ライプニッツ記法の正しい扱い方

はじめに

オイラーの時代の数学の著作をいくつか読んでみたのですが、そこで微分法が今高校で習うものと少し違うことに気付きました。というのも$dy/dx$をひとまとまりにするのではなく、$dy=Pdx$というように$dx,dy$を分けているのです。いろいろ読んでみて、$dx,dy$は正しく気をつければ普通の量として扱ってよいとわかりました。ここではその気をつけ方を解説します。

微小量の計算ルール

$dx,dy$などの微小量は以下の計算のルールさえ守れば、普通の量とみなせます。

• ルール１　足し算では高次の微小量を無視する。
  例えば $dx+d{x}^2\to dx,$ $x+dx\to x$ と置き換えます。また係数がかかっていても、微小量どうしの比較で負けていたら無視します。たとえば$x+10dx\to x$となります。
• ルール２　同じ次数の微小量の比だけ意味をもつ。
  日常的な感覚でも、$1+0.01$や$1+0.02$を$1$としてもさほど問題はないですが、$0.02/0.01$という計算になると$1$に匹敵する大きさになりうることが分かります。なので$dy/dx$という量は安易にどちらかを勝たせて$0$や$\mathrm{\infty }$にしないようにします。同じように$(dy/dx{)}^2$、$d^{2}z/dxdy$などの項も残しておきます。
• 書き方のルール
  $d{x}^2$は$(dx{)}^2$という意味で$d^{2}x$は$d(dx)$という意味です。

$y=f(x)$と表すとき、$y$の微分は$dy=f(x+dx)-f(x)$となります。
例えば$f(x)=x^2$のとき
$$dy=(x+dx{)}^2-x^2=2xdx+d{x}^2\to 2xdx$$
となります。

積分

この記事 高校数学の数列と微分積分は似ているという話（和分差分） にあるように微分積分は数列の差と和に対応しています。数列の差を取る演算を
$$\mathrm{\Delta }{a}_n=a_{n+1}-a_n$$
とすれば
$$\sum _{n=0}^{n=N-1}\mathrm{\Delta }{a}_n=a_N-a_0$$
となり $y=y(x)$,$dy/dx=y^{\prime }(x)$としたとき
$${\int }_a^b{y}^{\prime }(x)dx={\int }_a^{b}dy=y(b)-y(x)$$
と似たようになるのがわかります。積分は以下のような計算を表します。
$$\begin{array}{rcl}{\int }_a^b{y}^{\prime }(x)dx& =& y^{\prime }(a)dx+y^{\prime }(a+dx)dx+..+y^{\prime }(b-dx)dx+y^{\prime }(b)dx\end{array}$$
$dx$の項は本来いくら足しても$0$になるはずですが、積分は無限回の足し算をするので、微小量の「格上げ」ができます。実際の計算では、$dy=y^{\prime }(x)dx$ となる関数$y$を探してこの和を求めます。
$$\begin{array}{rcl}{\int }_a^{b}dy& =& y(a+dx)-y(a)\\ & & +y(a+2dx)-y(a+dx)\\ & & +y(a+3dx)-y(a+2dx)\\ & & +..\\ & & +y(b-dx)-y(b-2dx)\\ & & +y(b)-y(b-dx)\\ & =& y(b)-y(a)\end{array}$$
これは
$$\sum _{k=0}^{n-1}((k+1{)}^2-k^2)=2\sum _{k=0}^{n-1}k+n=n^2$$
というように和の求める方法と同じです。

刻み幅の変化の影響

積分編

$$\int f(x)dx$$
を$x=g(t)$とおき置換積分するとき、$dx=g^{\prime }(t)dt$として
$$\int f(g(t))g^{\prime }(t)dt$$
としますが、このときに暗黙に刻み幅の取り方を変えても積分が変わらないという事実を使っています。どういうことかというと
$$\begin{array}{rcl}{\int }_a^{b}f(x)dx& =& f(a)dx+f(a+dx)dx+..+f(b-dx)+f(b)dx\end{array}$$
この式では常に一定の刻み幅$dx$で関数を区切って足していますが、$dx=g^{\prime }(t)dt$
とし、$t$を変数とした積分では、$dt$を一定の刻み幅とするので$dx$は変化します。$f(g(t))=h(t)$, $a,b$ に対応する$t$を$t_a,t_b$とすると
$$\begin{array}{rcl}{\int }_{t_a}^{t_b}h(t)g^{\prime }(t)dt& =& h(t_a)g^{\prime }(t_a)dt+h(t_a+dt)g^{\prime }(t_a+dt)dt+..+h(t_b)g^{\prime }(t_b)dt\end{array}$$
なので$d{x}_1=g^{\prime }(t_a)dt,d{x}_2=g^{\prime }(t_a+dt)dt,..$というよう刻み幅が変化することになります。それでも積分結果は同じになるということが、置換積分が成立するための条件です。

微分編

微分の場合、二回微分から刻み幅$dx$の変化の影響がでてきます。積分の場合は、計算結果が同じになるので気にしなくてもよかったですが、微分の場合注意しないといけないことがあります。
$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$$
を$x=g(t)$とおき、$y$の$t$についての二回微分を求めます。正しい求め方は
$$\begin{array}{rcl}\frac{d^{2}y}{d{t}^2}& =& \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dt}\right)\\ & =& \frac{d}{dt}\left(y^{\prime }\frac{dx}{dt}\right)\\ & =& \frac{d{y}^{\prime }}{dt}\frac{dx}{dt}+\frac{dy}{dx}\frac{d^{2}x}{d{t}^2}\\ & =& y^{″}{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+y^{\prime }\frac{d^{2}x}{d{t}^2}\end{array}$$
です。しかし単純に
$$\frac{d^{2}y}{d{t}^2}=\frac{d^{2}y}{d{x}^2}\frac{d{x}^2}{d{t}^2}$$
としてはだめなのでしょうか？実をいうとこの式は$d^{2}y$の意味を適切に考えれば間違っていません。$d^{2}y$は次のように変形できます。
$$d^{2}y=d(dy)=d(y^{\prime }dx)=d{y}^{\prime }dx+y^{\prime }{d}^{2}x$$
$dx$の変化が$d^{2}x$という項です。本来$d^{2}y/d{x}^2$は
$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=y^{″}+y^{\prime }\frac{d^{2}x}{d{x}^2}$$
という形で、$d^{2}x$の影響を含んでいるのですが、$x$が"入力変数"のときはその刻み幅の変化$d^{2}x$はゼロとするという暗黙の了解のもと、$d^{2}x=0$のときの$d^{2}y/d{x}^2$を$y$の二回微分と定義しているのです。しかし$x=g(t)$とし$t$を入力変数にする場合、$dx$の変化を考える必要があるため、$d^{2}x$の依存性を復活させる必要があります。

昔の微分法のメリット

高校数学では$dy/dx$というものが実在であり、これが$dx,dy$の分数のように扱えるのは「うまい記法」に過ぎないという教育になっていると思います。しかし大学で全微分、微分方程式を習うと、
$$df=f_{x}dx+f_{y}dy$$
とか
$$\frac{dx}{x}=\frac{dy}{y}$$
の両辺を積分とか言われて面食らうと思います。なのでこの記事で述べたようなライプニッツの微分法に忠実な考え方のほうが結局いいのではないでしょうか？
また例えば$d(xy)=xdy+ydx$ のように「〇〇の△△についての微分」ではなく単に「〇〇の微分」を考え、$x$と$y$の関係は後で考えるということができます。

例

• 例1
  $$\frac{dy}{dx}=\frac{(A{x}^2+B)y}{(A{x}^2-B)x}+\frac{C}{A{x}^2-B}$$
  という微分方程式を解く
  $$\begin{array}{rcl}(A{x}^2-B)xdy-(A{x}^2+B)ydx-Cxdx& =& 0\\ (A{x}^2-B)(xdy+ydx)-2A{x}^{2}ydx-Cxdx& =& 0\\ (A{x}^2-B)d(xy)-(2Axy+C)xdx& =& 0\\ \frac{d(xy)}{2Axy+C}& =& \frac{xdx}{A{x}^2-B}\\ \frac{1}{2A}\ln (2Axy+C)=\frac{1}{2A}\ln (A{x}^2-B)+K\\ \frac{2Axy+C}{A{x}^2-B}=K\end{array}$$
• 例2
  $$x{y}^{\prime }-y=x^2\ln x$$

$$\begin{array}{rcl}\frac{xdy-ydx}{x^2}& =& \ln xdx\\ d\left(\frac{y}{x}\right)& =& \ln xdx\\ \frac{y}{x}& =& x\ln x-x+C\\ y& =& x^2(\ln x-1)+Cx\end{array}$$

定数変化法

まず$0$になってほしい項を$0$として解きます。そのときでてくる積分定数を変数としてもう一回解きます。
$$\frac{dy}{dx}=x+y$$
$$dy=xdx+ydx$$
まず
$$dy-ydx=0$$
を解きます。
$$\begin{array}{rcl}dy/y& =& dx\\ \ln y& =& x+C\\ y=C{e}^x\end{array}$$
$y=s{e}^x$と置いてもう一度はじめの微分方程式をときます。
$dy=e^{x}ds+s{e}^{x}dx$より
$$\begin{array}{rcl}{e}^{x}ds+s{e}^{x}dx& =& xdx+s{e}^{x}dx\\ e^{x}ds& =& xdx\\ ds& =& e^{-x}xdx\\ s& =& \int e^{-x}xdx+C\\ y& =& e^x(-e^{-x}x-e^{-x}+C)=C{e}^x-x-1\end{array}$$

三角関数の加法定理を積分の関係から求める

楕円関数論の黎明期の問題で、「ラグランジュ考案オイラー改」の方法を紹介しますE506。ある曲線の弧長が座標$x$を用いて$L(x)$と表せるとき、$L(x)+L(y)=L(z)$となるような$x,y,z$の代数的関係を求めます。曲線が円の場合
$$L(x)=\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$$
です。$X=1-x^2,Y=1-y^2$とおき、
$$\frac{dx}{\sqrt{X}}+\frac{dy}{\sqrt{Y}}=0$$
となる$x,y$の関係を求めます。そしてこのとき積分定数を$y=0$のとき$x=z$となるようにします。こうすることで
$${\int }_0^x\frac{dx}{\sqrt{X}}+{\int }_0^y\frac{dy}{\sqrt{Y}}={\int }_0^z\frac{dz}{\sqrt{Z}}$$
となる$x,y,z$の関係が求まります。まず
$$\frac{dx}{\sqrt{X}}=-\frac{dy}{\sqrt{Y}}=dt$$
と置きます。この$dt$は微小な定数と考えます。
$$\begin{array}{rcl}\frac{dx}{dt}& =& \sqrt{X}\\ \text{(1)}& \frac{dy}{dt}& =& -\sqrt{Y}\end{array}$$
これは$x,y$を$t$で微分したものではなく、$dx,dy$を微小な定数$dt$で割ったものであることに注意してください。ここで$p=x+y,q=x-y$とおきます。
$$\begin{array}{rcl}\frac{dp}{dt}& =& \sqrt{X}-\sqrt{Y}\\ \frac{dq}{dt}& =& \sqrt{X}+\sqrt{Y}\end{array}$$
より
$$\begin{array}{}\text{(2)}& \frac{dpdq}{d{t}^2}& =& X-Y=-x^2+y^2=-pq\end{array}$$
次に$\text{(1)}$の両辺を二乗し
$$\begin{array}{rcl}\frac{d{x}^2}{d{t}^2}& =& X=1-x^2\\ \frac{d{y}^2}{d{t}^2}& =& Y=1-y^2\end{array}$$
の両辺を微分します。$dt$は定数で$d(d{x}^2)=2dx{d}^{2}x$なので
$$\begin{array}{rcl}\frac{d^{2}x}{d{t}^2}& =& -x\\ \frac{d^{2}y}{d{t}^2}& =& -y\end{array}$$
よって
$$\begin{array}{}\text{(3)}& \frac{d^{2}p}{d{t}^2}& =& -p\end{array}$$
$\text{(2)}$と$\text{(3)}$より
$$\begin{array}{rcl}\frac{d^{2}p}{d{t}^2}q& =& \frac{dpdq}{d{t}^2}\end{array}$$
ここで両辺を$qdp$で割ると変数分離系になるのですが、微小量の次数を合わせるため$qdp/dt$で割ります。
$$\begin{array}{rcl}\frac{d^{2}p}{dpdt}& =& \frac{dq}{qdt}\end{array}$$
$$\begin{array}{rcl}\ln dp& =& \ln q+\ln \left(Cdt\right)\\ dp/q& =& Cdt\end{array}$$
$dt$を無理やり入れこんでいるように思うかもしれませんが、$C$は任意定数で、左辺の微小量との比較ができる微小定数である必要があります。このため$dt$を使って表すことがむしろ必要です。
$dp/dt=\sqrt{X}-\sqrt{Y}$ より
$$\frac{\sqrt{X}-\sqrt{Y}}{x-y}=C$$
同様の議論を$q$にも行い
$$\frac{\sqrt{X}+\sqrt{Y}}{x+y}=D$$
$x=z,y=0$のとき、$X=Z,Y=1$なので
$$\begin{array}{rcl}C& =& \frac{\sqrt{Z}-1}{z}\\ D& =& \frac{\sqrt{Z}+1}{z}\end{array}$$
よって
$$\begin{array}{rcl}\sqrt{Z}& =& \frac{D+C}{D-C}\\ & =& \frac{(\sqrt{X}+\sqrt{Y})(x-y)+(\sqrt{X}-\sqrt{Y})(x+y)}{(\sqrt{X}+\sqrt{Y})(x-y)-(\sqrt{X}-\sqrt{Y})(x+y)}\\ & =& \frac{x\sqrt{X}-y\sqrt{Y}}{x\sqrt{Y}-y\sqrt{X}}\\ & =& \frac{(x\sqrt{X}-y\sqrt{Y})(x\sqrt{Y}+y\sqrt{X})}{x^{2}Y-y^{2}X}\\ & =& \frac{(x^2-y^2)\sqrt{XY}+xy(X-Y)}{x^2-y^2}\\ & =& \sqrt{XY}-xy\end{array}$$
$X=1-x^2,Y=1-y^2,Z=1-z^2$で,
$$\int \frac{dx}{\sqrt{X}}=\arcsin x$$
また
$${\int }_0^x\frac{dx}{\sqrt{X}}+{\int }_0^y\frac{dy}{\sqrt{Y}}={\int }_0^z\frac{dz}{\sqrt{Z}}$$
を満たすので、${\int }_0^x\frac{dx}{\sqrt{X}},{\int }_0^y\frac{dy}{\sqrt{Y}}=a,b$とおけば
$$\cos (a+b)=\cos \left(a\right)\cos \left(b\right)-\sin \left(a\right)\sin \left(b\right)$$
このように$dx,dy$を使ってやりたい放題できるという話でした。
ありがとうございました。