集合の定義より、任意の対象 $b$ について
$$ b\in\varnothing $$
は成り立たない。したがって
$$ \exists a\exists b\ (a\in A\land b\in\varnothing\land z=(a,b)) $$
も成り立たない( 詳しくはコチラ )。ゆえに
$$ z\in A\times\varnothing $$
は成り立たない。すなわち
$$ z\notin A\times\varnothing $$
である。
一方、空集合の定義より
$$ z\notin\varnothing $$
でもある。したがって
$$ z\in A\times\varnothing\ \Leftrightarrow\ z\in\varnothing $$
が成り立つ(補足を参照)。
ここで、$z$ は任意であったから、集合の外延性より
$$ A\times\varnothing=\varnothing $$
を得る。
$$ \Box$$

集合の外延性により、任意の対象 $z$ について
$$ z\in\varnothing\times B\ \Leftrightarrow\ z\in\varnothing $$
を示せば十分である。
$ $
任意の対象 $z$ をとる。直積集合の定義より
$$ z\in\varnothing\times B\ \Leftrightarrow\ \exists a\exists b\ (a\in\varnothing\land b\in B\land z=(a,b)) $$
が成り立つ。ここで、空集合の定義より、任意の対象 $a$ について
$$ a\in\varnothing $$
は成り立たない( 詳しくはコチラ )。したがって
$$ \exists a\exists b\ (a\in\varnothing\land b\in B\land z=(a,b)) $$
も成り立たない。
ゆえに
$$ z\in\varnothing\times B $$
は成り立たない。すなわち
$$ z\notin\varnothing\times B $$
である。一方、空集合の定義より
$$ z\notin\varnothing $$
でもある。したがって
$$ z\in\varnothing\times B\ \Leftrightarrow\ z\in\varnothing $$
が成り立つ。
$z$ は任意であったから、集合の外延性より
$$ \varnothing\times B=\varnothing $$
を得る。
$$ \Box$$

1. $(\Rightarrow)$ を示す。
   $$ A\times B=\varnothing $$
   と仮定する。
   $A=\varnothing\lor B=\varnothing$ を示すために、その否定を仮定する。すなわち
   $$ A\neq\varnothing\land B\neq\varnothing $$
   と仮定する(背理法)。
   このとき、特に$A\neq\varnothing$ であるから、ある $a\in A$ が存在する。また、$B\neq\varnothing$ であるから、ある $b\in B$ が存在する。
   したがって、直積集合の定義 $A\times B=\{(a,b)\mid a\in A\land b\in B\}$ より
   $$ (a,b)\in A\times B $$
   が成り立つ。
   しかし、仮定より$A\times B=\varnothing$ であるから
   $$ (a,b)\in\varnothing $$
   が成り立つことになる。これは空集合は元を持たないので矛盾する。
   ゆえに
   $$ A\neq\varnothing\land B\neq\varnothing $$
   は成り立たない。したがって、ド・モルガンの法則より
   $$ A=\varnothing\lor B=\varnothing $$
   が成り立つ。
   $ $
2. $(\Leftarrow)$ を示す。
   $$ A=\varnothing\lor B=\varnothing $$
   と仮定する。場合分けをする。
   $ $
   (i) $A=\varnothing$ の場合。
   $A\times B=\varnothing$ を示す。任意の対象 $z$ をとる。
   もし
   $$ z\in A\times B $$
   であるとすると、直積集合の定義より、ある $a,b$ が存在して
   $$ a\in A\land b\in B\land z=(a,b) $$
   が成り立つ。
   特に $a\in A$ である。しかし、$A=\varnothing$ であるから
   $$ a\in\varnothing $$
   となり、これは空集合の定義に反する。
   したがって
   $$ z\notin A\times B $$
   が成り立つ。$z$ は任意であったから
   $$ A\times B=\varnothing $$
   である。
   $ $
   (ii) $B=\varnothing$ の場合。
   (i) と同様に示せる。実際、任意の対象 $z$ について、もし
   $$ z\in A\times B $$
   ならば、直積集合の定義より、ある $a,b$ が存在して
   $$ a\in A\land b\in B\land z=(a,b) $$
   が成り立つ。
   特に $b\in B$ である。しかし、$B=\varnothing$ であるから
   $$ b\in\varnothing $$
   となり、これは空集合の定義に反し、矛盾する。
   したがって、この場合も
   $$ z\notin A\times B $$
   が成り立つ。$z$ は任意であったから
   $$ A\times B=\varnothing $$
   である。
   $ $

-以上より
$$ A\times B=\varnothing\ \Leftrightarrow\ A=\varnothing\lor B=\varnothing $$
が成り立つ。
$$ \Box$$