Askey-Wilson多項式の漸化式

前の記事 でAskey-Wilsonによるbalanced${}_4\phi_3$の隣接関係式を示した. 今回はそれを用いてAskey-Wilson多項式が満たす漸化式を導きたいと思う.

Askey-Wilson多項式が満たす漸化式

$x:=\cos\theta$とする. Askey-Wilson多項式は
\begin{align} r_n(x;a,b,c,d)&:=\Q43{q^{-n},abcdq^{n-1},ae^{i\theta},ae^{-i\theta}}{ab,ac,ad}{q}\\ p_n(x;a,b,c,d)&:=a^{-n}(ab,ac,ad;q)_nr_n(x;a,b,c,d)\\ \end{align}
によって定義される. 前の記事 の定理2を
\begin{align} &\frac{b(1-b)(a-e)(a-f)(a-g)}{bq-a}(\phi(a-,b+)-\phi)\\ &-\frac{a(1-a)(b-e)(b-f)(b-g)}{aq-b}(\phi(a+,b-)-\phi)\\ &+ab(b-a)(1-c)(1-d)\phi=0 \end{align}
と書き換えて, $a,b,c,d,e,f,g$を$q^{-n},abcdq^{n-1},ae^{i\theta},ae^{-i\theta},ab,ac,ad$と選ぶと,
\begin{align} &\frac{abcdq^{n-1}(1-abcdq^{n-1})(q^{-n}-ab)(q^{-n}-ac)(q^{-n}-ad)}{abcdq^n-q^{-n}}\\ &\qquad\cdot\left(\Q43{q^{-n-1},abcdq^{n},ae^{i\theta},ae^{-i\theta}}{ab,ac,ad}{q}-\Q43{q^{-n},abcdq^{n-1},ae^{i\theta},ae^{-i\theta}}{ab,ac,ad}{q}\right)\\ &-\frac{q^{-n}(1-q^{-n})(abcdq^{n-1}-ab)(abcdq^{n-1}-ac)(abcdq^{n-1}-ad)}{q^{1-n}-abcdq^{n-1}}\\ &\qquad\cdot\left(\Q43{q^{1-n},abcdq^{n-2},ae^{i\theta},ae^{-i\theta}}{ab,ac,ad}{q}-\Q43{q^{-n},abcdq^{n-1},ae^{i\theta},ae^{-i\theta}}{ab,ac,ad}{q}\right)\\ &+abcdq^{-1}(abcdq^{n-1}-q^{-n})(1-ae^{i\theta})(1-ae^{-i\theta})\Q43{q^{-n},abcdq^{n-1},ae^{i\theta},ae^{-i\theta}}{ab,ac,ad}{q}=0 \end{align}
を得る. これは
\begin{align} r_n(x):=r_n(x;a,b,c,d)=\Q43{q^{-n},abcdq^{n-1},ae^{i\theta},ae^{-i\theta}}{ab,ac,ad}{q}\\ \end{align}
と書くと,
\begin{align} &-\frac{abcdq^{-1-n}(1-abcdq^{n-1})(1-abq^n)(1-acq^n)(1-adq^n)}{1-abcdq^{2n}}\left(r_{n+1}(x)-r_n(x)\right)\\ &-\frac{a^3bcdq^{-1-n}(1-q^{n})(1-bcq^{n-1})(1-bdq^{n-1})(1-cdq^{n-1})}{1-abcdq^{2n-2}}\left(r_{n-1}(x)-r_n(x)\right)\\ &-abcdq^{-1-n}(1-abcdq^{2n-1})(1-2ax+a^2)r_n(x)=0 \end{align}
と書き換えられる. 整理すると,
\begin{align} &\frac{a^{-1}(1-abcdq^{n-1})(1-abq^n)(1-acq^n)(1-adq^n)}{1-abcdq^{2n}}\left(r_{n+1}(x)-r_n(x)\right)\\ &+\frac{a(1-q^{n})(1-bcq^{n-1})(1-bdq^{n-1})(1-cdq^{n-1})}{1-abcdq^{2n-2}}\left(r_{n-1}(x)-r_n(x)\right)\\ &+(1-abcdq^{2n-1})(a^{-1}+a-2x)r_n(x)=0 \end{align}
を得る. つまり以下が分かった.

この漸化式は
\begin{align} A_{\alpha}&:=\frac{a^{-1}(1-abq^{\alpha})(1-acq^{\alpha})(1-adq^{\alpha})(1-abcdq^{\alpha-1})}{(1-abcdq^{2\alpha-1})(1-abcdq^{2\alpha})}\\ C_{\alpha}&:=\frac{a(1-bcq^{\alpha-1})(1-bdq^{\alpha-1})(1-cdq^{\alpha-1})(1-q^{\alpha})}{(1-abcdq^{2\alpha-2})(1-abcdq^{2\alpha-1})} \end{align}
として, $B_{\alpha}:=a+a^{-1}-A_{\alpha}-C_{\alpha}$とおくと,
\begin{align} 2xr_n(x)&=A_nr_{n+1}(x)+B_nr_n(x)+C_nr_{n-1}(x) \end{align}
と書き換えることができる.

Askey-Wilson関数

上の漸化式を一般の実数$\alpha$について拡張した漸化式
\begin{align} 2xh_{\alpha}(z)&=A_{\alpha}h_{\alpha+1}(z)+B_{\alpha}h_{\alpha}(z)+C_{\alpha}h_{\alpha-1}(z) \end{align}
の2つの独立な解として, Askey-Wilson関数
\begin{align} R_{\alpha}(z)&=\frac{(abq^{\alpha},acq^{\alpha},adq^{\alpha},bcdq^{\alpha}/z;q)_{\infty}}{(bcq^{\alpha},bdq^{\alpha},cdq^{\alpha},azq^{\alpha};q)_{\infty}}\left(\frac az\right)^{\alpha}\\ &\qquad\cdot W(bcd/zq;b/z,c/z,d/z,abcdq^{\alpha-1},q^{-\alpha};zq/a)\\ S_{\alpha}(z)&=\frac{(abcdq^{2\alpha},bzq^{\alpha+1},czq^{\alpha+1},dzq^{\alpha+1},bcdzq^{\alpha};q)_{\infty}}{(bcq^{\alpha},bdq^{\alpha},cdq^{\alpha},q^{\alpha+1},bcdzq^{2\alpha+1};q)_{\infty}}(az)^{\alpha}\\ &\qquad\cdot W(bcdzq^{2\alpha};bcq^{\alpha},bdq^{\alpha},cdq^{\alpha},q^{\alpha+1},zq/a;az) \end{align}
が考えられている. ここで, $\displaystyle x=\frac{z+z^{-1}}2$
\begin{align} W(a;b_1,\dots,b_r;x):=\Q{r+3}{r+2}{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,b_1,\dots,b_r}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b_1,\dots,aq/b_r}x \end{align}
である. これはIsmail-Rahmanの1991年の論文における定義であり, 前の記事 で扱ったRahmanによるものとは若干異なっている. これが実際に漸化式の解になっているということは$R_{\alpha}$の方は 前の記事 で扱ったIsmail-Rahmanの隣接関係式から示すことができるが, $S_{\alpha}$の方はさらに少し準備が必要なようなので, それらの証明は次回以降の記事で行いたいと思う.

Askey-Wilson陪多項式

Askey-Wilson陪多項式$r_n^{\alpha}(x)$は係数が$\alpha$だけシフトした漸化式
\begin{align} 2xr_n^{\alpha}(x)&=A_{n+\alpha}r_{n+1}^{\alpha}(x)+B_{n+\alpha}r_n^{\alpha}(x)+C_{n+\alpha}r_{n-1}^{\alpha}(x) \end{align}
と初期条件$r_{-1}^{\alpha}(x)=0, r_0^{\alpha}(x)=1$を満たすようなAskey-Wilson多項式の一般化である($\alpha=0$のときAskey-Wilson多項式に一致する). このAskey-Wilson陪多項式に関して, Ismail-Rahmanによって1991年に与えられた明示式
\begin{align} r_n^{\alpha}(x)&=\sum_{k=0}^n\frac{(q^{-n},abcdq^{2\alpha+n-1},abcdq^{2\alpha-1},ae^{i\theta},ae^{-i\theta};q)_k}{(q,abq^{\alpha},acq^{\alpha},adq^{\alpha},abcdq^{\alpha-1};q)_k}q^k\\ &\qquad\cdot W(abcdq^{2\alpha+k-2};q^{\alpha},bcq^{\alpha-1},bdq^{\alpha-1},cdq^{\alpha-1},q^{k+1},abcdq^{2\alpha+n+k-1},q^{k-n};a^2) \end{align}
やRahmanによって1996年に与えられた明示式
\begin{align} r_n^{\alpha}(x)&=\frac{(abcdq^{2\alpha-1},q^{\alpha+1};q)_n}{(q,abcdq^{\alpha-1};q)_n}q^{-n\alpha}\sum_{k=0}^n\frac{(q^{-n},abcdq^{2\alpha+n-1},ae^{i\theta}q^{\alpha},ae^{-i\theta}q^{\alpha};q)_k}{(q^{\alpha+1},abq^{\alpha},acq^{\alpha},adq^{\alpha};q)_k}q^k\\ &\qquad\cdot\sum_{j=0}^k\frac{(q^{\alpha},abq^{\alpha-1},acq^{\alpha-1},adq^{\alpha-1};q)_j}{(q,abcdq^{2\alpha-2},ae^{i\theta}q^{\alpha},ae^{-i\theta}q^{\alpha};q)_j}q^j \end{align}
が知られている.