指数昇降と和・積のつづき

指数昇降,和

こんにちは～今回はショート記事？メモ？です。シュークリームを食べたい

こんにちは！！
指数昇降という概念、というか記号？を先日の記事で作りました。今回はその続きみたいなやつです。

↓前回の記事↓

行ってQして帰ってくる、「指数昇降」についてのメモ

定義だ～

まず、二項演算の指数昇降を以下のように定義します。

二項演算の指数昇降

$\circ:二項演算$
$$ x \overset{n}\circ y := \exp^n( \ln^n x \circ \ln^n y) $$

その他の略記等は指数昇降の記事を参照してください。基本的には前回の一変数関数、単項演算の指数昇降と同様です。

これにより、例えば以下のようなことが成り立ちます。

和の指数昇降の例

$$ \begin{eqnarray} x + y &=& x + y\\ x \dot{+} y &=& \exp(\ln x + \ln y) \\&=& xy\\ x \ddot{+} y &=& \exp \exp(\ln \ln x + \ln \ln y) \\&=& \exp(\ln x \cdot \ln y) \end{eqnarray} $$

おい待て

ん？

この$\exp(\ln x \cdot \ln y) $って、どっかで見たな～

う～ん

う～～ん

う～～～ん

う～～～～～ん

ああ！そうだ！
この記事「超Taylor展開について考えた結果」にて、Y.K.さんが新たな演算として導入していた
$$ x \land y = e^{(\ln x)(\ln y)}$$
という演算、ひいてはその参照元となった108Hassiumさんの「冪乗の性質が気に入らないから新しい演算を作ってみた」の
$$ x +_2 y = x^{\log_2 y}$$
の底が$e$のバージョンと一致しますね～～！

偶然にも全然違うアプローチから同様の演算を手に入れてしまいました。

つまりですよ

和の指数昇降って、つまり、和・積の一般化なんだね

しかも、おそらく108Hassiumさんの元記事で語られていた、$+_3, +_4, \cdots $に関しても、底をすべて$e$に揃えることで一致します。

それってハッピー……ね。

関係ないけど気づいたこと

二項演算の指数昇降の連鎖律(漸化式？)

$$ x \overset{n}\circ y = x \overset{1}{\overset{n-1}\circ} y $$

$$ \begin{eqnarray} x \overset{n}\circ y &=& \exp^n (\ln^n x \circ \ln^n y )\\ &=& \exp \exp^{n-1}(\ln^{n-1}\ln x \circ \ln^{n-1}\ln y)\\ &=& \exp (\ln x \overset{n-1}\circ \ln y )\\ &=& x \overset{1}{\overset{n-1}\circ} y \end{eqnarray} $$

これってハッピー……ね。