集合 ⑭

Prop&Proof

1. $A\subseteq B\Rightarrow B^c\subseteq A^c$ を示す。
   部分集合の定義より、任意の$x\in U$について
   $$ x\in B^c\Rightarrow x\in A^c $$
   を示せばよい。
   任意の$x\in U$をとり、$x\in B^c$と仮定する。
   補集合の定義より
   $$ x\in B^c\ \Leftrightarrow\ x\notin B $$
   であるから、$x\notin B$が成り立つ。
   ここで$A\subseteq B$より、任意の$x\in U$について
   $$ x\in A\Rightarrow x\in B $$
   が成り立つ。これの対偶を用いると
   $$ x\notin B\Rightarrow x\notin A $$
   が成り立つ。
   したがって$x\notin B$より$x\notin A$が従う。
   補集合の定義より
   $$ x\notin A\ \Leftrightarrow\ x\in A^c $$
   であるから、$x\in A^c$が従う。
   以上より任意の$x\in U$について$x\in B^c\Rightarrow x\in A^c$が成り立つので、部分集合の定義より$B^c\subseteq A^c$が成り立つ。
   $ $
2. $B^c\subseteq A^c\Rightarrow A\subseteq B$ を示す。
   部分集合の定義より、任意の$x\in U$について
   $$ x\in A\Rightarrow x\in B $$
   を示せばよい。
   任意の$x\in U$をとり、$x\in A$と仮定する。背理法で$x\in B$を示すため、ここでは$x\notin B$と仮定する。
   補集合の定義より$x\notin B\Leftrightarrow x\in B^c$であるから、$x\in B^c$が成り立つ。
   ここで仮定$B^c\subseteq A^c$より、$x\in B^c$ならば$x\in A^c$が従う。よって$x\in A^c$が成り立つ。
   補集合の定義より$x\in A^c\Leftrightarrow x\notin A$であるから、$x\notin A$が従う。
   しかし$x\in A$を仮定しているので矛盾する。
   従って$x\notin B$は成り立たず、$x\in B$が成り立つ。
   以上より任意の$x\in U$について$x\in A\Rightarrow x\in B$が成り立つので、部分集合の定義より$A\subseteq B$が成り立つ。
   $ $

-以上(1.2.)より
$$ A\subseteq B\ \Leftrightarrow\ B^c\subseteq A^c $$
が成り立つ。
$$ \Box$$

部分集合の定義より、任意の$x\in U$について
$$ x\in A\setminus C\Rightarrow x\in B\setminus C $$
を示せばよい。
$ $
任意の$x\in U$をとり、$x\in A\setminus C$と仮定する。
差集合の定義より
$$ x\in A\setminus C\ \Leftrightarrow\ (x\in A\land x\notin C) $$
が成り立つ。従って
$$ x\in A\land x\notin C $$
が成り立つ。特に$x\in A$が成り立つ。
ここで$A\subseteq B$より、任意の$x\in U$について
$$ x\in A\Rightarrow x\in B $$
が成り立つから、$x\in A$より$x\in B$が従う。
よって
$$ x\in B\land x\notin C $$
が成り立つ。再び差集合の定義より
$$ (x\in B\land x\notin C)\ \Leftrightarrow\ x\in B\setminus C $$
であるから、$x\in B\setminus C$が従う。
以上より任意の$x\in U$について$x\in A\setminus C\Rightarrow x\in B\setminus C$が成り立つので、部分集合の定義より
$$ A\setminus C\subseteq B\setminus C $$
が成り立つ。
$$ \Box$$

部分集合の定義より、任意の$x\in U$について
$$ x\in A\setminus D\Rightarrow x\in A\setminus C $$
を示せばよい。
$ $
任意の$x\in U$をとり、$x\in A\setminus D$と仮定する。
差集合の定義より
$$ x\in A\setminus D\ \Leftrightarrow\ (x\in A\land x\notin D) $$
が成り立つ。従って
$$ x\in A\land x\notin D $$
が成り立つ。ここで$C\subseteq D$より、任意の$x\in U$について
$$ x\in C\Rightarrow x\in D $$
が成り立つ。これの対偶を用いると
$$ x\notin D\Rightarrow x\notin C $$
が成り立つ。
したがって、$x\notin D$より$x\notin C$が従う。よって
$$ x\in A\land x\notin C $$
が成り立つ。差集合の定義より
$$ (x\in A\land x\notin C)\ \Leftrightarrow\ x\in A\setminus C $$
であるから、$x\in A\setminus C$が従う。
以上より任意の$x\in U$について$x\in A\setminus D\Rightarrow x\in A\setminus C$が成り立つので、部分集合の定義より
$$ A\setminus D\subseteq A\setminus C $$
が成り立つ。
$$ \Box$$

両方向を示す。

1. $A\subseteq B\cup C\Rightarrow A\setminus B\subseteq C$ を示す。
   $A\subseteq B\cup C$ を仮定する。
   部分集合の定義より、任意の $x\in U$ について
   $$ x\in A\setminus B\Rightarrow x\in C $$
   を示せばよい。
   任意の $x\in U$ をとり、$x\in A\setminus B$ を仮定する。
   差集合の定義より、
   $$ x\in A\setminus B\ \Leftrightarrow\ x\in A\land x\notin B $$
   であるから、
   $$ x\in A\land x\notin B $$
   が成り立つ。特に $x\in A$ である。
   仮定 $A\subseteq B\cup C$ より、
   $$ x\in A\Rightarrow x\in B\cup C $$
   であるから、$x\in B\cup C$ が従う。
   和集合の定義より、
   $$ x\in B\cup C\ \Leftrightarrow\ x\in B\lor x\in C $$
   であるから、
   $$ x\in B\lor x\in C $$
   が成り立つ。
   また、すでに $x\notin B$ が成り立っている。したがって、命題論理の恒真式( 証明はコチラ )。
   $$ (P\lor Q)\land \neg P\Rightarrow Q $$
   において、
   $$ P:\ x\in B,\quad Q:\ x\in C $$
   とおくことにより、$x\in C$ が従う。ゆえに、任意の $x\in U$ について
   $$ x\in A\setminus B\Rightarrow x\in C $$
   が成り立つ。したがって、
   $$ A\setminus B\subseteq C $$
   である。
   $ $
2. $A\setminus B\subseteq C\Rightarrow A\subseteq B\cup C$ を示す。
   $A\setminus B\subseteq C$ を仮定する。
   部分集合の定義より、任意の $x\in U$ について
   $$ x\in A\Rightarrow x\in B\cup C $$
   を示せばよい。
   任意の $x\in U$ をとり、$x\in A$ を仮定する。
   古典論理の排中律より、
   $$ x\in B\lor x\notin B $$
   である( 証明はコチラ )。よって、場合分けする(証明下の補足を参照)。
   (i) $x\in B$ の場合
   このとき、命題論理より
   $$ x\in B\lor x\in C $$
   が成り立つ。したがって、和集合の定義より、
   $$ x\in B\cup C $$
   である。
   (ii) $x\notin B$ の場合
   $x\in A$ かつ $x\notin B$ であるから、差集合の定義より、
   $$ x\in A\setminus B $$
   である。
   仮定 $A\setminus B\subseteq C$ より、
   $$ x\in A\setminus B\Rightarrow x\in C $$
   であるから、$x\in C$ が従う。
   したがって、命題論理より
   $$ x\in B\lor x\in C $$
   が成り立つ。ゆえに、和集合の定義より、
   $$ x\in B\cup C $$
   である。
   以上より、いずれの場合も $x\in B\cup C$ が成り立つ。
   ゆえに、任意の $x\in U$ について
   $$ x\in A\Rightarrow x\in B\cup C $$
   が成り立つ。したがって、
   $$ A\subseteq B\cup C $$
   である。

-以上 $1$、$2$ より、
$$ A\subseteq B\cup C\ \Leftrightarrow\ A\setminus B\subseteq C $$
が成り立つ。
$$ \Box$$