微分方程式 y' + P y = Q の解法

はじめに

ここでは ライプニッツ記法の正しい扱い方 でみた古い微分法を使います。まあ大学に行くとしれっと復活するのですが。いま学校で習うのは例えば$y=x^2$の微分は$dy/dx=2x$で、左辺は微分を意味する記号で分数ではないという扱いです。しかし昔は普通に$dx,dy$も一種の量として扱っていました。
$y$の微分は$dy$
$x^2$の微分は$2xdx$
$y=x^2$の両辺を微分して$dy=2xdx$
というふうに考えます。この記法のいいところは複数の変数が混ざっていても普通に微分を考えれることです。例えば$x^2+y^2$の微分は$2xdx+2ydy$です。
またここでは$C$は積分定数とします。

微分方程式

定数変化法

$$ dy + P y dx = Q dx $$
とりあえず、右辺が０だったら解けるのでまずそれを解いてみます。
\begin{eqnarray} dy + P y dx &=& 0 \\ \frac{dy}{y} + P dx &=& 0 \\ \int \frac{dy}{y} + \int P dx &=& C \\ \ln y + \int P dx &=& C \\ y &=& C e^{-\int P dx} \end{eqnarray}
さてこれをヒントにして元の式を解きます。ここで出てきた積分定数$C$を$x$の関数 $u$として元の式に代入します。
\begin{eqnarray} y &=& u e^{-\int P dx} \\ dy &=& e^{-\int P dx} (du - uP) \end{eqnarray}
より
$$ dy + P y dx = Q dx $$
は
\begin{eqnarray} e^{-\int P dx} (du - uP) + uP e^{-\int P dx} &=& Q dx \\ e^{-\int P dx} du &=& Q dx \\ du &=& Q e^{\int P dx} dx \\ u &=& \int Q e^{\int P dx} dx +C \end{eqnarray}
よって
$$ y = e^{-\int P dx} \left(\int Q e^{\int P dx} + C \right) $$

積分因子法

$N,M,Z$ を $x,y$ の関数として
$$N dx + M dy = dZ $$
の形になるときこれを完全微分式といいます。例えば
\begin{eqnarray} xdy + y dx &=& d(xy) \\ \frac{y dx - xdy}{y^2} &=& d\left(\frac{x}{y}\right) \end{eqnarray}
完全微分式の解$N dx + M dy= dZ = 0$は明らかに$Z=C$です。なので例えば $xdy+ydz = 0 $ の解は $xy = C$です。
$N dx + M dy$ が完全微分式ではなくても、ある関数 $L$を両辺にかけることで完全微分式になることがあります。このような$L$を積分因子と呼びます。
元の式に戻ります。
$$ dy + P y dx = Q dx $$
とりあえずまず右辺を$0$の場合を考えます。
$$ dy + P y dx = 0 $$
$$ L = \frac{1}{y} $$
を両辺にかけると
$$ \frac{dy}{y} + P dx = 0 $$
となり左辺は
$$ d \left(\ln y + \int P dx\right) $$
なので
$$ \ln y + \int P dx = C $$
または
$$ y e^{\int P dx} = C $$
よって
$$ dy + P y dx $$
は積分因子$L=1/y$により
$$ L(dy+Pydx) = dZ $$
という形にできることがわかりました。ここで積分因子$L=1/y$が唯一のものかというとそうではありません。これに定数倍をかけたものも同じように$dZ$の形にできます。一般にどのようなものが$dZ$の形にできるかというと $dZ = 0$ の積分 $Z = C$の$Z$を使って$L \varphi(Z) $と表せます。$ L (N dx + M dy ) = dZ$ の両辺に$ \varphi (Z)$ をかけると
$$ (N dx + M dy)L \varphi (Z) = \varphi (Z) dZ $$
となり右辺の$Z$についての積分を$F$とすれば、右辺は$dF$と表せるので$L \varphi(Z)$ も積分因子になります。今回の場合は$L=1/y$で$\varphi(Z) =\varphi(y e^{\int P dx})$なので
$$ \frac{1}{y} \varphi \left(y e^{\int P dx} \right) $$
が一般の積分因子です。元の式に戻って
$$ dy + P y dx = Q dx $$
を考えます。左辺は積分因子$L=\frac{1}{y} \varphi \left(y e^{\int P dx} \right)$をかけることで完全微分形にできます。なので積分因子の$\varphi$を適切に選び、右辺に積分因子がかかったものも積分可能にできれば、この微分方程式が解けます。ここでは
$$ L = e^{\int P dx} $$
という積分因子が正解です。これは$x$の関数なので右辺にかけても、右辺はすべて$x$にの関数なので解けます。
\begin{eqnarray} (dy+Pydx) e^{\int P dx} &=& Q e^{\int P dx} dx \\ d(y e^{\int P dx}) &=& Q e^{\int P dx} dx \\ y e^{\int P dx} &=& \int Q e^{\int P dx} dx +C\\ y &=& e^{-\int P dx} \left( \int Q e^{\int P dx} + C \right) \end{eqnarray}

なぜはじめに右辺を０とおくのか

微分方程式を解く基本は変数分離形です。
$$ dy + P y dx = Q dx $$
の右辺は$x$だけの関数であり、「もう解ける状態」なわけです。ややこしいやつを分離して、まずそれを解ける状態にすることを優先するという方針です。