集合 ⑭

Prop & Proof

1. $A\subseteq B\Rightarrow B^c\subseteq A^c$ を示す。
   部分集合の定義より、任意の$x\in U$について
   $$ x\in B^c\Rightarrow x\in A^c $$
   を示せばよい。
   任意の$x\in U$をとり、$x\in B^c$と仮定する。
   補集合の定義より
   $$ x\in B^c\ \Leftrightarrow\ x\notin B $$
   であるから、$x\notin B$が成り立つ。
   ここで$A\subseteq B$より、任意の$x\in U$について
   $$ x\in A\Rightarrow x\in B $$
   が成り立つ。これの対偶を用いると
   $$ x\notin B\Rightarrow x\notin A $$
   が成り立つ。
   したがって$x\notin B$より$x\notin A$が従う。
   補集合の定義より
   $$ x\notin A\ \Leftrightarrow\ x\in A^c $$
   であるから、$x\in A^c$が従う。
   以上より任意の$x\in U$について$x\in B^c\Rightarrow x\in A^c$が成り立つので、部分集合の定義より$B^c\subseteq A^c$が成り立つ。
   $ $
2. $B^c\subseteq A^c\Rightarrow A\subseteq B$ を示す。
   部分集合の定義より、任意の$x\in U$について
   $$ x\in A\Rightarrow x\in B $$
   を示せばよい。
   任意の$x\in U$をとり、$x\in A$と仮定する。背理法で$x\in B$を示すため、ここでは$x\notin B$と仮定する。
   補集合の定義より$x\notin B\Leftrightarrow x\in B^c$であるから、$x\in B^c$が成り立つ。
   ここで仮定$B^c\subseteq A^c$より、$x\in B^c$ならば$x\in A^c$が従う。よって$x\in A^c$が成り立つ。
   補集合の定義より$x\in A^c\Leftrightarrow x\notin A$であるから、$x\notin A$が従う。
   しかし$x\in A$を仮定しているので矛盾する。
   従って$x\notin B$は成り立たず、$x\in B$が成り立つ。
   以上より任意の$x\in U$について$x\in A\Rightarrow x\in B$が成り立つので、部分集合の定義より$A\subseteq B$が成り立つ。
   $ $

-以上(1.2.)より
$$ A\subseteq B\ \Leftrightarrow\ B^c\subseteq A^c $$
が成り立つ。
$$ \Box$$

部分集合の定義より、任意の$x\in U$について
$$ x\in A\setminus C\Rightarrow x\in B\setminus C $$
を示せばよい。
$ $
任意の$x\in U$をとり、$x\in A\setminus C$と仮定する。
差集合の定義より
$$ x\in A\setminus C\ \Leftrightarrow\ (x\in A\land x\notin C) $$
が成り立つ。従って
$$ x\in A\land x\notin C $$
が成り立つ。特に$x\in A$が成り立つ。
ここで$A\subseteq B$より、任意の$x\in U$について
$$ x\in A\Rightarrow x\in B $$
が成り立つから、$x\in A$より$x\in B$が従う。
よって
$$ x\in B\land x\notin C $$
が成り立つ。再び差集合の定義より
$$ (x\in B\land x\notin C)\ \Leftrightarrow\ x\in B\setminus C $$
であるから、$x\in B\setminus C$が従う。
以上より任意の$x\in U$について$x\in A\setminus C\Rightarrow x\in B\setminus C$が成り立つので、部分集合の定義より
$$ A\setminus C\subseteq B\setminus C $$
が成り立つ。
$$ \Box$$

部分集合の定義より、任意の$x\in U$について
$$ x\in A\setminus D\Rightarrow x\in A\setminus C $$
を示せばよい。
$ $
任意の$x\in U$をとり、$x\in A\setminus D$と仮定する。
差集合の定義より
$$ x\in A\setminus D\ \Leftrightarrow\ (x\in A\land x\notin D) $$
が成り立つ。従って
$$ x\in A\land x\notin D $$
が成り立つ。ここで$C\subseteq D$より、任意の$x\in U$について
$$ x\in C\Rightarrow x\in D $$
が成り立つ。これの対偶を用いると
$$ x\notin D\Rightarrow x\notin C $$
が成り立つ。
したがって、$x\notin D$より$x\notin C$が従う。よって
$$ x\in A\land x\notin C $$
が成り立つ。差集合の定義より
$$ (x\in A\land x\notin C)\ \Leftrightarrow\ x\in A\setminus C $$
であるから、$x\in A\setminus C$が従う。
以上より任意の$x\in U$について$x\in A\setminus D\Rightarrow x\in A\setminus C$が成り立つので、部分集合の定義より
$$ A\setminus D\subseteq A\setminus C $$
が成り立つ。
$$ \Box$$

両方向を示す。

1. $A\subseteq B\cup C\Rightarrow A\setminus B\subseteq C$を示す。
   部分集合の定義より、任意の$x\in U$について
   $$ x\in A\setminus B\Rightarrow x\in C $$
   を示せばよい。
   任意の$x\in U$をとり、$x\in A\setminus B$を仮定する。
   差集合の定義より
   $$ x\in A\setminus B\ \Leftrightarrow\ (x\in A\land x\notin B) $$
   が成り立つから、$x\in A$かつ$x\notin B$である。
   一方、仮定$A\subseteq B\cup C$より
   $$ x\in A\Rightarrow x\in B\cup C $$
   が成り立つので、$x\in A$から$x\in B\cup C$が従う。
   和集合の定義より
   $$ x\in B\cup C\ \Leftrightarrow\ (x\in B\lor x\in C) $$
   であるから、$x\in B\lor x\in C$が成り立つ(そこで$x\in B\lor x\in C$ なので場合分けすると)。
   もし $x\in B$ なら $x\notin B$(仮定) と矛盾する。もし $x\in C$ なら結論 $x\in C$ が成り立つ。すなわち、
   $$ x\in B\lor x\in C\ \text{かつ}\ \neg(x\in B) $$
   より（選言三段論法、あるいは選言除去と矛盾の利用により）$x\in C$ が従う
   よって任意の$x\in U$について$x\in A\setminus B\Rightarrow x\in C$が成り立つので、
   $$ A\setminus B\subseteq C $$
   が成り立つ。
   $ $
2. $A\setminus B\subseteq C\Rightarrow A\subseteq B\cup C$を示す。
   部分集合の定義より、任意の$x\in U$について
   $$ x\in A\Rightarrow x\in B\cup C $$
   を示せばよい。
   任意の$x\in U$をとり、$x\in A$を仮定する。
   ここで、仮定$A\setminus B\subseteq C$ を適用できるのは、ちょうど $x\in A$(仮定) かつ $x\notin B$ のときだけである。
   そこで、命題 $x\in B$ については古典論理の排中律により
   $$ x\in B\ \lor\ x\notin B $$
   であるから、$x\in B$である場合と、$x\notin B$である場合に分けて、いずれも $x\in B\lor x\in C$ が導かれる事を示す。
   (i) $x\in B$の場合
   このとき命題論理より(明らかに)$x\in B\lor x\in C$が成り立つので、和集合の定義より$x\in B\cup C$が従う。
   (ii) $x\notin B$の場合
   $x\in A$かつ$x\notin B$であるから、差集合の定義より$x\in A\setminus B$が従う。
   仮定$A\setminus B\subseteq C$より$x\in A\setminus B\Rightarrow x\in C$が成り立つので、$x\in C$が従う。
   したがって命題論理より$x\in B\lor x\in C$が成り立ち、和集合の定義より$x\in B\cup C$が従う。
   $ $
   以上より、いずれの場合も$x\in B\cup C$が成り立つ。
   従って任意の$x\in U$について$x\in A\Rightarrow x\in B\cup C$が成り立つので、
   $$ A\subseteq B\cup C $$
   が成り立つ。
   $ $

-以上(1.2.)より
$$ A\subseteq B\cup C\ \Leftrightarrow\ A\setminus B\subseteq C $$
が成り立つ。
$$ \Box$$