指数昇降と和・積のつづき

指数昇降,和

こんにちは～今回はショート記事？メモ？です。シュークリームを食べたい

こんにちは！！
指数昇降という概念、というか記号？を先日の記事で作りました。今回はその続きみたいなやつです。

↓前回の記事↓

行ってQして帰ってくる、「指数昇降」についてのメモ

定義だ～

まず、二項演算の指数昇降を以下のように定義します。

二項演算の指数昇降

$\circ : 二項演算$
$x \overset{n}{\circ} y := \exp^{n} (\ln^{n} x \circ \ln^{n} y)$

その他の略記等は指数昇降の記事を参照してください。基本的には前回の一変数関数、単項演算の指数昇降と同様です。

これにより、例えば以下のようなことが成り立ちます。

和の指数昇降の例

$\begin{array}{rcl} x + y & = & x + y \\ x \dot{+} y & = & \exp (\ln x + \ln y) \\ = & x y \\ x \ddot{+} y & = & \exp \exp (\ln \ln x + \ln \ln y) \\ = & \exp (\ln x \cdot \ln y) \end{array}$

おい待て

ん？

この $\exp (\ln x \cdot \ln y)$ って、どっかで見たな～

う～ん

う～～ん

う～～～ん

う～～～～～ん

ああ！そうだ！
この記事「超Taylor展開について考えた結果」にて、Y.K.さんが新たな演算として導入していた
$x \land y = e^{(\ln x) (\ln y)}$
という演算、ひいてはその参照元となった108Hassiumさんの「冪乗の性質が気に入らないから新しい演算を作ってみた」の
$x +_{2} y = x^{\log_{2} y}$
の底が $e$ のバージョンと一致しますね～～！

偶然にも全然違うアプローチから同様の演算を手に入れてしまいました。

つまりですよ

和の指数昇降って、つまり、和・積の一般化なんだね

しかも、おそらく108Hassiumさんの元記事で語られていた、 $+_{3}, +_{4}, \dots$ に関しても、底をすべて $e$ に揃えることで一致します。

それってハッピー……ね。

関係ないけど気づいたこと

二項演算の指数昇降の連鎖律(漸化式？)

$x \overset{n}{\circ} y = x \overset{1}{\overset{n - 1}{\circ}} y$

$\begin{array}{rcl} x \overset{n}{\circ} y & = & \exp^{n} (\ln^{n} x \circ \ln^{n} y) \\ = & \exp \exp^{n - 1} (\ln^{n - 1} \ln x \circ \ln^{n - 1} \ln y) \\ = & \exp (\ln x \overset{n - 1}{\circ} \ln y) \\ = & x \overset{1}{\overset{n - 1}{\circ}} y \end{array}$