集合 ⑨

Prop & Proof

部分集合の定義より、任意の$x\in U$について
$$ x\in A\cup C\Rightarrow x\in B\cup C $$
を示せばよい。
$ $
任意の$x\in U$をとり、$x\in A\cup C$と仮定する。
和集合の定義より
$$ x\in A\cup C\ \Leftrightarrow\ (x\in A\lor x\in C) $$
が成り立つ。よって
$$ x\in A\lor x\in C $$
が成り立つが、命題論理の$\lor$の除去により、次の$2$つを示せば十分である。
$ $
$1.$ $x\in A$を仮定すると、$x\in B\lor x\in C$が従うこと。
仮定$A\subseteq B$より、任意の$x\in U$について
$$ x\in A\Rightarrow x\in B $$
が成り立つ。いま$x\in A$を仮定しているので、$x\in B$が従う。したがって命題論理より
$$ x\in B\Rightarrow (x\in B\lor x\in C) $$
が成り立つので、$x\in B\lor x\in C$が従う。
$ $
$2.$ $x\in C$を仮定すると、$x\in B\lor x\in C$が従うこと。
$x\in C$を仮定しているので、命題論理より
$$ x\in C\Rightarrow (x\in B\lor x\in C) $$
が成り立つ。したがって$x\in B\lor x\in C$が従う。
$ $
以上より、$x\in A\lor x\in C$から$x\in B\lor x\in C$が従う。よって和集合の定義より
$$ x\in B\cup C $$
が従う。従って任意の$x\in U$について$x\in A\cup C\Rightarrow x\in B\cup C$が成り立つので、部分集合の定義より
$$ A\cup C\subseteq B\cup C $$
が成り立つ。
$$ \Box$$

部分集合の定義より、任意の$x\in U$について
$$ x\in A\cap C\Rightarrow x\in B\cap C $$
を示せばよい。
$ $
任意の$x\in U$をとり、$x\in A\cap C$と仮定する。
共通部分の定義より
$$ x\in A\cap C\ \Leftrightarrow\ (x\in A\land x\in C) $$
が成り立つ。よって
$$ x\in A\land x\in C $$
が成り立つが、ここで仮定$A\subseteq B$より
$$ x\in A\Rightarrow x\in B $$
が成り立つので、$x\in B$が従う。
したがって$x\in B$かつ$x\in C$であるから
$$ x\in B\land x\in C $$
が成り立つ。
よって共通部分の定義より
$$ x\in B\cap C $$
が従う。
$ $
以上より任意の$x\in U$について$x\in A\cap C\Rightarrow x\in B\cap C$が成り立つので、部分集合の定義より
$$ A\cap C\subseteq B\cap C $$
が成り立つ。
$$ \Box$$